資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第二章 方程與不等式
第三節(jié) 一元二次方程
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)一元二次方程的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對(duì)于一元二次方程的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握一元二次方程的解法和應(yīng)用等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)3 一元二次方程的應(yīng)用 ☆
■考點(diǎn)一　一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念：
通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有 (一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做 ．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右兩邊相等的 叫做 ，也叫做一元二次方程的 .
注：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；
其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0，
看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.
對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
4.一元二次方程的解法
（1）基本思想
一元二次方程 。
（2）基本解法
．
注：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解法，再考慮用公式法．
■考點(diǎn)二　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
1.一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的 ，通常用“”來(lái)表示，即.
（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有 ；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有 ；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程 。
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.注意它的使用條件為 .
注：1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問(wèn)題：　
（1）不解方程判定方程根的情況；
（2）根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
（3）解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
（2）已知方程，求含有兩根對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
■考點(diǎn)三　一元二次方程的應(yīng)用
1.列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：
一是整體地、系統(tǒng)地 ；
二是把握問(wèn)題中的 ；
三是正確 .
2.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是 .
3.解決應(yīng)用題的一般步驟：
(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
(檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）；
(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).
4.常見(jiàn)應(yīng)用題型
數(shù)字問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題、形積問(wèn)題等.
注：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.
■易錯(cuò)提示
1. 如果明確了是一元二次方程,就隱含了a≠0這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必須具備三個(gè)條件：
①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
3. 在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.
4. 二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么無(wú)解，有解必有兩個(gè)，所以最后方程的解一定要寫(xiě)明x1，x2．
6. 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.
7. 利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0.
8. 求根公式的使用條件：a≠0且b2-4ac≥0.
9. 使用一元二次方程根的判別式，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c 的值.
10如果方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1,x2，+＝， ＝.
11. 以?xún)蓚€(gè)數(shù)x1,x2x2 -（+）x+＝0.
12. 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定 a、b、c的值.
13. 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△≥0.
■考點(diǎn)一　一元二次方程及其解法
◇典例1： （2023上·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為（　　）
A． B．4046 C． D．2026
■考點(diǎn)二　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
◇典例2：（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·山西晉中·九年級(jí)校聯(lián)考期末）一元二次方程的根情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
2．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式，其中x為任意實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
①若，則，；
②若，則；
③若，則此關(guān)于x的方程一定有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解；
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
■考點(diǎn)三　一元二次方程的應(yīng)用
◇典例3：（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169個(gè)人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考階段練習(xí)）重慶某果園種有若干枇杷樹(shù)，2021年平均每棵結(jié)40斤枇杷．2022年開(kāi)始采用枇杷套袋技術(shù)，不加催熟劑，不打農(nóng)藥，不施化肥，物理除蟲(chóng)，有機(jī)種植，由于實(shí)施新的栽培技術(shù)，枇杷產(chǎn)量逐年增加，2023年每棵枇杷樹(shù)產(chǎn)量為57.6斤．若年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期中）《算學(xué)寶鑒》全稱(chēng)《新集通證古今算學(xué)寶鑒》，是晉商數(shù)學(xué)家王文素的數(shù)學(xué)著作．書(shū)中研究了一元高次方程的數(shù)值解法，內(nèi)容詳實(shí)可貴，代表了我國(guó)明代數(shù)學(xué)的最高水平，《算學(xué)寶鑒》卷28中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題“門(mén)廳一座，高廣難知．長(zhǎng)竿橫進(jìn)，門(mén)狹四尺．豎進(jìn)過(guò)去，竿長(zhǎng)二尺，兩陰斜進(jìn)，恰好方齊．”譯文：現(xiàn)在有一座門(mén)，不知道寬度和高度，如果拿支長(zhǎng)竹竿橫著過(guò)，門(mén)的寬度比竹竿的長(zhǎng)度少四尺，拿竹竿豎著過(guò)，竹竿的長(zhǎng)度比門(mén)的高度多二尺．沿對(duì)角線斜著進(jìn)，恰好通過(guò)，問(wèn)竹竿的長(zhǎng)度是多少尺（）
A．2 B．10 C．8 D．2或10
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（ ）
A．9 B．6 C．4 D．－1
2．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
3．（2021·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）一元二次方程的根的情況為（ ）
A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．不能判定
5．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（ ）
A． B．0 C．4 D．8
