資源簡介

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專題3.1 投影
模塊1：學習目標
1．以分析實際例子為背景，認識投影和視圖的基本概念和基本性質；
2. 懂得運用投影知識解決有關的實際問題。
模塊2：知識梳理
1 平行投影
1）一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面或墻壁等）上得到的影子，叫做物體的投影。
2）太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影。
3）平行投影的兩個結論（性質）：
（1）等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長。
　
（2）等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度。
4）物高與影長的關系：（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，從早晨到傍晚，物體影長也是由長變短再變長。（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例。
注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長。
2.中心投影
1）若一束光線是從一點發出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影。
這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地。
2）中心投影的兩個結論（性質）：（1）等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.
　
（2）等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.
在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.
3. 平行投影與中心投影的區別與聯系
1）聯系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發射出來的光線。（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發生變化。
2）區別：（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例。（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向。
4. 正投影
1）正投影的定義：像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.
　
2）立體圖形的正投影：物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等。
注意：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規律，可以識別或畫出物體的正投影.
(3)由于正投影的投影線垂直于投影面，一個物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個物體看到的圖象之間是有聯系的.
模塊3：核心考點與典例
考點1、投影及其相關概念
例1．（2023上·陜西咸陽·九年級校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影
B．物體在燈光下產生的投影可能是物體的正投影
C．物體在太陽光下產生的投影是物體的平行投影
D．電燈的光源距離投影面較遠的投影就是平行投影
【答案】C
【分析】本題考查平行投影中正投影的相關知識，平行投射線垂直于投影面的稱為正投影，解題需掌握正投影的特點．
【詳解】解：A．正投影一定是平行投影，原說法錯誤，不合題意；
B．物體在燈光下產生的投影不是物體的正投影，原說法錯誤，不合題意；
C．物體在太陽光下產生的投影是物體的平行投影，原說法正確，符合題意；
D．電燈的光源距離投影面較遠的投影不是平行投影，原說法錯誤，不合題意．故選：C．
變式1．（2023上·陜西漢中·九年級校聯考階段練習）下列投影，屬于平行投影的是（ ）
A．晚上路燈下小孩的影子 B．陽光下沙灘上人的影子
C．汽車燈光照射下行人的影子 D．皮影戲中的影子
【答案】B
【分析】本題主要考查投影，熟練掌握平行投影是解題的關鍵；根據平行投影可進行求解．
【詳解】解：A、屬于中心投影，不符合題意；B、屬于平行投影，符合題意；
C、屬于中心投影，不符合題意；D、屬于中心投影，不符合題意；故選B．
變式2．（2023下·山東泰安·九年級校考階段練習）下列各種現象屬于中心投影現象的是（　?。?br/>A．早上升旗時地面上旗桿的影子 B．上午人走在路上的影子
C．中午用來乘涼的樹影 D．晚上人走在路燈下的影子
【答案】D
【分析】根據中心投影的性質，找到燈光的燈源即可．
【詳解】解：中心投影的燈源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光，故選：D．
【點睛】本題考查中心投影的性質，解題的關鍵是理解中心投影的形成光源為燈光．
變式3．（2023上·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）下列說法正確的是（　?。?br/>A．物體在太陽光下產生的投影是物體的正投影 B．正投影一定是平行投影
C．物體在燈光下產生的投影是物體的正投影 D．正投影可能是中心投影
【答案】B
【分析】首先明確：平行投射線垂直于投影面的稱為正投影；接下來根據正投影的定義進行分析即可得答案．
【詳解】解：A．物體在太陽光下產生的投影不一定是物體的正投影，錯誤，不合題意；
B．正投影一定是平行投影，正確，符合題意；
C．物體在燈光下產生的投影不一定是物體的正投影，錯誤，不合題意；
D．正投影是平行投影，錯誤，不合題意．故選：B．
【點睛】本題考查平行投影中正投影的相關知識，解題需掌握正投影的特點．
考點2、平行投影及性質
例1．（2023上·河南平頂山·九年級統考期末）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】平行投影特點：在同一時刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例．
【詳解】解：A.影子的方向不相同，故本選項錯誤；
B. 影子的方向不相同，故本選項錯誤；
C.相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項錯誤;
D. 影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，故本選項正確； 故選：D．
【點睛】本題考查了平行投影特點，難度不大，注意結合選項判斷．
變式1．（2023上·浙江·九年級專題練習）三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行平行投影，根據三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子應該同方向、長度相等且平行，據此判斷即可．
【詳解】解：A、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該一致，故本選項錯誤，不符合題意；B．在某一時刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應該相同，故本選項錯誤，不符合題意；
C．在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理，故本選項正確，符合題意；
D、在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應該互相平行，故本選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
變式2．（2023·河南周口·九年級專題練習）在同一時刻的陽光下，甲的影子比乙的影子長，那么在同一路燈下（ ）
A．甲的影子比乙的長 B．甲的影子比乙的影子短
C．甲的影子和乙的影子一樣長 D．無法判斷
【答案】D
【分析】在同一路燈下由于位置不同，影長也不同，所以無法判斷誰的影子長．
【詳解】解：在同一路燈下由于位置不同，影長也不同，所以無法判斷誰的影子長．故選：D．
【點睛】本題考查了平行投影和中心投影的特點和規律．平行投影的特點是：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．
變式3．（2023·河南周口·校聯考三模）“光沿直線傳播”產生了影子，下面是在同一時刻的太陽光下兩棵樹產生的影子，其中正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據同一時刻陽光下的影子肯定為同側且平行的，且與物體相連，直接判斷即可．
【詳解】解：根據同一時刻陽光下的影子肯定為同側且平行的，且與物體相連，只有D選項符合題意，故選：D．
【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵是根據投影的概念進行解答即可．
考點3、平行投影的相關計算（相似）
例1．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）新學期，小華和小明被選為升旗手，為了更好地完成升旗任務，他倆想利用測傾器和陽光下的影子來測量學校旗桿的高度．如圖所示，旗桿直立于旗臺上的點處，他們的測量方法是：首先，在陽光下，小華站在旗桿影子的頂端處，此時，量得小華的影長，小華身高；然后，在旗桿影子上的點處，安裝測傾器，測得旗桿頂端的仰角為，量得，，旗臺高．已知在測量過程中，點在同一水平直線上，點在同一條直線上，均垂直于．求旗桿的高度．（參考數據：）
【答案】旗桿的高度為
【分析】本題考查測高，涉及三角函數測高、利用太陽光測高、解直角三角形、相似三角形的判定與性質等知識，設，在中，解直角三角形得到，從而求出相關線段長，再根據，由相似列式求解即可得到答案，掌握測高題型及解法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：過作，如圖所示：
設，則，，，
在中，，解得，
，即，
在太陽光下，，則，，解得，
答：旗桿的高度為．
變式1.（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，甲樓高 16 米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當地冬至中午12時，物高與影長的比是， 已知兩樓相距為 12 米，那么甲樓的影子落在乙樓上的高 ＝ 米．

