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第一章 數與式
第四節 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的有關概念及性質 ☆☆ 吉林中考中，有關二次根式的部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、 填空題的形式考察。對于二次根式的復習，需要熟練掌握二次根式的相關概念及其性質、二次根式的運算法則等考點。
考點2 二次根式的運算 ☆☆☆
考點3 二次根式的估值 ☆
■考點一　二次根式的有關概念及性質
二次根式的概念：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數叫做被開方數．
最簡二次根式：開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.
■考點二　二次根式的運算
乘法法則: 兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.即： = .
除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變.即（a≥0，b＞0）.
加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數相同的二次根式合并.
【口訣】一化、二找、三合并.
分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.
【分母有理化方法】
(1)分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：
(2)分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.
即：；
混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．
■考點三　二次根式的估值
■易錯提示
1.二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果.
2.二次根式有意義的條件：當a≧0時，即被開方數大于或等于0，二次根式有意義.
3.在關于代數式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意義的綜合運用．
4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：
①開方數所含因數是整數，因式是整式（分母中不應含有根號）；
②不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，即被開方數的因數或因式的指數都為1.
[補充]含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.
5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式.
6.根據二次根式的性質化簡時，前無“-”, 化簡出來就不可能是一個負數.
7. 利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡．
8. 化簡后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．
9.在使用 = 時一定要注意
10.在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意
11.合并被開方數相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數相同的二次根式的“系數”相加減，被開方數和根指數不變．
12.二次根式加減混合運算的實質就是合并被開方數相同的二次根式，被開方數不同的二次根式不能合并．
13. 二次根式進行加減運算時，根號外的系數因式必須為假分數形式．
14.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數的運算律仍然適用。而且運算結果應寫成最簡二次根式的形式.
■考點一　二次根式的有關概念及性質
◇典例1： （2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖在數軸上的位置，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【分析】本題考查了數軸，算術平方根的非負性，絕對值的非負性，根據數軸，得到，再判斷出的正負情況，利用算術平方根的非負性，絕對值的非負性化簡即可．
【詳解】解：由題意得：，
，
，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·吉林長春·九年級統考期末）二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0．
【詳解】解；∵二次根式在實數范圍內有意義，
∴，
∴，
故選C．
2．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，根據二次根式的定義，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不符合題意；
B、是二次根式，符合題意；
C、，若時，無意義，不符合題意；
D、被開方數小于0，無意義，不符合題意；
故選：B．
■考點二　二次根式的運算
◇典例2：（2023上·吉林長春·八年級校考期中）一個長方形，面積為，一邊長為，那么這條邊的鄰邊長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了二次根式的應用，用長方形的面積除以一邊的長即可求得另一邊的長，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的除法法則．
【詳解】解：由題意得：，
故選：．
◆變式訓練
1．（2023上·福建泉州·九年級統考期中）下列運算中正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
根據二次根式的乘法，除法，加法法則進行計算，逐一判斷即可解答．
【詳解】A、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：D．