6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）方程的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
7．（2021·吉林·三模）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有一根為2，則m的值為 ．
8．（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程3x2+5x+1＝0 實(shí)數(shù)根．（填“有”或“沒(méi)有”）
9．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為 ．
10．（2021·吉林·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為 ．
11．（2022·吉林長(zhǎng)春·校考模擬預(yù)測(cè)）某水果批發(fā)商經(jīng)銷(xiāo)一種高檔水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克每漲價(jià)一元，平均日銷(xiāo)量將減少千克，要使商場(chǎng)每天獲利最多，那么每千克應(yīng)漲價(jià) 元．
12．（2020·吉林白城·統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長(zhǎng)8m、寬6m的矩形綠地內(nèi)，開(kāi)辟出一塊矩形的花圃，使花圃四周的綠地等寬，已知綠地的面積與花圃的面積相等，求花圃四周綠地的寬．設(shè)花圃四周綠地的寬為xm，可列方程為 (不需要化簡(jiǎn))．
1．（2023上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）把一元二次方程化為一般形式,二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江金華·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次方程的兩根為和5，則一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3．（2023上·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則代數(shù)式的值為（ ）
A． B．2023 C． D．2024
4．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰三角形的底和腰是方程的兩根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．無(wú)法確定
5．（2023上·新疆昌吉·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一元二次方程的根為（ ）
A． B． C．， D．，
6．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)校考期中）已知兩個(gè)整式，我們?cè)诖鷶?shù)式中的“_”上添加加減乘除的運(yùn)算符號(hào)，將運(yùn)算結(jié)果叫做關(guān)于A，B的“三連運(yùn)算”，比如就是關(guān)于A，B的一種“三連運(yùn)算”．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )
①只存在一種關(guān)于A，B的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1；
②將分解因式后為；
③三連運(yùn)算的解為
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
7．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某商店將一批秋裝降價(jià)處理，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，由每件元降至元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一邊靠學(xué)校院墻，其它三邊用米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)矩形的邊米，面積平方米，則下面關(guān)系式正確的是( )
A． B．
C． D．
9．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）電影《長(zhǎng)津湖》上映以來(lái)，全國(guó)票房連創(chuàng)佳績(jī)，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)18億元，將增長(zhǎng)率記作，則方程可以列為（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有400人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為，則可列方程是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）哈爾濱市政府為了申辦2018年冬奧會(huì)，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計(jì)劃用兩年的時(shí)間，綠地面積增加，這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·山東青島·九年級(jí)校考期中）某文具店銷(xiāo)售一種文具盒，每個(gè)成本價(jià)為元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為元時(shí)，可銷(xiāo)售個(gè)，售價(jià)每上漲1元，銷(xiāo)量將減少個(gè)．如果這種文具盒全部銷(xiāo)售完，那么該文具店可獲利元，設(shè)這種文具盒的售價(jià)上漲元，根據(jù)題意可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
13．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校考期末）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為 ，m是的一個(gè)根，則的值為 ．
14．（2023·廣東陽(yáng)江·三模）關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為2，則m的值為 ．
15．（江蘇省南京市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）方程 的解是 ．
16．（2023上·四川成都·九年級(jí)校考期中）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為 ．
17．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校考期末）騎行帶頭盔，安全有保障，“一盔一帶”政策的推行致頭盔銷(xiāo)量大幅增長(zhǎng)，從2019年到2021年我國(guó)頭盔銷(xiāo)售額從23.4億元增長(zhǎng)到39.546億元，則我國(guó)頭盔從2019年到2021年平均每年增長(zhǎng)率是 ．
18．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校考期末）解下列方程
(1)；
(2)；
(3)．
19．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知都是方程的根，求a、b的值和這個(gè)一元二次方程的一般形式．
20．（遼寧省五校協(xié)作體（沈陽(yáng)七中，育才，丹東，錦州等）2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）隨著新能源技術(shù)的提高，新能源汽車(chē)節(jié)能、環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)．沈陽(yáng)某店新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量自2023年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店1月份銷(xiāo)售新能源汽車(chē)50輛，3月份銷(xiāo)售了72輛．
(1)求該店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；
(2)若月平均增長(zhǎng)率保持不變，求該店4月份賣(mài)出多少輛新能源汽車(chē)．（答案若含有小數(shù)則只取整數(shù)部分，不四舍五入）
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第二章 方程與不等式
第三節(jié) 一元二次方程
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)一元二次方程的部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對(duì)于一元二次方程的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握一元二次方程的解法和應(yīng)用等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)3 一元二次方程的應(yīng)用 ☆
■考點(diǎn)一　一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念：
通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
注：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；
其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0，
看是否具備另兩個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.
