資源簡介

4．1.1　分類加法計數(shù)原理
4．1.2　分步乘法計數(shù)原理
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
通過實例，了解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其意義．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點
要點一　分類加法計數(shù)原理
如果完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，每種方法都能獨立完成這件事，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．(也稱“加法原理”)
要點二　分步乘法計數(shù)原理
如果完成一件事需要分成n個步驟，第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法，…，第n步有mn種不同的方法，每個步驟都完成才算做完這件事，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．(也稱“乘法原理”)
批注 　確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類辦法，不同類辦法的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.
批注 　根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏．
　基 礎(chǔ) 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同. (　　)
(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事. (　　)
(3)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(　　)
(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　)
2．從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機和乘輪船，其中飛機每天有3班，輪船有4班．若李先生從甲地去乙地，則不同的交通方式共有(　　)
A．3種 B．4種
C．7種 D．12種
3．某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有(　　)
A．3種 B．6種
C．7種 D．9種
4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，則x·y可表示不同的值的個數(shù)為(　　)
A．10個 B．6個
C．8個 D．9個
5．某商場共有4個門，購物者若從任意一個門進(jìn)，從任意一個門出，則不同走法的種數(shù)是________.
　題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用
例1　(1)從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？
(2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？
方法歸納
利用分類加法計數(shù)原理解題的一般步驟
鞏固訓(xùn)練1　(1)一項工作可以用兩種方法完成，有3人會用第1種方法完成，有5人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同的選法種數(shù)是(　　)
A．8 B．15
C．16 D．30
(2)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個．若從三個袋子中任取1個小球，有________種不同的取法．
題型2　分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用
例2　用0，1，2，3，4這五個數(shù)字
(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？
(2)可以組成多少個四位密碼？
方法歸納
(1)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可．
(2)解決組數(shù)問題，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘，做到不重不漏．
鞏固訓(xùn)練2　(1)[2022·湖南測試]某儲蓄卡密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個，則可設(shè)置的銀行卡密碼共有________種；
(2)如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有多少種？
題型3　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
例3　現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.
(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？
(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？
(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？
方法歸納
使用兩個原理的原則
使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手．“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時可用分步乘法計數(shù)原理.
鞏固訓(xùn)練3　現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
易錯辨析　分類標(biāo)準(zhǔn)不清致誤
例4　甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生，問有多少種不同的冠軍獲得情況？
解析：可先舉例說出其中的1種情況，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科知識競賽的冠軍分別是甲、甲、丙，可見研究的對象是“3門學(xué)科”，只有3門學(xué)科各產(chǎn)生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學(xué)不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步．
第1步，產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)科冠軍，它一定被其中1名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得情況；
第2步，產(chǎn)生物理學(xué)科冠軍，因為奪得數(shù)學(xué)學(xué)科冠軍的同學(xué)還可以去爭奪物理學(xué)科冠軍，所以物理學(xué)科冠軍也是由4名同學(xué)去爭奪，有4種不同的獲得情況；
第3步，產(chǎn)生化學(xué)學(xué)科冠軍，同理，也有4種不同的獲得情況．
由分步乘法計數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4＝43＝64(種)．
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
錯解：分四步完成這件事． 第1步，甲同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠軍，有3種不同情況；同理，第2，3，4步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠軍，都各自有3種不同情況． 由分步乘法計數(shù)原理知，不同的冠軍獲得情況共有3×3×3×3＝34＝81(種)． 要完成的“一件事”是“爭奪3門學(xué)科知識競賽的冠軍，且每門學(xué)科只有1名冠軍產(chǎn)生”．但錯解中都有可能出現(xiàn)某一學(xué)科冠軍被2人、3人，甚至4人獲得的情形，另外還可能出現(xiàn)某一學(xué)科沒有冠軍產(chǎn)生的情況． 用分步乘法計數(shù)原理求解元素可重復(fù)選取的問題時，哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù)．
第4章　計數(shù)原理
4．1　兩個計數(shù)原理
4．1.1　分類加法計數(shù)原理
4．1.2　分步乘法計數(shù)原理
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點]
要點一
m1＋m2＋…＋mn
要點二
m1×m2×…×mn
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由分類加法計數(shù)原理，從甲地去乙地共3＋4＝7(種)不同的交通方式．
答案：C
3．解析：分3類，買1本書，買2本書，買3本書，
各類的方法依次為3種，3種，1種，故購買方法有3＋3＋1＝7(種)．
答案：C
4．解析：因為x從集合{2，3，7}中任取一個值共有3個不同的值，y從集合{－3，－4，8}中任取一個值共有3個不同的值，故x·y可表示3×3＝9個不同的值．
答案：D
5．解析：不同的走法可以看作是兩步完成的，第一步是進(jìn)門共有4種；第二步是出門，共有4種．由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4＝16(種)．
答案：16
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)分四類：
從一班中選一人，有4種選法；
從二班中選一人，有5種選法；
從三班中選一人，有6種選法；
從四班中選一人，有7種選法．
共有不同選法N＝4＋5＋6＋7＝22種．
(2)方法一　按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．
方法二　按個位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)．
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)第1類，從會第1種方法的3人中選1人，有3種不同的選法；第2類，從會第2種方法的5人中選1人，有5種不同的選法，共有5＋3＝8(種)不同的選法．
(2)有三類不同方案：
第一類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；
第二類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；
第三類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法．
其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨立地完成“任取1個小球”這件事，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15種．
答案：(1)A　(2)15
例2　解析：(1)直接法：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：
第一步，從1，2，3，4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1，2，3，4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．
由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N＝4×4×3×2＝96個．
間接法：將5個數(shù)字不重復(fù)排在4個位置上有5×4×3×2＝120種排法，其中不合要求的有4×3×2＝24種排法．所以排成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)為120－24＝96個．
解析：(2)完成“組成四位密碼”這件事，可以分為四步：
第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有5種選取方法．
由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N＝5×5×5×5＝625個．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)每位上的數(shù)字有10個數(shù)字可選，由乘法原理總共有106種．
(2)按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成，
第一步，m1＝3種，
第二步，m2＝2種，
第三步，m3＝1種，
第四步，m4＝1種，
所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N＝3×2×1×1＝6種．
答案：(1)106　(2)見解析
例3　解析：(1)分四類：第1類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第2類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第3類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第4類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．
由分類加法計數(shù)原理知共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．
(2)分四步：第1、2、3、4步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．
由分步乘法計數(shù)原理知共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5 040(種)．
(3)分六類，每類又分兩步．從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．由分類加法計數(shù)原理知共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)分為三類：
從國畫中選，有5種不同的選法；
從油畫中選，有2種不同的選法；
從水彩畫中選，有7種不同的選法，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法；
(2)分為三步：
第一步從國畫中選，有5種不同的選法；
第二步從油畫中選，有2種不同的選法；
第三步從水彩畫中選，有7種不同的選法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．
(3)分為三類：
第一類是一幅選自國畫，有5種不同的選法；一幅選自油畫，有2種不同的選法；
由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，有5種不同的選法；一幅選自水彩畫，有7種不同的選法，
由分步乘法計數(shù)原理知，有5×7＝35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，有2種不同的選法；一幅選自水彩畫，有7種不同的選法，
由分步乘法計數(shù)原理知，有2×7＝14(種)不同的選法，
所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．4.2　排列
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)通過實例，理解排列的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式．
(2)能解決簡單的實際問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點
要點一　排列
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，按照一定的順序 排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
要點二　排列數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，所有________________叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù) ，用符號__________表示．
要點三　排列數(shù)公式及性質(zhì)
＝________________＝________(m≤n)．
＝n！，0！＝1.
