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專題7 等差數(shù)列
【題型01 等差數(shù)列的概念】
【題型02 等差中項】
【題型03 數(shù)列的前n項和】
（1）等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數(shù)）．
（2）等差數(shù)列的通項公式
如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．
（3）通項公式的推廣：．
（4）等差中項
若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．
（5）等差中項的推廣：在等差數(shù)列中，當時，．
特別地，若，則．
（6）等差數(shù)列的前項和公式
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．其前項和．
【題型01 等差數(shù)列的概念】
【典例1】已知等差數(shù)列的通項公式，則等差數(shù)列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別求得，即可得到公差.
【詳解】因為等差數(shù)列的通項公式，則，
則公差.
故選：A
【典例2】數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，即可求得的值.
【詳解】因為數(shù)列滿足，，
所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故.
故選：C.
【題型02 等差中項】
【典例1】在等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可得.
【詳解】在等差數(shù)列中，，則，因此．
故選：A．
【典例2】在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由是等差數(shù)列，則是和的等差中項，
所以，
則，.
故選：A
【題型03 等差數(shù)列的 前n項和】
【典例1】設(shè)數(shù)列的前項和為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用公式進行求解即可.
【詳解】由于數(shù)列的前項和，
所以，，
所以.
故選：A
【典例2】已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得，
，又，
.
故選：B.
練 習
一、單選題
1．已知等差數(shù)列中，，，則公差等于（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
【詳解】等差數(shù)列中，，，于是，所以.
故選：D
2．數(shù)列中，，，則（ ）
A．230 B．210 C．190 D．170
【答案】D
【分析】借助等差數(shù)列的定義及相關(guān)公式計算即可.
【詳解】由題知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，.
故選:D.
3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，，求出公差，得到答案.
【詳解】由題意得，解得，
，解得，
故等差數(shù)列的公差為，
故.
故選：C
4．在等差數(shù)列中，若，則公差（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式列出方程組求解即可.
【詳解】因為，
所以，.
故選：B.
5．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.
【詳解】由題意知，解得，所以，所以.
故選：C.
6．在等差數(shù)列中，，公差，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用等差數(shù)列的通項公式求解.
【詳解】，
故選：D．
7．是等差數(shù)列的（ ）
A．第項 B．第項
C．第項 D．第項
【答案】D
【分析】應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】因為此等差數(shù)列的公差，，即，
.
故選：D
8．在等差數(shù)列中，前n項和為，已知，則（ ）
A．5 B．11 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求得公差，結(jié)合即可求解.
【詳解】因為，所以，等差數(shù)列的公差，
所以，
所以.
故選：D
9．已知等差數(shù)列中，，，則公差（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式列式運算可得解.
【詳解】設(shè)公差為，則，即，解得.
故選：A.
10．等差數(shù)列的公差，且，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由，且，解得，所以，
則．故選D．
11．13．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．-10 B．-8 C．10 D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項與前n項和性質(zhì)求解即可.
【詳解】由，可知，
因為，所以，
.
故選：D
12．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和通項公式即可求解.
【詳解】由題意得，解得，
，
故選：C.
13．已知，，則、的等差中項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中項的定義可求得結(jié)果.
【詳解】、的等差中項為.
故選：B.
14．數(shù)1與4的等差中項，等比中項分別是（ ）
A．， B．，2 C．，2 D．，
【答案】D
【分析】利用等差中項與等比中項的定義分別進行求解即可.
【詳解】根據(jù)等差中項的定義可知，1與4的等差中項為；
根據(jù)等比中項的定義可得，1與4的等比中項G滿足G2＝1×4＝4，G＝±2.
故選：D.
15．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】在等差數(shù)列中，，由等差中項的性質(zhì)可得.
故選：B.
16．等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差中項的性質(zhì)求出的值，再利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，則，
因此，.
故選：B.
17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-6
【答案】B
【分析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)其性質(zhì)可知，即可求得.
【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列
又
故選：B.
18．若、、成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等差中項的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】因為、、成等差數(shù)列，則.
故選：A.
19．已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列通項的性質(zhì)，可求.
【詳解】等差數(shù)列中，，
則.
故選：C.
20．在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)計算即得.
【分析】在等差數(shù)列中，，而，因此，
所以.
故選：B
21．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，即，
所以．
故選：A.
22．已知等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前9項和（ ）
A．64 B． C．63 D．28
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算即得.