對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
4.一元二次方程的解法
（1）基本思想
一元二次方程一元一次方程
（2）基本解法
直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法．
注：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解法，再考慮用公式法．
■考點(diǎn)二　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
1.一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即.
（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
注：1.一元二次方程 的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問(wèn)題：　
（1）不解方程判定方程根的情況；
（2）根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；
（3）解與根有關(guān)的證明題．
2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：
（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；
（2）已知方程，求含有兩根對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；
（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．
■考點(diǎn)三　一元二次方程的應(yīng)用
1.列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：
一是整體地、系統(tǒng)地審題；
二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；
三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.
2.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
3.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審 (審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè) (設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列 (根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn) (檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）；
答 (寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).
4.常見(jiàn)應(yīng)用題型
數(shù)字問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題、利息問(wèn)題、利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題、形積問(wèn)題等.
注：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.
■易錯(cuò)提示
1. 如果明確了是一元二次方程,就隱含了a≠0這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必須具備三個(gè)條件：
①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
3. 在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.
4. 二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么無(wú)解，有解必有兩個(gè)，所以最后方程的解一定要寫(xiě)明x1，x2．
6. 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.
7. 利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng),將方程右邊化為0.
8. 求根公式的使用條件：a≠0且b2-4ac≥0.
9. 使用一元二次方程根的判別式，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c 的值.
10如果方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1,x2，+＝， ＝.
11. 以?xún)蓚€(gè)數(shù)x1,x2x2 -（+）x+＝0.
12. 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定 a、b、c的值.
13. 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△≥0.
■考點(diǎn)一　一元二次方程及其解法
◇典例1： （2023上·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的一般式，根據(jù)一元二次方程一般式中的常數(shù)b為一次項(xiàng)系數(shù)求解即可．
【詳解】解：一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是4，
故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，是一元二次方程，符合題意；
B、，是二元一次方程，不符合題意；
C、，是分式方程，不符合題意；
D、，是一元一次方程，不符合題意；
故選：A．
2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為（　　）
A． B．4046 C． D．2026
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，由此可得，再由利用整體代入法求解即可．
【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，
∴，
∴，
∴，
故選B．
■考點(diǎn)二　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系
◇典例2：（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)配方法的關(guān)鍵點(diǎn)“等式兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：
；
故選D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·山西晉中·九年級(jí)校聯(lián)考期末）一元二次方程的根情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
【答案】C
【分析】本題主要考查根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．計(jì)算出即可得到答案．
