資源簡介

4．1　成對數據的統計相關性
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　相關關系
1．散點圖：由坐標系及散點形成的數據圖．
2．相關關系：如果兩個變量之間的關系近似地表現為一條________，則稱它們有線性相關關系，簡稱為相關關系．
3．函數關系：如果一個變量的取值完全依賴于另一個變量，各觀測點落在一條直線上，則稱它們線性相關，這實際上就是函數關系．
4．相關系數：一般地，對于n個成對觀測數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，當數據{xi}，{yi}(i＝1，2，…，n)的標準差都不為0 時，我們稱r＝＝為{xi}，{yi}的相關系數．
批注 　當標準差為0時，數據{xi}，{yi}(i＝1，2，…，n)全部相同，表明數據離散程度為0.
5．相關系數的性質：
(1)rxy值范圍是[－1，1].當0(2) |rxy|越接近于1時，變量x，y的線性相關程度越高 ，這時數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一條直線附近．
(3)|rxy|越接近于0時，變量x，y的線性相關程度________．
(4)rxy具有對稱性，即rxy＝ryx.
(5)rxy僅僅是變量x與y之間線性相關程度的一個度量．rxy＝0只表示兩個變量之間不存在線性相關關系，并不說明變量之間沒有關系，它們之間可能存在非線性關系．
批注 　統計經驗告訴我們，當rxy>0.8時，y有隨著x的增加而增加的趨勢，這時我們認為{xi}和{yi}是高度正相關的；當rxy<0.8時，y有隨著x的增加而減少的趨勢，這時我們認為{xi}和{yi}是高度負相關的．
要點二　相關系數與向量夾角
把兩組成對數據分別看作n維空間的兩個向量(x1，x2，…，xn)，(y1，y2，…，yn)，向量夾角的大小可以用余弦來刻畫，我們就用余弦來刻畫兩個向量的相關關系．
設a＝(x1－x，x2－x，…，xn－x)，b＝(y1－y，y2－y，…，yn－y)，從
而有cos 〈a，b〉＝＝ .
當夾角在[0，)內時，余弦值越大表示兩個向量的夾角越小，兩組數據的正相關程度越高；余弦值越小表示兩個向量的夾角越大，兩組數據的正相關程度越低．
當夾角在(，π]內時，余弦值越大表示兩個向量的夾角越小，兩組數據的負相關程度越低；余弦值越小表示兩個向量的夾角越大，兩組數據的負相關程度越高．
當夾角為時，余弦值為0，說明兩組數據不相關．
批注 　用兩組成對數據表示的向量在原點處夾角的余弦值與相關系數公式本質上是一致的．
　基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若兩個變量正相關，則樣本相關系數大于0小于1.(　　)
(2)相關系數越大，兩個變量的相關性就越強．(　　)
(3)若相關系數r＝0，則兩變量x，y之間沒有關系．(　　)
2．下列兩個量之間的關系是相關關系的是(　　)
A．勻速直線運動中時間與位移的關系
B．學生的成績和身高
C．兒童的年齡與體重
D．物體的體積和質量
3．若變量y與x之間的樣本相關系數r＝－0.983 2，則變量y與x之間(　　)
A．具有很弱的線性相關關系
B．具有較強的線性相關關系
C．它們的線性相關關系還需要進一步確定
D．不確定
4．如圖所示的兩個變量具有相關關系的是________(填序號).
題型探究·課堂解透——強化創新性　
題型 1　線性相關關系
例1　某零售店近5個月的銷售額和利潤額資料如下表所示：
商店名稱 A B C D E
銷售額x/千萬元 3 5 6 7 9
利潤額y/百萬元 2 3 3 4 5
(1)根據上表數據作出散點圖；
(2)觀察散點判斷利潤額y關于銷售額x是否具有線性相關關系．如果具有線性相關關系，那么是正相關還是負相關？
方法歸納
兩個變量是否線性相關的判斷方法
鞏固訓練1　某個男孩的年齡與身高的統計數據如下表所示．
年齡x(歲) 1 2 3 4 5 6
身高y(cm) 78 87 98 108 115 120
(1)畫出散點圖；
(2)判斷y與x是否具有線性相關關系．
題型 2　相關系數
例2　互聯網使我們的生活日益便捷，網絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一調查機構針對該市市場占有率較高的甲、乙兩家網絡外賣企業(以下稱外賣甲、外賣乙)的經營情況進行了調查，調查結果如下表：
日期 1日 2日 3日 4日 5日
外賣甲日接單：x(百單) 5 2 9 8 11
外賣乙日接單：y(百單) 2 3 10 5 15
據統計表明，y與x之間具有線性相關關系，請用樣本相關系數r對y與x之間的相關性強弱進行判斷．(若|r|>0.8，則可認為y與x有較強的線性相關關系)
方法歸納
相關系數可以反映兩個變量之間的線性相關程度，即散點集中于一條直線的程度，其符號反映了相關關系的正負性．用相關系數能夠較準確的判斷相關的程度．
鞏固訓練2　科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據，如下表：
x(年齡/歲) 26 56 39 49 61 53 27 58 41 60
y(脂肪含量/%) 14.5 31.4 21.2 26.3 34.6 29.6 17.8 33.5 25.9 35.2
根據上表中的樣本數據，計算樣本相關系數(精確到0.01)，并推斷它們的相關關系及相關程度．
參考數據及公式：xiyi＝13 527.8，x＝23 638，y＝7 759.6，≈6.56，≈54.18，相關系數r＝.
