資源簡介

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專題3.4 簡單幾何體的表面展開圖
模塊1：學習目標
1. 知道什么是直棱柱的表面展開圖；
2. 能畫出立方體的各種表面展開圖；
3. 會利用直棱柱表面展開圖進行相關計算。
模塊2：知識梳理
1.常見立方體的展開圖
立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖。
1.正方體的展開圖有如下幾種情況：
中間四個面，上下各一面:
中間三個面，一二隔河見: 中間兩個面，樓梯天天見: 中間沒有面，兩兩連成線:
2.長方體的展開圖
3.圓柱的展開圖
（1）圓柱側面展開圖
=；圓柱的體積：
4.圓錐側面展開圖
（1）=；（2）圓錐的體積：；（3）圓心角：。
注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）
模塊3：核心考點與典例
考點1、幾何體的展開圖
例1．（2023·浙江九年級專題練習）下列圖形不是一個幾何體的表面展開圖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用常見幾何體及其表面展開圖的特點解題．
【詳解】解：A．圖形是三棱錐的表面展開圖，本選項不符合題意；
B．圖形是三棱柱的表面展開圖，本選項不符合題意；
C．不是一個幾何體的表面展開圖，本選項不符合題意；
D．圖形是四棱柱的表面展開圖，本選項不符合題意．故選：C
【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，解題的關鍵是掌握常見幾何體的展開圖的特征．
變式1．（2023·廣東廣州市·九年級期末）如圖，下列圖形中，①能折疊成_____，②能折疊成_____，③能折疊成_____．
【答案】圓柱 五棱柱 圓錐
【分析】根據圓柱、棱柱、圓錐的展開圖形狀特點判斷即可．
【詳解】解：①圓柱體側面展開圖是一個長方形，兩個圓，故①能折疊成圓柱；
②五棱柱的側面展開圖是上、下兩個相同的五邊形，側面展開圖是一個長方形，故②能折疊成棱柱；
③圓錐側面展開圖是一個圓（底面）+側面（扇形），故③能折疊成圓錐，故答案為：圓柱，五棱柱，圓錐．
【點睛】本題考查立體圖形的側面展開圖，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
變式2．（2023·江蘇九年級二模）下面不是正方體展開圖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正方體展開圖共分四種模型，依次為“1—4—1型”、“2—3—1型”、“2—2—2型”、“3—3型”，據此進一步判斷即可．
【詳解】A選項屬于正方體展開圖的1—4—1型；B選項屬于正方體展開圖的2—3—1型；
D選項屬于正方體展開圖的2—2—2型；以上三者皆可折疊成一個正方體，
C選項不能，因為在折疊過程之中會有正方形重疊，故選：C．
【點睛】本題主要考查了正方體展開圖的識別，熟練掌握相關概念是解題關鍵．
考點2、圓錐展開圖之求側面積（全面積）
例1．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側面，則圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．
設圓錐的底面的半徑為，則，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到，解方程求出r，然后求得直徑即可．
【詳解】解：設圓錐的底面的半徑為，則，
根據題意得：，解得：，
側面積為：，底面積為：
所以圓錐的表面積為：，故選：B．
變式1．（2023上·江蘇淮安·九年級校考期中）若一個圓錐的底面半徑長是，母線長是，則這個圓錐的側面積= ．
【答案】
【分析】本題考查了圓錐側面積，熟練掌握扇形弧長與扇形半徑乘積的一半的面積公式是解題關鍵．由已知可求得圓錐的底面圓的周長，且圓錐的側面展開圖是扇形，則根據公式：扇形弧長扇形半徑，即可求出圓錐的側面積．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑長為，∴圓錐底面圓的周長為：，
∴圓錐側面積．故答案為：．
變式2．（2023上·安徽阜陽·九年級統考階段練習）圖1中的冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形圍成圓錐時，恰好重合．已知這種加工材料的頂角，圓錐底面圓的直徑為．
(1)求圖2中圓錐的母線的長．(2)求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留）
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰直角三角形的性質．
（1）由于圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到，從而求出，再由即可求解；
（2）先根據等腰直角三角形的性質得到，再利用扇形的面積公式，利用進行計算．
【詳解】（1）解：根據題意得，
，∴；
（2）解：，，，而，，
．
考點3、圓錐展開圖之求半徑
例1．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習）已知圓錐的母線長是，側面展開圖的面積是，則此圓錐的底面半徑是 ．
【答案】3
【分析】此題考查了圓錐的側面展開圖的面積，設底面半徑為，則底面周長，根據圓錐的側面展開圖的面積列方程求解即可．解題的關鍵是熟練掌握圓錐的側面展開圖的面積公式．
【詳解】解：設底面半徑為，則底面周長，
圓錐的側面展開圖的面積，，故答案為：3．
變式1．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）若一個圓錐的側面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑長是 ．
【答案】4
【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
設這個圓錐的底面半徑為，根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式得到，然后解方程求出即可．
【詳解】解：設這個圓錐的底面半徑為，
根據題意得，解得，
所以這個圓錐的底面半徑長為．故答案為4．
變式2．（2022上·湖北武漢·九年級統考階段練習）一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的底面半徑是 ．
【答案】1
【分析】本題考查了圓錐的相關計算，熟練掌握圓錐的側面展開圖的形狀是解題關鍵．根據“圓錐的底面圓的周長等于其展開圖的扇形的弧長”即可得答案．
【詳解】解：設該圓錐的底面半徑是，
由題意得：，解得，故答案為：1．
考點4、圓錐展開圖之求高
例1．（2023上·新疆省直轄縣級單位·九年級校聯考階段練習）如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經過圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了垂徑定理，折疊的性質，特殊直角三角形的判斷。關鍵是由折疊的性質得出含的直角三角形；
過點作，垂足為，交于點，由折疊的性質可知為半徑的一半，而為半徑，可求，同理可得，在中，由內角和定理求，然后求得弧的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可．
【詳解】解：過點作，垂足為，交于點，
由折疊的性質可知，，
由此可得，在中，，則同理可得，
在中，由內角和定理，得，
∴弧的長為，設圍成的圓錐的底面半徑為，
則，∴，∴圓錐的高為．故選：A．
變式1.．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）用圓心角為，弧長為的扇形圍成一個圓錐的側面，則所圍成的圓錐的高為 ．
【答案】
【分析】由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．則根據圓的周長公式求出圓錐的底面圓的半徑為1，設利用弧長公式求出母線長，然后利用勾股定理計算出圓錐的高．
【詳解】解：設圓錐的底面圓的半徑為，則，解得；
設圓錐的母線長為，則，解得，
所以圓錐的高．故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
變式2.（2023上·甘肅定西·九年級統考階段練習）如圖所示，已知扇形的半徑為，圓心角的度數為，若將此扇形圍成一個圓錐側面，求圍成的圓錐的高．