【詳解】解：，，，
，
故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選C．
2．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式，其中x為任意實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
①若，則，；
②若，則；
③若，則此關(guān)于x的方程一定有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解；
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】D
【分析】本題考查了解一元二次方程，完全平方公式變形求值，根據(jù)解一元二次方程對(duì)①③進(jìn)行判斷，根據(jù)完全平方公式變形對(duì)②進(jìn)行判斷，即可求解．
【詳解】解：①∵
∴
∵
∴
即
解得：，；故①正確；
∵，設(shè)，
則，
∴，
，即，故②正確；
③∵，
∴或
∴，，則有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
解得：或
當(dāng)，，則有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
解得：或
∴若，此關(guān)于x的方程一定有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，故③正確
故選：D．
■考點(diǎn)三　一元二次方程的應(yīng)用
◇典例3：（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169個(gè)人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，可得出第一輪傳染中有人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，結(jié)合經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169個(gè)人患了流感，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：若每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，則第一輪傳染中有人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，
根據(jù)題意得：．
故選：A．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考階段練習(xí)）重慶某果園種有若干枇杷樹(shù)，2021年平均每棵結(jié)40斤枇杷．2022年開(kāi)始采用枇杷套袋技術(shù)，不加催熟劑，不打農(nóng)藥，不施化肥，物理除蟲(chóng)，有機(jī)種植，由于實(shí)施新的栽培技術(shù)，枇杷產(chǎn)量逐年增加，2023年每棵枇杷樹(shù)產(chǎn)量為57.6斤．若年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用（增長(zhǎng)率問(wèn)題）．解題的關(guān)鍵在于理清題目的含義，找到2021年和2023年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準(zhǔn)等量關(guān)系式，列出方程．
【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為，
故選B．
2．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期中）《算學(xué)寶鑒》全稱(chēng)《新集通證古今算學(xué)寶鑒》，是晉商數(shù)學(xué)家王文素的數(shù)學(xué)著作．書(shū)中研究了一元高次方程的數(shù)值解法，內(nèi)容詳實(shí)可貴，代表了我國(guó)明代數(shù)學(xué)的最高水平，《算學(xué)寶鑒》卷28中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題“門(mén)廳一座，高廣難知．長(zhǎng)竿橫進(jìn)，門(mén)狹四尺．豎進(jìn)過(guò)去，竿長(zhǎng)二尺，兩陰斜進(jìn)，恰好方齊．”譯文：現(xiàn)在有一座門(mén)，不知道寬度和高度，如果拿支長(zhǎng)竹竿橫著過(guò)，門(mén)的寬度比竹竿的長(zhǎng)度少四尺，拿竹竿豎著過(guò)，竹竿的長(zhǎng)度比門(mén)的高度多二尺．沿對(duì)角線斜著進(jìn)，恰好通過(guò)，問(wèn)竹竿的長(zhǎng)度是多少尺（）
A．2 B．10 C．8 D．2或10
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為尺，則門(mén)寬尺，門(mén)高尺，利用勾股定理，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，取其符合題意的值代入中即可求出結(jié)論．
【詳解】設(shè)竹竿的長(zhǎng)度為尺，則門(mén)寬尺，門(mén)高尺，
依題意得：，
整理得：，
解得：(不合題意，舍去)，，
答：竹竿的長(zhǎng)度是10尺．
故選：B．
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（ ）
A．9 B．6 C．4 D．－1
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況的判別式可得，把各系數(shù)代入即可求出m的取值范圍．
【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握通過(guò)判別式判斷一元二次方程根的情況是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判別式求出答案．
【詳解】解：∵，，，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．
3．（2021·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】先根據(jù)判別式＞0，求出m的范圍，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式與根的情況的關(guān)系，掌握一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則，是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）一元二次方程的根的情況為（ ）
A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．不能判定
【答案】B
【分析】利用判別式，判斷其結(jié)果的符號(hào)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：，
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（ ）
