資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
第一節 一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元一次方程的解法及解的應用 ☆☆ 吉林中考中，有關一次方程（組）的部分，每年考查1~3道題,分值為3~10分，通常以選擇題、 填空題和解答題的形式考察。對于一次方程（組）的復習，需要熟練掌握一元一次方程、二元一次方程（組）的相關概念、解法及其實際應用等考點。
考點2 二元一次方程（組）及其解法 ☆☆
考點3 二元一次方程（組）的實際應用 ☆☆
考點4 列一次方程（組）解應用題的常用分析 ☆☆
■考點一　一元一次方程的解法及解的應用
1.方程： 叫做方程．
2.一元一次方程：只含有 未知數（元），未知數的次數都是 ，這樣的方程叫做 ．
要點詮釋：判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：
①只含有 未知數，未知數的次數為 ；②未知數所在的式子是 ，即分母中不含 ．
3.方程的解：使方程的 相等的未知數的值叫做這個方程的 ．
4.解方程：求方程的解的過程叫做 ．
5.解一元一次方程的一般步驟：
(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的 ．
(2)去括號：依據 和 ，先去 ，再去 ，最后去 ．
(3)移項：把 移到方程一邊， 移到方程另一邊．
(4)合并：逆用 ，分別合并含有未知數的項及常數項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數化為1：方程兩邊同 得到方程的解(a≠0)．
(6)檢驗：把 代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則 ；若方程左右兩邊的值不相等，則 ．
6.一元一次方程應用
（1）行程問題：路程＝ 。
（2）和差倍分問題：增長量＝ 。
（3）利潤問題：商品利潤＝ 。
（4）工程問題：工作量＝ ，各部分勞動量之和＝總量
（5）銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝ 。
（6）數字問題：多位數的表示方法：例如：.
■考點二　二元一次方程（組）及其解法
1.二元一次方程：含有 ，并且含有未知數的項的次數都是 ，像這樣的方程叫做 ．
注：二元一次方程滿足的三個條件：
（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.
（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.
（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程 的 未知數的值，叫做 ．
注：（1）二元一次方程的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯立起來，如：．
（2）一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數多對數適合這個二元一次方程．
3.二元一次方程組：把具有 的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個 .
注：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．
（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組．
（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．
（4）組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例 也是二元一次方程組.
4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的 ，叫做 .
注：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩
個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.
（2）二元一次方程組的解是一組數對，必須同時滿足方程組中每一個方程一般寫成的形式．
（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個．
解二元一次方程組的思想
解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：
①從方程組中選定一個 的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；
②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；
③解這個一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.
注： (1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；
(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；
(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.
（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：
①根據“ ”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；
②根據“ ”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；
③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；
④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；
⑤將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可.
■考點三　二元一次方程（組）的實際應用
二元一次方程組
（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；
（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；
（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.
■考點四　列一次方程（組）解應用題的常用分析
用方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;
列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
■易錯提示
1.利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.
2.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母.
3. 一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數.
4. 一元一次方程只含有一個未知數,未知數的次數都為1.
5. 解方程的五個步驟有些可能用不到，有些可能重復使用，也不一定有固定的順序，要根據方程的特點靈活運用．
6. 對于分母中含有小數的一元一次方程．當分母中含有一位小數時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數為整數；當分母中含有兩位小數時，含分母項的分子、分母都乘100，化分母中的小數為整數．
7.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解.
8.在二元一次方程中，給定其中一個未知數的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數的值.
9.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數.