【答案】圓錐的高為．
【分析】本題考查了圓錐的計算，重點考查了扇形的弧長公式．求出扇形的弧長，除以即為圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．
【詳解】解：扇形的弧長，圓錐的底面半徑為，
故圓錐的高為：．
考點5、圓錐展開圖之求圓心角
例1．（2023上·河南駐馬店·九年級統考階段練習）如圖，要用一個半徑為扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓半徑長為，則這個扇形的圓心角的度數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據扇形面積公式求出圓錐的母線長，再根據弧長公式計算，得到答案．
【詳解】解：設扇形的圓心角為，
∵圓錐的底面圓周長為，母線長為，
∴，解得，即扇形的圓心角為．故選：C．
變式1.（2023上·河南周口·九年級統考階段練習）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，側面積為，則這個扇形的圓心角的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了扇形面積公式，根據題意得出圓錐的底面圓周長即為側面展開圖弧長，再根據，求出扇形半徑，最后根據，即可求出圓心角度數．
【詳解】解：∵該圓錐的底面圓周長為，∴側面展開圖弧長，
∵側面積為，，∴，解得：，
∵，∴，解得：，∴這個扇形的圓心角的度數是，故選：D．
變式2．（2023上·黑龍江綏化·九年級統考期末）圓錐的母線長為6，底面半徑為2，則其側面展開圖的圓心角為 ．
【答案】/120度
【分析】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．設圓錐的側面展開圖的圓心角為，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據弧長公式得到，然后解方程即可．
【詳解】解：設圓錐的側面展開圖的圓心角為，
根據題意得，解得，
所以側面展開圖的圓心角為．故答案為：．
考點6、圓錐展開圖之求母線
例1．（2023上·江蘇南京·九年級統考期中）一個圓錐的側面積為，其底面圓的半徑為4，則該圓錐的母線長為（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本題考查圓錐的計算，熟練掌握圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等圓錐的母線長是解題的關鍵，設該圓錐的母線長為，利用圓錐的側面積公式得到方程，然后解方程即可得到答案．
【詳解】解：設該圓錐的母線長為，根據題意得，解得，
即該圓錐的母線長是9．故選：C．
變式1．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習）如圖，用一個圓心角為的扇形紙片圍成一個底面半徑為2，側面積為的圓錐體，則該扇形的母線的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了圓錐側面積的計算，根據圓錐側面積的計算公式進行求解即可，熟練掌握圓錐側面積公式是解此題的關鍵．
【詳解】解：設圓錐的母線長為，由題意得：，解得：，故選：D．
變式2．（2023上·云南昭通·九年級校考期中）圓雉底面半徑為，側面積為，則圓雉的母線長為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是圓錐的計算，根據圓錐側面積公式計算即可．
【詳解】解：由題意得，，解得，，故答案為：．
考點7、圓錐側面上的最短路徑問題
例1．（2023·廣東廣州·九年級校考自主招生）如圖所示，圓錐的母線長，為母線的中點，為圓錐底面圓的直徑，兩條母線、形成的平面夾角．在圓錐的曲面上，從點到點的最短路徑長是 ．

【答案】
【分析】根據題意可得圓錐的底面周長是，即可得圓錐側面展開圖的圓心角是，展開圓錐的側面，構造直角三角形即可得．
【詳解】解：∵，，，∴
∴圓錐的底面周長是，則∴，
即圓錐側面展開圖的圓心角是，如圖所示，∴，

∵為母線的中點，∴，
∴在圓錐側面展開圖中，
∴螞蟻在圓錐側面上從B爬到P的最短距離是：，故答案為：．
【點睛】本題考查了最短距離問題，解題的關鍵是掌握圓錐的計算，勾股定理，將最短距離轉化為平面上兩點間的距離并正確計算．
變式1.（2023上·山東東營·九年級校考期末）如圖，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發繞圓錐側面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為 ．（結果保留根號）

【答案】
【分析】把圓錐的側面展開得到圓心角為120°，半徑為60的扇形，求出扇形中120°的圓心角所對的弦長即為最短路徑．
【詳解】解：圓錐的側面展開如圖：過作,∴