題型 3　多組成對數據的相關性
例3　某電器銷售公司的管理人員認為，月銷售收入是廣告費用的函數．下面是該公司近8個月的月銷售收入與廣告費用數據，試分析其月銷售收入與電視廣告費用、月銷售收入與報紙廣告費用之間的相關關系．
月銷售收入x/萬元 電視廣告費用y/萬元 報紙廣告費用z/萬元
96 5 1.5
90 2 2
95 4 1.5
92 2.5 2.5
95 3 3.3
94 3.5 2.3
94 2.5 4.2
94 3 2.5
題型 4　相關系數與向量夾角
例4　用向量夾角分析例3中月銷售收入與電視廣告費用、月銷售收入與報紙廣告費用之間的相關關系．
4．1　成對數據的統計相關性
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
2.直線
5. (1)正相關 負相關 (3)越低
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：A、D是函數關系；B是不相關關系；C是相關關系，故選C.
答案：C
3．解析：變量y與x之間的樣本相關系數r＝－0.983 2，|r|＝0.983 2，接近1，樣本相關系數的絕對值越大，相關性越強，
∴變量y與x之間有較強的線性相關關系，故選B.
答案：B
4．解析：①是確定的函數關系；②中的點大都分布在一條曲線周圍；③中的點大都分布在一條直線周圍；④中點的分布沒有任何規律可言，x，y不具有相關關系．
答案：②③
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)散點圖如圖所示：
(2)由散點圖可知，所有散點接近一條直線排列，
所以利潤額與銷售額是線性相關關系，
由圖可知當銷售額增加時，利潤額呈現增加的趨勢，所以是正相關．
鞏固訓練1　解析：(1)散點圖如圖所示．
(2)由圖知，所有數據點接近一條直線排列，因此，認為y與x具有線性相關關系．
例2　解析：由題意知，x＝＝7,
y＝＝7，
樣本相關系數r＝＝≈0.857>0.8.
故可認為y與x有較強的線性相關關系．
鞏固訓練2　解析：x＝(26＋56＋39＋49＋61＋53＋27＋58＋41＋60)＝47，
y＝(14.5＋31.4＋21.2＋26.3＋34.6＋29.6＋17.8＋33.5＋25.9＋35.2)＝27，
r＝
＝
＝，
因為≈6.56，≈54.18，
所以r＝≈0.98，
由樣本相關系數r≈0.98，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關程度很強．
例3　解析：由題意可得x≈93.75，y≈3.187 5，z≈2.475，s＝(xi－x)2＝[(96－93.75)2＋(90－93.75)2＋…＋(94－93.75)2]≈3.188，
s＝(yi－y)2＝[(5－3.187 5)2＋(2－3.187 5)2＋…＋(3－3.187 5)2]≈0.809，
s＝(zi－z)2＝[(1.5－2.475)2＋(2－2.475)2＋…＋(2.5－2.475)2]≈0.727，
sxy＝－ y＝(96×5＋90×2＋…＋94×3)－93.75×3.187 5≈1.297，
sxz＝－ z＝(96×1.5＋90×2＋…＋94×2.5)－93.75×2.475≈－0.031，
所以rxy＝＝≈0.808，
rxz＝＝≈－0.020.
上述結果表明月銷售收入與電視廣告費用之間正相關程度高，月銷售收入與報紙廣告費用之間呈負相關關系．
例4　解析：由于x≈93.75，y≈3.187 5，z≈2.475，將例3表中的三組數據分別減去x，y，z．
記x＝(x1－x，x2－x，…，x8－x)，y＝(y1－y，y2－y，…，y8－y)，z＝(z1－z，z2－z，…，z8－z).