10.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．
■考點一　一元一次方程的解法及解的應用
◇典例1： （2023上·河南商丘·七年級校考階段練習）若單項式與是同類項，則方程的解為（ ）
A． B．23 C． D．29
◆變式訓練
1．（2023上·安徽合肥·七年級合肥市廬陽中學校考期中）運用等式性質進行的變形，錯誤的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
2．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）足球比賽的記分為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一隊打了14場比賽，負5場，共得19分，那么這個隊勝了（ ）場．
A．2 B．3 C．4 D．5
■考點二　二元一次方程（組）及其解法
◇典例2：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）已知方程組的解滿足，求的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2023下·山西晉城·七年級期末）《九章算術》中記載：“今有人共買物，人出八盈三；人出七不足四．問人數、物價各幾何？”其大意是“現在有幾個人共同買一件物品，若每人出8錢就多出3錢，若每人出7錢就差4錢，問人數、物品價格各是多少？”設人數為x人，物品價格為y錢，根據題意可列方程組為（　　）．
A． B．
C． D．
■考點三　二元一次方程（組）的實際應用
◇典例3：（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，矩形的周長為68，它被分成7個全等的矩形，則矩形的面積為（　　）
A．98 B．196 C．280 D．284
◆變式訓練
1．（2023上·河南平頂山·八年級統考階段練習）已知某首歌曲的歌詞的字數是一個兩位數，十位數字是個位數字的兩倍，且十位數字比個位數字大4，則這首歌的歌詞的字數是（ ）
A．84 B．48 C．41 D．148
2．（2023上·河北廊坊·八年級校考期末）《九章算術》中有題如下：把一封信送到里外的地方，若用慢馬送，則晚1天送達；若用快馬送，則早3天送達，已知快馬的速度是慢馬的2倍．甲、乙兩人所列方程如下，甲：設規定時間為x天，則；乙：設慢馬的速度為y里/天，則，則正確的是（ ）
A．只有甲對 B．只有乙對 C．兩人都對 D．兩人都錯
■考點四　列一次方程（組）解應用題的常用分析
◇典例4：（2023上·安徽淮南·七年級校考階段練習）某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，售價都是135元，若按成本計，其中一件盈利，另一件虧本，在這次買賣中他（ ）
A．不賺不賠 B．賠9元 C．賠18元 D．賺18元
◆變式訓練
1．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期中）2023年杭州亞運會期間，吉祥物琮琮、宸宸、蓮蓮因其靈動可愛的形象受到了大家的喜愛．為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣．已知一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，該店家計劃用5000元購進一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套，設購進個玩偶，個鑰匙扣，則下列方程組正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·吉林·統考中考真題）古埃及人的“紙草書”中記載了一個數學問題：一個數，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33，若設這個數是，則所列方程為（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·吉林·統考中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢．問合伙人數是多少？為解決此問題，設合伙人數為x人，可列方程為 ．
2．（2022·吉林長春·統考中考真題）《算法統宗》是中國古代重要的數學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可住；若每間住9人，則余下一間無人住，設店中共有x間房，可求得x的值為 ．
3．（2022·吉林·統考中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶可以盛酒斛、1個小桶可以盛酒斛．根據題意，可列方程組為 ．
4．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）解二元一次方程組：
(1)
(2)
5．（2023·吉林松原·統考二模）（1）問題解決：粘豆包，又稱豆包，是東北特色食品．將一些粘豆包分給若干人．如果每人分6個粘豆包，還剩余3個粘豆包；如果每人分9個粘豆包，還有5人沒有分到粘豆包．共有多少人？粘豆包有多少個？
（2）反思歸納：如果每人分個粘豆包，還剩余個粘豆包；如果每人分個粘豆包，還剩余個粘豆包．則共有多少人_________（用的式子表示）．
6．（2023·吉林松原·校聯考二模）盲盒近來火爆，這種不確定的“盲抽”模式受到了年輕人的青睞，某商場計劃采購潮玩盲盒和高品質精品盲盒，計劃采購兩種盲盒共500盒，這兩種盲盒的進價、售價如下表：
類型 進價（元/盒） 售價（元/盒）
潮玩盲盒 20 25
高品質精品盲盒 68 88
若采購共用去14800元，則兩種盲盒各采購了多少盒？
7．（2022·吉林四平·統考一模）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問物價幾何？譯文為：現有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問這個物品的價格是多少元？
8．（2023·吉林·統考中考真題）2022年12月28日查干湖冬捕活動后，某商家銷售A，B兩種查干湖野生魚，如果購買1箱A種魚和2箱B種魚需花費1300元：如果購買2箱A種魚和3箱B種魚需花費2300元．分別求每箱A種魚和每箱B種魚的價格．
9．（2021·吉林·統考中考真題）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共．其中橋梁長度比隧道長度的9倍少．求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度．
10．（2023·吉林松原·校聯考三模）中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”

11．（2023·吉林松原·校聯考二模）今年，流感病毒來勢洶洶，疫情刻不容緩．某醫用材料廠緊急召回放假的工人生產防病口罩，已知甲車間和乙車間共同生產3天可完成336萬只，且甲車間比乙車間每天少生產56萬只．求甲車間和乙車間每天各生產防病毒口罩多少萬只？
12．（2023·吉林松原·校聯考三模）某旅行團人在景區A游玩，他們由成人、少年和兒童組成．已知兒童人，成人比少年多人．求該旅行團中成人與少年分別是多少人？
1．（2023上·內蒙古呼和浩特·七年級校考期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·全國·七年級期末）現定義運算“*”，對于任意有理數a與b，滿足，例如，，若有理數x滿足，則x的值為（　　）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
3．（2023上·湖北孝感·七年級期中）如果單項式與的和是單項式，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南周口·七年級校聯考階段練習）已知關于的方程與的解互為相反數，則（ ）
A． B． C．5 D．－5
5．（2023上·江蘇鎮江·七年級統考期中）某地鐵站共有四個閘機口A、B、C、D、E，假設每個閘機口每5分鐘內通過的人數是不變的，現統計出5分鐘內某兩個閘機口通過的人數如下表，下列結論中正確的個數為（　　）
A、B B、C C、D D、E E、A
18 21 24 22
（1）A閘機口5分鐘內通過的人數比C多；
（2）B閘機口5分鐘內通過的人數比D少3人；
（3）假設C閘機口每5分鐘通過的人數比D多2人，則；
（4）B、E同時開放，則5分鐘內通過的人數為19人．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2023上·廣東韶關·七年級統考階段練習）韶關市某次數學競賽共有20道題，已知做對一道得4分，做錯一道或不做扣1分，某同學最后的得分是50分，則他做對（ ）道題．
A．16 B．15 C．14 D．13
7．（2023上·湖北荊門·七年級校考期末）下表是某學校七~九年級某月課外興趣小組活動時間統計表，其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同．則的值為（　　）