設∠ASB＝n°，即：，得：，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數值，將圓錐中的數據對應到展開圖中是解題的關鍵．
變式2.（2022上·重慶·八年級重慶八中校考期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點A出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點A，將圓錐沿母線OA剪開，其側面展開圖如圖2所示，若=120°，OA=，則螞蟻爬行的最短距離是 ．
【答案】3
【分析】連接，作于點，根據題意，結合兩點之間線段最短，得出即為螞蟻爬行的最短距離，再根據三角形的內角和定理得出，再根據直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據勾股定理，得出，再根據三線合一的性質，得出，再根據線段之間的數量關系，得出即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，作于點，∴即為螞蟻爬行的最短距離，
∵，，∴，
在中，，，∴，
∴，在中，，，∴，
∴．∴螞蟻爬行的最短距離為3．故答案為：3
【點睛】本題考查了圓錐側面上最短路徑問題、三角形的內角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三線合一的性質等知識點，正確作出輔助線、構造等腰三角形和直角三角形是解題的關鍵．
考點8、求小立方體堆砌圖形的表面積
例1．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖是一些棱長為1cm 的小立方塊組成的幾何體．
(1)請畫出這個幾何體的三視圖．(2)如果在其表面噴上黃色的油漆（幾何體放在地上，底面無法涂漆），每平方厘米用2克，則共需 克漆．(3)如果保持從主視圖和俯視圖形狀不變，最多可以再添加______個小立方塊．
【答案】(1)見解析(2)56克(3)2
【分析】本題主要考查三視圖的作圖、求表面積、按條件增加方塊等知識點，審清題意、正確畫出三視圖是解題的關鍵．（1）直接根據三視圖的定義，畫出圖形即可解答；
（2）求出這個幾何體的表面積，然后再乘以2即可解答；
（3）主視圖和俯視圖不變，構成圖形即可解答；
【詳解】（1）解：這個幾何體的三視圖如圖所示：
（2）解：這個幾何體的表面有34個正方形，去了地面上的6個，28個面需要噴上黃色的漆，
∴表面積為，克，∴共需56克漆．故答案為56．
（3）解：如果保持主視圖和俯視圖形狀不變，，最多可以再添加2個．
故答案為2．
變式1.（2023上·江蘇無錫·九年級統考期中）用若干個相同的小正方體拼成一個大正方體，在這個大正方體的個面上都涂上紅色．其中只有個面涂上紅色的小正方體有個，則拼成這個大正方體的小正方體個數一共有 個．
【答案】
【分析】本題主要考查立體幾何圖形的特征，根據正方體的形體特征進行判斷、計算即可．
【詳解】解：大正方體的個面上涂上紅色．只有個面涂上紅色的小正方體在大正方體的條棱上（除去個頂點處），
∴每一條棱上只有面涂色的正方體有（個），
∵每一條棱上有小正方體的個數是（個），
∴拼成這個大正方體的小正方體個數一共有（個），故答案為：．
變式2.（2023上·山東青島·九年級統考階段練習）在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為的小正方體堆成一個幾何體，如圖所示：
(1)請畫出這個幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖；
(2)如果在這個幾何體露在外面的表面噴上黃色的漆，每平方厘米用2克，則共需______克漆；
(3)若現在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持從上面看和從左邊看不變，最多可以再添加______個小正方體．
【答案】(1)見解析(2)64(3)4
【分析】本題考查作圖三視圖，解題的關鍵是理解題意，學會正確作出三視圖．
（1）根據三視圖的畫法，畫出從正面、左面、上面看到的形狀即可；
（2）求出表面積，不含底面，即可求出需要漆的質量；
（3）從俯視圖上相應位置增加小立方體，使左視圖不變，確定添加的數量．
【詳解】（1）解：這個幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖：
（2）解：（克），故答案為：64；
（3）解：在俯視圖的相應位置上，添加小正方體，使左視圖不變，添加的位置和最多的數量如圖所示：
其中紅色的數字是相應位置添加的最多數量，因此最多可添加4塊．故答案為：4．
變式3.（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，是由一些棱長都為1個單位長度的小正方體組合成的簡單幾何體．
(1)請在如圖網格（每個小正方形的邊長為1個單位長度）中畫出該幾何體的俯視圖和左視圖．
(2)該幾何體的表面積（含下底面）是______；
(3)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加______個小立方塊．
【答案】(1)見解析(2)(3)2
【分析】本題主要考查了從不同的方向看幾何體，關鍵是掌握在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現出來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時應注意小正方形的數目及位置．（1）根據俯視圖是從上面看到的圖形，左視圖是從左面看到的圖形進行畫圖即可； （2）分別找到前后左右上下六個面中露在外面的小正方體的面的個數，再根據每個面的面積為1進行求解即可；（3）若使該幾何體俯視圖和左視圖不變，可在從左數第2，3列后排小正方體上分別添加1，1塊小正方體．
【詳解】（1）解：
（2）解：由題意得，該幾何體的表面為；
（3）解：要使俯視圖不變，可以在左邊一列后排添加無數個小正方體，在中間一列的前排和后排都添上無數個正方體，在右邊一列后排添加無數個小正方體，要想左視圖不變，則可以在中間一列的后排添上一個正方體，在右邊一列前排和后排添加一個小正方體，以及可以在第四列以及后面的列的前排添加一個小正方體，后排添加一個或兩個小正方體，
∴要同時保證左視圖和俯視圖不變，則最多可以添加2個小正方體，故答案為：2．
考點9、圓柱的相關計算
例1．（2023上·廣東佛山·九年級佛山六中校考期中）已知下圖為一幾何體從三個方向看到的形狀圖．
(1)寫出這個幾何體的名稱______；(2)畫出它的側面展開圖；
(3)根據圖中所給的數據，求這個幾何體的側面積．（結果保留）
【答案】(1)圓柱(2)側面展開圖見解析(3)這個幾何體的側面積為
【分析】本題主要考查了三視圖、幾何體的側面展開圖及幾何體的側面積計算方法，理解、看懂三視圖是解題關鍵．（1）根據三視圖的特征即可得出幾何體；
（2）根據圓柱體的特征，側面展開為一個長方形，即可獲得答案；（3）根據三視圖可知：底面圓的直徑為，圓柱的高為，根據圓柱側面積的計算公式即可求得答案．
【詳解】（1）解：根據題目中已知的三視圖符合圓柱體的三視圖特征，故這個幾何體為圓柱．
故答案為：圓柱；
（2）側面展開圖如圖所示：
（3）
根據三視圖可知：底面圓的直徑為，圓柱的高為，
∴這個幾何體的側面積為：
答：這個幾何體的側面積為．
變式1. （2023·黑龍江·統考三模）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（ ）
A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【答案】A
【分析】由底面圓的半徑＝5米，根據勾股定理求出母線長，利用圓錐的側面面積公式，以及利用矩形的面積公式求得圓柱的側面面積，最后求和．
【詳解】解：∵底面半徑=5米，圓錐高為2米，圓柱高為3米，
∴圓錐的母線長=米，∴圓錐的側面積=，
圓柱的側面積=底面圓周長×圓柱高，即，
故需要的毛氈：米，故選：A．
【點睛】此題主要考查勾股定理，圓周長公式，圓錐側面積，圓柱側面積等，分別得出圓錐與圓柱側面積是解題關鍵．
變式2．（2023上·浙江九年級課時練習）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個底面積為，高為，外圍高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（取3.142，結果取整數）？
【答案】
【分析】先利用勾股定理計算出圓錐母線l的長，再計算圓錐的側面積和圓柱的側面積，然后計算20個蒙古包所需毛氈的面積．
【詳解】解：如圖是一個蒙古包的示意圖．
根據題意，下部圓柱的底面積為，高；上部圓錐的高．
圓柱的底面圓的半徑，側面積為．
圓錐的母線長，側面展開扇形的弧長為，
圓錐的側面積為．
因此，搭建20個這樣的蒙古包至少需要毛氈．
【點睛】本題考查了圓錐的計算:圓錐的側面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．注意在取近似值時需需面積應該用收尾法．
考點10、棱柱的相關計算
例1．（2023上·四川達州·九年級校考期末）一個長方體的三視圖如圖所示，若其俯視圖為正方形，則這個長方體的表面積為 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三視圖，正方形的性質，長方體的表面積，根據主視圖中的數據可得長方體的高和底邊正方形的對角線長，進而求出正方形的邊長，即可求解．
【詳解】解：由圖可知，俯視圖中正方形的對角線長為，長方體的高為，
正方形的邊長為，
這個長方體的表面積為，故選D．
變式1．（2023·四川成都市·九年級月考）一張長50cm，寬40cm的長方形紙板，在其四個角上分別剪去一個小正方形（邊長相等且為整厘米數）后，折成一個無蓋的長方體形盒子，這個長方體形盒子的容積最大為_____cm3．
【答案】6552
【分析】根據題意，從這張紙板上在它的四個角上剪去大小相等的四個正方形，然后做成一個無蓋的紙盒．也就是紙板的長和寬分別減去所剪正方形的兩個邊長，是紙盒的長和寬，紙盒的高就等于所剪去的正方形的邊長；當紙盒的長、寬、高三個值最接近時，它們的容積最大；因此可以設減去的正方形的邊長為x厘米，列方程解答．
【詳解】解：設減去的正方形的邊長為x厘米，則體積V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因為2x+（25-x）+（20-x）=45，當2x、（25-x）、（20-x）三個值最接近時，積最大，而每一項=45÷3=15時，積最大，而取整數厘米，所以2x=14，即x=7時；
這時紙盒的容積v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，=36×26×7，=6552cm3；故答案為：6552
【點睛】此題解答關鍵是理解當折成的紙盒的長、寬、高三個值最接近時，它們的積最大；列方程求出減求的正方形的邊長，再根據長方體的體積（容積）公式解答即可．
變式2．（2023上·河南平頂山·九年級統考期中）雙十一購物狂歡節，天貓“某玩具旗艦店”對樂高積木系列玩具將推出買一送一活動．根據積木數量的不同，廠家會訂制不同型號的外包裝盒．所有外包裝盒均為雙層上蓋的長方體紙箱（上蓋紙板面積等于底面面積的2倍，如圖1），并且樂高積木能恰好放入．
(1)如圖2為若干包裝好的同一型號玩具堆成幾何體從三個方向看到的圖形，則組成這個幾何體的玩具有多少個（寫出所有可能的值）；
(2)現要將兩個同一型號的樂高積木包裝在同一個大長方體的外包裝盒內，已知單個樂高積木的長和高相等，且寬小于長．如圖3所示，現有甲，乙兩種擺放方式．
①請分別計算甲，乙兩種擺放方式所需外包裝盒的紙板面積（包裝盒上蓋朝上）．
②計算兩種擺放方式所需外包裝紙板面積的差．
③請你對、、任取一個具體的數值，代入②中所得的面積差．并直接寫出哪種擺放方式所需紙板面積更少．
【答案】(1)、、、個
(2)①甲種擺放方式：；乙種擺放方式：；②（答案不唯一）；③，，，；甲種擺放方式所需紙板面積更少
【分析】本題考查了整式的加減；從不同方向看幾何體；
（1）根據題意從不同方向看的圖形；分別得出最少個數與最多個數，即可求解；
（2）分別根據長方體的表面積公式+上蓋的面積可得所需紙板面積，列出代數式，即可求解；
②根據整式的減法進行計算即可求解；
③根據題意，取，，，代入②中的代數式，即可比較大小．
【詳解】（1）解：如圖所示，最少個數為
最多個數為
∴組成這個幾何體的玩具可能有：、、、個
（2）①甲種擺放方式：
乙種擺放方式：
②
③取，， 代入
（答案不唯一，但a的取值比b大，a、c取值相同．）甲種擺放方式所需紙板面積更少．
考點11、棱柱的相關計算
例1．（2023·浙江九年級專題練習）已知如圖是一個長方體無蓋盒子的展開圖，．求：（1）求盒子的底面積．（2）求盒子的容積．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由圖分別得出底面的長和寬，求出底面面積即可；
（2）由圖分別得出盒子的長、寬和高，求出盒子的體積即可．
【詳解】（1）由圖可知：底面為長為，寬為的長方形，
，
，
．答：盒子的底面積為．
（2）盒子的容積為：．答：盒子的容積為．
【點睛】本題考查長方體的展開圖，將展開圖對應邊的長度轉化為長方體對應邊的長度是解題關鍵．
變式1．（2023·浙江九年級月考）某班數學活動小組的同學用紙板制作長方體包裝盒，其平面展開圖和相關尺寸如圖所示，其中陰影部分為內部粘貼角料．（單位：毫米）
（1）此長方體包裝盒的體積為　　立方毫米；（用含x、y的式子表示）
（2）此長方體的表面積（不含內部粘貼角料）為　　平方毫米；（用含x、y的式子表示）
（3）若內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的，求當x＝40毫米，y＝70毫米時，制作這樣一個長方體共需要紙板多少平方毫米．
【答案】（1）65xy；（2）2（xy+65y+65x）；（3）23880平方毫米
【分析】（1）由長方體包裝盒的平面展開圖，可知該長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米，根據長方體的體積＝長×寬×高即可求解；（2）根據長方形的面積公式即可地點結論；
（3）由于長方體的表面積＝2（長×寬+長×高+寬×高），又內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的，所以制作這樣一個長方體共需要紙板的面積＝（1）×長方體的表面積．
【詳解】解：（1）由題意，知該長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米，
則長方體包裝盒的體積為：65xy立方毫米．故答案為65xy；
（2）長方體的表面積（不含內部粘貼角料）為：2（xy+65y+65x）立方毫米；故答案為：2（xy+65y+65x）；
（3）∵長方體的長為y毫米，寬為x毫米，高為65毫米，
∴長方體的表面積＝2（xy+65y+65x）平方毫米，
又∵內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的，∴制作這樣一個長方體共需要紙板的面積＝（1）×2（xy+65y+65x）（xy+65y+65x）xy+156y+156x（平方毫米），
∵x＝40，y＝70，∴制作這樣一個長方體共需要紙板40×70+156×70+156×40＝23880平方毫米．
【點評】本題考查了長方體的平面展開圖，長方體的體積與表面積公式，解題關鍵是掌握立體圖形與平面展開圖之間的關系，從圖中得到長方體的長、寬、高．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·陜西西安·九年級統考期末）如圖是一個幾何體的平面展開圖，則這個幾何體是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查幾何體的展開圖，觀察所給平面展開圖即可選擇．
【詳解】解：由題圖知，該平面展開圖是由一個扇形和一個圓組成，
由圓錐的側面展開圖是扇形，地面是一個圓，可知該幾何體是圓錐．故選：A．
2．（2023上·河南信陽·九年級校考階段練習）一個圓錐的底面半徑是，側面積是，則圓錐的母線長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了圓錐側面積公式的靈活運用，圓錐的側面積底面半徑母線長，根據此公式計算即可，熟練掌握公式是解此題的關鍵．
【詳解】解：設圓錐的母線長為，由題意得：，解得：，
圓錐的母線長是，故選：C．
3．（2023上·福建龍巖·九年級校考階段練習）已知圓錐的底面半徑為6，母線長為8，圓錐的表面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查圓錐表面積的計算：根據圓錐側面積加上圓錐的底面面積計算即可．
【詳解】解：根據題意得：．故選：B
4．（2023下·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖為國產殲15“飛鯊”戰斗機的三視圖，若想通過測量了解該戰斗機的翼展長度（指機翼左右翼尖之間的長度），可以選擇以下哪些視圖進行測量（ ）

