資源簡介

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專題3.3 由三視圖描述幾何體
模塊1：學習目標
1.會根據簡單幾何體的三視圖描述出幾何體的基本形狀或實物原圖；
2.通過討論簡單立體圖形與它的三視圖的相互轉化，經歷畫圖、識圖等過程，分析立體圖形和平面圖形之間的聯系，提高空間想象能力；
模塊2：知識梳理
1.由三視圖想象幾何體的形狀
由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側面，然后綜合起來考慮整體圖形.
注意：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進行分析：（1）根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀以及幾何體的長、寬、高；（2）根據實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；（3）熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復雜幾何體的想象有幫助；（4）利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復練習，不斷總結方法.
模塊3：核心考點與典例
考點1、由三視圖還原幾何體
例1．（2023上·陜西榆林·九年級校考階段練習）如圖是一個幾何體的俯視圖，這個幾何體可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三視圖，解題的關鍵是掌握從上面看到的圖形是俯視圖．
【詳解】解：根據題意可得：這個幾何體可能是“”，故選：A．
變式1.（2023上·山東青島·九年級統考期中）如圖是某個幾何體的三視圖，則該幾何體是（　　）

A．圓錐 B．長方體 C．三棱柱 D．圓柱
【答案】D
【分析】此題考查了由三視圖判斷幾何體，關鍵是熟練掌握三視圖，主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
由主視圖和左視圖確定是柱體、錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．
【詳解】解：根據主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據俯視圖是圓可判斷出這個幾何體是圓柱．
故選：D．
變式2.（2023上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）
A．長方體 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐
【答案】A
【分析】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵．
【詳解】根據三視圖 得該幾何體是長方體，故選A．
考點2、由三視圖判斷小立方體的個數
例1．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D是由一些相同的小正方體構成的幾何體的左視圖和俯視圖，這些相同的小正方體的個數為（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【答案】B
【分析】本題考查幾何體的三視圖．做這類題時要借助從不同方向看到的圖形表示物體的特點，從正面看的圖形上弄清物體的上下和左右形狀；從上面看到的圖形上弄清物體的左右和前后形狀；從左面看到的圖形上弄清楚物體的上下和前后形狀，綜合分析，合理猜想，結合生活經驗描繪出草圖后，再檢驗是否符合題意．
【詳解】解：俯視圖中有5個正方形，那么最底層有5個正方體，
由左視圖可得第二層有1個正方體，∴共有個正方體．故選：B．
變式1. （2023·山東濟南·九年級統考期中）如圖是由一些相同的小正方體搭成的立體圖形的三視圖，則組成這個立體圖形的小正方體的個數是 ．
【答案】5
【分析】利用三視圖的觀察角度不同得出行數與列數,結合主視圖得出答案
【詳解】由三視圖確定小正方體個數的關鍵是從俯視圖入手，由俯視圖可以確定這個立體圖形的最底層有4個小正方體，再由主視圖和左視圖確定有兩層，上層有1個小正方體，所以共有5個小正方體．
【點睛】此題考查由三視圖判斷幾何體，解題關鍵在于得出圖象行數與列數
變式2. （2023·江蘇九年級期中）小穎同學到學校領來盒粉筆，整齊地摞在講桌上，其三視圖如圖，則的值是 .
【答案】
【分析】根據俯視圖有個格子，得底層有盒；根據主視圖和左視圖可知，第二層有盒，第三層有盒，即可求出．
【詳解】如圖所示：底層有盒，第二層有盒，第三層有盒∴．故答案為：．
【點睛】本題考查三視圖的知識，解題的關鍵是根據三視圖判斷出幾何體．
考點3、由三視圖求最多（最少）的小立方體的個數
例1．（2023上·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習）用小立方塊搭成的幾何體，從左面看和從上面看如下，這樣的幾何體最多要個小立方塊，最少要個小立方塊，則等于（ ）

A．12 B．13 C．14 D．1
【答案】A
【分析】本題考查了三視圖；根據從左面看和從上面看的視圖，分析得出最多和最少的情況，然后可得答案．
【詳解】解：由題意得，最多和最少的情況如圖所示（最少時第2行3個空可相互交換）：

