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專題8 等比數列
【題型01 等比數列的概念】
【題型02 等比中項】
【題型03 數列的前n項和】
1．等比數列的定義
（1）一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項所得的比都等于同一非零常數，那么這個數列就叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的公比，通常用表示.
（2）如果數列滿足，，則為等比數列.
等比數列的通項公式
2．等比中項
（1）如果三個數成等比數列，則叫作的等比中項
（2）如果為的等比中項，則
3．等比數列的通項公式
若為等比數列，公比為.
（1）的通項公式為，推廣形式：
（2）為遞增數列的充要條件為或；
為遞減數列的充要條件為或；
為常數列的充要條件為.
4. 等比數列的前n項和
【題型01 等比數列的概念】
【典例1】下面四個選項中，正確的有（ ）
A．由第1項起乘相同常數得后一項，這樣所得到的數列一定為等比數列
B．常數列b，b，…，b一定為等比數列
C．等比數列中，若公比，則此數列各項相等
D．等比數列中，各項與公比都不能為零
【答案】CD
【分析】對于ABD，結合等比數列的定義中進行分析判斷即可； 對于C，結合等比數列的定義可判斷.
【詳解】當乘以的常數為0時，不是等比數列，故A錯誤；
時不是等比數列，故B錯誤；
由等比數列的定義，若，則，即，故C正確；
由等比數列的定義可得各項與公比均不能為0，若有一項為0，則比值沒有意義，故D正確.
故選：CD.
【典例2】在等比數列中，，則16是中的（ ）
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
【答案】B
【分析】利用等比數列的通項公式結合條件即可得出．
【詳解】設等比數列{an}的公比為q，因為，
∴，解得．
則該數列的通項，由，可得，
即16是中的第7項.
故選：B．
【題型02 等比中項】
【典例1】與的等比中項為 .
【答案】
【分析】根據等比中項定義直接求解.
【詳解】與的等比中項為.
故答案為：.
【典例2】在等比數列中，，則與的等比中項為 .
【答案】
【分析】運用等比中項公式直接進行求解即可.
【詳解】因為，
所以與的等比中項為.
故答案為：
【題型03 等比數列的 前n項和】
【典例1】若數列為首項為3，公比為2的等比數列，則 ．
【答案】381
【分析】根據等比數列的前項和公式計算求解即可.
【詳解】根據等比數列的前項和公式得，
所以.
故答案為：381.
【典例2】在等比數列中，，前三項和，則公比q的值為（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根據給定條件，列出方程求解即得.
【詳解】等比數列中，，前三項和，則，于是，
解得或，
所以公比q的值為或1.
故選：AB
練 習
一、單選題
1．已知等比數列中，，，則（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根據等比數列的性質計算即可.
【詳解】設公比為，
則，
因為，，
所以，所以.
故選：C.
2．在等比數列中，若，則（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】根據等比數列性質直接求解即可.
【詳解】因為，所以（負值舍去），
所以.
故選：A
3．在等比數列中，已知，，那么等于（ ）
A．8 B．10 C．18 D．36
【答案】C
【分析】利用等比數列的通項公式，求得公比，即可求出．
【詳解】在等比數列中，由，，解得，
．
故選：C．
4．在等比數列中，，，則（ ）
A． B．4 C． D．無法確定
【答案】C
【分析】借助等比數列性質計算即可得.
【詳解】在等比數列中，，所以，又，，同號，所以.
故選：C．
5．已知在等比數列中，，則的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．16
【答案】C
【分析】利用等比數列的性質計算出答案,
【詳解】由題意得，解得.
故選：C
6．兩個數4和9的等比中項是（ ）
A．6 B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用等比中項的定義即可得出．
【詳解】設4和9的等比中項為，則，所以.
故選：B.
7．已知等比數列{an}的首項，公比，則等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
【答案】A
【分析】由等比數列前n項和公式可得答案.
【詳解】
故選：A
8．已知數列成等差數列，成等比數列，則的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用等差數列性質、等比中項的意義列式計算即得.
【詳解】依題意，，所以.
故選：A
9．已知等比數列中，，，則公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據等比數列的知識求得正確答案.
【詳解】依題意.
故選：D
10．已知等比數列滿足，公比，則（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【分析】根據等比數列通項公式計算可得.
【詳解】因為且，
所以.