A．主視圖或左視圖 B．主視圖或俯視圖 C．左視圖或俯視圖 D．主視圖或左視圖或俯視圖
【答案】B
【分析】根據題意，能測量該戰斗機的翼展長度的是主視圖或俯視圖，據此即可求解．
【詳解】解：能測量該戰斗機的翼展長度的是主視圖或俯視圖，
故選：B．
【點睛】本題考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解題的關鍵．
5．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）已知底面半徑是，母線長為，為母線中點，現在有一只螞蟻從底邊一點出發．在側面爬行到點，則螞蟻在圓錐側面爬行最短距離（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本題考查圓錐的扇形弧長等于底面圓周長及兩點間線段最短，根據扇形弧長等于底面圓周長求出圓心角，從而得到展開圖中的的度數，結合兩點間線段距離最短及勾股定理求解即可得到答案；
【詳解】解：∵底面半徑是，母線長為，∴，
∴側面扇形圓心角為：，∴，
∵為母線中點，∴，由兩點間線段距離最短得，，故選：B．
6．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查圓錐展開圖扇形弧長等于底面圓的周長，根據圓錐展開圖扇形弧長等于底面圓的周長列式求解即可得到答案；
【詳解】解：設，由題意可得，
，解得：，故選：B．
7．（2023上·吉林·九年級統考期末）如圖，在扇形中，半徑，的夾角為，點與點的距離，若扇形恰好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本題運用了弧長公式和圓的周長公式，建立準確的等量關系是解題的關鍵．利用弧長圓錐的底面周長這一等量關系可求解．
【詳解】解：連接，過作于，
，，，，
，，故選：A
8．（2023·浙江·九年級專題練習）已知圓錐的側面積為，底面半徑為，則圓錐的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的知識點是旋轉體，需熟練掌握圓錐的側面積公式及圓錐的幾何特征，由圓錐的側面積公式，先求出圓錐的母線長，進而可得圓錐的高．
【詳解】解：解：∵圓錐的側面積為，底面半徑為,
∴圓錐的母線長滿足：，解得：,∴圓錐的高h＝,故選：B．
9．（2022·廣西賀州·統考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圓錐的圓錐體底面半徑是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根據園錐、圓柱體積公式可得液體的體積為63πcm3，圓錐的體積為72πcm3，設此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，根據題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，作圓錐的高AC，在BC上取點E，過點E作DE⊥AC于點D，則AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE為等腰直角三角形，∴CD=DE，
圓柱體內液體的體積為：圓錐的體積為，
設此時“沙漏”中液體的高度AD=xcm，則DE=CD=（6-x）cm，
∴，∴，解得：x=3，
即此時“沙漏”中液體的高度3cm．故選：B．
【點睛】本題考查圓柱體、圓錐體體積問題，解題的關鍵是掌握圓柱體、圓錐體體積公式，列出方程解決問題．
10．（2024上·湖北·九年級校考周測）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（ ）
A．32 B． C．48 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三視圖的表面積，勾股定理．根據題意可得幾何體為底面邊長為4，高為2的正四棱錐，再根據勾股定理求出四棱錐的斜高，即可求解．
【詳解】解：由三視圖知幾何體為底面邊長為4，高為2的正四棱錐，如圖所示，
∴四棱錐的斜高為，
故該四棱錐的表面積為．故選B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）圓錐的底面直徑是，母線長，則它的側面展開圖的圓心角是 ，這個圓錐的全面積是 ．
【答案】
【分析】本題考出來圓錐關于圓錐的計算．根據圓錐的底面直徑是，母線長，可以求出圓錐的底面半徑是，周長是，底面積是，進而求出側面展開圖面積為，圓錐的全面積為．設圓錐的側面展開圖的圓心角是，根據圓錐的底面圓的周長等于側面展開圖的弧長列出方程，即可求出，問題得解．
【詳解】解：∵圓錐的底面直徑是，∴圓錐的底面半徑是，
∴圓錐的底面周長是，底面積是，側面展開圖面積為，∴圓錐的全面積為．
設圓錐的側面展開圖的圓心角是，由題意得，解得．
∴圓錐的側面展開圖的圓心角是，這個圓錐的全面積是．故答案為：，
12．（2023上·江蘇南通·九年級如皋市實驗初中校考階段練習）已知圓錐的底面圓的半徑為2cm，側面積為，則該圓錐的母線長為 cm．
【答案】4
【分析】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．據圓錐側面積公式求解即可．
【詳解】解：設圓錐的母線長為，則，解得．故答案為：4．
13．（2023上·江蘇宿遷·九年級校考期中）母線長為5的圓錐的側面積恰好等于其底面積的2倍，該圓錐側面展開圖所對應扇形圓心角的度數為 ．
【答案】/180度
【分析】本題考查了求圓錐側面展開圖的圓心角，設圓錐側面展開圖所對應扇形圓心角的度數為n，底面半徑為r．根據數量關系得，進而得，即可求解，熟練掌握圓周側面展開圖的面積公式是解題的關鍵．
【詳解】解：設圓錐側面展開圖所對應扇形圓心角的度數為n，底面半徑為r．
∴底面周長為：，底面面積為：，側面積為：，
，，，故答案為：．
14．（2023上·湖北武漢·九年級統考階段練習）沿一條母線將圓錐的側面展開，若展開圖扇形的圓心角為，則圓錐的高與底面圓的半徑的比值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查圓錐側面展開圖是扇形，扇形弧長與圓錐底面周長的關系，可以求出底面半徑，再根據圓錐母線長等于展開后扇形半徑，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】如下圖所示，由于圓錐側面展開圖是扇形，并且扇形的圓心角為；
故設展開后扇形半徑為，圓錐底面圓半徑為；
扇形弧長=；∴；∴；
在直角三角形中，根據勾股定理；圓錐的高：；∴；答案：．
15．（2023上·河北邢臺·九年級統考階段練習）已知一個扇形的圓心角是，半徑是．
（1）這個扇形的弧長是 ；
（2）若用這個扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高是 ．
【答案】
【分析】本題考查了弧長公式、圓錐的計算，勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活應用是解此題的關鍵．（1）根據弧長公式進行計算即可；
（2）設圓錐的底面半徑為，由題意得：，求出，再由勾股定理進行計算即可．
【詳解】解：（1）由題意可得：這個扇形的弧長是，故答案為：；
（2）設圓錐的底面半徑為，由題意得：，解得：，
這個圓錐的高是，故答案為：．
16．（2023·安徽·校聯考二模）《九章算術》中有如下問題：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 斛．