所以，，所以，故選：A．
變式1. （2022上·陜西咸陽·九年級校考階段練習）如圖是由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體從正面和左面看到的形狀圖，則搭成該幾何體需要的小正方體個數最多是（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【分析】本題考查了三視圖，分別根據從正面看，從左面看得到的圖形分析，即可求解．
【詳解】解：從正面看得：幾何體共兩列，左邊一列高兩層，右邊一列高一層；
從左面看得：前后共兩行，后面一行是一層，
所以可確定左邊一列后面可能有一個，右邊一列后面可能有一個，左列前面一行一定是兩個，右邊一列可能前面一個或后面一個或前后都有一個，
所以這個幾何體的小正方形的個數最多5個．故選：C
變式2. （2023上·重慶南岸·九年級?？计谥校┮粋€幾何體的從正面看和從上面看如圖所示，若這個幾何體最多由個小正方體組成，最少由個正方體組成，則等于 ．
【答案】
【分析】根據正視圖，俯視圖可到三視圖的結構，正確猜測數量并進行有理數的加減即可求解．
【詳解】解：正視圖：分為左右兩列，上下三層，最多個；俯視圖：分為左右兩列，上下兩層，第一層最多個，第二層最多個，最少個；
∴最多有個，最少有個，即，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查立體幾何的三視圖，有理數的加減混合運算的運用，掌握以上知識是解題的關鍵．
考點4、已知三視圖求幾何體的體積（1）
例1．（2023·安徽淮北·統考模擬預測）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（　　）
A．125 B．100 C．75 D．30
【答案】C
【分析】由三視圖可知，幾何體為底面為邊長是5，高為2的正六棱柱，利用體積等于底面積乘以高進行計算即可．
【詳解】解：由圖可知：幾何體為底面為邊長是5，高為2的正六棱柱，
如圖：設正六邊形的中心為，，
則：，∴，，
∴，∴底面面積為：，
∴該幾何體的體積為：；故選C．
【點睛】本題考查由幾何體的三視圖，求幾何體的體積．解題的關鍵是根據三視圖，還原幾何體．
變式1．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長分別為和，俯視圖是直徑等于的圓，則這個幾何體的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三視圖可得該幾何體為圓柱體，圓柱體的體積為，根據題中所給三視圖中對應邊長和直徑即可分別求得圓柱體的底面積和高，從而可求幾何體的體積．
【詳解】∵由三視圖可分析得到該幾何體為圓柱體，∴其幾何體的體積為，
∵由題意得主視圖的相鄰兩邊長分別為和，俯視圖是直徑等于的圓，
∴該圓柱體的底面圓的半徑為，底面積為，圓柱體的高為，
∴該圓柱體的體積為．故選：C．
【點睛】本題考查由三視圖推導幾何體，并利用三視圖所給的數據求解該幾何體的體積，熟練地掌握常見幾何體的三視圖和對應幾何體的體積計算公式是解題的關鍵．
變式2．（2023下·浙江·九年級專題練習）已知一個圓錐的三視圖如圖所示，則這個圓錐的體積為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三視圖確定圓錐的底面半徑和高，然后利用圓錐的體積計算公式求得答案即可．
【詳解】解：觀察三視圖得：圓錐的底面半徑為，高為，
所以圓錐的體積為．故選：C．
【點睛】本題主要考查了圓錐的三視圖，圓的面積公式，根據主視圖與左視圖得到圓錐的底面直徑是解題的關鍵．
考點5、已知三視圖求幾何體的體積（2）
例1．（2022上·廣東茂名·九年級校考期中）某幾何體是由一個圓柱和一個長方體組成的，它從正面和上面看到的圖形如圖所示的，求該幾何體的體積．（取3.14，單位：）
【答案】
【分析】結合圖形可知上部分是一個圓柱，底面直徑是，高是；下部分是一個長方體，長、寬、高分別是，，，根據圓柱和長方體的體積計算公式進行計算即可．
【詳解】解：該幾何體上部分是一個圓柱，底面直徑是，高是；下部分是一個長方體，長、寬、高分別是，，，所以該幾何體的體積為
答：該幾何體的體積為．
【點睛】本題考查了立體圖形的三視圖以及常見幾何體的體積計算，結合圖形得出圓柱底面直徑和高以及長方體的長寬高是解題的關鍵．
變式1．（2022上·重慶南岸·九年級統考期末）如圖，是一個由鐵鑄灌成的幾何體的三視圖，根據圖中所標數據，鑄灌這個幾何體需要的鐵的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用三視圖得出幾何體的形狀，再利用圓柱體積求法得出答案．
【詳解】解：由三視圖可得，幾何體是空心圓柱，其小圓半徑是1，大圓半徑是2，
則大圓面積為：，小圓面積為：，
故這個幾何體的體積為：．故選：B．
【點睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，正確判斷出幾何體的形狀是解題關鍵．
變式2．（2023上·江西撫州·九年級校考期中）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積 ．

【答案】60
【分析】本題考查幾何體的三視圖，根據視圖得出幾何體的形狀是計算體積的關鍵．根據三視圖，得出這個幾何體的性質，再利用體積計算方法進行計算即可．
【詳解】解：由三視圖知，原幾何體是正方體截掉一個底面邊長為1，高為4的長方體．
，幾何體的體積是60．故答案為：60．
考點6、已知三視圖求長度
例1．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（　　）

A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】由主視圖和左視圖可得：，，，連接，則有，可求，即可求解．
【詳解】解：如圖，