2．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）下列運算中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次根式的乘除法法則計算以及二次根式的加減法則計算即可判定．
【詳解】解∶ A、與不是同類二次根式，不能合并，故原說法錯誤，符合題意；
B、，故原說法正確，不符合題意；
C、，故原說法正確，不符合題意；
D、，故原說法正確，不符合題意；
故選∶ A．
【點睛】此題主要考查了實數的運算．二次根式的運算法則與有理數的運算法則是一樣的，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
■考點三　二次根式的估值
◇典例3：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）若，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式組的解集為，再求出，由此即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式得：，
∴，
∵，
∴，
∴四個選項中只有C選項符合題意，
故選C．
【點睛】本題主要考查了求不等式組的解集，比較二次根式的大小，正確求出不等式組的解集是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023下·河北石家莊·八年級統考階段練習）的結果應在（ ）
A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間
【答案】B
【分析】根據二次根式的混合運算計算，并估算結果的值即可．
【詳解】解：原式=
∵
∴
故選B．
【點睛】本題主要考查二次根式的運算以及估算，熟練掌握二次根式的運算并能夠估算根式的取值范圍是解決本題的關鍵．
2．（2022上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）校考期中）估計與最接近的整數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的性質，先估算出的范圍，再求出與中點與比較大小，進而得到最接近的整數
【詳解】解：，，，
，即，
，且，
，
，即，
與最接近的整數是，
故選：C．
【點睛】本題考查利用二次根式的性質估算無理數的范圍，得出的范圍是，并取與得中點與比較大小是解決問題的關鍵．
1．（2022·吉林長春·統考二模）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據二次根式有意義的條件即可求出答案．
【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，
∴，
解得，
故答案為．
【點睛】本題考查二次根式有意義的條件、解一元一次不等式，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件．
2．（2023·吉林松原·校聯考二模）在式子中，屬于最簡二次根式的是 ．
【答案】
【分析】根據二次根式的化簡方法與最簡二次根式的定義進行求解．
【詳解】解：，
是最簡二次根式，
，
，
是最簡二次根式，
故答案為．
【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的辨別能力，關鍵是能準確理解并運用二次根式的化簡方法與最簡二次根式的定義．
3．（2023·吉林白城·校考二模）計算：
【答案】
【分析】運用二次根式的乘法解題即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查二次根式的乘法 ，掌握二次根式乘法的運算法則是解題的關鍵．
4．（2022·吉林長春·校考模擬預測） ， ， ．
【答案】
【分析】根據二次根式的性質，二次根式的乘除法運算，即可求出答案．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：，，
【點睛】本題考查二次根式的性質以及二次根式的乘除法運算，解題的關鍵是正確理解二次根式的性質．
5．（2021·吉林·統考模擬預測）計算： ．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的乘除法運算法則計算即可．
【詳解】，
故填：2．
【點睛】本題考查二次根式的乘除法運算，熟練掌握二次根式乘除法運算法則是解題關鍵．
6．（2023·吉林松原·校聯考三模）計算： ．
【答案】
【分析】根據二次根式的減法運算法則計算，即可求解．
【詳解】解：．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了二次根式的減法，熟練掌握二次根式的減法運算法則是解題的關鍵．
7．（2023·吉林松原·統考二模）計算： ．
【答案】
【分析】先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的加減，能正確根據二次根式的加減進行計算是解此題的關鍵．
8．（2022·吉林白山·統考一模）計算： ．
【答案】
【分析】原式先合并同類二次根式，再根據二次根式的性質化簡即可．
【詳解】解：原式＝
．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次根式的性質和二次根式的加減，屬于基礎題型，熟練掌握基本知識是解題關鍵．
9．（2020·吉林長春·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，9
【分析】根據整式的混合運算順序進行化簡，再代入值求解即可．
【詳解】解：原式，
當時，原式．
【點睛】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，解決本題的關鍵是先進行整式的化簡，再代入值求解．
10．（2020·吉林·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】分別依據完全平方公式和單項式乘多項式法則計算，再合并同類項，然后將代入即可．
【詳解】解：原式=
=
將代入
原式=．
【點睛】本題考查整式的混合運算，二次根式的化簡求值．熟練掌握完全平方公式和單項式乘多項式法則是解決此題的關鍵．
1．（2023上·吉林長春·九年級校考期中）化簡后的值是（）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是二次根式化簡．
根據二次根式化簡的計算法則進行計算即可．
【詳解】
故選：C．