【答案】22
【分析】根據米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數．
【詳解】解：設米堆所在圓錐的底面半徑為尺，由題意，得：，∴，
∴米堆的體積為：，∴米堆的斛數為：；故答案為：22．
【點睛】本題考查了圓錐的計算及弧長的計算，解題的關鍵是從實際問題中抽象出圓錐的知識，難度不大．
17．（2023上·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發，沿圓錐的側面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
【答案】/
【分析】先畫出圓錐側面展開圖（見解析），再利用弧長公式求出圓心角的度數，然后利用等邊三角形的判定與性質、勾股定理可得，最后根據兩點之間線段最短即可得．
【詳解】畫出圓錐側面展開圖如下：
如圖，連接、，
設圓錐側面展開圖的圓心角的度數為，
因為圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長，扇形的半徑等于母線長，
所以，解得，則，
又，是等邊三角形，點為的中點，，，
在中，，
由兩點之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖、弧長公式、等邊三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握圓錐側面展開圖是解題關鍵．
18．（2023下·山東威海·九年級統考階段練習）在學習“圓錐”時，小明同學進行了研究性學習：
如圖，圓錐的母線，底面半徑，扇形是圓錐的側面展開圖，．
依據上述條件，小明得到如下結論：①；②；③若，則．正確的結論是 ．（填寫序號）
【答案】②③
【分析】由可得即可判斷①；由化簡可得；由和化簡可得結果．
【詳解】解：，，，，，
①錯誤，不符合題意；，②正確，符合題意；
，，，，③正確，符合題意；
綜上所述，故答案為：②③．
【點睛】本題考查了圓錐及圓錐的側面展開圖；解題的關鍵是熟練掌握圓錐和和展開圖的關系．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·陜西延安·九年級校聯考階段練習）如圖1，冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8cm，當冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，此時其母線長為9cm，求此時冰激凌外殼的側面積（結果保留）
【答案】
【分析】本題考查的是求解圓錐的側面積，展開圖的圓心角的大小，熟記公式是解本題的關鍵；本題先求解展開圖的圓心角，再求解扇形的面積即可．
【詳解】解：設該圓錐展開后所得扇形的圓心的度數為，
由題意得，冰激凌的底面圓的周長為：．
∵母線長為12cm，∴， 解得，即展開后所得扇形的圓心角的度數是．
∵吃掉一部分后母線長為9cm，∴此時冰激凌外殼的側面積為：．
20．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別為，，．（每個方格的邊長均為1個單位長度）
(1)若和關于原點成中心對稱，則的坐標為________；
(2)將繞點逆時針旋轉，畫出旋轉后得到的．
(3)在（2）的條件下用扇形圍成一個圓錐，則圓錐底面圓的半徑是________．
【答案】(1)；(2)見詳解；(3)；
【分析】本題考查根據中心對稱求關于原點對稱的點的坐標，作旋轉圖形，圓錐側面扇形的弧長等于底面圓周長，（1）根據關于原點對稱點的橫縱坐標互為相反數；（2）本題考查作旋轉圖形，根據對應點與旋轉中心連線的夾角等于旋轉角直接作圖即可得到答案；（3）本題考查圓錐側面扇形的弧長等于底面圓周長，勾股定理列式計算，根據此性質列式求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵和關于原點成中心對稱，，
∴，故答案為：；
（2）解：根據對應點與旋轉中心連線的夾角等于旋轉角得，如圖所示，
；
（3）解：由題意可得，，，
∴，解得：，故答案為：．
21．（2023上·江蘇蘇州·九年級校聯考期中）如圖，的圓心O與正三角形的中心重合，已知的半徑和扇形的半徑都是．