由主視圖和左視圖可得：，，，
，，，，
連接，則有，為等邊三角形，
，
，，．故選：D．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，正六邊形的性質，特殊角的三角函數值，掌握三視圖長寬高與原幾何體之間的關系及正六邊形的性質是解題的關鍵．
變式1．（2023·河北石家莊·校考模擬預測）三棱柱的三視圖如圖，中，，，，則的長為（ ）

A．6cm B． C． D．4cm
【答案】A
【分析】過點E作于點Q，根據三視圖的意義，得到，用勾股定理計算即可．
【詳解】過點E作于點Q，
根據三視圖的意義，得到，

∵，，∴．故選A．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖計算，正確理解三視圖的意義是解題的關鍵．
變式2．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構成，主視圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度至少為（ ）

A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm
【答案】C
【分析】由主視圖知道，高是，兩頂點之間的最大距離為，再利用正六邊形的性質求得底面對邊之間的距離，然后所有棱長相加即可解答．
【詳解】解：根據題意，如圖：作出實際圖形的上底，連接,由主視圖可知：,
∵正六邊形∴,
∴四邊形是菱形∴∴
∴，則，
∴膠帶的長至少．故選C．

【點睛】本題考查立體圖形的三視圖和學生的空間想象能力，知道正六邊形兩個頂點間的最大距離求對邊之間的距離需構造直角三角形是解答本題的關鍵．
變式3.（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期末）一透明的敞口正方體容器裝有液體，棱始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（注：圖中α，圖中）．
(1)探究如圖，液面剛好過棱，并與棱交于點，其三視圖及尺寸如圖所示，那么：圖中，液體形狀為（填幾何體的名稱）；
(2)利用圖中數據，可以算出圖中液體的體積為 ．（公式：體積底面積高）
(3)拓展在圖的基礎上，以棱為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出．若從正面看，液面與棱交于點、（始終在棱上），設，請你在下圖中把此容器主視圖補充完整，并用含的代數式表示的長度．
【答案】(1)三棱柱(2)24(3)容器向左旋轉：；容器向右旋轉：，圖見解析
【分析】（1）根據圖象得出液體形狀，（2）根據底面積高求出答案；
（3）根據液體體積不變，據此即可列方程求解．
【詳解】（1）解∶由三視圖可知，液體形狀為三棱柱，故答案為：三棱柱；
（2）解：利用圖中數據可得
∴液體的體積為，故答案為；
（3）解：主視圖如下圖，
當容器向左旋轉時，解得，
當容器向右旋轉時，解得.
【點睛】本題考查了棱柱體的體積計算以及三視圖的認識，正確理解棱柱的體積是關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·陜西渭南·九年級?？计谀┤鐖D，是某幾何體的俯視圖，該幾何體是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是理解三視圖的定義．根據俯視圖是從上面看到的圖形判斷即可．
【詳解】解：A．三棱柱的俯視圖是三角形；B．圓錐的俯視圖是帶圓心的圓；
C．正方體的俯視圖是正方形；D．圓柱的俯視圖是不帶圓心的圓．故選：B．
2．（2023·湖北宜昌·統考模擬預測）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）

A．五棱柱 B．圓柱 C．長方體 D．五棱錐
【答案】A
【分析】根據三視圖可知正視圖是一個正五邊形，左視圖是一個大長方形，里面有兩個小長方形，俯視圖是一個大長方形，豎著分成兩個小長方形且有兩條線看不見，由此即可得到答案．
【詳解】解：由三視圖可知正視圖是一個正五邊形，左視圖是一個大長方形，里面有兩個小長方形，俯視圖是一個大長方形，豎著分成兩個小長方形且有兩條線看不見，由此可知這個幾何體是五棱柱，
故選A．
【點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，解題的關鍵在于能夠正確理解圖中的三視圖．
3．（2023上·廣東·九年級專題練習）如圖是由一些相同的小正方體構成的立體圖形從三個不同方向看得到的圖形，這些相同的小正方體的個數是（　?。?br/>A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本題考查簡單幾何的三視圖，解題的關鍵是由圖各行各列的小正方體的個數．由俯視圖得到有有三列，第一行第一列只能有1個正方體，第二列共有3個正方體，第一行第三列有1個正方體即可得到答案．
【詳解】解：第一行第一列只能有1個正方體，第二列共有3個正方體，
第一行第三列有1個正方體，共需正方體（個），故選：B．
4．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖所示，根據三視圖的知識可使用排除法來解答．
【詳解】解：根據俯視圖上層為圓，下層為矩形，
主視圖上層為矩形，下層也為矩形，
左視圖都是矩形，可得這個幾何體上層為一個圓柱，下層為柱體，兩者的高差不多相等，故選：C．
【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．
5．（2023·河南周口·校聯考三模）如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，若其左視圖的面積為2，則其俯視圖的面積是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據俯視圖的定義，畫出俯視圖，即可求解；
【詳解】解：如圖，俯視圖為： 面積為．故選：C．
【點睛】本題考查了俯視圖的定義，會根據定義畫出相應的視圖是解題的關鍵．
6．（2023下·陜西榆林·九年級?？奸_學考試）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三視圖的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：根據主視圖可排除選項A、B，
根據左視圖可排除選項D，再根據俯視圖可判斷選項C符合題意，故選：C．
【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體，解答的關鍵是理解三視圖的定義：從正面看到的視圖是主視圖；從左面看到的視圖是左視圖；從上面看到的視圖是俯視圖．注意看得到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線．
7．（2023上·廣東佛山·九年級西樵中學校聯考期中）由若干個相同小正方體搭成的幾何體從正面和上面看到的圖形如圖所示，則構成這個幾何體至少需要（ ）個小正方體．