故選：B
11．已知3，，27三個數成等比數列，則（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
【答案】C
【分析】根據等比數列的知識列方程，從而求得.
【詳解】由于成等比數列，所以，
解得或.
故選：C
12．剪紙和折紙都是中華民族的傳統藝術，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設紙張未折之前的厚度為毫米，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比數列的通項公式求解．
【詳解】由題意數列是等比數列，公比是2，且，∴，
故選：C．
13．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（ ）
A．228里 B．192里 C．126里 D．63里
【答案】B
【分析】應用等比數列的求和公式可得答案.
【詳解】由題意得，該人所走路程構成以為公比的等比數列，令該數列為，其前項和為，
則有，解得，
故選：B.
14．在等比數列中，，，則首項等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根據等比數列基本量關系求解即可.
【詳解】，，，.
故選：C
15．設為公比為的等比數列的前項和，且，則（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
【答案】D
【分析】利用等比數列的性質得到，求出公比.
【詳解】由題意得：，因為，所以，
所以，解得或．
故選：D
16．在等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比數列通項公式可直接求得結果.
【詳解】，，解得：.
故選：C.
17．如果、、、、成等比數列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據等比中項的定義求解.
【詳解】由、、、、成等比數列，
得，
解得或，
又，，
所以，.
故選：B.
18．已知等比數列的各項均為正數，的前項和為，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件列方程組來求得.
【詳解】設等比數列的公比為，
則，，，
兩式相除得，解得（負根舍去），
所以.
故選：C
二、填空題
1．設是等比數列，，，則 .
【答案】16
【分析】結合等比數列通項公式計算即可得.
【詳解】設，則，故.
故答案為：16.
2．647和895的等差中項是 ；4和16的等比中項是 .
【答案】
【分析】根據等差中項和等比中項的定義求得正確答案.
【詳解】設是647與895的等差中項，則.
設是4與16的等比中項，則.
故答案為：；
3．在等比數列中，，，則 .
【答案】
【分析】根據等比數列的通項公式得與之間的關系，代入計算即可.
【詳解】.
故答案為：.
4．在等比數列中，若，，則 ．
【答案】8
【分析】根據等比數列的性質直接得出答案即可.
【詳解】在等比數列中，，，也成等比數列，
因為，，
所以，
故答案為：
5．若數列為首項為1，公比為3的等比數列，則 .
【答案】13
【分析】根據等比數列前項和公式即可.
【詳解】由題意得，公比，
則數列前項和，所以，
故答案為：13.
6．等比數列中，已知，，則 .
【答案】2
【分析】由等比數列的性質可得答案.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，，所以，所以，
所以.
故答案為：2.
7．已知首項為，公比為的等比數列，設等比數列的前項和為，則 .
【答案】
【分析】根據等比數列求和公式計算可得.
【詳解】等比數列的首項為，公比為，
．
故答案為：．
8．已知數列滿足，且，則 .
【答案】
【分析】直接由等比數列的定義判斷并直接寫出通項公式即可.
【詳解】因為，
所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，
所以.
故答案為：.
9．在公比為的等比數列中，已知，，則 .
【答案】
【分析】根據等比數列的知識求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：
10．在等比數列中，若，則 .
【答案】16
【分析】根據給定條件，結合等比數列通項列式計算作答.
【詳解】設等比數列的公比為，由，得，解得，
所以.
故答案為：16
11．已知數列（，）為等比數列，且，則的公比為 .
【答案】-2
【分析】由等比數列的定義及性質計算即可.
【詳解】設的公比為，由題意可知，則由得.
故答案為：-2
三、解答題
1．在下表的等比數列中，由已知的三個數，求未知的兩個數．
題號
（1） 3 2 6
（2） 8
（3） 5 2 35
（4） 2 4 54
（5） 1 4 7
（6） 5
（7） 4 65
（8） 2 96 189
【答案】見解析
【分析】根據等比數列的基本公式，，等求解即可.
【詳解】（1），；
（2）因為，解得，；
（3），解得，；
（4），解得，；
（5）由，解得，，解得；
（6），解得，；
（7），解得，；
（8），解得，，解得.
綜上有：
題號
（1） 3 2 6 96 189
（2） 8 7
（3） 5 2 3 20 35
（4） 2 3 4 54 80
（5） 1 2 3 4 7
（6） 2 5
（7） 27 4 8 65
（8） 3 2 6 96 189
2．已知等比數列的通項公式為，求首項和公比．
【答案】，
【分析】由等比數列首項、公比的定義即可求解.