(1)若將扇形圍成一個圓錐的側面，設該圓錐的高為h．
①求扇形的弧長；②則h的值為___________；
(2)上任意一點到正三角形上任意一點距離的最小值為___________．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①本題考查求扇形弧長，根據等邊三角形得到，結合即可得到答案；②本題考查圓錐展開圖，根據底面圓周長等于扇形弧長求解即可得到答案；
（2）本題考查等邊三角形的性質及勾股定理，連接并延長交于點D，作即可得到為最小值求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：①∵三角形是正三角形，∴，∴；
②由①得，，∴，∴；
（2）解：連接并延長交于點D，作于，
∵O是正三角形的中心，，
∴，，，
∴，是點到三角形邊上最長的線段，
∴，解得：，∴，故答案為：
．
22．（2022上·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區第四中學校考周測）如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長為．
(1)求它的側面展開圖的圓心角；(2)若一甲蟲從A點出發沿著圓錐側面繞行到母線的中點B，請你動腦筋想一想它所走的最短路線是多少？
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據圓錐的底面周長就是側面展開圖（扇形）的弧長求解即可；
（2）畫出展開圖，根據兩點之間線段最短和勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：設它的側面展開圖的圓心角為，
根據圓錐的底面周長就是側面展開圖（扇形）的弧長得：，
又∵．，解得：．
∴它的側面展開圖的圓心角是90°；
（2）根據側面展開圖的圓心角是90°，畫出展開圖如下：
根據兩點之間，線段最短可知AB為最短路徑，
，B為的中點，由（1）知
∴∴它所走的最短路線長是．
【點睛】本題考查求圓錐的側面展開圖的圓心角，圓錐側面上最短路徑問題，涉及弧長公式，圓的周長公式，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，掌握圓錐的底面周長就是側面展開圖（扇形）的弧長和兩點之間線段最短是解題的關鍵．
23．（2023上·山東威海·九年級校聯考期中）如圖是一種包裝盒的平面展開圖，將它圍起來可得到一個幾何體的模型．

(1)如圖是根據，的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖，請在網格中畫出該幾何體的左視圖；
(2)在（）的條件下，已知，求該幾何體的表面積．
【答案】(1)見解析；(2)．
【分析】（）根據三視圖的畫法即可畫出該幾何體的左視圖；
（）根據俯視圖和主視圖即可求的值，進而可求該幾何體的表面積；
本題考查了作圖 三視圖、幾何體的表面積、展開圖折疊成幾何體，解題的關鍵是理解立體圖形和平面圖形之間的關系．
【詳解】（1）如圖所示，圖中的左視圖即為所求；

（2）解：根據俯視圖和主視圖可知：，
∴，∴，∴，
∴表面積為()，
答：該幾何體的表面積為．
24．（2023上·四川成都·九年級校考期中）一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的形狀如圖所示，小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數，請畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖．
(1)請在圖的方格中畫出該幾何體的主視圖和左視圖；(2)若每個小立方塊的棱長為，涂該幾何體的油漆價格為元/，求該幾何體表面涂滿油漆所需費用．
【答案】(1)見解析；(2)元．
【分析】本題考查了從不同方向看，幾何體表面積，正確理解確定小正方體的個數是解題的關鍵．
（1）根據從正面看，從左面看的定義，畫出即可；
（2）表面積等于上下面的個數即從上面看的圖形正方形個數的倍；左右看的正方形面數，前后看的正方形面數，其和乘以一個正方形的面積即可，進而利用表面積乘以單價即可．
【詳解】（1）解：

（2）解：∵小正方體的棱長為，∴每個小正方形的面積為，
∵ ，
∴幾何體的上下面的個數為個，前后面的個數為個，左右面的個數為個，
∴幾何體表面涂滿油漆所需費用為：（元）．
25．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期中）某品牌飲水機可以近似地看成一個長方體減去半個圓柱體的幾何體，它從正面看和從上面看的圖形如圖所示，長方體的長為5，寬為6，高為8，圓柱體的高為4， 底面直徑為2．