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本題考查了立體幾何中的三視圖，靈活運用空間想象能力，掌握對三視圖即從上面、左面、正面觀察圖形的特點是解答本題的關鍵．
由從正面看的圖形得到：這個幾何體共有層，由從上面看的圖形得到：第一層小正方體個數為，再由從正面看的圖形得到：第二層至少有個小正方體，得到答案．
【詳解】解：由從上面看的圖形得到：最底層有個小正方體，再由從正面看的圖形得到：第二層至少有個小正方體，那么構成這個幾何體小正方體至少需要個．故選：．
8．（2023·河北唐山·統考二模）如圖，是一個長方體的三視圖，則該長方體的體積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三視圖確定長方體的尺寸，從而求得體積即可．
【詳解】觀察三視圖發現該長方體的長、寬、高分別為、、
依題意可求出該幾何體的體積為故選：C．
【點睛】考查了由三視圖判斷幾何體，本題要先判斷出幾何體的形狀，然后根據其體積公式進行計算即可．
9．（2023上·山東煙臺·九年級統考期中）如圖是某幾何體的三視圖，根據圖中所標的數據求得該幾何體的體積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給出的幾何體的三視圖可知幾何體是由大小兩個圓柱組成，從而根據三視圖的特點得知高和底面直徑，代入體積公式計算即可．
【詳解】解：由三視圖可知，幾何體是由大小兩個圓柱組成，
故該幾何體的體積為：．故選：D．
【點睛】本題考查的是由三視圖判斷幾何體的形狀并計算幾何體的體積，由該三視圖中的數據確定圓柱的底面直徑和高是解本題的關鍵，本題體現了數形結合的數學思想．
10．（2023·浙江·九年級專題練習）一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個幾何體最多由a個小正方體組成，最少由b個小正方體組成，則等于（　?。?br/>A．10 B．11 C．12
【答案】C
【分析】根據主視圖和俯視圖可得左邊后排最多有3個，左邊前排最多有3個，右邊只有1個，圖中的小正方體最多7塊，左邊后排最少有1個，左邊前排最多有3個，右邊只有1個，圖中的小正方體最少5塊，即得
本題主要考查了由三視圖判定小正方體的個數，解決問題的關鍵是熟練掌握由主視圖和俯視圖判定左邊前、后排小正方體最多或最少個數，右邊小正方體個數．
【詳解】結合主視圖和俯視圖可知，左邊后排最多有3個，左邊前排最多有3個，右邊只有一層，且只有1個，∴圖中的小正方體最多7塊．
結合主視圖和俯視圖可知，左邊后排最少有1個，左邊前排最多有3個，右邊只有一層，且只有1個，
∴圖中的小正方體最少5塊．．故選：C．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·安徽宿州·九年級校考階段練習）一個幾何體由13個大小相同的小立方塊搭成.這個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的搭法共有 種（三視圖中沒有空白部分）.
【答案】3
【分析】本題考查了三視圖的應用，同時也體現了對空間想象能力方面的考查，由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．
【詳解】解：由俯視圖得，最底層有9個小立方塊，還有個，
從主視圖可知，此立方體共有3層，結合左視圖可知第二層有3個小立方塊，
第三層有1個小立方塊，位置固定，搭法如下圖：
結合圖形可知共有3種搭法，故答案為：3．
12．（2023上·廣東梅州·九年級?？计谥校┤晥D都是等大圓形的幾何體是 ；三視圖都是等大正方形的幾何體是 ．
【答案】 球體 正方體
【分析】本題主要考查幾何體的認識，解題的關鍵是理解題意；根據題意及結合三視圖可進行求解．
【詳解】解：三視圖都是等大圓形的幾何體是球體；三視圖都是等大正方形的幾何體是正方體；
故答案為球體，正方體．
13．（2023上·山東淄博·九年級統考期中）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 （結果保留）．
【答案】
【分析】此題考查了由三視圖判斷幾何體，以及求圓柱體的體積， 由三視圖易得此幾何體為圓柱的一半，圓柱的體積底面積高，把相關數值代入即可求解，解決本題的關鍵是得到此幾何體的形狀，易錯點是得到計算此幾何體所需要的相關數據．
【詳解】解：由三視圖可知，此幾何體為圓柱體的一半，
∴體積為：，故答案為：．
14．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖所示的幾何體由若干個相同的小正方體搭成，要保持從上面和左面看到的形狀圖不變，最多可以同時拿走 個小正方體．
【答案】1
【分析】本題考查了三視圖的畫法，根據左視圖和俯視圖求解即可，綜合分析兩種視圖是解題的關鍵．
【詳解】解：要保持從上面和左面看到的形狀圖不變，
從左面看：，從上面看：
則從正面看，第二列第二層最多可以拿走1個，故答案為：1．
15．（2023上·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習）如圖是一個三棱柱的三視圖，中，，，則的長為 ．