【詳解】等差數(shù)列中，，，
所以數(shù)列的前9項和.
故選：C
23．在等差數(shù)列中，已知，則（ ）
A．230 B．420
C．450 D．540
【答案】B
【分析】等差數(shù)列的基本量法求和即可.
【詳解】
故選：B
24．已知等差數(shù)列中，為的前n項和，，則（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列求和公式結(jié)合已知即可求得，然后可解.
【詳解】記等差數(shù)列的公差為d，
則，整理得，
又，所以，
所以.
故選：B
25．已知數(shù)列的前n項和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】A
【分析】由數(shù)列的前n項和公式分別求得，即可得到和.
【詳解】由，所以，，
所以，
故選：A.
26．已知數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】當時，，當時，利用，結(jié)合題干條件，即可求得答案.
【詳解】當時，，
當時，，
所以，即，
故選：A
27．已知數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】A
【分析】利用即可得答案.
【詳解】，
故選：
【點睛】本題主要考查了求數(shù)列某項的值，屬于基礎(chǔ)題.
28．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n3，則a3＋a4的值為（ ）
A．26 B．56 C．63 D．152
【答案】B
【解析】根據(jù)之間的關(guān)系，，計算即可.
【詳解】由題可知：Sn＝n3
所以a3＋a4＝S4－S2＝43－23＝56.
故選：B
【點睛】本題考查之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.
29．設(shè)等差數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【分析】根據(jù)成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.
【詳解】由題意得成等差數(shù)列，
即成等差數(shù)列，
即，解得.
故選：C
二、解答題
1．已知在等差數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和，則當為何值時取得最大，并求出此最大值．
【答案】(1)；
(2)時取得最大值為.
【分析】（1）根據(jù)已知及等差數(shù)列通項公式求基本量，進而寫出通項公式；
（2）寫出等差數(shù)列前n項和，應(yīng)用其二次函數(shù)性質(zhì)求最大值和對應(yīng)n.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
故，
所以.
（2）由，且，
所以，
故時取得最大，最大值為.
2．已知等差數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出公差和首項，從而得到通項公式；
（2）利用等差數(shù)列的求和公式求出答案.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得，
且，
故；
（2）.
3．已知數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列是否為等差數(shù)列？
【答案】(1)
(2)數(shù)列不是等差數(shù)列
【分析】（1）根據(jù)直接求通項公式即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列相關(guān)概念進行判斷即可.
【詳解】（1）當時，；
當時，.
又因為當時，不滿足上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為
（2）由（1）知，當時，，
但，
所以數(shù)列不是等差數(shù)列
4．四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為，求這四個數(shù).
【答案】
【分析】方法一：設(shè)這四個數(shù)為（公差為2d），列出方程，求出公差和，得到答案；
方法二：設(shè)這四個數(shù)為（公差為d），列出方程，求出公差和，得到答案.
【詳解】方法一：設(shè)這四個數(shù)為（公差為2d），
依題意，，且，
解得，
又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以，
∴，故所求的四個數(shù)為.
方法二：若設(shè)這四個數(shù)為（公差為d），
依題意，，且，
把代入，
得，解得或.
又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以，
所以，.
故所求的四個數(shù)為.
5．已知等差數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式計算即可.
【詳解】（1）設(shè)公差為，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
6．已知數(shù)列前n項和為．
(1)試寫出數(shù)列的前5項；
(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？
(3)你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？
【答案】(1)；
(2)不是等差數(shù)列；
(3).
【分析】（1）利用分別求解即可；
（2）由（1）即可做出判斷；
（3）利用進行求解即可
【詳解】（1）由得，，，
，，
所以.
（2）由（1）知，所以數(shù)列不是等差數(shù)列.
（3）當時，；
當時，；
綜上.
7．（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項；
（2）是否為等差數(shù)列，，，…的項？如果是，是該數(shù)列的第幾項？如果不是，說明理由．
【答案】（1）；（2）是等差數(shù)列，，，…的第100項，理由見解析
【分析】（1）求出公差，進而得到第20項；
（2）求出公差，得到通項公式，得到方程，求出，得到答案.
【詳解】（1）可以得到公差，故第20項為
（2）可以得到公差，故通項公式為，
令，解得，
故是等差數(shù)列，，，…的第100項.
8．已知的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，求中間的角的度數(shù)．
【答案】
【分析】利用等差中項列式計算得解.