A． B．0 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出，求解即可得到答案．
【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程（為常數(shù)，），當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）方程的根的情況是（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，可以判斷該方程根的情況，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵
∴
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用根的判別式判斷根的情況．
7．（2021·吉林·三模）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有一根為2，則m的值為 ．
【答案】-8
【分析】把代入原方程，解出m即可．
【詳解】解：把x＝2代入方程得：，
解得：，
故答案為：-8．
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的解的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解方程的解能使得方程兩邊相等，難度不大．
8．（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程3x2+5x+1＝0 實(shí)數(shù)根．（填“有”或“沒(méi)有”）
【答案】有
【分析】根據(jù)方程計(jì)算出△＝b2﹣4ac的值，即可知方程根的情況．
【詳解】解：∵b2﹣4ac＝52﹣4×3×1＝13＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
故答案為：有．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程判別式，當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
9．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為 ．
【答案】/0.25
【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得，計(jì)算即可．
【詳解】關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，即一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，；熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·吉林·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)判別式求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
11．（2022·吉林長(zhǎng)春·校考模擬預(yù)測(cè)）某水果批發(fā)商經(jīng)銷(xiāo)一種高檔水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克每漲價(jià)一元，平均日銷(xiāo)量將減少千克，要使商場(chǎng)每天獲利最多，那么每千克應(yīng)漲價(jià) 元．
【答案】7.5
【分析】設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，商場(chǎng)每天的利潤(rùn)為y元，再根據(jù)利潤(rùn)=每千克盈利×日銷(xiāo)售量，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后配方求最值即可．
【詳解】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，商場(chǎng)每天的利潤(rùn)為y元，
根據(jù)題意得：
當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為6 125．
所以要使商場(chǎng)每天獲利最多，每千克應(yīng)漲價(jià)7.5元．
故答案為：7.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題，明確利潤(rùn)=每千克盈利×日銷(xiāo)售量是本題的關(guān)鍵，重點(diǎn)理解“每千克漲價(jià)一元，日銷(xiāo)售量將減少20千克”根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)表示此時(shí)的銷(xiāo)售量，與二次函數(shù)的最值結(jié)合，求出結(jié)論．
12．（2020·吉林白城·統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長(zhǎng)8m、寬6m的矩形綠地內(nèi)，開(kāi)辟出一塊矩形的花圃，使花圃四周的綠地等寬，已知綠地的面積與花圃的面積相等，求花圃四周綠地的寬．設(shè)花圃四周綠地的寬為xm，可列方程為 (不需要化簡(jiǎn))．
【答案】(8-2x)(6-2x)= ×8×6
【分析】根據(jù)題意，即可得到矩形花圃的面積為矩形的一半，根據(jù)題意表示出矩形花圃的寬和長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積列出等式即可．
【詳解】解：矩形花圃的寬為6-2x，矩形花圃的長(zhǎng)為8-2x，
∵綠地的面積與花圃面積相等，
∴（6-2x）（8-2x）=×8×6，
故答案為：（6-2x）（8-2x）=×8×6.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
1．（2023上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）把一元二次方程化為一般形式,二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程定義問(wèn)題,完全平方公式．形如“”的形式是關(guān)于的一元二次方程的一般形式，根據(jù)定義即可選出答案．
【詳解】解:∵,
∴,
∴一般形式為:,
∴二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng),
故選:C．
2．（2023上·浙江金華·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知二次方程的兩根為和5，則一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】本題考查通過(guò)二次方程的解建立二元一次方程組求解一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，再結(jié)合一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系，即可解題．
【詳解】解：的兩根為和5，
，解得，則一次函數(shù)為，
則一次函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，
故選：A．