批注 　就是說與位置有關(guān)，在實際問題中，究竟何時有關(guān)，何時無關(guān)，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別．
批注 　“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個正整數(shù)；“排列”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列”，它是指具體的排法．
　基 礎(chǔ) 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)a，b，c與b，a，c是同一個排列．(　　)
(2)同一個排列中，同一個元素不能重復(fù)出現(xiàn)．(　　)
(3)在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(　　)
(4)由于排列數(shù)的階乘式是一個分式，所以其化簡的結(jié)果不一定是整數(shù)．(　　)
2．(多選)下列問題中是排列問題的是(　　)
A．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組
B．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項活動
C．從a，b，c，d四個字母中取出2個字母
D．從1，2，3，4四個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)
3．＝(　　)
A．30　　　B．24　　　C．20　　　D．15
4．90×91×92×…×100可以表示為(　　)
A．B．C．D．
5．從1，2，3中任取兩個數(shù)字組成不同的兩位數(shù)有________個．
????????
　　題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　排列的概念
例1　判斷下列問題是不是排列問題：
(1)某班共有50名學(xué)生，現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？
(2)從2，3，5，7，9五個數(shù)字中任取兩個數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共有多少個不同的對數(shù)值？
(3)有12個車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？
(4)某會場有50個座位，從中任選出3個座位，共有多少種不同的選法？
方法歸納
判斷一個具體問題是否為排列問題的方法
鞏固訓(xùn)練1　下列問題是排列問題的為________．
①選2個小組分別去植樹和種菜；
②選2個小組分別去種菜；
③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信；
④從1，2，3，4，5中任取兩個數(shù)字相除．
題型2　與排列數(shù)公式相關(guān)的計算
例2　等于(　　)
A．107　　B．323 C．320　　D．348
(2)已知＝10，則n的值為________；
＝________．
方法歸納
排列數(shù)的計算方法
(1)排列數(shù)的計算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)是選取元素的個數(shù)，這是排列數(shù)公式的逆用．
(2)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，然后計算，這樣往往會減少運算量．
鞏固訓(xùn)練2　(1)若x是正整數(shù)，且x<55，則(55－x)(56－x)…(68－x)等于(　　)
A.
C.
等于(　　)
A．12　　　B．24 C．30　　　D．36
(3)如果＝17×16×15×…×5×4，則n＝________，m________．
題型3　利用排列與排列數(shù)解決簡單的實際問題
例3　有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體站成一排，男、女各站在一起；
(4)全體站成一排，男生互不相鄰；
(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．
鞏固訓(xùn)練3　(1)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(　　)
A．144 B．120
C．72 D．24
(2)從6名短跑運動員中選出4人參加4×100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，共有(　　)種參賽方案．
A．120 B．240
C．300 D．360
(3)將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)．這樣的排列方法有________種(用數(shù)字作答)．
易錯辨析　忽略排列的有序性致錯
例4　8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有________種排法．
解析：先排甲、乙，有排法，再排丙，有排法，其余5人有種排法，故不同排法共有＝5 760(種)．
答案：5 760
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
求解本題時容易出現(xiàn)下列兩種錯解． 錯解一：甲、乙兩人在前排，前排還少2人，從余下5人(不含丙)中選2人排在前排，有排法；丙在后排，余下的3人有排法，故不同排法共有＝120(種)． 錯解二：甲、乙兩人在前排，有種排法，再從余下5人(不含丙)中選2人排在前排，有種排法；其余4人(含丙)在后排，有種排法，故不同排法共有＝960(種)．導(dǎo)致錯解的原因是甲、乙兩人在前排，但甲、乙兩人的位置不能確定，需對甲、乙兩人的位置進(jìn)行排列，同樣，丙在后排，丙的位置也不能確定，丙的位置也需排列． 排列問題中，若對元素的位置沒有要求，則各元素間是有順序之分的，解題時要時刻把握這一“原則”．
4．2　排列
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點]
要點二
不同排列的個數(shù)　
要點三
n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)　
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A是排列問題，因為兩名同學(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有關(guān)；B不是排列問題，因為兩名同學(xué)參加的活動與順序無關(guān)；C不是排列問題，因為取出的兩個字母與順序無關(guān)；D是排列問題，因為取出的兩個數(shù)字還需要按順序排成一列．
答案：AD
3．解析：＝＝6×5＝30.