【答案】8
【分析】本題考查了相似三角形的應用和平行投影的知識；
過作，利用平行投影的知識物高與影長的比是，求出的長度，進而求得即可得出答案．
解題的關鍵是利用平行投影的知識，求出的長度．
【詳解】如圖，過點作，垂足為點，

在中，，
∵物高與影長的比是∴，∴
∵，∴故答案為：8米
變式2.（2023上·江西撫州·九年級校考期中）如圖，某一廣告墻旁有兩根直立的木桿和，某一時刻在太陽光下，木桿頂端的影子剛好落Q處．

(1)請在圖中畫出此時的太陽光線及木桿的影子；
(2)若米，米，到的距離的長為2米，求此時木桿的影長．
【答案】(1)見解析(2)米
【分析】本題考查的是平行投影，掌握平行投影的性質是解題的關鍵．
（1）根據木桿的影子剛好不落在廣告墻上，連接點與點即可畫出此時的太陽光線，根據太陽光線是平行的，可以畫出木桿的影子；（2）設木桿的影長為米，根據在同一時刻，物高與影子成比例即可得到，從而可求出影長．
【詳解】（1）解：如圖所示．

（2）解：設的影長為x米 ，根據題意可得
，即，．答：木桿的影長是米．
考點4、中心投影及性質
例1．（2023·河北滄州·模擬預測）下列選項能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根據中心投影的特點及小亮和小美的身高差判斷即可.
【詳解】解：小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況應如圖所示：
故選D.
【點睛】本題考查了中心投影的特點．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．
變式1.（2023·浙江九年級期中）當你走在路燈下，越來越接近路燈時，你的影子的長是如何變化（ ）
A．變長 B．變短 C．不變 D．無法確定
【答案】B
【分析】根據中心投影的性質，燈光下影子與物體離燈源距離有關，從而得出答案．
【詳解】解：燈光下，涉及中心投影，根據中心投影的特點燈光下影子與物體離燈源距離有關，
你走在路燈下，越來越接近路燈時，你的影子的長是變短．故選：B．
【點睛】此題主要考查了中心投影的特點和規律．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長；②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短．
變式2．（2023上·陜西渭南·九年級統考期末）一個人在燈光下向遠離光源的方向行走的過程中人的影長越來越 （填“長”或“短”）．
【答案】長
【分析】人在燈光的照射下形成的影子就是中心投影，則利用中心投影，人在燈光下的影子最短，當人離開時，人的影子越來越長．
【詳解】一個人在燈光下離開的過程中人的影長越來越長．故答案為：長．
【點睛】本題考查了中心投影：由同一點 (點光源)發出的光線形成的投影叫做中心投影；如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影，理解題意是解題關鍵．
考點5、中心投影的相關計算（相似）
例1．（2023上·陜西西安·九年級校考期中）如圖，電線桿上有盞路燈，小明從點出發，沿直線運動，當他運動2m到達點處時（即），測得影長，再前進2m到達點處時（即），測得影長．（圖中線段、、表示小明的身高，且、、均與垂直）。(1)請畫出路燈的位置和小明位于處時，在路燈燈光下的影子；(2)求小明位于處的影長．
【答案】(1)見解析(2)0.4m
【分析】本題主要考查了中心投影，相似三角形的判定與性質，將實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的判定與性質列方程求解是解答本題的關鍵．
（1）根據中心投影的定義，連接，并延長，交點即為點O，連接并延長，交直線于點G，即為所求；（2）過點O作于點H，先證明和，得出，，從而得到，設，列方程求解得出的長，同理可得，進一步列方程求解即可得出答案．
【詳解】（1）如圖1，作射線，，兩線相交于點O，則點O就是路燈的位置；
作射線交直線于點G，則就是小明位于處時，在路燈燈光下的影子．
（2）如圖2，過點O作于點H，
設，則，，
，，，同理，
，，即，解得，
，，設，則，
同理可知，即，解得，
所以小明位于F處的影長為．
變式1.（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）如圖是圓桌正上方的燈泡發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖．已知桌面的直徑為，桌面距離地面，若燈泡距離地面（桌面的厚度忽略不計），則地面上陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是相似三角形的應用．證明，根據相似三角形的性質求出，根據圓的面積公式計算，得到答案．
【詳解】解：如圖，
由題意得，，，，
∴，∴，即，解得，，
則地面上陰影部分的面積，故選：C．
變式2.（2023·河北邯鄲·校考三模）2022年2月20日北京冬奧會花樣滑冰表演賽，中國男單一哥金博洋登場，他使用的地面光影直到結束后都讓人意猶未盡．如圖，設聚光燈O的底部為A，金博洋的身高（）為，金博洋與點A的距離為，他在聚光燈下的影子為．