課外小組活動總時間/h 文藝小組活動次數／次 科技小組活動次數／次
七年級 12.5 4 3
八年級 10.5 3 3
九年級 7 m n
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023上·陜西西安·八年級校聯考階段練習）如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，則每塊墻磚的截面面積是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·河南信陽·七年級校考階段練習）《烏鴉喝水》的故事我們都聽過，聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根據如圖信息，若放入一個鋼珠可以使液面上升厘米，當在玻璃桶內同時放入相同數量的小球和鋼珠時，水面上升到厘米，則的整數值有（ ）個．
A． B． C． D．
10．（2023上·新疆克孜勒蘇·七年級校考期末）若是方程的解，則a的值為 ．
11．（2022上·河北石家莊·九年級校考期末）一張試卷只有20道選擇題，做對一題的3分，做錯一題倒扣1分，歡歡做了全部試題共得了48分，她做對了 道題．
12．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）若關于，的方程是二元一次方程，則 .
13．（2023上·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學校考期末）已知方程組，則 ．
14．（2023上·山東濱州·七年級校考期末）A，B兩地相距80千米，一船從A出發順水行駛4小時到達B，而從B出發逆水行駛5小時才能到達A，則船在靜水中的航行速度是 千米/時．
15．（2023上·遼寧沈陽·七年級統考期末）解方程
(1)；
(2)．
16．（2023上·四川達州·八年級校考期末）解方程組：
(1)；
(2)．
17．（2023上·山東濱州·七年級校考期末）列方程解應用題：
(1)A車和B車從甲，乙兩地同時出發，沿同一路線相向勻速而行．出發后1.5小時兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時A車到達乙地，而B車還差40公里才能到達甲地．求甲地和乙地相距多少公里？
(2)某工廠車間有60個工人生產A零件和B零件，每人每天可生產A零件15個或B零件20個（每人每天只能生產一種零件），一個A零件配兩個B零件，且每天生產的A零件可獲利5元．
①求該工廠有多少工人生產A零件？
②因市場需求，該工廠每天要多生產出一部分A零件供商場零售使用，現從生產B零件的工人中調出多少名工人生產A零件，才能使每日生產的零件總獲利比調動前多600元？
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第二章 方程與不等式
第一節 一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元一次方程的解法及解的應用 ☆☆ 吉林中考中，有關一次方程（組）的部分，每年考查1~3道題,分值為3~10分，通常以選擇題、 填空題和解答題的形式考察。對于一次方程（組）的復習，需要熟練掌握一元一次方程、二元一次方程（組）的相關概念、解法及其實際應用等考點。
考點2 二元一次方程（組）及其解法 ☆☆
考點3 二元一次方程（組）的實際應用 ☆☆
考點4 列一次方程（組）解應用題的常用分析 ☆☆
■考點一　一元一次方程的解法及解的應用
1.方程：含有未知數的等式叫做方程．
2.一元一次方程：只含有一個未知數（元），未知數的次數都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．
要點詮釋：判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：
①只含有一個未知數，未知數的次數為1；②未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數．
3.方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數的值叫做這個方程的解．
4.解方程：求方程的解的過程叫做解方程．
5.解一元一次方程的一般步驟：
(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數．
(2)去括號：依據乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．
(3)移項：把含有未知數的項移到方程一邊，常數項移到方程另一邊．
(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數的項及常數項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數得到方程的解(a≠0)．
(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．
6.一元一次方程應用
（1）行程問題：路程＝速度×時間
（2）和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率
（3）利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價
（4）工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量
（5）銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數
（6）數字問題：多位數的表示方法：例如：.
■考點二　二元一次方程（組）及其解法
1.二元一次方程：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．
注：二元一次方程滿足的三個條件：
（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.
（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.
（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.
2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的一組解．
注：（1）二元一次方程的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯立起來，如：．
（2）一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數多對數適合這個二元一次方程．
3.二元一次方程組：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.
注：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．
（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組．
（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．
（4）組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例 也是二元一次方程組.
4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
注：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩
個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.
（2）二元一次方程組的解是一組數對，必須同時滿足方程組中每一個方程一般寫成的形式．
（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數個．
解二元一次方程組的思想
解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：
①從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；
②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；
③解這個一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.
注： (1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；
(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；
(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.