答案：A
4．解析：由排列數(shù)公式可知原式為.
答案：B
5．解析：12，13，21，23，31，32共6個．
答案：6
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)是．選出的2人，擔(dān)任正、副班長人選，與順序有關(guān)，所以是排列問題．
(2)是．對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值有關(guān)系，與順序有關(guān)．
(3)是．起點站或終點站不同，則車票不同，與順序有關(guān)．
(4)不是．只是選出3個座位，與順序無關(guān)．
鞏固訓(xùn)練1　解析：對①，植樹和種菜是不同的，存在順序問題，是排列問題；
對②，不存在順序問題，不是排列問題；
對③，存在順序問題，是排列問題；
對④，兩個數(shù)相除與這兩個數(shù)的順序有關(guān)，是排列問題．
答案：①③④
例2　解析：(1)原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
(2)由＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
(3)∵n＋3≤2n，n＋1≤4，且n∈N＋，
∴n＝3，
+＝6?。??。?44.
答案：(1)D　(2)5　(3)744
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)由排列數(shù)公式或特殊值知B正確．
＝＝7×6－6＝36.
(3)易知n＝17，又4＝n－m＋1＝18－m，所以m＝14.
答案：(1)B　(2)D　(3)17　14
例3　解析：(1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有＝2 520(種)排法．
(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有＝5 040(種)排法．
(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有女生必須站在一起，是女生的全排列種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有＝288(種)排法．
(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排共有種排放，故共有＝1 440(種)排法．
(5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個位置中安排甲，有＝5(種)排法；再安排其他人，有＝720(種)排法．所以共有＝3 600(種)排法．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端共有4個位置，再把三人帶椅子插在這四個位置中，共有＝24種放法．
(2)方法一　從人(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：
第1類，甲不參賽，有
第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種排法，然后安排其他三棒，有種參賽方案
＝240(種)．
方法二　從位置角度考慮，優(yōu)先考慮第一棒和第四棒，則這兩棒可以從除甲外的5人中選2人，有種選法；其余兩棒從剩余4人中選，有種選法．
＝240(種)．
方法三(間接法)　不考慮甲的約束條件，有安排方法，甲跑第一棒或第四棒有安排方法，所以甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有＝240(種)．
解析：(3)方法一(整體法)　5個元素?zé)o約束條件的全排列有排法，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此，上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有×2＝40(種)．
方法二(插空法)　若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入這時形成的4個空中，分兩類：
第一類，若字母D，E相鄰，則有
第二類，若字母D，E不相鄰，則有種排法，
則不同的排列方法有＝20(種)．
同理，字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法，
因此，滿足條件的排列方法有20＋20＝40(種)．
答案：(1)D　(2)B　(3)404.3　組合
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)通過實例，理解組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式．
(2)能解決簡單的實際問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點
要點一　組合
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，不論次序 地構(gòu)成一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
要點二　組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素，所有不同組合的個數(shù)叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù) ，用符號表示．
要點三　組合數(shù)公式及其性質(zhì)
＝________＝________．
＝1；＝________；＝________．
批注 　取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求．
批注 　從集合的角度理解組合數(shù)的概念．例如，從3個不同的元素a，b，c中任取2個的所有組合構(gòu)成的集合為A＝{ab，ac，bc}，則組合數(shù)即為集合A的元素個數(shù)．
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合是.(　　)
(2)從a，b，c，d中選取2個合成一組，其中a，b與b，a是同一個組合．(　　)
(3)“從3個不同元素中取出2個合成一組”，叫作“從3個不同元素中取出2個的組合數(shù)”．(　　)
(4)組合和排列一樣，都與“順序”有關(guān)．(　　)
2．(多選)下列問題中是組合問題的是(　　)
A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)去參加兩個社區(qū)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法？
B．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，有多少種不同的選法？
C．3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？
D．3本相同的書分給5名同學(xué)，每人一本，有多少種分配方法？
3．若＝28，則n＝(　　)
A．9　　　B．8 C．7　　　D．6
4．學(xué)校要求學(xué)生從物理、歷史、化學(xué)、生物、政治、地理這6科中選3科參加考試，規(guī)定先從物理和歷史中任選1科，然后從其他4科中任選2科，不同的選法種數(shù)為(　　)
A．5　　　B．12 C．20　　　D．120
5．現(xiàn)有6名黨員，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數(shù)為________．
　　題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　與組合數(shù)公式相關(guān)的計算
例1　(1)若＝，則＝(　　)
A．380　　 B．190
C．18　 D．9
(2)化簡：＝________；
(3)已知＝，則n＝________．
方法歸納
進(jìn)行組合數(shù)的相關(guān)計算時，注意以下幾點：
(1)像排列數(shù)公式一樣，公式＝一般用于計算，而公式＝及一般用于證明、解方程(不等式)等．
(2)當(dāng)m>時計算，用性質(zhì)＝轉(zhuǎn)化，減少計算量．
鞏固訓(xùn)練1　的值為(　　)
A．72　　　B．36 C．30　　　D．42
(2)已知＝，則x的值是(　　)
A．2　　　 B．6 C．　　　 D．2或6
(3)計算：＝________．
題型2　組合問題
例2　某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？
(1)只有一名女生；
(2)兩隊長當(dāng)選；
(3)至少有一名隊長當(dāng)選；
(4)至多有兩名女生當(dāng)選；
(5)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選．
方法歸納
組合問題常有的兩種題型變化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．
鞏固訓(xùn)練2　(1)某乒乓球隊有9名隊員，其中有兩名種子選手，現(xiàn)要選5名隊員參加運動會，種子選手都必須在內(nèi)，則不同的選法有(　　)
種　種種　種
(2)[2022·湖南雅禮中學(xué)]從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人，組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)
題型3　分組與分配問題
例3　6本不同的書，按下列要求分組或分配，求各有多少種不同的分法．
(1)平均分給甲、乙、丙三人，每人2本；
(2)平均分為三份，每份2本；
(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；
(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
(5)分成三份，一份4本，另外兩份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人得1本；
(7)分給甲、乙、丙三人，甲1本，乙2本，丙3本；
(8)甲3本，另外兩人中有1人1本，1人2本．
方法歸納
1．分組問題注意以下幾點：
(1)整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．
(2)部分均分問題，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．
(3)不等分問題，解題時需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
(4)分組與分配問題是排列、組合問題的綜合應(yīng)用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．
2．解決分組與分配問題的步驟：
第一，要弄清分配問題與分組問題的不同．把n個不同元素按照某些條件分配給k個不同的對象，稱為分配問題，分成k組，稱為分組問題．
第二，解決分配問題，應(yīng)先分組再分配．
鞏固訓(xùn)練3　(1)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)
A. 120種 B. 90種
C. 60種 D. 30種
(2)有4名優(yōu)秀學(xué)生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案共有________種．
易錯辨析　忽略元素?zé)o序，造成計數(shù)重復(fù)
例4　5本不同的書全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少一本，不同的分法種數(shù)為________．
解析：先把5本書分成4堆，然后分給4名同學(xué)．第1步，從5本書中任意取出2本捆綁成一個整體，有第2步，把4堆書分給4名同學(xué)，由分步乘法計數(shù)原理知，不同的分法種數(shù)為＝240.