(1)求該幾何體的體積；（結果保留）
(2)現對該飲水機的正面區域進行涂色，求涂色面積．（結果保留）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由題意可得知該幾何體的體積等于長方體體積減去半個圓柱體的體積，而該幾何體底部圓柱的底面直徑為2，高為4，由此即可解題；（2）正面區域面積等于一個矩形框面積+一個半圓柱體表面積，根據柱體的側面面積=底面周長×高可得答案；．
【詳解】（1）解：幾何體的體積
（2）涂色面積
【點睛】本題考查了立體圖形的三視圖以及常見幾何體的體積計算，結合圖形得出圓柱底面直徑和高以及長方體的長寬高是解題的關鍵．
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專題3.4 簡單幾何體的表面展開圖
模塊1：學習目標
1. 知道什么是直棱柱的表面展開圖；
2. 能畫出立方體的各種表面展開圖；
3. 會利用直棱柱表面展開圖進行相關計算。
模塊2：知識梳理
1.常見立方體的展開圖
立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖。
1.正方體的展開圖有如下幾種情況：
中間四個面，上下各一面:
中間三個面，一二隔河見: 中間兩個面，樓梯天天見: 中間沒有面，兩兩連成線:
2.長方體的展開圖
3.圓柱的展開圖
（1）圓柱側面展開圖
=；圓柱的體積：
4.圓錐側面展開圖
（1）=；（2）圓錐的體積：；（3）圓心角：。
注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）
模塊3：核心考點與典例
考點1、幾何體的展開圖
例1．（2023·浙江九年級專題練習）下列圖形不是一個幾何體的表面展開圖的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·廣東廣州市·九年級期末）如圖，下列圖形中，①能折疊成_____，②能折疊成_____，③能折疊成_____．
變式2．（2023·江蘇九年級二模）下面不是正方體展開圖的是（ ）
A． B． C． D．
考點2、圓錐展開圖之求側面積（全面積）
例1．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側面，則圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023上·江蘇淮安·九年級校考期中）若一個圓錐的底面半徑長是，母線長是，則這個圓錐的側面積= ．
變式2．（2023上·安徽阜陽·九年級統考階段練習）圖1中的冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形圍成圓錐時，恰好重合．已知這種加工材料的頂角，圓錐底面圓的直徑為．
(1)求圖2中圓錐的母線的長．(2)求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留）
考點3、圓錐展開圖之求半徑
例1．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習）已知圓錐的母線長是，側面展開圖的面積是，則此圓錐的底面半徑是 ．
變式1．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）若一個圓錐的側面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑長是 ．
變式2．（2022上·湖北武漢·九年級統考階段練習）一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的底面半徑是 ．
考點4、圓錐展開圖之求高
例1．（2023上·新疆省直轄縣級單位·九年級校聯考階段練習）如圖，將半徑為的圓形紙片沿折疊后，圓弧恰好能經過圓心，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）
A． B． C． D．
變式1.．（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）用圓心角為，弧長為的扇形圍成一個圓錐的側面，則所圍成的圓錐的高為 ．
變式2.（2023上·甘肅定西·九年級統考階段練習）如圖所示，已知扇形的半徑為，圓心角的度數為，若將此扇形圍成一個圓錐側面，求圍成的圓錐的高．

考點5、圓錐展開圖之求圓心角
例1．（2023上·河南駐馬店·九年級統考階段練習）如圖，要用一個半徑為扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓半徑長為，則這個扇形的圓心角的度數（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023上·河南周口·九年級統考階段練習）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，側面積為，則這個扇形的圓心角的度數是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2023上·黑龍江綏化·九年級統考期末）圓錐的母線長為6，底面半徑為2，則其側面展開圖的圓心角為 ．
考點6、圓錐展開圖之求母線
例1．（2023上·江蘇南京·九年級統考期中）一個圓錐的側面積為，其底面圓的半徑為4，則該圓錐的母線長為（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
變式1．（2023上·福建莆田·九年級校考階段練習）如圖，用一個圓心角為的扇形紙片圍成一個底面半徑為2，側面積為的圓錐體，則該扇形的母線的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2．（2023上·云南昭通·九年級校考期中）圓雉底面半徑為，側面積為，則圓雉的母線長為 ．
考點7、圓錐側面上的最短路徑問題
例1．（2023·廣東廣州·九年級校考自主招生）如圖所示，圓錐的母線長，為母線的中點，為圓錐底面圓的直徑，兩條母線、形成的平面夾角．在圓錐的曲面上，從點到點的最短路徑長是 ．

變式1.（2023上·山東東營·九年級校考期末）如圖，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發繞圓錐側面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為 ．（結果保留根號）

變式2.（2022上·重慶·八年級重慶八中校考期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點A出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點A，將圓錐沿母線OA剪開，其側面展開圖如圖2所示，若=120°，OA=，則螞蟻爬行的最短距離是 ．
考點8、求小立方體堆砌圖形的表面積
例1．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖是一些棱長為1cm 的小立方塊組成的幾何體．
(1)請畫出這個幾何體的三視圖．(2)如果在其表面噴上黃色的油漆（幾何體放在地上，底面無法涂漆），每平方厘米用2克，則共需 克漆．(3)如果保持從主視圖和俯視圖形狀不變，最多可以再添加______個小立方塊．
變式1.（2023上·江蘇無錫·九年級統考期中）用若干個相同的小正方體拼成一個大正方體，在這個大正方體的個面上都涂上紅色．其中只有個面涂上紅色的小正方體有個，則拼成這個大正方體的小正方體個數一共有 個．
變式2.（2023上·山東青島·九年級統考階段練習）在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為的小正方體堆成一個幾何體，如圖所示：
(1)請畫出這個幾何體從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖；
(2)如果在這個幾何體露在外面的表面噴上黃色的漆，每平方厘米用2克，則共需______克漆；
(3)若現在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持從上面看和從左邊看不變，最多可以再添加______個小正方體．
變式3.（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，是由一些棱長都為1個單位長度的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)請在如圖網格（每個小正方形的邊長為1個單位長度）中畫出該幾何體的俯視圖和左視圖．(2)該幾何體的表面積（含下底面）是______；(3)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持俯視圖和左視圖不變，最多可以再添加______個小立方塊．
考點9、圓柱的相關計算
例1．（2023上·廣東佛山·九年級佛山六中校考期中）已知下圖為一幾何體從三個方向看到的形狀圖．
(1)寫出這個幾何體的名稱______；(2)畫出它的側面展開圖；(3)根據圖中所給的數據，求這個幾何體的側面積．（結果保留）
變式1. （2023·黑龍江·統考三模）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（ ）
A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
變式2．（2023上·浙江九年級課時練習）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．如果想用毛氈搭建20個底面積為，高為，外圍高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛氈（取3.142，結果取整數）？
考點10、棱柱的相關計算
例1．（2023上·四川達州·九年級校考期末）一個長方體的三視圖如圖所示，若其俯視圖為正方形，則這個長方體的表面積為 （　　）
A． B． C． D．
變式1．（2023·四川成都市·九年級月考）一張長50cm，寬40cm的長方形紙板，在其四個角上分別剪去一個小正方形（邊長相等且為整厘米數）后，折成一個無蓋的長方體形盒子，這個長方體形盒子的容積最大為_____cm3．
變式2．（2023上·河南平頂山·九年級統考期中）雙十一購物狂歡節，天貓“某玩具旗艦店”對樂高積木系列玩具將推出買一送一活動．根據積木數量的不同，廠家會訂制不同型號的外包裝盒．所有外包裝盒均為雙層上蓋的長方體紙箱（上蓋紙板面積等于底面面積的2倍，如圖1），并且樂高積木能恰好放入．
(1)如圖2為若干包裝好的同一型號玩具堆成幾何體從三個方向看到的圖形，則組成這個幾何體的玩具有多少個（寫出所有可能的值）；
(2)現要將兩個同一型號的樂高積木包裝在同一個大長方體的外包裝盒內，已知單個樂高積木的長和高相等，且寬小于長．如圖3所示，現有甲，乙兩種擺放方式．
①請分別計算甲，乙兩種擺放方式所需外包裝盒的紙板面積（包裝盒上蓋朝上）．
②計算兩種擺放方式所需外包裝紙板面積的差．③請你對、、任取一個具體的數值，代入②中所得的面積差．并直接寫出哪種擺放方式所需紙板面積更少．
考點11、棱柱的相關計算
例1．（2023·浙江九年級專題練習）已知如圖是一個長方體無蓋盒子的展開圖，．求：（1）求盒子的底面積．（2）求盒子的容積．
變式1．（2023·浙江九年級月考）某班數學活動小組的同學用紙板制作長方體包裝盒，其平面展開圖和相關尺寸如圖所示，其中陰影部分為內部粘貼角料．（單位：毫米）
（1）此長方體包裝盒的體積為　　立方毫米；（用含x、y的式子表示）
（2）此長方體的表面積（不含內部粘貼角料）為　　平方毫米；（用含x、y的式子表示）
（3）若內部粘貼角料的面積占長方體表面紙板面積的，求當x＝40毫米，y＝70毫米時，制作這樣一個長方體共需要紙板多少平方毫米．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023上·陜西西安·九年級統考期末）如圖是一個幾何體的平面展開圖，則這個幾何體是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南信陽·九年級校考階段練習）一個圓錐的底面半徑是，側面積是，則圓錐的母線長是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建龍巖·九年級校考階段練習）已知圓錐的底面半徑為6，母線長為8，圓錐的表面積為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023下·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖為國產殲15“飛鯊”戰斗機的三視圖，若想通過測量了解該戰斗機的翼展長度（指機翼左右翼尖之間的長度），可以選擇以下哪些視圖進行測量（ ）