（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：
①根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；
②根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；
③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；
④把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；
⑤將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可.
■考點三　二元一次方程（組）的實際應用
二元一次方程組
（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；
（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；
（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.
■考點四　列一次方程（組）解應用題的常用分析
用方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數式表示實際問題中的基礎數據;
列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
■易錯提示
1.利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.
2.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母.
3. 一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數.
4. 一元一次方程只含有一個未知數,未知數的次數都為1.
5. 解方程的五個步驟有些可能用不到，有些可能重復使用，也不一定有固定的順序，要根據方程的特點靈活運用．
6. 對于分母中含有小數的一元一次方程．當分母中含有一位小數時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數為整數；當分母中含有兩位小數時，含分母項的分子、分母都乘100，化分母中的小數為整數．
7.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解.
8.在二元一次方程中，給定其中一個未知數的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數的值.
9.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數.
10.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．
■考點一　一元一次方程的解法及解的應用
◇典例1： （2023上·河南商丘·七年級校考階段練習）若單項式與是同類項，則方程的解為（ ）
A． B．23 C． D．29
【答案】A
【分析】本題考查同類項、解一元一次方程，先根據同類項中相同字母的指數相同求出m的n的值，再解一元一次方程即可．
【詳解】解：單項式與是同類項，
，，
，
去分母，得，
去括號，得，
移項，合并同類項得，
解得，
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023上·安徽合肥·七年級合肥市廬陽中學校考期中）運用等式性質進行的變形，錯誤的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．如果 ，那么
【答案】B
【分析】本題主要考查等式的性質，分別對每個選項進行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：．如果 ，那么 成立，故本選項不符合題意；
．如果 ，當，那么 不成立，故本選項符合題意；
．如果 ，因為，那么 成立，故本選項不符合題意；
．如果 ，那么 成立，故本選項不符合題意；
故選：B．
2．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）足球比賽的記分為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一隊打了14場比賽，負5場，共得19分，那么這個隊勝了（ ）場．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，設這個隊勝了x場，則這個隊平了場，根據總積分為19分列出方程求解即可．
【詳解】解：設這個隊勝了x場，則這個隊平了場，
由題意得，，
解得，
∴這個隊勝了5場，
故選：D．
■考點二　二元一次方程（組）及其解法
◇典例2：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次方程組的定義，根據二元一次方程組的定義逐個判斷即可．由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組．
【詳解】解：A．含有三個未知數，它不是二元一次方程組，故本選項不符合題意；
B．是二元一次方程組，故本選項符合題意；
C．第一個方程的最高次數是2，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意；
D．含有三個未知數，它不是二元一次方程組，故本選項不符合題意．
故選：B．
◆變式訓練
1．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）已知方程組的解滿足，求的值為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了二元一次方程組的解的意義和解二元一次方程組，先將已知方程組中不含字母k的方程與組成方程組求出x、y的值，再把x、y的值代入含k的方程求即可．
【詳解】解：由題意得：
，解得：，
把代入得：
解之得：，
故選C．
2．（2023下·山西晉城·七年級期末）《九章算術》中記載：“今有人共買物，人出八盈三；人出七不足四．問人數、物價各幾何？”其大意是“現在有幾個人共同買一件物品，若每人出8錢就多出3錢，若每人出7錢就差4錢，問人數、物品價格各是多少？”設人數為x人，物品價格為y錢，根據題意可列方程組為（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了方程組的應用，正確理解題意是解題的關鍵．