答案：240
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
解答此題時易得到如下錯解： 先從5本書中取4本分給4名同學(xué)，有種方法，剩下的1本書可以給任意一名同學(xué)，有4種分法，不同的分法種數(shù)為＝480. 該解題過程中出現(xiàn)了重復(fù)選取的情況．設(shè)5本書分別為a，b，c，d，e，4名同學(xué)分別為甲、乙、丙、?。凑丈鲜龇址赡苡腥缦碌谋?和表2： 表1 甲乙丙丁abcde
表2 甲乙丙丁ebcda
表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲．從結(jié)果上看以上兩種情況是完全相同的，而在計數(shù)時把它們當(dāng)成了不同的情況，造成重復(fù)計數(shù)． 對于元素?zé)o序的分配問題，一般不能采用分步計數(shù)，而是采取先選后排的方法，即可避免重復(fù)計數(shù)．
4．3　組合
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點]
要點三
(1)
(2)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：AC與順序有關(guān)，是排列問題；BD與順序無關(guān)，是組合問題．
答案：BD
3．解析：＝＝28，解得n＝8.
答案：B
4．解析：從物理和歷史中任選1科，有＝2種，然后從其他4科中任選2科，有＝6種，共有2×6＝12種．
答案：B
5．解析：由題意得，不同選法的種數(shù)為＝15.
答案：15
題型探究·課堂解透
例1　解析：＝，∴n＝18，
＝＝＝＝190.
(2)原式＝＝0.
(3)根據(jù)題意，
由組合數(shù)的性質(zhì)，可得＝，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
答案：(1)B　(2)0　(3)14
鞏固訓(xùn)練1　解析：＝15＋21＝36.
(2)由題可得，解得2≤x≤8，
結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)＝可得x－2＝2x－4或(x－2)＋(2x－4)＝12，
解得x＝2或x＝6.
＝＝＝＝5 050.
答案：(1)B　(2)D　(3)5 050
例2　解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350(種)．
(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有＝165(種)．
(3)至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長．故共有：＝825(種)或采用排除法：＝825(種)．
(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生．故選法共有：＝966(種)．
(5)分兩類：第一類女隊長當(dāng)選，選法種數(shù)為
第二類女隊長不當(dāng)選，選法種數(shù)為
＝790(種)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)只需再從其他7名隊員中選3人，即種選法．
(2)第一類，先選1女3男，有種，這4人選2人作為隊長和副隊有故有40×12＝480 種；第二類，先選2女2男，有＝15種，這4人選2人作為隊長和副隊長有＝12種，故有15×12＝180種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有480＋180＝660種．
答案：(1)C　(2)660
例3　解析：(1)這是平均分配問題，分3步．
第一步：從6本書中選2本給甲，有
第二步：從其余的4本書中選2本給乙，有
第三步：把余下的2本書全部給丙，有根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有＝90種不同的分法．
(2)這是平均分組問題，共有＝15種不同的分法．
(3)這是不平均分組問題，共有＝60種不同的分法．
(4)這是不平均分配問題，在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以共有＝360種不同的分法．
(5)這是部分均勻分組問題，共有＝15種分法．
解析：(6)這是部分均勻分配問題，在(5)的基礎(chǔ)上再分配給甲、乙、丙三人，共有＝90種不同的分法．
(7)這是直接分配問題，從6本不同的書中選1本分配給甲，有種方法，再從剩下的5本不同的書中選2本分配給乙，有種方法，最后剩下的3本不同的書全給丙，有
＝60種不同的分法．(注意與(4)的區(qū)別)
(8)由于甲的書本數(shù)已知，先給甲選書，有選法．再把剩下的3本書分成本數(shù)分別為1，2的兩份，有
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有＝120種不同的分法．
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)首先從6名同學(xué)中選1名去甲場館，方法數(shù)有
然后從其余5名同學(xué)中選2名去乙場館，方法數(shù)有
最后剩下的3名同學(xué)去丙場館
＝6×10＝60種．
(2)先把4名學(xué)生分為2，1，1共3組，有＝6(種)分法，再將3組對應(yīng)3個學(xué)校，有＝6(種)情況，則共有6×6＝36(種)不同的保送方案．
答案：(1)C　(2)36　4．4　二項式定理(1)
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理．
(2)會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點
要點一　二項式定理
(a＋b)n＝bn ，這個公式稱為二項式定理，右邊的多項式叫作(a＋b)n的二項展開式，一共有n＋1項，其中各項的系數(shù) (其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫作二項式系數(shù)．
在二項式定理中，如果設(shè)a＝1，b＝x，則(1＋x)n＝xn.