A．主視圖或左視圖 B．主視圖或俯視圖 C．左視圖或俯視圖 D．主視圖或左視圖或俯視圖
5．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）已知底面半徑是，母線長為，為母線中點，現在有一只螞蟻從底邊一點出發．在側面爬行到點，則螞蟻在圓錐側面爬行最短距離（ ）
A． B． C． D．6
6．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則的長為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·吉林·九年級統考期末）如圖，在扇形中，半徑，的夾角為，點與點的距離，若扇形恰好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2023·浙江·九年級月考）已知圓錐的側面積為，底面半徑為，則圓錐的高是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·廣西賀州·統考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·湖北·九年級校考周測）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（ ）
A．32 B． C．48 D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）圓錐的底面直徑是，母線長，則它的側面展開圖的圓心角是 ，這個圓錐的全面積是 ．
12．（2023上·江蘇南通·九年級如皋市實驗初中校考階段練習）已知圓錐的底面圓的半徑為2cm，側面積為，則該圓錐的母線長為 cm．
13．（2023上·江蘇宿遷·九年級校考期中）母線長為5的圓錐的側面積恰好等于其底面積的2倍，該圓錐側面展開圖所對應扇形圓心角的度數為 ．
14．（2023上·湖北武漢·九年級統考階段練習）沿一條母線將圓錐的側面展開，若展開圖扇形的圓心角為，則圓錐的高與底面圓的半徑的比值為 ．
15．（2023上·河北邢臺·九年級統考階段練習）已知一個扇形的圓心角是，半徑是．
（1）這個扇形的弧長是 ；
（2）若用這個扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高是 ．
16．（2023·安徽·校聯考二模）《九章算術》中有如下問題：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 斛．

17．（2023上·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點為的中點，若一只螞蟻從點處出發，沿圓錐的側面爬行到點處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
18．（2023下·山東威海·九年級統考階段練習）在學習“圓錐”時，小明同學進行了研究性學習：
如圖，圓錐的母線，底面半徑，扇形是圓錐的側面展開圖，．
依據上述條件，小明得到如下結論：①；②；③若，則．正確的結論是 ．（填寫序號）
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023上·陜西延安·九年級校聯考階段練習）如圖1，冰激凌的外殼（不計厚度）可近似的看作圓錐，其母線長為12cm，底面圓直徑長為8cm，當冰激凌被吃掉一部分后，其外殼仍可近似的看作圓錐，如圖2，此時其母線長為9cm，求此時冰激凌外殼的側面積（結果保留）
20．（2023上·河北廊坊·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別為，，．（每個方格的邊長均為1個單位長度）
(1)若和關于原點成中心對稱，則的坐標為________；
(2)將繞點逆時針旋轉，畫出旋轉后得到的．
(3)在（2）的條件下用扇形圍成一個圓錐，則圓錐底面圓的半徑是________．
21．（2023上·江蘇蘇州·九年級校聯考期中）如圖，的圓心O與正三角形的中心重合，已知的半徑和扇形的半徑都是．

(1)若將扇形圍成一個圓錐的側面，設該圓錐的高為h．
①求扇形的弧長；②則h的值為___________；
(2)上任意一點到正三角形上任意一點距離的最小值為___________．
22．（2022上·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區第四中學校考周測）如圖所示，已知圓錐底面半徑，母線長為．(1)求它的側面展開圖的圓心角；(2)若一甲蟲從A點出發沿著圓錐側面繞行到母線的中點B，請你動腦筋想一想它所走的最短路線是多少？
23．（2023上·山東威海·九年級校聯考期中）如圖是一種包裝盒的平面展開圖，將它圍起來可得到一個幾何體的模型．(1)如圖是根據，的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖，請在網格中畫出該幾何體的左視圖；(2)在（）的條件下，已知，求該幾何體的表面積．

24．（2023上·四川成都·九年級校考期中）一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的形狀如圖所示，小正方形中的數字表示在該位置的小立方塊的個數，請畫出從正面和從左面看到的這個幾何體的形狀圖．(1)請在圖的方格中畫出該幾何體的主視圖和左視圖；(2)若每個小立方塊的棱長為，涂該幾何體的油漆價格為元/，求該幾何體表面涂滿油漆所需費用．
25．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期中）某品牌飲水機可以近似地看成一個長方體減去半個圓柱體的幾何體，它從正面看和從上面看的圖形如圖所示，長方體的長為5，寬為6，高為8，圓柱體的高為4， 底面直徑為2．

(1)求該幾何體的體積；（結果保留）
(2)現對該飲水機的正面區域進行涂色，求涂色面積．（結果保留）
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