3．（2023上·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則代數(shù)式的值為（ ）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程的根，代數(shù)式求值，先將代入，求出的值，再代入即可．
【詳解】解：將代入，得，
，
，
故選B．
4．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰三角形的底和腰是方程的兩根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系以及因式分解法解一元二次方程，熟記三角形三邊關(guān)系以及因式分解法解一元二次方程的步驟是解題關(guān)鍵，還需要注意的是對(duì)等腰三角形腰長(zhǎng)和底的分類(lèi)討論．
【詳解】解：，
，
解得：或4，
①當(dāng)?shù)妊切窝L(zhǎng)為2，底為4時(shí)，
，不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)?shù)妊切窝L(zhǎng)為4，底為2時(shí)，
，，能構(gòu)成三角形．
∴周長(zhǎng)為．
故選：C．
5．（2023上·新疆昌吉·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一元二次方程的根為（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【詳解】解：，
即，
解得：，，
故選：C．
6．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)校考期中）已知兩個(gè)整式，我們?cè)诖鷶?shù)式中的“_”上添加加減乘除的運(yùn)算符號(hào)，將運(yùn)算結(jié)果叫做關(guān)于A，B的“三連運(yùn)算”，比如就是關(guān)于A，B的一種“三連運(yùn)算”．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )
①只存在一種關(guān)于A，B的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1；
②將分解因式后為；
③三連運(yùn)算的解為
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查因式分解與方程，掌握因式分解與解方程便可解決問(wèn)題．找到兩種關(guān)于A、B的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1，可判斷①，利用因式分解可判斷②，利用已知建立方程，解出方程可判斷③，從而可以得到答案．
【詳解】解：，
，故①不符合題意；
，即故②符合題意；
∵，
∴，即，
∴，
∴，故③符合題意．
故選：C．
7．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某商店將一批秋裝降價(jià)處理，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，由每件元降至元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用平均變化率問(wèn)題．解決這類(lèi)問(wèn)題所用的等量關(guān)系一般是：．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，那么第一次降價(jià)后的單價(jià)是原來(lái)的，那么第二次降價(jià)后的單價(jià)是原來(lái)的，根據(jù)題意列方程解答即可．
【詳解】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列方程得
．
故選：A．
8．（2023上·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一邊靠學(xué)校院墻，其它三邊用米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)矩形的邊米，面積平方米，則下面關(guān)系式正確的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查矩形面積公式，根據(jù)題意先用代數(shù)式表示出長(zhǎng)度，再利用矩形面積公式即可列出方程．
【詳解】解：∵設(shè)矩形的邊米，面積平方米，
∵一邊靠學(xué)校院墻，其它三邊用米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，
∴，
∴，
∴可列出方程：，
故選：B．
9．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）電影《長(zhǎng)津湖》上映以來(lái)，全國(guó)票房連創(chuàng)佳績(jī)，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)18億元，將增長(zhǎng)率記作，則方程可以列為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，設(shè)增長(zhǎng)率記作，則第二天的票房為億元，第三天的票房為億元，再把三天的票房相加，結(jié)合三天后累計(jì)票房收入達(dá)18億元列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)增長(zhǎng)率記作，
由題意得，，
故選B．
10．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有400人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為，則可列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為，則第一輪共有人被感染，第二輪又新感染人，則兩輪共有人被感染，據(jù)此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為，
由題意得，，即，
故選C．
11．（2023上·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）哈爾濱市政府為了申辦2018年冬奧會(huì)，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計(jì)劃用兩年的時(shí)間，綠地面積增加，這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查求平均變化率的方法．設(shè)這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率是x，列方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率是x，則，
解之得或（舍去）
即．
答：這兩年平均每年綠地面積的增長(zhǎng)率是，
故選：B．