要點二　二項展開式的通項
二項展開式中的an－rbr叫作二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項為展開式的第r＋1項：Tr＋1＝an－rbr .
批注 　(1)展開式共有n＋1項，各項的次數(shù)都是n；
(2)字母a按降冪排列，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0逐項加1直到n.
批注 　(1)通項是二項展開式的第r＋1項，而不是第r項；
(2)(a＋b)n與(b＋a)n的二項展開式相同，但是(a＋b)n的第r＋1項為an－rbr，(b＋a)n的第r＋1項為bn－rar.因此，應(yīng)用二項式定理時，a與b是不能隨便交換位置的．
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)(a＋b)n展開式中共有n項．(　　)
(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響．(　　)
an－rbr是(a＋b)n展開式中的第r項．(　　)
(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項展開式的二項式系數(shù)相同．(　　)
2．(x－)n的展開式共有11項，則n等于(　　)
A．9　　 B．10　 C．11　 D．8
3．(1－5x)5展開式中的第2項為(　　)
A．－25x B．25x
C．－25 D．250x2
4．在(1－2x)4的展開式中，x3的系數(shù)為(　　)
A．48 B．32
C．－48 D．－32
5．用二項式定理展開(2x－1)4＝________．
　題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　二項式定理的正用、逆用
例1　(1)寫出展開式：(2x－)5；
(2)化簡：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
方法歸納
運用二項式定理解題的兩個策略
鞏固訓(xùn)練1　(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，則S等于(　　)
A．x4　 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
(2)(x＋)6的展開式為________．
題型2　求二項展開式中與特定項相關(guān)的量
角度1　二項展開式中的特定項問題
例2　(1)在(－2)5的展開式中，x2的系數(shù)為(　　)
A．－5　 B．5
C．－10 D．10
(2)在二項式(x－)12的展開式中，求①第4項；②常數(shù)項；③有理項．
方法歸納
二項展開式的通項Tr＋1＝an－rbr的主要作用是求展開式中的特定項，常見的題型有：①求第r項；②求含xr(或xpyq)的項；③求常數(shù)項；④求有理項．其中求有理項時一般根據(jù)通項，找出未知數(shù)的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性來求解．另外，若通項中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以簡化運算．
鞏固訓(xùn)練2　(1)二項式(1＋2x)7的展開式中含x3項的系數(shù)為(　　)
A．35　　B．70 C．140　　D．280
(2)(2x＋)6的展開式中，常數(shù)項為________．
角度2　兩個二項式積的展開式中的特定項問題
例3　[2022·湖南懷化月考](x2＋1)(－2)5展開式的常數(shù)項為(　　)
A．112　　　B．48 C．－112　　D．－48
方法歸納
求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N＋)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟
鞏固訓(xùn)練3　(x2＋1)(2x＋1)6展開式的x2的系數(shù)是________．
角度3　形如(a＋b＋c)n的展開式中的特定項問題
例4　(x2＋3x－1)4的展開式中x的系數(shù)為(　　)
A．－4　 B．－8
C．－12　　 D．－16
方法歸納
求形如(a＋b＋c)n(n∈N＋)的展開式中與特定項相關(guān)的量的3種方法
鞏固訓(xùn)練4　(x－－1)4的展開式中，常數(shù)項為________．
題型3　根據(jù)特定項及系數(shù)求參數(shù)
例5　(1)[2022·湖南衡陽測試]已知(x＋)6的展開式中的常數(shù)項為－160，則實數(shù)a＝(　　)
A．2 B．－2
C．8 D．－8
(2)若(2－ax)5(x＋1)2展開式中x2的系數(shù)為272，則實數(shù)a＝________．
方法歸納
已知二項展開式中的特定項的系數(shù)求參數(shù)，一般是利用通項公式并進(jìn)行化簡后，令字母的指數(shù)符合要求(常數(shù)項的指數(shù)為零；有理項的指數(shù)為整數(shù)等)，解出r，代回通項公式解方程即可求出參數(shù)．
鞏固訓(xùn)練5　(1)[2022·湖南長郡中學(xué)月考]設(shè)的展開式中x3的系數(shù)為a，則a的值為________；
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0，則正實數(shù)a＝________．
易錯辨析　混淆項的系數(shù)與二項式系數(shù)
例6　設(shè)(x－)n(n∈N*)的展開式中第二項與第四項的系數(shù)之比為1∶2，求含x2的項．
解析：由題設(shè)，得T2＝xn－1(－)＝－nxn－1，
T4＝xn－3(－)3＝n－3
＝，化簡得n2－3n－4＝0，
解得n＝4或n＝－1(舍去)．
(x－)4的展開式的通項為
Tr＋1＝x4－r
令4－r＝2，則r＝2，所以含x2的項為x2＝12x2.
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
求解本題易將“二項展開式的某項的系數(shù)”與“二項展開式的某項的二項式系數(shù)”混為一談，得到如下錯解． (x－)n的展開式中第二項與第四項的系數(shù)分別為＝1∶2，化簡得n2－3n－10＝0.又n∈N*，所以n＝5. (x－)5的展開式的通項式為Tr＋1＝x5－r令5－r＝2，則r＝3，所以含x2的項為x2. (a＋b)n的展開式中的第r＋1項的二項式系數(shù)是 (r＝0，1，2，…，n)，僅與n，r有關(guān)；第r＋1項的系數(shù)不是二項式系數(shù)，但有時這個系數(shù)與二項式系數(shù)相等．注意二項式系數(shù)一定為正，而對應(yīng)項的系數(shù)可能為負(fù)．
4．4　二項式定理(1)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：(x－)n的展開式共有n＋1項，所以n＋1＝11，故n＝10.