則可得
x＝(2.25，－3.75，1.25，－1.75，1.25，0.25，0.25，0.25)，
y＝(1.812 5，－1.187 5，0.812 5，－0.687 5，－0.187 5，0.312 5，－0.687 5，－0.187 5)，
z＝(－0.975，－0.475，－0.975，0.025，0.825，－0.175，1.725，0.025)，
于是有cos 〈x，y〉
＝
≈0.808，
cos 〈x，z〉
＝
≈－0.021.
由此可以看出，月銷售收入與電視廣告費用的余弦值較大，說明這兩組數據正相關程度高；月銷售收入與報紙廣告費用的余弦值為負數，說明這兩組數據呈負相關關系，且負相關程度較低．4．2.1　回歸直線方程
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　回歸分析
找出與散點圖中各點散布趨勢相似的直線，使各點經過或充分靠近該直線，這條直線叫作________，這條直線的方程叫作____________．由散點圖求出回歸直線并進行統計推斷的過程叫作回歸分析．
如果具有相關關系的兩個變量x，y可用方程y＝a＋bx來近似刻畫，則稱它為y關于x的一元線性回歸方程，其中a，b稱為回歸系數．
要點二　一元線性回歸模型
當自變量x取值xi(i＝1，2，…，n)時，將根據回歸直線方程估計出的與實際觀測值yi的誤差，即yi－＝yi－(xi)(i＝1，2，…，n)，稱為隨機誤差，記作ei.把yi＝xi＋ei(i＝1，2，…，n)，這一描述因變量y如何依賴于自變量x和隨機誤差ei的方程稱為一元線性回歸模型．
批注 　由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某條直線的附近，因此一元線性回歸模型反映了表示成對樣本數據的點散布于直線y＝a＋bx附近的線性相關關系．
要點三　最小二乘法
用隨機誤差的平方和即作為總隨機誤差來刻畫各估計值與實際值之間的誤差．若總隨機誤差最小，則這條直線就是所要求的回歸直線．由于平方又叫二乘方，所以這種使“隨機誤差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．
用最小二乘法求出的的計算公式為：
此時，用最小二乘法得到的回歸直線方程為＝x ，其中是回歸直線在y軸上的截距，是回歸直線的斜率
批注 　回歸直線一定過樣本中心()．
批注 　當>0時，一元線性回歸模型刻畫了正線性相關關系；當<0，一元線性回歸模型刻畫了負線性相關關系．
基 礎 自 測　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)線性回歸方程適用于一切樣本和總體．(　　)
(2)樣本取值的范圍會影響線性回歸方程的適用范圍．(　　)
(3)回歸直線方程得到的預測值是預測變量的精確值．(　　)
2．某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其回歸直線方程可能是(　　)
A．＝－10x＋200 B．＝10x＋200
C．＝－10x－200 D．＝10x－200
3．根據如下樣本數據，得到回歸直線方程為＝x，則(　　)
x 4 5 6 7 8 9
y 5.0 3.5 0.5 1.5 －1.0 －2.0
A.>0，>0 B．>0，<0
C.<0，>0 D．<0，<0
4．已知x與y之間的一組數據，則y與x的回歸直線方程＝x＋必過點________．
x 2 5 7 10
y 1 3 5 7
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型 1　求回歸直線方程
例1　某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)請畫出上表數據的散點圖；
(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程：＝x＋.
方法歸納
求回歸直線方程的基本步驟
鞏固訓練1　對于數據組：
x 2 3 4 5
y 1.9 4.1 6.1 7.9
(1)作散點圖，你能直觀上得到什么結論？
(2)求回歸直線方程．
題型 2　回歸分析
例2　甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量做回歸分析，分別得到散點圖與誤差平方和如下表：
項目 甲 乙 丙 丁
散點圖
隨機誤 差平方和 115 106 124 103
哪位同學的試驗結果擬合A，B兩變量關系的精度高？(　　)
A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
方法歸納
根據線性相關的知識可知，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時保持隨機誤差的平方和越小，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好．
鞏固訓練2　根據一組樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散點圖分析x與y之間具有線性相關關系，其回歸直線方程為y＝－0.42x＋12，則在樣本點(10，8.2)處的隨機誤差為(　　)
A．8.2 B．0.4 C．7.8 D．0.42
4．2.1　回歸直線方程
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
回歸直線　回歸直線方程
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：∵y與x負相關，∴排除B，D，又∵C項中x>0時，<0不合題意，∴C錯．故選A.
答案：A
3．解析：根據表中數據可知，隨著x的增加y減小，故y與x是負相關，故回歸直線斜率為負，故<0；再結合散點圖以及直線的性質，根據x＝4，5，6，7時y均為正可知回歸直線當x＝0時與y軸截距為正，故>0.故選B.