【答案】
【分析】此題主要考查了由三視圖解決實際問題，過點E作于點Q，根據三視圖的對應情況可得出，，再由直角三角形的性質，進而求出即可．
【詳解】解：過點E作于點Q，

由題意得： ，∵，∴，
∵，∴，∴．故答案為：
16．（2023上·內蒙古包頭·九年級?？计谥校┤鐖D是一個幾何體的三視圖，俯視圖是菱形，根據圖中數據（單位：），可求得它的體積是 ．
【答案】240
【分析】本題主要考查了根據三視圖求體積，解題的關鍵是把三視圖還原為立體圖形．由三視圖可知該幾何體是四棱柱，其中棱柱的高是10，底面是菱形，且菱形的兩條對角線的長為8，6，然后結合菱形面積公式求出底面的面積，再乘以高便可得出該幾何體的體積．
【詳解】解：該幾何體的主視圖以及左視圖都是矩形，俯視圖也為一個菱形形，可確定這個幾何體是一個四棱柱，依題意可求出該幾何體的體積為．故答案為：240．
17．（2023上·廣東清遠·九年級統考期末）如圖所示是某工件的三視圖，此工件是 形，它的體積是 ．（結果保留）

【答案】 圓錐 /立方厘米
【分析】由三視圖可知，該幾何體為圓錐，根據，計算求解即可．
【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體為圓錐，圓錐地面的直徑為，圓錐的高為，
∴，故答案為：圓錐，．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，圓錐的體積．解題的關鍵在于識別幾何體的形狀．
18．（2023·河北唐山·九年級統考期末）如圖，是一個長方體的三視圖，已知長方體的高為x，其俯視圖和左視圖的面積分別為，．

(1)用表示此長方體的長為______、寬為______；
(2)當時，此時長方體的體積為______．
【答案】(1)、(2)48
【分析】考查了由三視圖判斷幾何體，本題要先判斷出幾何體的形狀，然后根據其體積公式進行計算即可（1）根據三視圖可知幾何體為長方體，然后由俯視圖和左視圖的面積可得長方體的長、寬、高，即可求出答案（2）由（1）得出長方體的長、寬、高．根據長方體的體積長寬高，把代入即可求出答案．
【詳解】（1）根據三視圖可知幾何體為長方體，如圖

其俯視圖和左視圖的面積分別為， ，
長方體的長為、寬為；
（2）由（1）得長方體的長為、寬為，高為x，
長方體的體積長寬高，長方體的體積，
當時時，，
即當時，此時長方體的體積為48．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·江西萍鄉·九年級?？计谥校恼婧蜕厦婵从梢恍┐笮∠嗤男≌襟w組成的簡單幾何體得到的形狀圖如圖所示．

(1)請你畫出一種這個幾何體的從左面看到的形狀圖；
(2)若組成這個幾何體的小正方體的個數為，請你寫出n的所有可能值．
【答案】(1)圖形見詳解；(2),,,,
【分析】（1）根據主視圖結合俯視圖還原所有可能的擺放方式，任選一種畫出左視圖即可．
（2）將小正方體最少的情況和最多的情況依次找出，并用俯視圖表示出來即可，本題考查空間想象能力，能夠根據三視圖中的任意兩圖還原出立方體可能的情況是解決本題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖所示意，從左面看到的形狀可能為：
（任選其中一種即可）；
（2）解：小正方體數量數量有以下幾種情況（由俯視圖表示）：