答案：B
3．解析：(1－5x)5展開式中的第2項為·(－5x)＝－25x.
答案：A
4．解析：Tr＋1＝(－2x)r＝(－2)rxr，
所以x3的系數(shù)為×(－2)3＝－32.
答案：D
5．解析：(2x－1)4＝4(－1)031(2x)2(－1)2(2x)1(－1)3(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
答案：16x4－32x3＋24x2－8x＋1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)方法一　(2x－)5＝(2x)5 (2x)41 (2x)32 (2x)23(2x)14(2x)0(－)5＝32x5－120x2＋.
方法二　(2x－)5＝()5＝(4x3－3)5＝(4x3)50(4x3)41(4x3)32(4x3)23(4x3)14(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋.
(2)原式＝54321(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝32＝((x－1)＋1)4＝x4.
(2)根據(jù)二項式定理，
(x＋)6＝(x＋x－1)6＝+－5＋
x－6＝x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6.
答案：(1)A　(2)x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6
例2　解析：(1)Tr＋1＝)5－r(－2)r＝r
令＝2，得r＝1，
∴T2＝(－2)x2＝－10x2，
所以x2的系數(shù)為－10.
(2)二項展開式的通項
Tr＋1＝x12－r(－)r＝
①令r＝3，則T4＝＝－220x8.
②令12－r＝0，則r＝9，從而，常數(shù)項為＝－220.
③當(dāng)r＝0，3，6，9，12時，Tr＋1是有理項，分別為T1＝x12，T4＝x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝＝－220，T13＝x－4.
答案：(1)C　(2)見解析
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)Tr＋1＝(2x)r，所以x3的系數(shù)為×23＝280.
(2)(2x＋)6的展開式通項為Tr＋1＝(2x)6－r·()r＝·x6－2r，r∈N，r≤6，
令6－2r＝0，得r＝3，則T4＝＝8×20＝160，
所以常數(shù)項為160.
答案：(1)D　(2)160
例3　解析：展開式的常數(shù)項為(－2)3＋(－2)5＝－112.
答案：C
鞏固訓(xùn)練3　解析：(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，
二項式(2x＋1)6的通項為Tr＋1＝(2x)6－r.
所以當(dāng)r＝6時，x2的系數(shù)為＝1.
當(dāng)r＝4時，x2的系數(shù)為＝60.
所以(x2＋1)(2x＋1)6展開式的x2的系數(shù)為1＋60＝61.
答案：61
例4　解析：(x2＋3x－1)4＝(x2＋3x)(x2＋3x)2(x2＋3x)＋1，
又(x2＋3x)r的二項展開式的通項Tk＋1＝(x2)r－k(3x)k＝·3k·x2r－k，
當(dāng)且僅當(dāng)r＝1，k＝1時符合題意，
所以(x2＋3x－1)4的展開式中x的系數(shù)為·3＝－12.
答案：C
鞏固訓(xùn)練4　解析：(x－－1)4＝[－1＋(x－)]4，
∴Tk＋1＝(－1)4－k(x－)k(k＝0，1，2，3，4)，
k＝0時，T1＝1，(x－)k的展開式的通項為Tr＋1＝xk－r(－)r＝xk－2r(r≤k)，
令k＝2r可得或，
∴常數(shù)項為1－12＋6＝－5.
答案：－5
例5　解析：(1)(x＋)6展開式的通項為：Tr＋1＝·x6－r·()r＝·x6－2r·ar，
取r＝3得到常數(shù)項為·a3＝20a3＝－160，解得a＝－2.
(2)因為(2－ax)5(x＋1)2＝(x2＋2x＋1)(2－ax)5，
又因為(2－ax)5二項式的展開式的通項公式為Tr＋1＝25－r(－ax)r＝25－r(－a)rxr，
所以(2－ax)5(x＋1)2展開式中x2的系數(shù)為
×23·(－a)2＝272，
解得：a＝3或－1.
答案：(1)B　(2)3或－1
鞏固訓(xùn)練5　解析：(1)(x－)6的展開式的通項是Tr＋1＝x6－r(－)r＝r
令6－＝3，解得r＝2，
因此，x3的系數(shù)為a＝(－2)2＝60.
(2)(ax＋1)6的展形式中含x2項的系數(shù)為a2，含x項的系數(shù)為a，由(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數(shù)為0，可得a＝0，因為a為正實數(shù)，所以15a＝6，所以a＝.
答案：(1)60　(2)4.4　二項式定理(2)
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)了解楊輝三角．
(2)掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)．
(3)會用賦值法求系數(shù)的和．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點
要點一　楊輝三角的特點
(1)每一行兩端都是數(shù)字________．
(2)其余位置上的每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的________．
要點二　二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對稱性：二項式系數(shù)f(r)關(guān)于直線r＝對稱，即f(r)＝f(n－r)．在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即________．
(2)單調(diào)性和最大值：二項式系數(shù)f(r)從兩端向中間逐漸增大，且當(dāng)n是偶數(shù)時，展開式的項數(shù)n＋1是奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)________取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，展開式的項數(shù)n＋1是偶數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)________相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式系數(shù)的和：
+
＋…＝________．
批注 　也可以從集合的角度解釋．設(shè)A是含有n個元素的集合，求A的子集個數(shù)時，可以按照子集中含有元素的個數(shù)進(jìn)行分類：沒有元素的子集(即空集)有含1個元素的子集有含2個元素的子集有含n個元素的子集有，故所有子集的個數(shù)為＝2n.