（1）在聚光燈下金博洋落在地面的影子是 （填寫“平行投影”或“中心投影”）；
（2）聚光燈距離地面的高度為 m．
【答案】 中心投影
【分析】（1）根據中心投影的定義直接寫出答案即可；
（2）根據相似三角形的對應邊的比相等列式計算即可．
【詳解】解：（1）∵聚光燈光線是點光源發出的光線，
∴在聚光燈下金博洋落在地面的影子是中心投影，故答案為：中心投影；
（2）解：由題意得：，∴，∴，
∵金博洋的身高（）為，金博洋與點A的距離為，他在聚光燈下的影子為，
∴，解得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用及中心投影的定義的知識，解題的關鍵是從實際圖形中抽象出相似三角形，難度不大．
變式3．（2023·湖北恩施·?？寄M預測）如圖，小華在晚上由路燈走向路燈． 當他走到點P時，發現他身后影子的頂部剛好接觸到路燈的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發現他身前影子的頂部剛好接觸到路燈的底部． 已知小華的身高是，兩個路燈的高度都是，且．

(1)標出小華站在P處時，在路燈下的影子．(2)求兩個路燈之間的距離．
(3)當小華走到路燈的底部時，他在路燈下的影長是多少？
【答案】(1)畫圖見解析(2)兩路燈的距離為；(3)當他走到路燈時，他在路燈下的影長是．
【分析】（1）連接并延長與交于點K，從而可得答案；
（2）如圖，先證明，利用相似比可得，即得，則，從而可得答案；（3）如圖，他在路燈下的影子為，證明，利用相似三角形的性質得，然后利用比例性質求出即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接并延長與交于點K，線段即為小華站在P處時，在路燈下的影子

（2）如圖，

∵，∴，∴，即，∴，
∵，∴，而，
∴，∴．答：兩路燈的距離為；
（3）如圖，他在路燈下的影子為，

∵，∴，∴，即，解得．
答：當他走到路燈時，他在路燈下的影長是．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，投影的含義，要求學生能根據題意畫出對應圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數形結合的思想方法．
考點6、正投影及相關計算
例1．（2023·北京海淀·統考二模）一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影線垂直于頂面產生的投影，據此直接選擇即可．
【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故選：B．
【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同．
變式1.（2023下·山東九年級統考課時練習）如圖所示的圓臺的上下底面與投影線平行，圓臺的正投影是（ ）