【詳解】解： 設人數為x人，物品價格為y錢，
由題意，得．
故答案為：D．
■考點三　二元一次方程（組）的實際應用
◇典例3：（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，矩形的周長為68，它被分成7個全等的矩形，則矩形的面積為（　　）
A．98 B．196 C．280 D．284
【答案】C
【分析】考查了二元一次方程組的應用，設小長方形的長、寬分別為x、y，根據和周長為68列出方程組，求出x、y，再算出長、寬即可得面積．解題的關鍵是根據圖示找到所需要的數量關系．
【詳解】解：設小長方形的長、寬分別為x、y，
依題意得：，
解得：，
∴矩形的面積為．
故選C．
◆變式訓練
1．（2023上·河南平頂山·八年級統考階段練習）已知某首歌曲的歌詞的字數是一個兩位數，十位數字是個位數字的兩倍，且十位數字比個位數字大4，則這首歌的歌詞的字數是（ ）
A．84 B．48 C．41 D．148
【答案】A
【分析】設這首歌的歌詞的字數的十位數字為x，個位數字為y，由題意：十位數字是個位數字的兩倍，且十位數字比個位數字大4，列出二元一次方程組，解方程組即可．
【詳解】解：設這個兩位數的個位數是x，十位數是y．
根據題意，得
解得
則這首歌的歌詞的字數是84個．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
2．（2023上·河北廊坊·八年級校考期末）《九章算術》中有題如下：把一封信送到里外的地方，若用慢馬送，則晚1天送達；若用快馬送，則早3天送達，已知快馬的速度是慢馬的2倍．甲、乙兩人所列方程如下，甲：設規定時間為x天，則；乙：設慢馬的速度為y里/天，則，則正確的是（ ）
A．只有甲對 B．只有乙對 C．兩人都對 D．兩人都錯
【答案】A
【分析】本題考查了分式方程的應用．解題的關鍵在于根據題意正確的列分式方程．
設規定時間為x天，慢馬用時天，快馬用時天，根據速度關系列分式方程得，；設慢馬的速度為y里/天，則快馬的速度為里/天，根據時間關系列分式方程得，；然后進行判斷作答即可．
【詳解】解：設規定時間為x天，慢馬用時天，快馬用時天，
依題意得，；甲正確，故符合要求；
設慢馬的速度為y里/天，則快馬的速度為里/天，
依題意得，，乙錯誤，故不符合要求；
故選：A．
■考點四　列一次方程（組）解應用題的常用分析
◇典例4：（2023上·安徽淮南·七年級校考階段練習）某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，售價都是135元，若按成本計，其中一件盈利，另一件虧本，在這次買賣中他（ ）
A．不賺不賠 B．賠9元 C．賠18元 D．賺18元
【答案】C
【分析】題考查了一元一次方程，解題的關鍵是先算出兩件衣服的原價，要算出原價就要先設出未知數，然后根據題中的等量關系列方程．
【詳解】解：設在這次買賣中第一件的原價是x元，
則可列方程：，
解得：108，
設第二件的原價為y元，
則可列方程：，，
解得：，
∵元，
兩件相比則一共虧了元．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考期中）2023年杭州亞運會期間，吉祥物琮琮、宸宸、蓮蓮因其靈動可愛的形象受到了大家的喜愛．為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣．已知一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，該店家計劃用5000元購進一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套，設購進個玩偶，個鑰匙扣，則下列方程組正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，利用總價單價數量，結合購進玩偶和鑰匙扣數量間的關系，即可列出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：∵一個套裝禮盒里包含1個吉祥物宸宸玩偶和2個其他吉祥物的鑰匙扣，
∴購進鑰匙扣的數量是購進宸宸玩偶數量的2倍，
∴；
∵一個玩偶的進價為60元，一個鑰匙扣的進價為20元，且店家共花費5000元，
∴．
根據題意可列出方程組．
故選：C．
2．（2021·吉林·統考中考真題）古埃及人的“紙草書”中記載了一個數學問題：一個數，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33，若設這個數是，則所列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意列方程．
【詳解】解：由題意可得．
故選C
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找等量關系是解題的關鍵．
1．（2023·吉林·統考中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢．問合伙人數是多少？為解決此問題，設合伙人數為x人，可列方程為 ．
【答案】
【分析】根據題中錢的總數列一元一次方程即可．
【詳解】解：設合伙人數為x人，
根據題意列方程；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，準確分析列方程是解題的關鍵．
2．（2022·吉林長春·統考中考真題）《算法統宗》是中國古代重要的數學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可住；若每間住9人，則余下一間無人住，設店中共有x間房，可求得x的值為 ．
【答案】8
【分析】設店中共有x間房，根據“今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可住；若每間住9人，則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可．
【詳解】設店中共有x間房，
由題意得，，
解得，
所以，店中共有8間房，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，準確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．
3．（2022·吉林·統考中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶可以盛酒斛、1個小桶可以盛酒斛．根據題意，可列方程組為 ．
【答案】