則的所有可能值為：,,,,．
20．（2023上·江西吉安·九年級?？计谥校?）解方程：．
（2）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，求該幾何體的體積．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題主要考查一元二次方程的解法及三視圖，熟練掌握一元二次方程的解法及三視圖是解題的關鍵；（1）根據因式分解法可求解方程；
（2）根據三視圖可知該幾何體是三棱柱，然后根據三棱柱的體積公式可進行求解．
【詳解】解：（1）
解得：；
（2）由三視圖可知該幾何體是三棱柱，且三棱柱的高為，底面為邊長為的等邊三角形，如圖，
∴，∴，∴該幾何體的體積為．
21．（2023上·福建泉州·九年級校聯考階段練習）如圖是一個立體圖形從三個不同方向看所得到的形狀圖，請寫出這個立體圖形的名稱，并計算這個立體圖形的體積（結果保留）．
【答案】圓柱，立方厘米
【分析】本題主要考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．從三視圖可得，正視圖以及左視圖為矩形，而俯視圖為圓形，故可以得出該立體圖形為圓柱．由三視圖可以得到圓柱的半徑，長和高，進而得出體積．
【詳解】解：由三視圖可得，該立體圖形為圓柱．
圓柱的底面半徑，高，
圓柱的體積（立方厘米）．
答：這個圓柱的體積為立方厘米．
22．（2023上·貴州貴陽·九年級統考期中）如圖①，是兩個長方體組合的幾何體．

(1)圖②和圖③是它的兩種視圖，圖②是 視圖，圖③是 視圖；（填“主”“左”或“俯”）
(2)根據兩個視圖中的尺寸，計算這個組合幾何體的體積．
【答案】(1)主，俯 (2)21
【分析】本題考查了三視圖，求長方體體積．
（1）根據三視圖是定義“從正面看到的是主視圖，從上面看到的是俯視圖，從左邊看到的是左視圖”，即可解答；
（2）根據這個組合圖形的體積等于兩個長方體的體積之和，即可解答．
【詳解】（1）解：根據題意可得：圖②是主視圖，圖③是俯視圖；故答案為：主，俯．
（2）解：由題意：這個幾何體的體積是：，
這個幾何體的體積是21．
23．（2023·浙江·九年級專題練習）某糖果廠想要為兒童設計一種新型的裝糖果的不倒翁，請你根據包裝廠設計好的三視圖（如圖）的尺寸計算其體積．（球的體積公式：其中r為球的半徑）
【答案】不倒翁的體積為：
【分析】由已知中的三視圖，我們可以判斷出該幾何體的形狀為：下部是底面半徑為的半球，上部為底面半徑為，母線長13cm的圓錐組成的組成體，代入圓錐體積公式和球的體積公式，即可得到答案．
【詳解】解：此幾何體是圓錐和半球的組合體，
如圖所示：
∵，，∴，∴，
∴上面圓錐的體積為：，
下面半球體積為：
∴該幾何體的容積為：．
【點睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體、幾何體體積的計算，正確得出幾何體的組成是解題關鍵．
24．（2023上·山西運城·九年級校考期中）在一節數學課上，小紅畫出了某四棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為等腰梯形，已知該四棱柱的側面積為．
(1)三視圖中，有一圖未畫完，請在圖中補全；
(2)根據圖中給出的數據，俯視圖中的長度為________；
(3)左視圖中矩形的面積為________；(4)這個四棱柱的體積為________．
【答案】(1)見解析(2)(3)(4)
【分析】（1）根據所在的面在前，所在的面在后，得到主視圖中應補充兩條虛線，畫出圖形即可；（2）由俯視圖為等腰梯形，可得，再根據四棱柱的側面積為，計算即可得出答案；（3）作于，于，則四邊形是矩形，證明得到，由勾股定理計算出，由此即可得出答案；（4）先由梯形的面積公式計算出底面積，再乘以高即可得到答案．
【詳解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后，
主視圖中應補充兩條虛線，
補充完整如圖所示：
（2）解：俯視圖為等腰梯形，，
該四棱柱的側面積為，，
，故答案為：；
（3）解：如圖，作于，于，
，
俯視圖為等腰梯形，，，
，，，
，，四邊形是矩形，
，，，，
，，
，
左視圖中矩形的面積為：，故答案為：8；
（4）解：由題意得：這個四棱柱的體積為，故答案為：32．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖、矩形的判定與性質、三角形全等的判定與性質、等腰梯形的性質、求幾何體的體積等知識點，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
25．（2023上·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學?？计谥校┮煌该鞯某谡襟w容器裝有一些液體，棱始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為（，如圖所示）．
探究：如圖，液面剛好過棱，并與棱交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖所示．
解決問題：
（1）與的位置關系是_____，的長是______；
（2）求液體的體積（直三棱柱的體積底面三角形的面積高）；
（3）求的度數．（注：，）
【答案】（1）平行；3；（2）；（3）；
【分析】（1）如圖可直接得到與的位置關系，再由勾股定理求的長；
（2）根據三視圖得到直三棱柱的邊長，再由直棱柱體積＝底面積×高，即可求得；
（3）根據兩直線平行內錯角相等和三角函數值，即可求得．
【詳解】解：（1）由題意可得：，
由主視圖可得：，由左視圖可得：，而，∴；
（2）液面的體積為：；
（3）∵，∴，
在中，，∴，∴．
【點睛】本題考查直線的位置關系、勾股定理、根據三視圖計算幾何體的體積，以及根據三角函數求角度問題，屬于綜合基礎題．
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專題3.3 由三視圖描述幾何體
模塊1：學習目標
1.會根據簡單幾何體的三視圖描述出幾何體的基本形狀或實物原圖；
2.通過討論簡單立體圖形與它的三視圖的相互轉化，經歷畫圖、識圖等過程，分析立體圖形和平面圖形之間的聯系，提高空間想象能力；
模塊2：知識梳理
1.由三視圖想象幾何體的形狀
由三視圖想象幾何體的形狀，首先應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側面，然后綜合起來考慮整體圖形.
注意：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進行分析：（1）根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀以及幾何體的長、寬、高；（2）根據實線和虛線想象幾何體看得見和看不見的輪廓線；（3）熟記一些簡單的幾何體的三視圖會對復雜幾何體的想象有幫助；（4）利用由三視圖畫幾何體與由幾何體畫三視圖為互逆過程，反復練習，不斷總結方法.
模塊3：核心考點與典例
考點1、由三視圖還原幾何體
例1．（2023上·陜西榆林·九年級校考階段練習）如圖是一個幾何體的俯視圖，這個幾何體可能是（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023上·山東青島·九年級統考期中）如圖是某個幾何體的三視圖，則該幾何體是（　?。?br/>
A．圓錐 B．長方體 C．三棱柱 D．圓柱
變式2.（2023上·陜西榆林·九年級校考階段練習）如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）
A．長方體 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐
考點2、由三視圖判斷小立方體的個數
例1．（2023上·四川成都·九年級校考期中）如圖是由一些相同的小正方體構成的幾何體的左視圖和俯視圖，這些相同的小正方體的個數為（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
變式1. （2023·山東濟南·九年級統考期中）如圖是由一些相同的小正方體搭成的立體圖形的三視圖，則組成這個立體圖形的小正方體的個數是 ．
變式2. （2023·江蘇九年級期中）小穎同學到學校領來盒粉筆，整齊地摞在講桌上，其三視圖如圖，則的值是 .
考點3、由三視圖求最多（最少）的小立方體的個數
例1．（2023上·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習）用小立方塊搭成的幾何體，從左面看和從上面看如下，這樣的幾何體最多要個小立方塊，最少要個小立方塊，則等于（ ）