2．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）若，則化簡正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，根據題意先分析出和與的關系，再進行化簡即可，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：由題可知，則，，
∴原式，
，
故選：．
3．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）若為任意實數，則下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A.當時，無意義，故該選項不正確，不符合題意；
B. 當時，無意義，故該選項不正確，不符合題意；
C. 是二次根式，故本選項符合題意；
D. 當時，無意義，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
4．（2023上·吉林長春·八年級校考階段練習）若二次根式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據被開方數為非負數求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
解得：．
故選A．
【點睛】本題考查二次根式有意義的條件．掌握被開方數為非負數是解題關鍵．
5．（2023上·吉林長春·九年級統考階段練習）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義逐項判斷即可．
【詳解】因為，所以A不符合題意；
因為，所以B不符合題意；
因為，所以C不符合題意；
因為是最簡二次根式，所以D符合題意．
故選：D．
6．（2023上·吉林長春·九年級統考期中）關于，以下說法正確的是（ ）
A．是有理數 B．
C． D．是最簡二次根式
【答案】B
【分析】根據無理數的定義：無理數是開方開不盡的實數或者無限不循環小數或；無理數的估算、二次根式的性質化簡、最簡二次根式的判斷，可判定選擇項．
【詳解】解：A、是無理數，原來的說法錯誤，不符合題意；
B、因為，所以，原來的說法正確，符合題意；
C、，原來的說法錯誤，不符合題意；
D、不是最簡二次根式，原來的說法錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了有理數，無理數的估算、二次根式的性質、最簡二次根式，解題的關鍵是掌握有理數，無理數的范圍以及分類方法．
7．（2023下·吉林長春·八年級吉林省實驗校考階段練習）下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據二次根式的乘除法可進行求解．
【詳解】A、，原等式不成立，故符合題意；
B、，原等式成立，故不符合題意；
C、，原等式成立，故不符合題意；
D、，原等式成立，故不符合題意；
故選A．
【點睛】本題主要考查二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法是解題的關鍵．
8．（2022上·吉林長春·八年級統考期末）下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了二次根式的性質以及二次根式的加減運算，直接利用二次根式的性質以及二次根式的加減運算法則計算得出答案，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
【詳解】、，此選項計算錯誤，故此選項不合題意；
、，此選項計算正確，故此選項符合題意；
、，此選項計算錯誤，故此選項不合題意；
、與不能合并，此選項計算錯誤，故此選項不合題意；
故選：
9．（2023上·吉林長春·九年級統考期中）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的除法、性質化簡、加法、減法計算結果，再判斷．
【詳解】解：A、，正確，符合題意；
B、，錯誤，不符合題意；
C、與不能合并，錯誤，不符合題意；
D、，錯誤，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握二次根式的除法法則和二次根式的性質是解決問題的關鍵．
10．（2023上·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考階段練習）下列二次根式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次根式性質進行化簡，然后再進行判斷即可．
【詳解】解：A．，與不是同類二次根式，不能合并，故A不符合題意；
B．，與不是同類二次根式，不能合并，故B不符合題意；
C．與不是同類二次根式，不能合并，故C不符合題意；
D．，與是同類二次根式，能合并，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，同類二次根式，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質和同類二次根式的性質．
11．（2023下·吉林白山·八年級校聯考期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根據二次根式的乘除法和加減法分別進行判斷，即可求出正確答案．
【詳解】解：A、與不能合并，故不符合題意；
B、，故不符合題意；
C、，故符合題意；
D、，故不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
12．（2023下·吉林·八年級校考階段練習）下列計算，結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據二次根式加減乘除運算法則逐項驗證即可得到答案．
【詳解】解：A、由于與不是同類二次根式，不能合并，故計算錯誤，不符合題意；
B、根據二次根式乘法運算法則，，故計算錯誤，不符合題意；
C、根據二次根式除法運算法則，，故計算正確，符合題意；
D、根據二次根式減法運算法則，合并同類二次根式可知，故計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查二次根式混合運算，熟記二次根式各類運算法則是解決問題的關鍵．
13．（2023下·吉林松原·八年級期中）若y為實數，在“□y”的“□”中添上“＋，×，÷”中的一種運算符號后，其運算的結果為有理數，則y不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依據題意對每個選項進行逐一判斷即可得出結論．