【分析】根據題中兩個等量關系：5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛；1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，列出方程組即可．
【詳解】由題意得：
故答案為：．
【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題，理解題意、找到等量關系并列出方程組是解題的關鍵．
4．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）解二元一次方程組：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
（1）方程組利用代入消元法求解即可；
（2）方程組利用加減消元法求解即可．
【詳解】（1）解：
解：由①得③，
將③代入②，得，
解得：，
將代入③，得，
解得：，
∴原方程組的解為：；
（2）解：
解：，得，
解得：，
將代入①，得，
解得：，
∴原方程組的解為：．
5．（2023·吉林松原·統考二模）（1）問題解決：粘豆包，又稱豆包，是東北特色食品．將一些粘豆包分給若干人．如果每人分6個粘豆包，還剩余3個粘豆包；如果每人分9個粘豆包，還有5人沒有分到粘豆包．共有多少人？粘豆包有多少個？
（2）反思歸納：如果每人分個粘豆包，還剩余個粘豆包；如果每人分個粘豆包，還剩余個粘豆包．則共有多少人_________（用的式子表示）．
【答案】（1）人，個；（2）
【分析】（1）設共有人，根據粘豆包的數量不變列一元一次方程解答；
（2）設共有y人，仿照（1）解答即可．
【詳解】解：（1）設共有x人，
根據題意，得．
解得．
．
答：共有16人，粘豆包有99個．
（2）設共有y人，
根據題意，得，
解得，
故答案為：．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意列得方程是解題的關鍵．
6．（2023·吉林松原·校聯考二模）盲盒近來火爆，這種不確定的“盲抽”模式受到了年輕人的青睞，某商場計劃采購潮玩盲盒和高品質精品盲盒，計劃采購兩種盲盒共500盒，這兩種盲盒的進價、售價如下表：
類型 進價（元/盒） 售價（元/盒）
潮玩盲盒 20 25
高品質精品盲盒 68 88
若采購共用去14800元，則兩種盲盒各采購了多少盒？
【答案】商場采購潮玩盲盒400盒，高品質精品盲盒100盒
【分析】審題確定等量關系：潮玩盲盒采購金額高品質精品盲盒采購金額元，列方程求解．
【詳解】解：設商場采購潮玩盲盒盒，則采購高品質精品盲盒盒，
由題意，得，
解得，
答：商場采購潮玩盲盒400盒，高品質精品盲盒100盒．
【點睛】本題考查一元一次方程的運用，審題確定等量關系是解題的關鍵．
7．（2022·吉林四平·統考一模）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問物價幾何？譯文為：現有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問這個物品的價格是多少元？
【答案】這個物品的價格是53元
【分析】設共同購買該物品的有x人，根據“每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元”，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（8x-3）中即可求出結論．
【詳解】解：設共同購買該物品的有x人，
依題意得：8x-3=7x+4，
解得：x=7，
∴8x-3=8×7-3=56-3=53．
答：這個物品的價格是53元．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
8．（2023·吉林·統考中考真題）2022年12月28日查干湖冬捕活動后，某商家銷售A，B兩種查干湖野生魚，如果購買1箱A種魚和2箱B種魚需花費1300元：如果購買2箱A種魚和3箱B種魚需花費2300元．分別求每箱A種魚和每箱B種魚的價格．
【答案】每箱A種魚的價格是700元，每箱B種魚的價格是300元．
【分析】設每箱A種魚的價格是元，每箱B種魚的價格是元，根據題意建立方程組，解方程組即可得．
【詳解】解：設每箱A種魚的價格是元，每箱B種魚的價格是元，
由題意得：，
解得，
答：每箱A種魚的價格是700元，每箱B種魚的價格是300元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，正確建立方程組是解題關鍵．
9．（2021·吉林·統考中考真題）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共．其中橋梁長度比隧道長度的9倍少．求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度．
【答案】港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度分別為和
【分析】設港珠澳大橋隧道長度為，橋梁長度為．由橋梁和隧道全長共，得．橋梁長度比隧道長度的9倍少，得，然后列出方程組，解方程組即可．
【詳解】解：設港珠澳大橋隧道長度為，橋梁長度為．
由題意列方程組得：．
解得：．
答：港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度分別為和．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組．
10．（2023·吉林松原·校聯考三模）中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”

【答案】馬每匹兩，牛每頭7兩
【分析】設4每匹兩，牛每匹兩，根據“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩，馬二匹、牛五頭，共價三十八兩”列出二元一次方程組，解方程組即可．
【詳解】解：設4每匹兩，牛每匹兩，
根據題意得：
，
解得：，
馬每匹兩，牛每頭7兩．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
11．（2023·吉林松原·校聯考二模）今年，流感病毒來勢洶洶，疫情刻不容緩．某醫用材料廠緊急召回放假的工人生產防病口罩，已知甲車間和乙車間共同生產3天可完成336萬只，且甲車間比乙車間每天少生產56萬只．求甲車間和乙車間每天各生產防病毒口罩多少萬只？
【答案】甲車間和乙車間每天分別生產防病毒口罩28萬只和84萬只
【分析】設甲車間和乙車間每天分別生產防病毒口罩x萬只和y萬只，根據：甲車間和乙車間共同生產3天可完成336萬只，且甲車間比乙車間每天少生產56萬只，即可列出關于x、y的方程組，求解即可．