【詳解】的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)成等差數(shù)列的三內(nèi)角依次為，
于是，而，則，解得，
所以中間的角的度數(shù).
9．求下列各題中兩個數(shù)的等差中項．
(1)與；
(2)與．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）設(shè)與的等差中項為，則，解得；
（2）設(shè)與的等差中項為，則，解得.
10．求下列等差數(shù)列的第項：
(1)，，，…
(2)13，9，5，…
(3)，，，…
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由題意得到首項與公差，即可寫出通項公式.
【詳解】（1）因為，，，所以公差，
則.
（2）因為，，，所以公差，
則.
（3）因為，，，所以公差，
所以.
11．已知等差數(shù)列的通項公式為，求首項和公差d．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求解.
【詳解】因為，則，，
所以．
12．求出下列等差數(shù)列中的未知項：
(1)3，a，5；
(2)3，b，c，－9．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義列式求解；
（2）根據(jù)數(shù)列的定義列方程組求解．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，解得．
（2）根據(jù)題意，得，解得．
1專題7 等差數(shù)列
【題型01 等差數(shù)列的概念】
【題型02 等差中項】
【題型03 數(shù)列的前n項和】
（1）等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數(shù)）．
（2）等差數(shù)列的通項公式
如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．
（3）通項公式的推廣：．
（4）等差中項
若三個數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項，且有．
（5）等差中項的推廣：在等差數(shù)列中，當時，．
特別地，若，則．
（6）等差數(shù)列的前項和公式
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項和．其前項和．
【題型01 等差數(shù)列的概念】
【典例1】已知等差數(shù)列的通項公式，則等差數(shù)列的公差（ ）
A． B． C．3 D．4
【典例2】數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型02 等差中項】
【典例1】在等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【典例2】在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【題型03 等差數(shù)列的 前n項和】
【典例1】設(shè)數(shù)列的前項和為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
練 習
一、單選題
1．已知等差數(shù)列中，，，則公差等于（ ）
A． B． C．2 D．3
2．數(shù)列中，，，則（ ）
A．230 B．210 C．190 D．170
3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．在等差數(shù)列中，若，則公差（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
5．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
6．在等差數(shù)列中，，公差，則（ ）
A． B． C． D．
7．是等差數(shù)列的（ ）
A．第項 B．第項
C．第項 D．第項
8．在等差數(shù)列中，前n項和為，已知，則（ ）
A．5 B．11 C．8 D．9
9．已知等差數(shù)列中，，，則公差（ ）
A． B．2 C．3 D．
10．等差數(shù)列的公差，且，則數(shù)列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
11．13．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．-10 B．-8 C．10 D．8
12．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
13．已知，，則、的等差中項為（ ）
A． B． C． D．
14．數(shù)1與4的等差中項，等比中項分別是（ ）
A．， B．，2 C．，2 D．，
15．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A． B． C． D．
16．等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-6
18．若、、成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C． D．
19．已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
20．在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A． B． C． D．
21．在等差數(shù)列中，，則（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
22．已知等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前9項和（ ）
A．64 B． C．63 D．28
23．在等差數(shù)列中，已知，則（ ）
A．230 B．420
C．450 D．540
24．已知等差數(shù)列中，為的前n項和，，則（ ）
A．4 B． C．3 D．
25．已知數(shù)列的前n項和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
26．已知數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
27．已知數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
28．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n3，則a3＋a4的值為（ ）
A．26 B．56 C．63 D．152
29．設(shè)等差數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
二、解答題
1．已知在等差數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和，則當為何值時取得最大，并求出此最大值．
2．已知等差數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求；
3．已知數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列是否為等差數(shù)列？
4．四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為，求這四個數(shù).
5．已知等差數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
6．已知數(shù)列前n項和為．
(1)試寫出數(shù)列的前5項；
(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？
(3)你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？
7．（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項；
（2）是否為等差數(shù)列，，，…的項？如果是，是該數(shù)列的第幾項？如果不是，說明理由．
8．已知的三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，求中間的角的度數(shù)．
9．求下列各題中兩個數(shù)的等差中項．
(1)與；
(2)與．
10．求下列等差數(shù)列的第項：
(1)，，，…
(2)13，9，5，…
(3)，，，…
11．已知等差數(shù)列的通項公式為，求首項和公差d．
12．求出下列等差數(shù)列中的未知項：
(1)3，a，5；
(2)3，b，c，－9．
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