A．12 B．13 C．14 D．1
變式1. （2022上·陜西咸陽·九年級?？茧A段練習）如圖是由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體從正面和左面看到的形狀圖，則搭成該幾何體需要的小正方體個數最多是（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
變式2. （2023上·重慶南岸·九年級校考期中）一個幾何體的從正面看和從上面看如圖所示，若這個幾何體最多由個小正方體組成，最少由個正方體組成，則等于 ．
考點4、已知三視圖求幾何體的體積（1）
例1．（2023·安徽淮北·統考模擬預測）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（　?。?br/>A．125 B．100 C．75 D．30
變式1．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個全等的矩形．若主視圖的相鄰兩邊長分別為和，俯視圖是直徑等于的圓，則這個幾何體的體積為（ ）

A． B． C． D．
變式2．（2023下·浙江·九年級專題練習）已知一個圓錐的三視圖如圖所示，則這個圓錐的體積為（　?。?br/>A． B． C． D．
考點5、已知三視圖求幾何體的體積（2）
例1．（2022上·廣東茂名·九年級?？计谥校┠硯缀误w是由一個圓柱和一個長方體組成的，它從正面和上面看到的圖形如圖所示的，求該幾何體的體積．（取3.14，單位：）
變式1．（2022上·重慶南岸·九年級統考期末）如圖，是一個由鐵鑄灌成的幾何體的三視圖，根據圖中所標數據，鑄灌這個幾何體需要的鐵的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023上·江西撫州·九年級校考期中）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積 ．

考點6、已知三視圖求長度
例1．（2023·江蘇南京·?？既＃┤鐖D是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（　　）

A． B．4 C．2 D．
變式1．（2023·河北石家莊·?？寄M預測）三棱柱的三視圖如圖，中，，，，則的長為（ ）

A．6cm B． C． D．4cm
變式2．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構成，主視圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度至少為（ ）

A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm
變式3.（2023上·江蘇無錫·九年級校聯考期末）一透明的敞口正方體容器裝有液體，棱始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（注：圖中α，圖中）．
(1)探究如圖，液面剛好過棱，并與棱交于點，其三視圖及尺寸如圖所示，那么：圖中，液體形狀為（填幾何體的名稱）；
(2)利用圖中數據，可以算出圖中液體的體積為 ．（公式：體積底面積高）
(3)拓展在圖的基礎上，以棱為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出．若從正面看，液面與棱交于點、（始終在棱上），設，請你在下圖中把此容器主視圖補充完整，并用含的代數式表示的長度．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·陜西渭南·九年級?？计谀┤鐖D，是某幾何體的俯視圖，該幾何體是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北宜昌·統考模擬預測）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）