答案：B
4．解析：由數據可知：＝＝6；＝＝4，故線性回歸方程必過點(6，4)．
答案：(6，4)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)依題意可得散點圖如圖所示：
(2)＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，＝＝4－0.7×9＝－2.3，
故回歸直線方程為＝0.7x－2.3.
鞏固訓練1　解析：(1)
由圖知：兩個變量呈線性關系且正相關．
(2)由數據知：＝＝3.5，
＝＝5，
＝2×1.9＋3×4.1＋4×6.1＋5×7.9＝80，＝54，
所以＝＝＝2，令y＝x＋，則＝5－2×3.5＝－2，
綜上，回歸直線方程為y＝2x－2.
例2　解析：根據線性相關的知識可知，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時保持誤差平方和越小，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好．因此，由試驗結果知，丁精確度高一些．故選D.
答案：D
鞏固訓練2　解析：在回歸直線方程y＝－0.42x＋12中，當x＝10時，y＝7.8，所以在樣本點(10，8.2)處的隨機誤差為8.2－7.8＝0.4.故選B.
答案：B4.2.2　一元線性回歸模型的應用
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　運用一元線性回歸模型思想解決實際問題的基本步驟
1．確定研究對象，明確哪個變量是因變量，哪個變量是自變量；
2．運用相關系數的計算公式，分析自變量與因變量之間的關系；
3．運用最小二乘法原理估計一元線性回歸方程的系數，建立一元線性回歸方程；
4．根據一元線性回歸方程進行預測．
要點二　非線性回歸
當樣本點并沒有分布在某條直線附近時，不能直接利用線性回歸模型來刻畫兩個變量之間的關系，這就需要選擇一個比較合適的代換變量，將原始數據進行代換，目的是把變量間的非線性關系轉化為近似的線性關系，然后用建立線性回歸方程的方法確定直線方程．
基 礎 自 測　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)任何兩個變量都可以用一元線性回歸關系進行合理的描述．(　　)
(2)對于一個樣本，用最小二乘法估計得到的一元線性回歸方程參數估計值是唯一的．(　　)
(3)任何兩個相關關系的變量經過變換后都可以化為一元線性回歸關系．(　　)
2．在某線性回歸分析中，已知數據滿足線性回歸方程＝x＋，并且由觀測數據算得＝5，＝56，＝10.5，則當x＝10時，預測數值為(　　)
A．108.5 B．210
C．140 D．210.5
3．若某銷售人員的提成y(元)關于銷售業績x(千元)的線性回歸方程為＝50＋80x，則下列判斷正確的是(　　)
A．銷售業績為1 000元時，提成一定是130元
B．銷售業績每提高1 000元，則提成約提高80元
C．銷售業績每提高1 000元，則提成約提高130元
D．當提成為120元時，銷售業績約為2 000元
4．為了解某社區居民的家庭年收入x與年支出y的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，依據統計數據得到回歸直線方程＝0.76x＋0.4，據此估計，該社區一戶收入為15萬元家庭年支出為________萬元．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
題型 1　線性回歸方程的應用
例1　某書店剛剛上市了《中國古代數學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價x(元)試銷1天，得到如表單價x(元)與銷量y(冊)數據：
單價x(元) 18 19 20 21 22
銷量y(冊) 61 56 50 48 45
(1)根據表中數據，請建立y關于x的回歸直線方程；
(2)預計今后的銷售中，銷量y(冊)與單價x(元)服從(1)中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應定為多少元？
方法歸納
若已知y與x是線性相關關系，則可求出回歸方程進行估計和預測．否則，若兩個變量不具備相關關系或它們之間的相關關系不顯著，即使求出回歸方程也毫無意義．
鞏固訓練1　某公司為提高市場銷售業績，促進某產品的銷售，隨機調查了該產品的月銷售單價x(單位：元/件)及相應月銷售量y(單位：萬件)，對近5個月的月銷售單價xi和月銷售量yi(i＝1，2，3，4，5)的數據進行了統計，得到如下表數據：
月銷售單價xi(元/件) 10 15 20 25 30
月銷售量為yi(萬件) 11 10 8 6 5
(1)求y關于x的回歸直線方程；
(2)利用(1)的回歸方程，當該產品月銷售單價為x＝35元/件，月銷售量y的預測值為多少？
題型 2　非線性回歸方程的應用
例2　科研人員在研制新冠肺炎疫苗過程中，利用小白鼠進行接種實驗，現收集了小白鼠接種時的用藥量x(單位：毫克)和有效度y的7組數據，得到如下散點圖及其統計量的值：
(1)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋dx2哪一個更適合作為有效度y與用藥量x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
(3)若要使有效度達到75，則用藥量至少為多少毫克？
方法歸納
求非線性回歸方程的步驟
鞏固訓練2　在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數值如下表：
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
試建立y與x之間的線性回歸方程．
4．2.2　一元線性回歸模型的應用
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：線性回歸方程＝x＋中，x＝5，y＝56，＝10.5，
∴＝y－x＝56－10.5×5＝3.5，
∴線性回歸方程為＝10.5x＋3.5，
當x＝10時，預測數值＝10.5×10＋3.5＝108.5.故選A.