【詳解】當選擇“＋”號時，y取，∵，是有理數，
∴y可能是，A選項不符合題意；
當選擇“÷”號時，y取，∵，是有理數，
∴y可能是，B選項不符合題意；
當選擇“×”號時，y取，∵，是有理數，
∴y可能是，C選項不符合題意．
綜上可得：y不可能是．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次根式的運算，分母有理化，依據題意對每個選項進行逐一判斷是解題的關鍵．
14．（2023下·吉林松原·八年級期中）下列二次根式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將每個二次根式化為最簡二次根式，判斷是否為的同類二次根式，即可判斷各選項．
【詳解】A、，不能與合并，故選項A不符合題意；
B、，能與合并，故選項B符合題意；
C、 ，不能與合并，故選項C不符合題意；
D、，不能與合并，故選項D不符合題意；．
故選：B．
【點睛】本題考查同類二次根式和化簡二次根式，掌握同類二次根式概念和化簡二次根式為最簡二次根式方法是解題關鍵．
15．（2023下·吉林松原·八年級校聯考階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結合選項分別進行二次根式的加減運算和乘除運算，然后選擇正確選項．
【詳解】解：A、，故本選項不合題意；
B、，故本選項不合題意；
C、，原式計算正確，故本選項符合題意；
D、，故本選項不合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的加減法和乘除法，解答本題的關鍵是掌握二次根式的加減法則和乘除法則．
16．（2023·廣東汕尾·統考二模）若式子有意義，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解答本題的關鍵．
根據二次根式有意義的條件，即被開方數為非負數，列出不等式，求出答案．
【詳解】解：根據題意得：
式子有意義，
，
解得：，
故答案為：．
17．（2024下·全國·七年級假期作業）化簡 ．
【答案】2024
【分析】本題考查了二次根式的性質，熟記“”是解題關鍵．直接利用二次根式的性質求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：2024．
18．（2024上·山西太原·八年級校考階段練習）計算的結果為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握運算法則．根據平方差公式計算．
【詳解】解：，
故答案為：2．
19．（2024上·山西太原·八年級校考階段練習）將化成最簡二次根式為 ．
【答案】
【分析】此題考查了二次根式的性質，根據二次根式的性質求解即可．
【詳解】．
故答案為：
20．（2023上·山東泰安·九年級校考期末）根據如圖所示的程序，計算y的值，若輸入x的值是時，則輸出的y值等于 ．
【答案】
【分析】此題是一道程序題，做題時要按照程序一步一步做，主要考查代數式求值，是一道常考的題型．
由題意輸入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值．
【詳解】解：當時，，
．
故答案為：．
21．（2023上·福建福州·八年級校考階段練習）已知如圖，化簡代數式：．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數與數軸，化簡二次根式，根據數軸上點的位置得到，進而得到，據此化簡二次根式和絕對值即可得到答案．
【詳解】解；由題意得，，
∴，
∴
．
22．（2023上·上海奉賢·八年級校考期中）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式的乘除混合計算，先化簡二次根式，再根據二次根式的乘除混合計算法則求解即可．
【詳解】解：原式
．
23．（2024上·山西太原·八年級校考階段練習）已知剎車距離的計算公式，其中v表示車速（單位：），d表示剎車距離（單位：m），f表示摩擦系數，在一次交通事故中．測得，，而發生交通事故的路段限速為，通過計算說明肇事汽車是否違規行駛．
【答案】肇事汽車沒有違規行駛
【分析】本題考查了二次根式運算的實際應用，將和的值代入計算，求出，再與比較大小，即可求解；能進行正確運算是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得
（），
，
沒有超速；
答：肇事汽車沒有違規行駛．
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第一章 數與式
第四節 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的有關概念及性質 ☆☆ 吉林中考中，有關二次根式的部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、 填空題的形式考察。對于二次根式的復習，需要熟練掌握二次根式的相關概念及其性質、二次根式的運算法則等考點。
考點2 二次根式的運算 ☆☆☆
考點3 二次根式的估值 ☆
■考點一　二次根式的有關概念及性質
二次根式的概念：一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做 ，“”稱為 ，二次根號下的數叫做 ．
最簡二次根式：開方數所含因數是 ，因式是 ，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做 ．
同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數 ，則這幾個二次根式就是 .
■考點二　二次根式的運算
乘法法則: 兩個二次根式相乘，把 相乘，根指數 .即： = .
除法法則：兩個二次根式相除，把 相除，根指數 .即（a≥0，b＞0）.
加減法法則：先把各個二次根式化為 后，再將 的二次根式合并.
【口訣】一化、二找、三合并.
分母有理化：通過分子和分母同乘以 ，將分母中的 去掉的過程.
【分母有理化方法】
(1)分母為單項式時，分母的 是分母本身帶根號的部分.即：
(2)分母為多項式時，分母的 是與分母相乘構成平方差的另一部分.
即：；
混合運算順序：先 、再 ，最后 ，有 的先算括號里的(或先去掉括號)．
■考點三　二次根式的估值
■易錯提示
1.二次根式定義中規定，任何非負數的算術平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結果.
2.二次根式有意義的條件：當a≧0時，即被開方數大于或等于0，二次根式有意義.