A．五棱柱 B．圓柱 C．長方體 D．五棱錐
3．（2023上·廣東·九年級專題練習）如圖是由一些相同的小正方體構成的立體圖形從三個不同方向看得到的圖形，這些相同的小正方體的個數是（　?。?br/>A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·河南周口·校聯考三模）如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，若其左視圖的面積為2，則其俯視圖的面積是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023下·陜西榆林·九年級?？奸_學考試）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023上·廣東佛山·九年級西樵中學校聯考期中）由若干個相同小正方體搭成的幾何體從正面和上面看到的圖形如圖所示，則構成這個幾何體至少需要（ ）個小正方體．

A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2023·河北唐山·統考二模）如圖，是一個長方體的三視圖，則該長方體的體積是（ ）

A． B． C． D．
9．（2023上·山東煙臺·九年級統考期中）如圖是某幾何體的三視圖，根據圖中所標的數據求得該幾何體的體積為（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023·浙江·九年級專題練習）一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個幾何體最多由a個小正方體組成，最少由b個小正方體組成，則等于（　?。?br/>A．10 B．11 C．12
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·安徽宿州·九年級?？茧A段練習）一個幾何體由13個大小相同的小立方塊搭成.這個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的搭法共有 種（三視圖中沒有空白部分）.
12．（2023上·廣東梅州·九年級?？计谥校┤晥D都是等大圓形的幾何體是 ；三視圖都是等大正方形的幾何體是 ．
13．（2023上·山東淄博·九年級統考期中）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 （結果保留）．
14．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖所示的幾何體由若干個相同的小正方體搭成，要保持從上面和左面看到的形狀圖不變，最多可以同時拿走 個小正方體．
15．（2023上·河南駐馬店·九年級校考階段練習）如圖是一個三棱柱的三視圖，中，，，則的長為 ．

16．（2023上·內蒙古包頭·九年級?？计谥校┤鐖D是一個幾何體的三視圖，俯視圖是菱形，根據圖中數據（單位：），可求得它的體積是 ．
17．（2023上·廣東清遠·九年級統考期末）如圖所示是某工件的三視圖，此工件是 形，它的體積是 ．（結果保留）

18．（2023·河北唐山·九年級統考期末）如圖，是一個長方體的三視圖，已知長方體的高為x，其俯視圖和左視圖的面積分別為，．

(1)用表示此長方體的長為______、寬為______；(2)當時，此時長方體的體積為______．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·江西萍鄉·九年級?？计谥校恼婧蜕厦婵从梢恍┐笮∠嗤男≌襟w組成的簡單幾何體得到的形狀圖如圖所示．(1)請你畫出一種這個幾何體的從左面看到的形狀圖；
(2)若組成這個幾何體的小正方體的個數為，請你寫出n的所有可能值．

20．（2023上·江西吉安·九年級校考期中）（1）解方程：．
（2）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，求該幾何體的體積．
21．（2023上·福建泉州·九年級校聯考階段練習）如圖是一個立體圖形從三個不同方向看所得到的形狀圖，請寫出這個立體圖形的名稱，并計算這個立體圖形的體積（結果保留）．
22．（2023上·貴州貴陽·九年級統考期中）如圖①，是兩個長方體組合的幾何體．
(1)圖②和圖③是它的兩種視圖，圖②是 視圖，圖③是 視圖；（填“主”“左”或“俯”）
(2)根據兩個視圖中的尺寸，計算這個組合幾何體的體積．

23．（2023·浙江·九年級專題練習）某糖果廠想要為兒童設計一種新型的裝糖果的不倒翁，請你根據包裝廠設計好的三視圖（如圖）的尺寸計算其體積．（球的體積公式：其中r為球的半徑）
24．（2023上·山西運城·九年級校考期中）在一節數學課上，小紅畫出了某四棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為等腰梯形，已知該四棱柱的側面積為．
(1)三視圖中，有一圖未畫完，請在圖中補全；
(2)根據圖中給出的數據，俯視圖中的長度為________；
(3)左視圖中矩形的面積為________；(4)這個四棱柱的體積為________．
25．（2023上·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學?？计谥校┮煌该鞯某谡襟w容器裝有一些液體，棱始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為（，如圖所示）．探究：如圖，液面剛好過棱，并與棱交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖所示．解決問題：（1）與的位置關系是_____，的長是______；
（2）求液體的體積（直三棱柱的體積底面三角形的面積高）；
（3）求的度數．（注：，）
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