答案：A
3．解析：由線性回歸方程＝50＋80x，可知銷售業績每提高1 000元，則提成約提高80元．故選B.
答案：B
4．解析：令x＝15，所以＝0.76×15＋0.4＝11.8.
答案：11.8
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由表格數據知：x＝＝20，y＝＝52，
∴＝＝＝－4，＝52＋4×20＝132，
∴y關于x的回歸直線方程為＝－4x＋132.
(2)設獲得的利潤為W，則W＝(x－12)y＝(x－12)(－4x＋132)＝－4x2＋180x－1 584，
∴當x＝－＝22.5(元)時，W取得最大值，
即為了獲得最大利潤，該冊書的單價應定為22.5元．
鞏固訓練1　解析：(1)x＝＝20，y＝＝8，
＝＝＝－，
＝8＋×20＝，
所以y關于x的回歸直線方程為y＝－x＋.
(2)當x＝35時，y＝－×35＋＝，
所以當該產品月銷售單價為x＝35元/件，月銷售量y的預測值為萬件．
例2　解析：(1)由散點圖知，y與x是非線性相關關系，所以y＝c＋dx2更適合作為有效度y與用藥量x的回歸方程類型．
(2)令ωi＝x，則y＝c＋dω，
∴＝＝＝1.6，
＝y－ω＝13.4－1.6×10.5＝－3.4，
∴＝－3.4＋1.6ω，
故y關于x的回歸方程為＝－3.4＋1.6x2.
(3)當＝75時，有75＝－3.4＋1.6x2，解得x＝7，
故要使有效度達到75，則用藥量至少為7毫克．
鞏固訓練2　解析：作出變量y與x之間的散點圖，如圖所示．
由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數關系．
設y＝，令t＝，則y＝kt.
由y與x的數據表可得y與t的數據表：
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2 1
作出y與t的散點圖，如圖所示：
由圖可知y與t近似地呈線性相關關系．
又t＝1.55，y＝7.2，＝94.25，＝21.312 5，
＝＝≈4.134 4，
＝y－t＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，∴＝4.134 4t＋0.8.
所以y與x的線性回歸方程是＝＋0.8.第1課時　獨立性檢驗(1)
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　列聯表
1．定義：將兩個(或兩個以上)分類變量 進行交叉分類得到的頻數分布表稱為列聯表．
2．2×2列聯表：一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為：
y1 y2 合計
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
批注 　分類變量是說明事物類別的一個名稱，其取值是分類依據．如“性別”是一個分類變量，其變量值為“男”或“女”．
要點二　獨立性檢驗
利用統計量χ2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
當χ2的取值較大時，表示假設H0不成立 .一般地，若χ2的觀測值x0≥6.635，說明H0不成立，從而認為兩個分類變量有關系，這種推斷犯錯誤的概率不超過0.01.
批注 　χ2取值越大，則變量X與Y不獨立，χ2取值越小，則變量X與Y獨立，X與Y不具有關聯性．
基 礎 自 測　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)列聯表中的數據是兩個事件的頻數．(　　)
(2)事件A與B的獨立性檢驗無關，即兩個事件互不影響．(　　)
(3)χ2的大小是判斷事件A與B是否相關的統計量．(　　)
2．為調查中學生近視情況，測得某校150名男生中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時，用下列哪種方法最有說服力(　　)
A.回歸分析 B．均值與方差
C.獨立性檢驗 D．概率
3．在吸煙與患肺病是否有關的研究中，下列屬于兩個分類變量的是(　　)
A.吸煙，不吸煙
B.患病，不患病
C.是否吸煙，是否患病
D.以上都不對
4．下面是一個2×2列聯表，則表中a處的值為________．
y1 y2 合計
x1 a b 73
x2 2 25 c
合計 d 46
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型 1　隨機變量χ2的意義
例1　關于隨機變量χ2的敘述，下列說法錯誤的是(　　)
A．χ2是一個不連續的隨機變量
B．χ2的觀測值越大，說明兩分類變量X與Y的關系越強
C．χ2的觀測值越大，說明“兩分類變量X與Y有關系”這一結論的可信度越大
D．當χ2的觀測值接近0時，應該接受“兩個分類變量X與Y無關”這一假設
鞏固訓練1　對于分類變量X與Y的隨機變量χ2的值，下列說法正確的是(　　)
A．χ2越大，“X與Y有關系”的可信程度越小
B．χ2越小，“X與Y有關系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“X與Y沒有關系”的可信程度越小
D．χ2越大，“X與Y沒有關系”的可信程度越大
題型 2　隨機變量χ2的應用
例2　某中學為了解2022屆高二學生的性別和喜愛游泳是否有關，對100名高二學生進行了問卷調查，得到如下列聯表：
喜歡游泳 不喜歡游泳 總計
男生 10
女生 20
總計
已知從這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為.