3.在關于代數式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意義的綜合運用．
4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：
①開方數所含因數是整數，因式是整式（分母中不應含有根號）；
②不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，即被開方數的因數或因式的指數都為1.
[補充]含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.
5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式.
6.根據二次根式的性質化簡時，前無“-”, 化簡出來就不可能是一個負數.
7. 利用二次根式性質時，如果題目中對根號內的字母給出了取值范圍，那么應在這個范圍內對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現出來，在允許的取值范圍內進行化簡．
8. 化簡后的最后結果應為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．
9.在使用 = 時一定要注意
10.在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意
11.合并被開方數相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數相同的二次根式的“系數”相加減，被開方數和根指數不變．
12.二次根式加減混合運算的實質就是合并被開方數相同的二次根式，被開方數不同的二次根式不能合并．
13. 二次根式進行加減運算時，根號外的系數因式必須為假分數形式．
14.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數的運算律仍然適用。而且運算結果應寫成最簡二次根式的形式.
■考點一　二次根式的有關概念及性質
◇典例1： （2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖在數軸上的位置，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．5
◆變式訓練
1．（2023上·吉林長春·九年級統考期末）二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　二次根式的運算
◇典例2：（2023上·吉林長春·八年級校考期中）一個長方形，面積為，一邊長為，那么這條邊的鄰邊長為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·福建泉州·九年級統考期中）下列運算中正確的是（）
A． B．
C． D．
2．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）下列運算中錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
■考點三　二次根式的估值
◇典例3：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）若，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023下·河北石家莊·八年級統考階段練習）的結果應在（ ）
A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間
2．（2022上·遼寧沈陽·八年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）校考期中）估計與最接近的整數是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·吉林長春·統考二模）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
2．（2023·吉林松原·校聯考二模）在式子中，屬于最簡二次根式的是 ．
3．（2023·吉林白城·校考二模）計算：
4．（2022·吉林長春·校考模擬預測） ， ， ．
5．（2021·吉林·統考模擬預測）計算： ．
6．（2023·吉林松原·校聯考三模）計算： ．
7．（2023·吉林松原·統考二模）計算： ．
8．（2022·吉林白山·統考一模）計算： ．
9.（2020·吉林長春·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
10．（2020·吉林·統考中考真題）先化簡，再求值：，其中．
1．（2023上·吉林長春·九年級校考期中）化簡后的值是（）
A．8 B． C． D．
2．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）若，則化簡正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）若為任意實數，則下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·吉林長春·八年級校考階段練習）若二次根式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·吉林長春·九年級統考階段練習）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·吉林長春·九年級統考期中）關于，以下說法正確的是（ ）
A．是有理數 B．
C． D．是最簡二次根式
7．（2023下·吉林長春·八年級吉林省實驗校考階段練習）下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022上·吉林長春·八年級統考期末）下列計算中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·吉林長春·九年級統考期中）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考階段練習）下列二次根式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·吉林白山·八年級校聯考期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023下·吉林·八年級校考階段練習）下列計算，結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·吉林松原·八年級期中）若y為實數，在“□y”的“□”中添上“＋，×，÷”中的一種運算符號后，其運算的結果為有理數，則y不可能是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023下·吉林松原·八年級期中）下列二次根式中，能與合并的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023下·吉林松原·八年級校聯考階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·廣東汕尾·統考二模）若式子有意義，則的取值范圍是 ．
17．（2024下·全國·七年級假期作業）化簡 ．
18．（2024上·山西太原·八年級校考階段練習）計算的結果為 ．
19．（2024上·山西太原·八年級校考階段練習）將化成最簡二次根式為 ．
20．（2023上·山東泰安·九年級校考期末）根據如圖所示的程序，計算y的值，若輸入x的值是時，則輸出的y值等于 ．
21．（2023上·福建福州·八年級校考階段練習）已知如圖，化簡代數式：．
22．（2023上·上海奉賢·八年級校考期中）計算：．
23．（2024上·山西太原·八年級校考階段練習）已知剎車距離的計算公式，其中v表示車速（單位：），d表示剎車距離（單位：m），f表示摩擦系數，在一次交通事故中．測得，，而發生交通事故的路段限速為，通過計算說明肇事汽車是否違規行駛．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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