A．矩形 B．兩條線段 C．等腰梯形 D．圓環
【答案】C
【分析】根據正投影的定義“是指平行投射線垂直于投影面”分析即可．
【詳解】根據題意，圓臺的上下底面與投影線平行，則圓臺的正投影是該圓臺的軸截面，即等腰梯形，
故選：C．
【點睛】本題考查了正投影的定義，正確理解正投影的定義是解題關鍵．
變式2.（2023下·浙江·九年級專題練習）把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正投影的特點及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案．
【詳解】解：把一個正六棱柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是矩形．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了正投影的性質，一個幾何體在一個平面上的正投影是一個平面圖形．
考點7、視點、視角和盲區
例1．（2023·寧夏中衛·九年級校考期末）“白日依山盡，黃河入海流．欲窮千里目，更上一層樓．”這里主要是（ ）
A．增大盲區 B．減少盲區 C．改變光點 D．增加亮度
【答案】B
【分析】根據站的越高，人的視角就越大，對于圓形地球可視面就越大，盲區越小進行判斷即可．
【詳解】解∶選項A，站的越高，人的視角就越大，不是增大盲區，錯誤；
選項B，減少盲區，正確；選項C，不可能改變光點，錯誤；
選項D，不是增加亮度，選項錯誤．故選：B．
【點睛】本題考查了盲區的相關知識，正確理解盲區的概念是解決本題的關鍵，盲區是指視野盲區，視野盲區就是指人的視線達不到的地方，站得高可以減少盲區．
變式1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這個大樓，若想看到大樓的兩個側面，則小紅應站的區域是（ ）
A．A區域 B．B區域 C．C區域 D．三區域都可以
【答案】C
【分析】根據視點，視角和盲區的定義，觀察圖形，選出答案．
【詳解】由圖可知，A區域可以看到一個側面，B區域可以看到三個側面，C區域可以看到兩個側面.故選C.
【點睛】本題考查的是視點，視角和盲區在實際中的應用，比較基礎，難度不大．
變式2（2023·福建·統考三模）如圖是某校校史榮譽室的正方形網格平面圖，實線表示墻體或門．在點處安裝了360度旋轉攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監控，這部分無法監控到的區域通常稱為監控盲區．
（1）小紅同學進入校史榮譽室隨意參觀，站在監控盲區的概率是多少？（2）為了監控效果更好，使得監控盲區最小，請你幫助學校在墻體上重新設計攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．
【答案】（1）；（2）見詳解
【分析】（1）分別求出榮譽室面積和盲區面積，再利用概率公式，即可求解；
（2）把攝像頭安裝在AB的中點處，計算出監控盲區的面積，然后把攝像頭安裝在AB的其他位置，表達出監控盲區的面積，即可得到結論．
【詳解】解：（1）設小正方形的邊長為1，
∴榮譽室面積=2×2+2×2+2×6=20，盲區面積=2×2-×2×1=3，∴站在監控盲區的概率=3÷20=；
（2）如圖所示：攝像頭安裝在AB的中點處，監控盲區的面積最小，此時，監控盲區面積=2××1×2=2，
若攝像頭不安裝在AB的中點處，則監控盲區面積=×(CM+2)×2＞2．
【點睛】本題主要考查幾何概率，掌握概率公式和方格紙的面積的計算，是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·河南鄭州·九年級?？计谥校┫铝心姆N影子不是中心投影（　　）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房間內墻上的手影
C．都市霓虹燈形成的影子 D．皮影戲中的影子
【答案】A
【分析】本題考查中心投影，由同一點（點光源）發出的光線形成的投影叫做中心投影，由此即可判斷．關鍵是掌握中心投影定義．
【詳解】解：晚上在房間內墻上的手影，都市冤虹燈形成的影子，皮影戲中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．故選：A．
2．（2023上·浙江·九年級專題練習）在同一時刻的太陽光下，小剛的影子比小紅的影子長，那么，在晚上同一路燈下（　?。?br/>A．不能夠確定誰的影子長 B．小剛的影子比小紅的影子短
C．小剛跟小紅的影子一樣長 D．小剛的影子比小紅的影子長
【答案】A
【分析】根據太陽光是平行投影，路燈是中心投影，即可得出結論．
【詳解】解：在同一路燈下由于位置不同，影長也不同，所以無法判斷誰的影子長．故選：A．
【點睛】本題綜合考查了平行投影和中心投影的特點和規律．平行投影的特點是：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．
3．（2023下·河北保定·九年級校考開學考試）下列光線所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．太陽光線 B．臺燈的光線 C．手電筒的光線 D．路燈的光線
【答案】A
【分析】判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【詳解】四個選項中只有太陽光可認為是平行光線；故太陽光線下形成的投影是平行投影．故選：A．
【點睛】本題主要考查了平行投影，解題關鍵是看光線是否是平行的.
4．（2023·安徽淮北·統考三模）一個矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根據投影的特點進行判斷即可．
【詳解】解：一個矩形木框在地面上形成的投影可能是一條線段、一個矩形、一個平行四邊形，而不可能是一個梯形，故A符合題意．故選：A．
【點睛】本題主要考查了投影與視圖，解題的關鍵是熟練掌握投影的特點．
5．（2023上·山東煙臺·九年級統考期末）下列關于投影的說法正確的是（　　）
A．平行投影中的光線是聚成一點的 B．線段的正投影還是線段
C．圓形物體在陽光下的投影可能是橢圓 D．若兩人在路燈下的影子一樣長，則兩人身高也相同
【答案】C
【分析】根據平行投影和視圖的關系進行判斷即可．
【詳解】解：A、平行投影中的光線是平行的，故此選項不符合題意；
B、線段的正投影可能是線段，有可能是點，故此選項不符合題意；
C、圓形物體在陽光下的投影可能是橢圓，故此選項符合題意；
D、若兩人在路燈下的影子一樣長，則兩人身高不一定相同，故此選項不符合題意，故選：C．
【點睛】本題考查了投影，解題的關鍵是掌握平行投影的性質和投影的意義．
6．（2023下·浙江·九年級專題練習）如圖，若正三棱柱看不見的一個側面與投影面平行，則這個正三棱柱的正投影是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意知三棱柱后側面平行于投影面，再從前向后對幾何體正投影可得答案．
【詳解】解：根據題意，三棱柱后側面與投影面平行，
則該三棱柱的正投影即主視圖是：，故選：A．
【點睛】本題主要考查正投影，判斷正投影的投影面和幾何體的擺放位置是關鍵．
7．（2023·河北保定·九年級統考期末）如圖，在房子屋檐E處安有一臺監視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監視器的盲區是（　?。?br/>
A． B． C． D．四邊形
【答案】C
【分析】解答此題首先要了解盲區的定義，視線覆蓋不到的地方即為該視點的盲區，由圖知，是視點，找到在點處看不到的區域即可．
【詳解】解：由圖知：在視點的位置，看不到段，因此監視器的盲區在所在的區域，
故選：C．
【點睛】本題考查了投影和視圖的概念，解答此類問題，首先要確定視點，然后再根據盲區的定義進行判斷．
8．（2023上·河北唐山·九年級統考期末）如圖，從點觀測建筑物的視角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據視角的定義，由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角，即可判斷．
【詳解】如圖所示，據視角的定義，建筑物兩端發出的光線在眼球內交叉的角為，選：A．
【點睛】本題考查了視角的定義，解題的關鍵是熟悉并掌握視角的定義．
9．（2023上·河南周口·九年級校聯考階段練習）如圖，小樹在路燈O的照射下形成投影．若樹高，樹影，樹與路燈的水平距離．則路燈的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了中心投影，掌握相似三角形是解題關鍵．利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：，，
，，，，
，故選：D．
10．（2023上·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）興趣小組測量學校的旗桿，在陽光下，甲同學測得長1米的竹竿影長為米，同一時刻乙同學測量時發現旗桿的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，墻壁垂直地面，如圖所示，落在墻上的影長為2米，，落在地面上的影長AB為9米，則旗桿的高度是（ ）米．
A．8 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查相似三角形的應用．由題意可知在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．經過旗桿在教學樓上的影子的頂端作旗桿的垂線和經過旗桿頂的太陽光線以及旗桿所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到旗桿的頂端的高度，再加上墻上的影高就是旗桿高．
【詳解】解：設從墻上的影子的頂端到旗桿的頂端的垂直高度是x米．
則有，解得．旗桿高是（米）．故選：A．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·陜西西安·九年級?？计谥校┤贞惺俏覈糯萌沼皽y定時刻的儀器，其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻，晷針在晷面上所形成的投影屬于 投影．（填寫“平行”或“中心”）
【答案】平行
【分析】本題考查的是平行投影的概念，根據太陽光是平行光線可以判定晷針在晷面上所形成的投影屬于平行投影．
【詳解】解：因為太陽光屬于平行光線，而日晷利用日影測定時刻，所以晷針在晷面上所形成的投影屬于平行投影．故答案為：平行．
12．（2023上·甘肅白銀·九年級統考期末）如圖，這是三個直立在地面上的藝術字母的投影（陰影部分）效果，在藝術字母“L，K，C”的投影中，屬于同一種投影是 ．