(1)請將上述列聯表補充完整；
(2)試根據上述數據判斷“喜歡游泳”與“性別”是否有關系．
方法歸納
利用χ2判斷兩個分類變量是否有關系的步驟
鞏固訓練2　為了解高中生作文水平與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機抽取了60名高中生，通過問卷調查，得到如下調查結果：
作文水平較高 作文水平一般 合計
課外閱讀量較大 22 10 32
課外閱讀量一般 8 20 28
合計 30 30 60
試根據上述數據判斷“作文水平”與“課外閱讀量”是否有關系．
第1課時
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：“近視”與“性別”是兩個分類變量，檢驗其是否有關，應用獨立性檢驗判斷．故選C.
答案：C
3．解析：“是否吸煙”是分類變量，它的兩個不同取值：吸煙和不吸煙．“是否患病”是分類變量，它的兩個不同取值：患病和不患病．可知A，B都是一個分類變量所取的兩個不同值．故選C.
答案：C
4．解析：依題意得b＝46－25＝21，a＝73－b＝52.
答案：52
題型探究·課堂解透
例1　解析：兩個分類變量取值是離散的，所以χ2的觀測值越大，“X與Y有關系”這一結論的可信度越大，而不是“兩分類變量X與Y有關系”的程度越大，故選C.
答案：C
鞏固訓練1　解析：根據獨立性檢驗的基本思想可知，分類變量X與Y的隨機變量χ2的觀測值越大，“X與Y沒有關系”的可信程度越小，則“X與Y有關系”的可信程度越大；χ2越小，“X與Y有關系”的可信程度越小，“X與Y沒有關系”的可信程度越大，故ACD錯誤，B正確．故選B.
答案：B
例2　解析：(1)因為在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為，
所以喜歡游泳的學生人數為100×＝60.
其中女生有20人，男生有40人，列聯表補充如下：
喜歡游泳 不喜歡游泳 合計
男生 40 10 50
女生 20 30 50
總計 60 40 100
(2)假設H0：喜歡游泳與性別沒有關系，
根據列聯表中的數據得：χ2＝＝≈16.67.
由于16.67>6.635，故否定假設H0，所以認為喜歡游泳與性別有關系．
鞏固訓練2　解析：假設H0：作文水平與課外閱讀量沒有關系
χ2＝≈9.643，
由于9.643>6.635，故否定假設H0，所以認為作文水平與課外閱讀量有關系．第2課時　獨立性檢驗(2)
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　獨立性檢驗的過程
獨立性檢驗的步驟如下：
(1)提出統計假設H0：X與Y之間沒有關系；
(2)利用公式χ2＝計算χ2的觀測值；
(3)查臨界值表 確定臨界值，然后作出判斷．
批注 　(1)如果χ2>10.828，就有不少于99.9%的把握認為“X與Y之間有關系”；(2)如果χ2>6.635，就有不少于99%的把握認為“X與Y之間有關系”；(3)如果χ2>3.841，就有不少于95%的把握認為“X與Y之間有關系”，如果χ2≤3.841，就認為還沒有充分的證據顯示“X與Y之間有關系”．
基 礎 自 測　
1．下列選項中，可以有95%以上的把握認為“A與B有關系”的是(　　)
A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014
2．在研究肥胖與高血壓的關系時，通過收集數據、整理分析數據得到“高血壓與肥胖有關”的結論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的．下列說法中正確的是(　　)
A．在100個高血壓患者中一定有肥胖的人
B．在100個肥胖的人中至少有99人患有高血壓
C．在100個高血壓患者中可能沒有肥胖的人
D．肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓
3．為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗后得到如下數據．經過計算得χ2≈6.979，根據χ2臨界值表，可以認為該種藥物對預防疾病有效果的把握為________．
患病 未患病 合計
服用藥 10 46 56
未服用藥 22 32 54
合計 32 78 110
題型探究·課堂解透——強化創新性　
題型 1　兩個變量的獨立性檢驗
例1　隨著互聯網的發展，網絡已成為人們日常學習、工作和生活不可或缺的部分，互聯網在帶給人們生活便捷與高效工作的同時，網絡犯罪也日益增多，為了防范網絡犯罪與網絡詐騙，學校舉辦“網絡安全宣傳倡議”活動．學校從全體學生中隨機抽取了200人對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況進行問卷調查，統計結果如下表所示：
男 女 合計
了解 70 125
不了解 45
合計
(1)根據所提供數據，完成2×2列聯表；