基 礎(chǔ) 自 測　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)(a＋b)n的展開式中，二項式系數(shù)具有對稱性．(　　)
(2)二項展開式的二項式系數(shù)和為.(　　)
(3)二項式展開式的偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項系數(shù)和．(　　)
(4)二項展開式項的系數(shù)是先增后減的．(　　)
2．(1－x)5的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和是(　　)
A．0　　　B．－1 C．－32　　　D．32
3．二項式的展開式中所有項的系數(shù)和是(　　)
A．38　　　B．28 C．1　　　D．－1
4．若展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則n＝(　　)
A．11　　　B．10 C．9　　　 D．8
5．(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝________．
　題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性
題型1　與“楊輝三角”有關(guān)的問題
例1　[2022·山東膠州測試]楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家．在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式(a＋b)n(n＝1，2，3，…)展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱做“開方做法本源”，這就是著名的“楊輝三角”，它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其它每一個數(shù)值是它上面的兩個數(shù)值之和，該三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示．某行中只有一項最大，且為252，該行是第(　　)行
A．12　　　B．11 C．10　　　D．9
方法歸納
解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般方法是：觀察——分析，實驗——猜想結(jié)論——證明，要得出楊輝三角中的數(shù)字的諸多排列規(guī)律，取決于我們的觀察能力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察(橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同)．
鞏固訓(xùn)練1　如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第________行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2∶3.
題型2　二項式系數(shù)和與各項的系數(shù)和問題
例2　(1)在(x＋)n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值為32，則x2的系數(shù)為(　　)
A．50　　　B．70 C．90　　　D．120
(2)[2022·湖南長沙測試](多選)已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021，下列命題中，正確的是(　　)
A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為22 021
B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為
C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為
D．＋…＋＝－1
方法歸納
二項展開式中系數(shù)和的求法
(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)；奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝；偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
鞏固訓(xùn)練2　(1)在(3x2－)n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為(　　)
A．－32　 　B．0 C．32　　　D．1
(2)已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝________．
題型3　展開式中系數(shù)最大問題
例3　已知(＋2x)n的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于37，求：
(1)展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；
(2)展開式中系數(shù)最大的項．
方法歸納
1．求二項式系數(shù)最大的方法
根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．
2．求系數(shù)最大項的方法
一般采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第r＋1項系數(shù)最大，應(yīng)用解出r，即得系數(shù)最大項．
鞏固訓(xùn)練3　(1)[2022·湖南雅禮中學(xué)測試]若()n的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是________；
(2)展開式(1＋3x2)5中系數(shù)最大的項為________．
易錯辨析　錯用二項式系數(shù)的性質(zhì)
例4　(1＋2x)20的展開式中，x的奇次項系數(shù)的和與x的偶次項系數(shù)的和各是多少？
解析：設(shè)x的奇次項系數(shù)的和為A，x的偶次項系數(shù)的和為B，則令x＝1，得A＋B＝320，
x＝－1，得B－A＝1，
∴2B＝320＋1，∴B＝，A＝.
即奇次項系數(shù)的和為，偶次項系數(shù)的和為.
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
求解本題，容易出現(xiàn)下列兩種錯誤． 錯解一：∵二項展開式中奇次項系數(shù)的和與偶次項系數(shù)的和相同，∴奇次項系數(shù)的和與偶次項系數(shù)的和均為219. 錯解二：由二項展開式知x的奇次項系數(shù)的和為219 的偶次項系數(shù)的和為·220.錯解一是將系數(shù)和與二項式系數(shù)和混淆了；錯解二解法欠妥，很難求出數(shù)值．其原因在于沒把握住求系數(shù)和的根本方法． 對于求系數(shù)和的問題，要注意用賦值法解決．奇、偶次項是針對x的指數(shù)而言，奇、偶數(shù)項是針對第幾項而言．
4．4　二項式定理(2)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點]
要點一
(1)1　(2)和
要點二
＝　(3)2n－1
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：(1－x)5的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為25＝32.
答案：D
3．解析：令x＝1，可得(1－)8＝1，即二項式(x－)8的展開式中所有項的系數(shù)和為1.
答案：C
4．解析：由題意，()n展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得展開式共有11項，所以n＝10.
答案：B
5．解析：因為(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，
所以令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(2－1)10＝1.
答案：1
題型探究·課堂解透
例1　解析：因為某行中只有一項最大，且為252，
所以行數(shù)n為偶數(shù)，因為
所以n＝10
答案：C
＝，即＝，∴n＝34.
答案：34
例2　解析：(1)令x＝1，得各項系數(shù)和為4n，又二項式系數(shù)和為2n，所以由題意知2n＝32，得n＝5，二項展開式的通項為Tr＋1＝x5－r()r＝r＝2，得r＝2，所以x2的系數(shù)為32＝90.
(2)對于選項A：由二項式定理知：＝(1＋1)2 021＝22 021，正確；
當(dāng)x＝1時，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝－1，當(dāng)x＝－1有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 020－a2 021＝32 021，
對于選項B：由上，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，錯誤；對于選項C：由上，可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝，正確；對于選項D：由二項式展開式的通項知：Tr＋1＝(－2x)r＝xr，則a1＝，a2＝，…，a2 021＝，所以＋…＋＝＝＝－1，正確．
答案：(1)C　(2)ACD
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)由題意知2n＝32，得n＝5.令x＝1，可得展開式中各項系數(shù)的和為(3×12－1)5＝32.
(2)由題知：(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，a0，a2，a4為正數(shù)，a1，a3，a5為負(fù)數(shù)，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.
令x＝－1得：(1＋2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝243.
答案：(1)C　(2)243
例3　解析：
(2)設(shè)二項展開式的第r＋1項的系數(shù)最大，
則
解得7≤r≤8，所以展開式中系數(shù)最大的項為第8項或第9項，即T8＝)1·27·x7＝28x7，T9＝)0·28·x8＝28x8.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)Tr＋1＝)n－r(－)r＝，
由題意知當(dāng)n＝10時，展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大．
令＝0，r＝2，
所以常數(shù)項為＝180.
(2)展開式為Tr＋1＝×15－r×(3x2)r＝x2r
，即，
解得≤r≤，
因此r＝4，即展開式中第5項系數(shù)最大，
T5＝x8＝405x8.