【答案】
【分析】根據平行投影和中心投影的特點和規律，進行判斷即可．
【詳解】由圖可知“L”是中心投影，“K”是中心投影，“C”是平行投影，
屬于同意投影的是，故答案為：．
【點睛】本題考查投影的定義，能正確區分平行投影和中心投影的特點是解題的關鍵．
13．（2023·山東九年級期中）電影院的座位排列時，后一排總比前一排高，并且每一橫排呈圓弧形，這是為了 ．
【答案】增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等
【分析】從減小盲區角度可理解后一排總比前一排高，從滿足有相同的視角可理解每一橫排呈圓弧形．
【詳解】電影院的座位排列時，后一排總比前一排高是為了增加視野，后面的觀眾看清屏幕，每一橫排呈圓弧形是利用圓周角相等，保證同一排上的人看屏幕的視角相等．
故答案為增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等．
【點睛】本題考查了視點、視角和盲區：把觀察者所處的位置定為一點，叫視點；人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角．視線到達不了的區域為盲區．
14．（2023上·陜西漢中·九年級校聯考階段練習）人在燈光下走動，當人遠離燈光時，其影子的長度將 ．（填“變長”或“變短”）
【答案】變長
【分析】本題考查了中心投影的特點和規律．中心投影的特點是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長．②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．據此即可解答．
【詳解】人在燈光下走動時，其自身的影子通常會發生變化，當人走近燈光時，其影子的長度就會變短；當人遠離燈光時，其影子的長度就會變長．故答案為：變長
15．（2023上·浙江九年級期中）如圖，房間里有一只老鼠，門外蹲著一只小貓，如果每塊正方形地磚的邊長為1米，那么老鼠在地面上能避開小貓視線的活動范圍為 平方米（不計墻的厚度）.
【答案】17
【分析】如圖題目所求的實際是△OFE和梯形BCDH的面積，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函數即可求出．
【詳解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16，
在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，因此，FE=OF÷2=1；S△OFE=2×1÷2=1，
因此，老鼠可以躲過貓的視線的范圍應是16+1=17平方米．故答案為17.
【點睛】利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．
16．（2023上·河北石家莊·九年級統考期中）古希臘數學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔塔頂的影子處直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖所示，木桿長米．它的影長是米，同一時刻測得是米，則金字塔的高度是 米．
【答案】
【分析】本題考查同一時刻物高和影長成正比．解題的關鍵是理解：如果光源是太陽，光線是平行照射的，此時物體的高度和影子的長度成正比例．據此列式解答即可．
【詳解】解：根據題意知：相同時刻的物高與影長成正比，設金字塔的高度為米，則：
∴，解得：，∴金字塔的高度是米．故答案為：．
17．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校聯考期中）在“測量物體的高度”活動中，小麗在同一時刻陽光下，測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米：測量樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學樓的第一級臺階上（如圖），落在地面上的影長為4.8米，一級臺階高為0.25米，落在第一級臺階上的影子長為0.2米，則樹高度為 米．
【答案】
【分析】求出臺階同等高度的大樹的影子的長度，然后根據同時同地物高與影長成正比列式求出樹的高度一部分，再加上臺階的高度計算即可得出答案．
【詳解】解：根據同一時刻物高與影長成正比例，如圖所示：
則其中為樹高，為樹影在第一級臺階上的影長，為樹影在地上部分的長，的長為臺階高，并且由光沿直線傳播的性質可知即為樹影在地上的全長，延長交于，則，∴，∴，
又∵，，∴，∴，
∴，即樹高為米，故答案為:．
【點睛】本題考查相似三角形的應用，只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解，加上的長即可，解題關鍵是找到各部分以及與其對應的影長.
18．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．
（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為 °．
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式 ．

【答案】
【分析】（1）根據水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；
（2）過點作于點，證明，根據平行投影證明，根據，得出即可．
【詳解】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，
∴當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；
（2）過點作于點，如圖所示：

則，∴，根據題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，∴，
∴，∴，∴，
根據平行投影可知，當12點時，點在水平方向的投影為點E，經過n小時后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平移投影的有關知識，解題的關鍵是數形結合，發揮空間想象能力，根據平行投影得出．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·山東青島·九年級統考期中）如圖，燈桿上掛有一盞燈，小穎和爸爸站在燈下，線段表示小穎的影子．

(1)請通過畫圖，確定燈桿上燈泡O所在的位置；(2)請你在圖中畫出表示爸爸影子的線段．
【答案】(1)圖形見解析(2)圖形見解析
【分析】（1）過小穎影子的頂端A和頭部頂端作直線，交于O，則點O即為燈泡所在的位置；
（2）過燈泡O和爸爸頭部頂端作直線交直線于F，設爸爸所在點為E，則線段即為爸爸影子的線段．本題考查作圖﹣應用與設計作圖，解題的關鍵是掌握中心投影的性質．
【詳解】（1）過小穎影子的頂端A和頭部頂端作直線，交于O，則點O即為燈泡所在的位置，如圖：

（2）如上圖，過燈泡O和爸爸頭部頂端作直線交直線于F，設爸爸所在點為E，則線段即為爸爸影子的線段．
20．（2023上·陜西西安·九年級校考期中）如圖，同一路燈下站著小明、小芳、小剛三人，請根據小芳和小剛的影長（粗實線為影子），標出圖中路燈燈泡的位置，并畫出小明在燈光下的影子．