12．（2023上·山東青島·九年級(jí)校考期中）某文具店銷(xiāo)售一種文具盒，每個(gè)成本價(jià)為元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為元時(shí)，可銷(xiāo)售個(gè)，售價(jià)每上漲1元，銷(xiāo)量將減少個(gè)．如果這種文具盒全部銷(xiāo)售完，那么該文具店可獲利元，設(shè)這種文具盒的售價(jià)上漲元，根據(jù)題意可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查一元二次方程應(yīng)用題中的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題，直接依據(jù)題意設(shè)上漲，計(jì)算出銷(xiāo)量，再把一件利潤(rùn)計(jì)算出來(lái)，直接作乘即可求出方程．
【詳解】根據(jù)題意知，每件商品的利潤(rùn)為元，銷(xiāo)售量為件，
則可列方程為，
故選：A．
13．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校考期末）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)之和為 ，m是的一個(gè)根，則的值為 ．
【答案】 6 2020
【分析】本題考查一元二次方程的概念，一元二次方程的根，整體代入求值；直接根據(jù)方程即可得到第一空的答案；根據(jù)m是的一個(gè)根可得，再對(duì)進(jìn)行變形，最后代入求值即可得第二空的答案．
【詳解】解：，
，，，
；
是的一個(gè)根，
，
，
；
故答案為：6；2020．
14．（2023·廣東陽(yáng)江·三模）關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為2，則m的值為 ．
【答案】8
【分析】本題考查一元二次方程的解的定義，解題關(guān)鍵是方程的根一定滿(mǎn)足方程，代入求解．把方程的根代入方程即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為2，
∴，
解得，，
故答案為：8．
15．（江蘇省南京市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本題考查解一元二次方程，分和兩種情況，去絕對(duì)值，再解方程即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，變形為，
即，
解得（舍）；
當(dāng)時(shí)，變形為，
即，
解得（舍）；
綜上可知，的解是．
故答案為：．
16．（2023上·四川成都·九年級(jí)校考期中）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的判別式“”列式，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
∴，
故答案為：．
17．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校考期末）騎行帶頭盔，安全有保障，“一盔一帶”政策的推行致頭盔銷(xiāo)量大幅增長(zhǎng)，從2019年到2021年我國(guó)頭盔銷(xiāo)售額從23.4億元增長(zhǎng)到39.546億元，則我國(guó)頭盔從2019年到2021年平均每年增長(zhǎng)率是 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．
設(shè)我國(guó)頭盔從2019年到2021年平均每年增長(zhǎng)率是x，根據(jù)“從2019年到2021年我國(guó)頭盔銷(xiāo)售額從23.4億元增長(zhǎng)到39.546億元”即可列出方程，求解即可解答．
【詳解】設(shè)我國(guó)頭盔從2019年到2021年平均每年增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意，得
，
解得：，（不合題意，舍去）
∴我國(guó)頭盔從2019年到2021年平均每年增長(zhǎng)率是．
故答案為：
18．（2022上·河北石家莊·九年級(jí)校考期末）解下列方程
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要查了解一元一次方程，解分式方程，解一元二次方程：
（1）先去分母，再去括號(hào)，然后移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化為整式方程，然后解出整式方程，再檢驗(yàn)，即可求解；
（3）利用因式分解法解答，即可求解．
【詳解】（1）解：
去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以原方程的解為；
（3）解：，
∴，
∴，
解得：．
19．（2023上·山東臨沂·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知都是方程的根，求a、b的值和這個(gè)一元二次方程的一般形式．
【答案】，，
【分析】本題考查了一元二次方程的根，一元二次方程的一般式．熟練掌握一元二次方程的根，一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．
將代入，計(jì)算求解可得的值，進(jìn)而可求一元二次方程的一般式．
【詳解】解：將代入得，，
解得，，
∴，
∴a、b的值分別為1，2；這個(gè)一元二次方程的一般形式為．
20．（遼寧省五校協(xié)作體（沈陽(yáng)七中，育才，丹東，錦州等）2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）隨著新能源技術(shù)的提高，新能源汽車(chē)節(jié)能、環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)．沈陽(yáng)某店新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量自2023年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店1月份銷(xiāo)售新能源汽車(chē)50輛，3月份銷(xiāo)售了72輛．
(1)求該店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；
(2)若月平均增長(zhǎng)率保持不變，求該店4月份賣(mài)出多少輛新能源汽車(chē)．（答案若含有小數(shù)則只取整數(shù)部分，不四舍五入）
【答案】(1)月平均增長(zhǎng)率為
(2)4月份賣(mài)86臺(tái)
【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)該店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為，利用增長(zhǎng)率公式得出方程求出答案；
（2）用四月份的銷(xiāo)售量=三月份的銷(xiāo)售量+四月份的增長(zhǎng)量得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)該店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
答：該店這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為；
（2）解：（輛），
答：4月份賣(mài)86臺(tái)．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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