【詳解】解：設甲車間和乙車間每天分別生產防病毒口罩x萬只和y萬只，
由題意，得，
解得，
答：甲車間和乙車間每天分別生產防病毒口罩28萬只和84萬只．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵．
12．（2023·吉林松原·校聯考三模）某旅行團人在景區A游玩，他們由成人、少年和兒童組成．已知兒童人，成人比少年多人．求該旅行團中成人與少年分別是多少人？
【答案】該旅行團中成人有人，少年有5人
【分析】設該旅行團中成人有x人，少年有y人，根據題意列出方程組求解即可．
【詳解】解：設該旅行團中成人有x人，少年有y人，
依題意，得，
解得．
答：該旅行團中成人有人，少年有5人．
【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用，理解題意列出方程組是解題關鍵．
1．（2023上·內蒙古呼和浩特·七年級校考期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的定義：“只含有一個未知數，且含有未知數的項的次數為1的整式方程，叫做一元一次方程”，進行判斷即可．
【詳解】解：A、有兩個未知數，不是一元一次方程；
B、有兩個未知數，不是一元一次方程；
C、含未知數的最高項的次數為2，不是一元一次方程；
D、是一元一次方程；
故選D．
2．（2023上·全國·七年級期末）現定義運算“*”，對于任意有理數a與b，滿足，例如，，若有理數x滿足，則x的值為（　　）
A．4 B．5 C．21 D．5或21
【答案】B
【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據“*”的定義，分當和，兩種情況寫出對應的方程并求解即可．
【詳解】解：若，則，解得，符合題意；
若，，解得（不符合題意，舍去）．
綜上，，
故選：B．
3．（2023上·湖北孝感·七年級期中）如果單項式與的和是單項式，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查同類項的定義．由題意推出與是同類項，再根據同類項的定義“所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同”列式計算即可求解．
【詳解】解：由題意得：與是同類項，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
4．（2023上·河南周口·七年級校聯考階段練習）已知關于的方程與的解互為相反數，則（ ）
A． B． C．5 D．－5
【答案】B
【分析】本題考查一元一次方程的知識，解題的關鍵是掌握一元一次方程的解，相反數的定義，即可．
【詳解】∵，
解得：，
∵的方程與的解互為相反數，
∴方程的解為：，
∴，
解得：．
故選：B．
5．（2023上·江蘇鎮江·七年級統考期中）某地鐵站共有四個閘機口A、B、C、D、E，假設每個閘機口每5分鐘內通過的人數是不變的，現統計出5分鐘內某兩個閘機口通過的人數如下表，下列結論中正確的個數為（　　）
A、B B、C C、D D、E E、A
18 21 24 22
（1）A閘機口5分鐘內通過的人數比C多；
（2）B閘機口5分鐘內通過的人數比D少3人；
（3）假設C閘機口每5分鐘通過的人數比D多2人，則；
（4）B、E同時開放，則5分鐘內通過的人數為19人．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了有理數加減法的應用、一元一次方程的應用，理解表格中數據之間的聯系是解題關鍵．根據與兩個閘機口通過的人數比較即可得（1）錯誤；根據與兩個閘機口通過的人數即可得（2）正確；設閘機口每5分鐘通過的人數為人，則閘機口每5分鐘通過的人數為人，建立方程即可得，再分別求出閘機口每5分鐘通過的人數，由此建立方程，解方程即可得（3）正確；利用與通過的人數之和減去通過的人數即可得（4）正確．
【詳解】解：∵兩個閘機口通過的人數為18，兩個閘機口通過的人數為21，
∴閘機口5分鐘內通過的人數比少，則結論（1）錯誤；
∵兩個閘機口通過的人數為21，兩個閘機口通過的人數為21，
∴閘機口5分鐘內通過的人數比少（人），則結論（2）正確；
設閘機口每5分鐘通過的人數為人，則閘機口每5分鐘通過的人數為人，
由題意得：，
解得，
，
閘機口每5分鐘通過的人數為（人），閘機口每5分鐘通過的人數為（人），
閘機口每5分鐘通過的人數為（人），
則，
解得，結論（3）正確；
同時開放，則5分鐘內通過的人數為（人），結論（4）正確；
綜上，結論中正確的個數為3個，
故選：C．
6．（2023上·廣東韶關·七年級統考階段練習）韶關市某次數學競賽共有20道題，已知做對一道得4分，做錯一道或不做扣1分，某同學最后的得分是50分，則他做對（ ）道題．
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設他做對道，則做錯一道或不做道，根據等量關系列出方程并解方程即可求解，理清題意，根據等量關系列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：設他做對道，則做錯一道或不做道，
依題意得：，
解得：，
答：他做對14道題，
故選C．
7．（2023上·湖北荊門·七年級校考期末）下表是某學校七~九年級某月課外興趣小組活動時間統計表，其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同．則的值為（　　）
課外小組活動總時間/h 文藝小組活動次數／次 科技小組活動次數／次
七年級 12.5 4 3
八年級 10.5 3 3
九年級 7 m n
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】考查一元一次方程的應用，正確地列出方程是正確解答的關鍵．根據七、八年級表格中的數據，列方程求出每次文藝小組活動時間、科技小組的活動時間，再利用九年級的活動時間，求出活動次數的正整數解即可．
【詳解】解：設文藝小組每次活動時間為x小時，
根據題意得，
解得，
∴文藝小組每次活動時間為2小時，
設科技小組每次活動時間為y小時，
根據題意得，
解得，
∴科技小組每次活動時間為小時，
根據題意得，，
又∵m、n都是正整數，
∴，，
∴．
故選：C．
8．（2023上·陜西西安·八年級校聯考階段練習）如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，則每塊墻磚的截面面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設每塊墻磚的長為，寬為，根據圖形找到兩個等量關系，求解即可