【答案】見解析
【分析】根據中心投影的特點可知，連接物體和它影子的頂端所形成的直線必定經過點光源．所以分別把小芳和小剛的頂端和影子的頂端連接并延長可交于一點，即點光源的位置，再根據點光源的位置和小明的位置可得小明的影子．
【詳解】解：路燈燈泡S的位置如圖所示．小明在燈光下的影子如圖所示．
．
【點睛】此題考查的是影子形成原理的應用，中心投影的含義，確定路燈位置是解題的關鍵．
21．（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）如圖，和是直立在地面上的兩根立柱（即均與地面垂直），已知，某一時刻在太陽光下的影子長．
(1)在圖中畫出此時在太陽光下的影子；
(2)在測量的影子長時，同時測量出的影長，計算的長．
【答案】(1)圖見解析(2)
【分析】此題主要考查了平行投影，利用同一時刻物高與影長的比值相等列出比例式求解是解題關鍵．
（1）利用平行投影的性質得出即可；（2）利用同一時刻物體影子與實際高度的比值相等進而得出答案．
【詳解】（1）如圖所示：即為所求；
（2）由題意可得：，∴ 解得：，
答：的長為．
22．（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，至今仍有借鑒意義．如圖，身高1.5米的小王晚上在路燈燈柱下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈燈泡的高度，具體做法如下：先從路燈底部沿方向走20步到處，發現自己的影子端點落在點處，作好記號后，從點沿方向走4步恰好到達點處，此時他影子的端點在點處，已知在同一水平線上，路燈的燈泡在上，，小王的步間距保持一致．
(1)請在圖中畫出燈泡和影子端點的位置；(2)估計燈泡的高，并求出影長的步數．
【答案】(1)答案見詳解；(2)路燈的高為9米，影長為步．
【分析】此題考查了中心投影作圖、相似三角形的判定與性質，
（1）如圖所示，延長交路燈燈柱于點O，再連接并延長交延長線于點Q即可；（2）先證明，利用相似三角形對應邊成比例可求出，同理證，利用相似三角形對應邊成比例求出．熟練掌握投影的特點與相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖所示，路燈O和影子端點Q為所求；
（2）解：根據題意知：，步，步，，
，，，即，解得；
，，即，解得；
答：估計路燈的高為9米，影長為步．
23．（2023·浙江九年級期中）如圖是某比賽場館的平面圖，根據距離比賽場地的遠近和視角的不同，將觀賽場地劃分成A、B、C三個不同的票價區．其中與場地邊緣MN的視角大于或等于45°，并且距場地邊緣MN的距離不超過30 m的區域劃分為A票區，B票區如圖所示，剩下的為C票區．(π取3)
(1)請你利用尺規作圖，在觀賽場地中，作出A票區所在的區域(只要作出圖形，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)如果每個座位所占的平均面積是0.8平方米，請估算A票區有多少個座位．
【答案】（1）詳見解析；（2）A票區約有1 406個座位．
【分析】（1）可以M、N為圓心，30為半徑交于O點如圖以線段MN、EF與弧FM、弧EN所圍成的區域就是所作的A票區．
（2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面積和．那么先求出扇形的半徑即可．
【詳解】解(1)如圖，以線段MN、EF與、所圍成的區域就是所作的A票區．
(2)連接OM、ON、OE、OF，設MN的中垂線與MN、EF分別相交于點G和H.
由題意，得∠MON＝90°.∵OG⊥MN，OH⊥EF，OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.∴r＝＝15.
∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)．
∴1125÷0.8≈1406.∴A票區約有1406個座位．
【點睛】本題考查了尺規作圖，盲區的定義，勾股定理及扇形的面積公式等知識點，利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題．
24．（2023上·河北張家口·九年級?？茧A段練習）如圖，陽光（平行光線）通過窗戶照到廠房內，豎直窗框在地面上留下2米長的影子，窗框影子的一端到窗下墻腳的距離為3.6米，窗口底邊與地面的距離為1.2米．(1)求窗戶的高度（的長）；(2)如下圖，隨著平行光線照射角度的變化，窗框影子的一端沿向右移動到，米，另一端恰好移動到廠房的另一墻腳，求的長．
【答案】(1)窗戶的高度為米；(2)米．
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理的應用．（1）由題意得，利用平行線分線段成比例定理即可求解；（2）由題意得，利用平行線分線段成比例定理求得，再根據，求解即可．
【詳解】（1）解：∵陽光是平行線，即，∴，
∵，，，∴，∴，解得(米)，
答：窗戶的高度為米；
（2）解：由題意得，∴，
∵，，，∴，
∴，∴(米)， 答：米．
25．（2023上·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）我國宋代就發明了立式風車，它是一種由風力驅動使輪軸旋轉的機械，風力發電不但減污節能，而且可再生永不枯竭．如圖是風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直于葉片，照射，各葉片形成的影子為線段，且測得，，若此時垂直于地面的木棒與影子的比為。(1)求葉片的長；(2)為了安全，風車轉動時，要求風車葉片外端離地面的最低高度要高于12米，此風車是否符合要求？

【答案】(1) (2)符合要求
【分析】（1）過點O作，交于P，過P作于N，則，根據平行線分線段成比例定理可知，由與影子的比為，可得，由等角的正弦可得的長，從而得結論．
（2）由（1）知，與影子的比為，可得的長，即可判斷是否符合要求．
【詳解】（1）解：如圖，過點O作，交于P，過P作于N，則，

，，， ，，，
，，，
，設，，則，
，，，；
（2）解：由（1）知，，，
，，
，則，，
當風車轉動時，風車葉片轉動到于重合時，此時風車葉片外端離地面的高度為：，
，此風車符合要求
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
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專題3.1 投影
模塊1：學習目標
1．以分析實際例子為背景，認識投影和視圖的基本概念和基本性質；
2. 懂得運用投影知識解決有關的實際問題。
模塊2：知識梳理
1 平行投影
1）一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面或墻壁等）上得到的影子，叫做物體的投影。
2）太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影。
3）平行投影的兩個結論（性質）：
（1）等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長。
　
（2）等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度。
4）物高與影長的關系：（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，從早晨到傍晚，物體影長也是由長變短再變長。（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例。
注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長。
2.中心投影
1）若一束光線是從一點發出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影。
這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地。
2）中心投影的兩個結論（性質）：（1）等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.
　
（2）等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.
在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.
3. 平行投影與中心投影的區別與聯系
1）聯系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線、月光等，而中心投影是從一點發出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點發射出來的光線。（2）在平行投影中，同一時刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發生變化。
2）區別：（1）太陽光線是平行的，故太陽光下的影子長度都與物體高度成比例；燈光是發散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例。（2）同一時刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向。
4. 正投影
1）正投影的定義：像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.
　
2）立體圖形的正投影：物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等。
注意：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規律，可以識別或畫出物體的正投影.
(3)由于正投影的投影線垂直于投影面，一個物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個物體看到的圖象之間是有聯系的.
模塊3：核心考點與典例
考點1、投影及其相關概念
例1．（2023上·陜西咸陽·九年級?？茧A段練習）下列說法正確的是（ ）
A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影
B．物體在燈光下產生的投影可能是物體的正投影
C．物體在太陽光下產生的投影是物體的平行投影
D．電燈的光源距離投影面較遠的投影就是平行投影
變式1．（2023上·陜西漢中·九年級校聯考階段練習）下列投影，屬于平行投影的是（ ）
A．晚上路燈下小孩的影子 B．陽光下沙灘上人的影子
C．汽車燈光照射下行人的影子 D．皮影戲中的影子
變式2．（2023下·山東泰安·九年級?？茧A段練習）下列各種現象屬于中心投影現象的是（　?。?br/>A．早上升旗時地面上旗桿的影子 B．上午人走在路上的影子
C．中午用來乘涼的樹影 D．晚上人走在路燈下的影子
變式3．（2023上·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）下列說法正確的是（　　）
A．物體在太陽光下產生的投影是物體的正投影 B．正投影一定是平行投影
C．物體在燈光下產生的投影是物體的正投影 D．正投影可能是中心投影
考點2、平行投影及性質
例1．（2023上·河南平頂山·九年級統考期末）在下列四幅圖形中，能表示兩棵小樹在同一時刻陽光下影子的圖形的可能是（ ）
A． B． C．D．
變式1．（2023上·浙江·九年級專題練習）三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（　　）
A．B． C．D．
變式2．（2023·河南周口·九年級專題練習）在同一時刻的陽光下，甲的影子比乙的影子長，那么在同一路燈下（ ）
A．甲的影子比乙的長 B．甲的影子比乙的影子短
C．甲的影子和乙的影子一樣長 D．無法判斷
變式3．（2023·河南周口·校聯考三模）“光沿直線傳播”產生了影子，下面是在同一時刻的太陽光下兩棵樹產生的影子，其中正確的是（　　）
A． B． C． D．
考點3、平行投影的相關計算（相似）
例1．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）新學期，小華和小明被選為升旗手，為了更好地完成升旗任務，他倆想利用測傾器和陽光下的影子來測量學校旗桿的高度．如圖所示，旗桿直立于旗臺上的點處，他們的測量方法是：首先，在陽光下，小華站在旗桿影子的頂端處，此時，量得小華的影長，小華身高；然后，在旗桿影子上的點處，安裝測傾器，測得旗桿頂端的仰角為，量得，，旗臺高．已知在測量過程中，點在同一水平直線上，點在同一條直線上，均垂直于．求旗桿的高度．（參考數據：）
變式1.（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，甲樓高 16 米，乙樓坐落在甲樓的正北面，已知當地冬至中午12時，物高與影長的比是， 已知兩樓相距為 12 米，那么甲樓的影子落在乙樓上的高 ＝ 米．