(2)判斷是否有95%的把握認為對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況與性別有關．
參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數據：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
方法歸納
(1)先利用χ2＝求出χ2的值．再利用臨界值表來判斷有多大的把握判斷兩個事件有關．
(2)解題時應注意準確代數與計算，不可錯用公式，準確進行比較與判斷．
鞏固訓練1　瓜子是一種深受大家喜愛的零食．某炒貨店一個月(30天)內不同口味的瓜子的銷售情況如下表：
成本(元/ 公斤) 售價(元/ 公斤) 日銷量超過50 公斤的天數 日銷量不超過 50公斤的天數
原味瓜子 6 8 13 17
焦糖味瓜子 7 10 21 9
根據上表，有多大的把握認為瓜子的日銷售量與口味有關系？
題型 2　獨立性檢驗的綜合應用
例2　為響應國家在《“十四五”工業綠色發展規劃》中提出的“推動綠色發展，促進人與自然和諧共生”理念，某企業計劃生產一批太陽能電池板，現有甲、乙兩種生產工藝可供選擇．為了解兩種生產工藝所生產的電池板的質量情況，從中各隨機抽取100件進行質量檢測，得到如下所示的頻率分布直方圖．
并規定：
綜合得分 [70，85) [85，100]
質量等級 二等品 一等品
(1)從這100個甲工藝所生產的電池板中按質量等級分層抽樣抽取4個，再從這4個中隨機抽取2個做進一步研究，求恰有1個質量等級為一等品電池板的概率；
(2)根據頻率分布直方圖完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為電池板的質量等級與生產工藝有關？
一等品 二等品
甲生產工藝
乙生產工藝
方法歸納
(1)獨立性檢驗問題常與統計、概率相結合，解題時一定要認真審題，找出各數據的聯系．
(2)解決獨立性檢驗的應用問題時，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論．
鞏固訓練2　相對于二維碼支付，刷臉支付更加便利，以往出門一部手機解決所有，現在連手機都不需要了，畢竟手機支付還需要攜帶手機，打開“掃一掃”也需要手機信號和時間，從而刷臉支付可能將會替代手機支付，成為新的支付方式，現從某大型超市門口隨機抽取100名顧客進行調查，得到了如下列聯表：
男性 女性 總計
刷臉支付 25 70
非刷臉支付 10
總計 100
(1)請將上面的列聯表補充完整，并分別估計男性、女性在該超市消費后使用刷臉支付的概率；
(2)請根據以上數據判斷是否有99%的把握認為顧客是否使用刷臉支付與性別有關．
第2課時
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．解析：5.014>3.841，故正確．故選D.
答案：D
2．解析：因為在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的，得有99%的把握認為“高血壓與肥胖有關”，只是結論成立的可能性，與有多少個人患高血壓無關，更談不上概率，A，B，D不正確，C正確．故選C.
答案：C
3．解析：∵χ2≈6.979>6.635，
∴有99%的把握認為該種藥物對預防疾病有效果．
答案：99%
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)根據題意，得到2×2列聯表為
男 女 合計
了解 70 55 125
不了解 30 45 75
合計 100 100 200
(2)提出假設H0：對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況與性別無關，
根據列聯表中數據，
可以求得χ2＝＝＝4.8，
因為當H0成立時，P(χ2≥3.841)≈0.05，這里的χ2＝4.8>3.841，
所以我們有95%的把握認為對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況與性別有關．
鞏固訓練1　解析：提出統計假設H0：瓜子的日銷售量與口味無關聯．
由表格中的數據，可得χ2＝≈4.344>3.841，
查臨界值表可知，有95%的把握認為瓜子的日銷售量與口味有關系．
例2　解析：(1)從這100個甲工藝所生產的電池板中，二等品的個數為100×0.05×5＝25(個)，
一等品的個數為100×0.15×5＝75(個)，
從這100個甲工藝所生產的電池板中按質量等級分層抽樣抽取4個，
這4個中質量等級為一等品的個數為4×＝3，分別記為A、B、C，
質量等級為二等品的個數為1，記為a，
從這4個中隨機抽取2個，所有的基本事件為：AB、AC、Aa、BC、Ba、Ca，共6種，
其中，事件“所抽取的2個中恰有1個質量等級為一等品電池板”所包含的基本事件為：Aa、Ba、Ca，共3種，
故所求概率為P＝＝.