答案：(1)180　(2)405x8章末復(fù)習(xí)課
知識網(wǎng)絡(luò)·形成體系
本章自我梳理：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考點聚焦·分類突破
考點一　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
(1)應(yīng)用兩個原理解決有關(guān)計數(shù)問題的關(guān)鍵是區(qū)分事件是分類完成還是分步完成，而分類與分步的區(qū)別又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分類，否則便是分步．對于有些較復(fù)雜問題可能既要分類又要分步，此時，應(yīng)注意層次分明，不重不漏．
(2)通過對兩個計數(shù)原理的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例1　(1)某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為(　　)
A．14　　　B．16　　　C．20　　　D．48
(2)如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給區(qū)域著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種．(以數(shù)字作答)
考點二　排列組合應(yīng)用
1．處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟：
(1)認(rèn)真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題．
(2)抓住問題的本質(zhì)特征，準(zhǔn)確合理地利用兩個基本原理進(jìn)行“分類與分步”
2．排列組合應(yīng)用題的常見類型和解決方法：
(1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略．
(2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略．
(3)正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略．
(4)相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法的策略．
(5)元素定序，先排后除的策略．
(6)排列、組合混合題先選后排策略．
(7)復(fù)雜問題構(gòu)造模型策略．
3．通過對排列組合應(yīng)用的掌握，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例2　用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)有多少個？
例3　在某貧困村舉行的一次脫貧攻堅文藝匯報活動中有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目．
(1)當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？
(2)當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？
(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？
例4　從12人中選出5人去參加一項活動，按下列要求，有多少種不同選法？
(1)A，B，C三人至少一人入選；
(2)A，B，C三人至多二人入選.
例5　現(xiàn)有4個不同的球和4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
(1)共有多少種不同的放法？
(2)若每個盒子不空，共有多少種不同的放法？
(3)若恰有一個盒子不放球，共有多少種放法？
(4)若恰有兩個盒子不放球，共有多少種放法？
考點三　二項式定理的應(yīng)用
(1)對于二項式定理的考查常出現(xiàn)兩類問題：一類是直接運用通項公式來求特定項；另一類需要運用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項式定理來處理問題．
(2)通過對二項式定理的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例6　(1)(2x－)7展開式中x－2的系數(shù)為(　　)
A．－14　　B．14 C．－84　　D．84
(2)已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為(　　)
A．－80　　B．－40 C．40　　D．80
(3)[2022·湖南師大附中測試]()2n(n∈N*)展開式中只有第6項系數(shù)最大，則其常數(shù)項為________．
例7　(1)設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為________．
(2)設(shè)(2－x)100＝，求下列各式的值．
①a1＋a3＋a5＋…＋a99；
②(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
③|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
章末復(fù)習(xí)課
例1　解析：(1)分兩類，第1類：甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另兩個發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，由分步乘法計數(shù)原理，得N1＝2×6＝12；
第2類：3人全來自其余4家企業(yè)，有N2＝4種情況．
綜上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(種)情況．
(2)涂①有4種方法；涂②有3種方法；涂③有2種方法；涂④時分兩類：當(dāng)④與②同色時，④有1種方法，⑤有2種方法；當(dāng)④與②不同色時，④有1種方法，⑤有1種方法．∴共有4×3×2×(1＋2)＝72種涂法．
答案：(1)B　(2)72
例2　解析：第一步：先將兩個偶數(shù)排好，有
第二步：兩個偶數(shù)之間的奇數(shù)，可以有
第三步：將兩個偶數(shù)和它們中間的奇數(shù)捆在一起，與另外兩個奇數(shù)排列，有種不同的排法．
由分步乘法計數(shù)原理，適合題意的五位數(shù)共有＝36個．
例3　解析：(1)第一步，先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有＝5 040(種)方法；第二步，再松綁，給4個節(jié)目排序，有＝24(種)方法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有5 040×24＝120 960(種)．
(2)第一步，將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，一共有＝720(種)排法．
第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)，這樣相當(dāng)于7個“×”選4個來排，一共有＝7×6×5×4＝840(種)．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720×840＝604 800(種)．
(3)若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有＝＝132(種)排法．
例4　解析：(1)解法一　(直接法)
可分三類，①A，B，C三人只選一人，有A，B，C三人中選擇二人，則還需從其余9人中選3人，有＝36種，所以A，B，C三人至少一人入選，共有378＋252＋36＝666種選法．
解法二　(間接法)
先從12人中任選5人，再減去A，B，C三個都不選的情況，共有＝666種．
(2)解法一　(直接法)
可分三類，①A，B，C三人都不入選，有A，B，C三人中選二人，有種，所以A，B，C三人至多二人入選，共有＝756種選法．
解法二　(間接法)
先從12人中任選5人，再減去A，B，C三人均入選的情況，即A，B，C三人至多二人入選，有＝756種選法．
例5　解析：(1)將4個不同的球放入4個不同的盒子，則共有44＝256(種)不同的放法．
(2)將4個不同的球放入4個不同的盒子，若每個盒子不空，則共有＝24(種)不同的放法．
(3)將4個不同的球放入4個不同的盒子，恰有一個盒子不放球，則共有＝144(種)不同的放法．
(4)將4個不同的球放入4個不同的盒子，恰有兩個盒子不放球，則共有)＝84(種)不同的放法．
例6　解析：
(3)由已知(n∈N＋)展開式中只有第6項系數(shù)為最大，所以展開式有11項，
所以2n＝10，即n＝5，又展開式的通項為
Tr＋1＝)10－r·＝，
令5－r＝0，解得r＝6，所以展開式的常數(shù)項為＝＝210.
答案：(1)B　(2)D　(3)210
例7　解析：(1)令x＋2＝1，即令x＝－1得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝[(－1)2＋1]·[2×(－1)＋1]9＝－2.
(2)①令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100，與(*)式聯(lián)立相減得
a1＋a3＋…＋a99＝.
②原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
③因為Tr＋1＝2100－r()rxr，所以a2r－1<0(r∈N＋)．
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.

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