變式2.（2023上·江西撫州·九年級期中）如圖，某一廣告墻旁有兩根直立的木桿和，某一時刻在太陽光下，木桿頂端的影子剛好落Q處．(1)請在圖中畫出此時的太陽光線及木桿的影子；(2)若米，米，到的距離的長為2米，求此時木桿的影長．

考點4、中心投影及性質
例1．（2023·河北滄州·模擬預測）下列選項能正確反映小亮和小美在同一盞路燈的兩側站立時影子情況的是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023·浙江九年級期中）當你走在路燈下，越來越接近路燈時，你的影子的長是如何變化（ ）
A．變長 B．變短 C．不變 D．無法確定
變式2．（2023上·陜西渭南·九年級統考期末）一個人在燈光下向遠離光源的方向行走的過程中人的影長越來越 （填“長”或“短”）．
考點5、中心投影的相關計算（相似）
例1．（2023上·陜西西安·九年級校考期中）如圖，電線桿上有盞路燈，小明從點出發，沿直線運動，當他運動2m到達點處時（即），測得影長，再前進2m到達點處時（即），測得影長．（圖中線段、、表示小明的身高，且、、均與垂直）。(1)請畫出路燈的位置和小明位于處時，在路燈燈光下的影子；(2)求小明位于處的影長．
變式1.（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）如圖是圓桌正上方的燈泡發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖．已知桌面的直徑為，桌面距離地面，若燈泡距離地面（桌面的厚度忽略不計），則地面上陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·河北邯鄲·?？既＃?022年2月20日北京冬奧會花樣滑冰表演賽，中國男單一哥金博洋登場，他使用的地面光影直到結束后都讓人意猶未盡．如圖，設聚光燈O的底部為A，金博洋的身高（）為，金博洋與點A的距離為，他在聚光燈下的影子為．
（1）在聚光燈下金博洋落在地面的影子是 （填寫“平行投影”或“中心投影”）；
（2）聚光燈距離地面的高度為 m．

變式3．（2023·湖北恩施·?？寄M預測）如圖，小華在晚上由路燈走向路燈． 當他走到點P時，發現他身后影子的頂部剛好接觸到路燈的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發現他身前影子的頂部剛好接觸到路燈的底部． 已知小華的身高是，兩個路燈的高度都是，且．(1)標出小華站在P處時，在路燈下的影子．(2)求兩個路燈之間的距離．
(3)當小華走到路燈的底部時，他在路燈下的影長是多少？

考點6、正投影及相關計算
例1．（2023·北京海淀·統考二模）一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023下·山東九年級統考課時練習）如圖所示的圓臺的上下底面與投影線平行，圓臺的正投影是（ ）

A．矩形 B．兩條線段 C．等腰梯形 D．圓環
變式2.（2023下·浙江·九年級專題練習）把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是（　　）
A． B． C． D．
考點7、視點、視角和盲區
例1．（2023·寧夏中衛·九年級?？计谀鞍兹找郎奖M，黃河入海流．欲窮千里目，更上一層樓．”這里主要是（ ）
A．增大盲區 B．減少盲區 C．改變光點 D．增加亮度
變式1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這個大樓，若想看到大樓的兩個側面，則小紅應站的區域是（ ）
A．A區域 B．B區域 C．C區域 D．三區域都可以
變式2（2023·福建·統考三模）如圖是某校校史榮譽室的正方形網格平面圖，實線表示墻體或門．在點處安裝了360度旋轉攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無法監控，這部分無法監控到的區域通常稱為監控盲區．
（1）小紅同學進入校史榮譽室隨意參觀，站在監控盲區的概率是多少？（2）為了監控效果更好，使得監控盲區最小，請你幫助學校在墻體上重新設計攝像頭安裝的位置，畫出示意圖，并說明理由．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·河南鄭州·九年級?？计谥校┫铝心姆N影子不是中心投影（　?。?br/>A．月光下房屋的影子 B．晚上在房間內墻上的手影
C．都市霓虹燈形成的影子 D．皮影戲中的影子
2．（2023上·浙江·九年級專題練習）在同一時刻的太陽光下，小剛的影子比小紅的影子長，那么，在晚上同一路燈下（　　）
A．不能夠確定誰的影子長 B．小剛的影子比小紅的影子短
C．小剛跟小紅的影子一樣長 D．小剛的影子比小紅的影子長
3．（2023下·河北保定·九年級?？奸_學考試）下列光線所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．太陽光線 B．臺燈的光線 C．手電筒的光線 D．路燈的光線
4．（2023·安徽淮北·統考三模）一個矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C．D．
5．（2023上·山東煙臺·九年級統考期末）下列關于投影的說法正確的是（　　）
A．平行投影中的光線是聚成一點的 B．線段的正投影還是線段
C．圓形物體在陽光下的投影可能是橢圓 D．若兩人在路燈下的影子一樣長，則兩人身高也相同
6．（2023下·浙江·九年級專題練習）如圖，若正三棱柱看不見的一個側面與投影面平行，則這個正三棱柱的正投影是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·河北保定·九年級統考期末）如圖，在房子屋檐E處安有一臺監視器，房子前有一面落地的廣告牌，那么監視器的盲區是（　　）