(2)2×2列聯表如下表所示：
一等品 二等品
甲生產工藝 75 25
乙生產工藝 45 55
所以χ2＝＝18.75>6.635，
所以由臨界值表可知有99%的把握認為電池板的質量等級與生產工藝有關．
鞏固訓練2　解析：(1)列聯表補充為
男性 女性 總計
刷臉支付 45 25 70
非刷臉支付 10 20 30
總計 55 45 100
男性在該超市消費后使用刷臉支付的概率約為＝，
女性在該超市消費后使用刷臉支付的概率約為＝.
(2)由列聯表可得χ2＝≈8.129>6.635，
所以由臨界值表可知有99%的把握認為顧客是否使用刷臉支付與性別有關．章末復習課
知識網絡·形成體系
考點聚焦·分類突破　
考點一　回歸分析思想的應用
1．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．其基本步驟為：通過散點圖和經驗選擇回歸方程的類型，然后通過一定的規則確定出相應的回歸方程，通過一定的方法進行檢驗，最后應用于實際或對預報變量進行預測．
2．通過對回歸分析思想的應用的考查，提升學生的數學建模、數據分析核心素養．
例1　人類社會正進入數字時代，網絡成為了生活中必不可少的工具，智能手機也給我們的生活帶來了許多方便．但是這些方便又時尚的手機，卻也讓我們的眼睛離健康越來越遠．為了解手機對視力的影響程度，某研究小組在經常使用手機的大學生中進行了隨機調查，并對結果進行了換算，統計了大學生一個月中平均每天使用手機的時間x(單位：h)和視力損傷指數y的數據如下表：
平均每天使用手機的時間x(h) 1 2 3 4 5 6 7
視力損傷指數y 2 5 8 12 15 19 23
(1)根據表中數據，求y關于x的線性回歸方程＝x＋；
(2)該小組研究得知：視力的下降值t與視力損傷指數y滿足函數關系式t＝＋0.05，如果小明在一個月中平均每天使用9個小時手機，根據(1)中所建立的回歸方程估計小明視力的下降值(結果保留一位小數)．
考點二　獨立性檢驗的應用
1．獨立性檢驗研究的問題是有多大把握認為兩個分類變量之間有關系．為此需先列出2×2列聯表，從表格中可以直觀地得到兩個分類變量是否有關系．獨立性檢驗的思想是：可以先假設二者無關系，求統計量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設，否則，接受假設．
2．通過對獨立性檢驗的應用的考查，提升學生的數學運算、數據分析核心素養．
例2　我國政府加大了對全民閱讀的重視程度，推行全民閱讀工作，全民閱讀活動在全國各地蓬勃發展，活動規模不斷擴大，內容不斷充實，方式不斷創新，影響日益擴大，使我國國民素質得到了大幅度提高．某高中為響應政府號召，在寒假中對某校高二800名學生(其中男生480名)按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取200名學生進行調查，了解他們每天的閱讀情況如下表：
每天閱讀時間低于1 h 每天閱讀時間不低于1 h 總計
男生 60
女生 20
總計 200
(1)根據統計數據完成以上2×2列聯表；
(2)依據(1)中的列聯表，能否推斷該校女生和男生在每天閱讀時間方面存在差異？
(3)若從抽出的200名學生中按“每天閱讀時間是否低于1 h”采用分層隨機抽樣抽取10名學生準備進行讀寫測試，在這10名學生中隨機抽取3名學生，記這3名學生每天閱讀時間不低于1 h的人數為X，求X的分布列和數學期望E(X)．
附參考數據及公式：χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
章末復習課
考點聚焦·分類突破
例1　解析：(1)由表格中的數據可得
＝＝4，
＝＝12，
＝＝＝＝3.5，
＝12－3.5×4＝－2，所以，回歸直線方程為y＝3.5x－2.
(2)小明的視力損傷指數為＝3.5×9－2＝29.5，
所以t＝＋0.05＝＋0.05≈0.3，估計小明視力的下降值為0.3.
例2　解析：(1)高二有800名學生(其中男生480名)，則抽取200名學生中，男生有200×＝120(名)，女生有80名，
2×2列聯表如下：
每天閱讀時間低于1 h 每天閱讀時間不低于1 h 總計
男生 60 60 120
女生 20 60 80
總計 80 120 200
(2)由(1)知：χ2＝＝12.5>10.828，
所以由臨界值表可知能推斷該校女生和男生在每天閱讀時間方面存在差異．
(3)200名學生中“每天閱讀時間不低于1 h”的人數為120人，因此抽取10名學生“每天閱讀時間不低于1 h”的人數為6人，而X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8.

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