【詳解】解：設每塊墻磚的長為，寬為，
根據題意得：，
解得：
∴每塊墻磚的截面面積：，
故選：C
9．（2023上·河南信陽·七年級校考階段練習）《烏鴉喝水》的故事我們都聽過，聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根據如圖信息，若放入一個鋼珠可以使液面上升厘米，當在玻璃桶內同時放入相同數量的小球和鋼珠時，水面上升到厘米，則的整數值有（ ）個．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二元一次方程的知識，解題的關鍵是根據題意，得一個小球上升，設同時放入個小球和鋼珠，水位上升到厘米，則，即可．
【詳解】由題意得，一個小球上升，
∴設同時放入個小球和鋼珠，水位上升到厘米，
∴，
整理得：，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
∴整數值可以取：，，，．
故選：C．
10．（2023上·新疆克孜勒蘇·七年級校考期末）若是方程的解，則a的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次方程是解題的關鍵．將代入得到關于a的一元一次方程，解方程即可．
【詳解】解：將代入，
得，
解得．
故答案為：．
11．（2022上·河北石家莊·九年級校考期末）一張試卷只有20道選擇題，做對一題的3分，做錯一題倒扣1分，歡歡做了全部試題共得了48分，她做對了 道題．
【答案】17
【分析】本題考查一元一次方程的應用．
設她做對了x道題，則做錯了道題，做對的題得分，做錯的題倒扣分，根據“做了全部試題共得了48分”即可列出方程，求解即可解答．
【詳解】設她做對對了x道題，根據題意，得
，
解得：．
∴她做對了17道題．
12．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）若關于，的方程是二元一次方程，則 .
【答案】2
【分析】本題主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數，含未知數的項的次數是1的整式方程，據此解答即可．
【詳解】解：根據題意得：
，
解得．
故答案為：．
13．（2023上·寧夏銀川·八年級銀川唐徠回民中學校考期末）已知方程組，則 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，把方程組中兩個方程相加得到，則．
【詳解】解：
得：，
∴，
故答案為：2．
14．（2023上·山東濱州·七年級校考期末）A，B兩地相距80千米，一船從A出發順水行駛4小時到達B，而從B出發逆水行駛5小時才能到達A，則船在靜水中的航行速度是 千米/時．
【答案】18
【分析】此題主要考查二元一次方程組的應用．設船在靜水中的速度為x千米/時，水流速度為y千米/時，根據題意列出二元一次方程組即可求解．
【詳解】解：設船在靜水中的航行速度是x千米/時，水流速度為y千米/時，根據題意得： ，
解得：，
答：船在靜水中的航行速度是18千米/時．
故答案為：18
15．（2023上·遼寧沈陽·七年級統考期末）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了解一元一次方程．
（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可；
（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可．
【詳解】（1）解：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數化為1得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數化為1得：．
16．（2023上·四川達州·八年級校考期末）解方程組：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
（1）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可；
（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．
【詳解】（1）解：整理得：
得：，
解得：，
把代入得：
解得：，
∴；
（2）解：整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：
解得：，
∴；
17．（2023上·山東濱州·七年級校考期末）列方程解應用題：
(1)A車和B車從甲，乙兩地同時出發，沿同一路線相向勻速而行．出發后1.5小時兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時A車到達乙地，而B車還差40公里才能到達甲地．求甲地和乙地相距多少公里？
(2)某工廠車間有60個工人生產A零件和B零件，每人每天可生產A零件15個或B零件20個（每人每天只能生產一種零件），一個A零件配兩個B零件，且每天生產的A零件可獲利5元．
①求該工廠有多少工人生產A零件？
②因市場需求，該工廠每天要多生產出一部分A零件供商場零售使用，現從生產B零件的工人中調出多少名工人生產A零件，才能使每日生產的零件總獲利比調動前多600元？
【答案】(1)甲地和乙地相距240公里
(2)①該工廠有24名工人生產A零件；②應從生產B零件的工人中調出12名工人生產A零件
【分析】本題主要考查二元一次方程組和一元一次方程的實際應用，根據等量關系，列出方程是解題的關鍵．
（1）設車的速度是公里/小時，車的速度是公里/小時，根據題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）①設該工廠有a名工人生產零件，b名工人生產零件，根據題意列出二元一次方程組求解即可；
②設應從生產零件的工人中調出名工人生產零件，拫據題意列出一元一次方程求解即可．
【詳解】（1）解：設車的速度是公里/小時，車的速度是公里/小時，
根據題意得：，
解得，
答：甲地和乙地相距240公里．
（2）解：①設該工廠有a名工人生產零件，b名工人生產零件，
根據題意得：，解得
答：該工廠有24名工人生產零件．
②設應從生產零件的工人中調出名工人生產零件．
拫據題意得：
解得：．
答：應從生產零件的工人中調出12名工人生產零件．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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