A． B． C． D．四邊形
8．（2023上·河北唐山·九年級統考期末）如圖，從點觀測建筑物的視角是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·河南周口·九年級校聯考階段練習）如圖，小樹在路燈O的照射下形成投影．若樹高，樹影，樹與路燈的水平距離．則路燈的高度為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）興趣小組測量學校的旗桿，在陽光下，甲同學測得長1米的竹竿影長為米，同一時刻乙同學測量時發現旗桿的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上，墻壁垂直地面，如圖所示，落在墻上的影長為2米，，落在地面上的影長AB為9米，則旗桿的高度是（ ）米．
A．8 B．12 C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·陜西西安·九年級?？计谥校┤贞惺俏覈糯萌沼皽y定時刻的儀器，其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻，晷針在晷面上所形成的投影屬于 投影．（填寫“平行”或“中心”）
12．（2023上·甘肅白銀·九年級統考期末）如圖，這是三個直立在地面上的藝術字母的投影（陰影部分）效果，在藝術字母“L，K，C”的投影中，屬于同一種投影是 ．

13．（2023·山東九年級期中）電影院的座位排列時，后一排總比前一排高，并且每一橫排呈圓弧形，這是為了 ．
14．（2023上·陜西漢中·九年級校聯考階段練習）人在燈光下走動，當人遠離燈光時，其影子的長度將 ．（填“變長”或“變短”）
15．（2023上·浙江九年級期中）如圖，房間里有一只老鼠，門外蹲著一只小貓，如果每塊正方形地磚的邊長為1米，那么老鼠在地面上能避開小貓視線的活動范圍為 平方米（不計墻的厚度）.
16．（2023上·河北石家莊·九年級統考期中）古希臘數學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔塔頂的影子處直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖所示，木桿長米．它的影長是米，同一時刻測得是米，則金字塔的高度是 米．
17．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校聯考期中）在“測量物體的高度”活動中，小麗在同一時刻陽光下，測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米：測量樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學樓的第一級臺階上（如圖），落在地面上的影長為4.8米，一級臺階高為0.25米，落在第一級臺階上的影子長為0.2米，則樹高度為 米．
18．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．
（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為 °．
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式 ．

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·山東青島·九年級統考期中）如圖，燈桿上掛有一盞燈，小穎和爸爸站在燈下，線段表示小穎的影子．
(1)請通過畫圖，確定燈桿上燈泡O所在的位置；(2)請你在圖中畫出表示爸爸影子的線段．

20．（2023上·陜西西安·九年級校考期中）如圖，同一路燈下站著小明、小芳、小剛三人，請根據小芳和小剛的影長（粗實線為影子），標出圖中路燈燈泡的位置，并畫出小明在燈光下的影子．

21．（2023上·陜西榆林·九年級校考階段練習）如圖，和是直立在地面上的兩根立柱（即均與地面垂直），已知，某一時刻在太陽光下的影子長．
(1)在圖中畫出此時在太陽光下的影子；
(2)在測量的影子長時，同時測量出的影長，計算的長．
22．（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，至今仍有借鑒意義．如圖，身高1.5米的小王晚上在路燈燈柱下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈燈泡的高度，具體做法如下：先從路燈底部沿方向走20步到處，發現自己的影子端點落在點處，作好記號后，從點沿方向走4步恰好到達點處，此時他影子的端點在點處，已知在同一水平線上，路燈的燈泡在上，，小王的步間距保持一致．(1)請在圖中畫出燈泡和影子端點的位置；(2)估計燈泡的高，并求出影長的步數．
23．（2023·浙江九年級期中）如圖是某比賽場館的平面圖，根據距離比賽場地的遠近和視角的不同，將觀賽場地劃分成A、B、C三個不同的票價區．其中與場地邊緣MN的視角大于或等于45°，并且距場地邊緣MN的距離不超過30 m的區域劃分為A票區，B票區如圖所示，剩下的為C票區．(π取3)
(1)請你利用尺規作圖，在觀賽場地中，作出A票區所在的區域(只要作出圖形，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)如果每個座位所占的平均面積是0.8平方米，請估算A票區有多少個座位．
24．（2023上·河北張家口·九年級校考階段練習）如圖，陽光（平行光線）通過窗戶照到廠房內，豎直窗框在地面上留下2米長的影子，窗框影子的一端到窗下墻腳的距離為3.6米，窗口底邊與地面的距離為1.2米．(1)求窗戶的高度（的長）；(2)如下圖，隨著平行光線照射角度的變化，窗框影子的一端沿向右移動到，米，另一端恰好移動到廠房的另一墻腳，求的長．
25．（2023上·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）我國宋代就發明了立式風車，它是一種由風力驅動使輪軸旋轉的機械，風力發電不但減污節能，而且可再生永不枯竭．如圖是風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直于葉片，照射，各葉片形成的影子為線段，且測得，，若此時垂直于地面的木棒與影子的比為。(1)求葉片的長；(2)為了安全，風車轉動時，要求風車葉片外端離地面的最低高度要高于12米，此風車是否符合要求？

21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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