【詳解】由題意，其首項為，其公比為．
3．求出下列等比數列中的未知項：
(1)2，a，8；
(2)，b，c，．
【答案】(1)或
(2)，．
【分析】（1）根據等比數列的定義列式求解；
（2）根據等比數列的定義列方程組求解．
【詳解】（1）根據題意，得，所以或．
（2）根據題意，得，解得，
所以，．
1專題8 等比數列
【題型01 等比數列的概念】
【題型02 等比中項】
【題型03 數列的前n項和】
1．等比數列的定義
（1）一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項所得的比都等于同一非零常數，那么這個數列就叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的公比，通常用表示.
（2）如果數列滿足，，則為等比數列.
等比數列的通項公式
2．等比中項
（1）如果三個數成等比數列，則叫作的等比中項
（2）如果為的等比中項，則
3．等比數列的通項公式
若為等比數列，公比為.
（1）的通項公式為，推廣形式：
（2）為遞增數列的充要條件為或；
為遞減數列的充要條件為或；
為常數列的充要條件為.
4. 等比數列的前n項和
【題型01 等比數列的概念】
【典例1】下面四個選項中，正確的有（ ）
A．由第1項起乘相同常數得后一項，這樣所得到的數列一定為等比數列
B．常數列b，b，…，b一定為等比數列
C．等比數列中，若公比，則此數列各項相等
D．等比數列中，各項與公比都不能為零
【典例2】在等比數列中，，則16是中的（ ）
A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項
【題型02 等比中項】
【典例1】與的等比中項為 .
【典例2】在等比數列中，，則與的等比中項為 .
【題型03 等比數列的 前n項和】
【典例1】若數列為首項為3，公比為2的等比數列，則 ．
【典例2】在等比數列中，，前三項和，則公比q的值為（ ）
A．1 B．
C． D．
練 習
一、單選題
1．已知等比數列中，，，則（ ）
A．4或 B． C．4 D．8
2．在等比數列中，若，則（ ）
A．6 B．9 C． D．
3．在等比數列中，已知，，那么等于（ ）
A．8 B．10 C．18 D．36
4．在等比數列中，，，則（ ）
A． B．4 C． D．無法確定
5．已知在等比數列中，，則的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．16
6．兩個數4和9的等比中項是（ ）
A．6 B．
C． D．
7．已知等比數列{an}的首項，公比，則等于（ ）
A．93 B．－93
C．45 D．－45
8．已知數列成等差數列，成等比數列，則的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
9．已知等比數列中，，，則公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．已知等比數列滿足，公比，則（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
11．已知3，，27三個數成等比數列，則（ ）
A．9 B．-9 C．9或-9 D．0
12．剪紙和折紙都是中華民族的傳統藝術，在折紙界流傳著“折不過8”的說法，為了驗證這一說法，有人進行了實驗，用一張邊長為的正方形紙，最多對折了13次.記第一次對折后的紙張厚度為，第2次對折后的紙張厚度為，以此類推，設紙張未折之前的厚度為毫米，則（ ）
A． B． C． D．
13．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第一天走的路程為（ ）
A．228里 B．192里 C．126里 D．63里
14．在等比數列中，，，則首項等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
15．設為公比為的等比數列的前項和，且，則（ ）
A． B．2 C．或 D．或2
16．在等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
17．如果、、、、成等比數列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
18．已知等比數列的各項均為正數，的前項和為，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
1．設是等比數列，，，則 .
2．647和895的等差中項是 ；4和16的等比中項是 .
3．在等比數列中，，，則 .
4．在等比數列中，若，，則 ．
5．若數列為首項為1，公比為3的等比數列，則 .
6．等比數列中，已知，，則 .
7．已知首項為，公比為的等比數列，設等比數列的前項和為，則 .
8．已知數列滿足，且，則 .
9．在公比為的等比數列中，已知，，則 .
10．在等比數列中，若，則 .
11．已知數列（，）為等比數列，且，則的公比為 .
三、解答題
1．在下表的等比數列中，由已知的三個數，求未知的兩個數．
題號
（1） 3 2 6
（2） 8
（3） 5 2 35
（4） 2 4 54
（5） 1 4 7
（6） 5
（7） 4 65
（8） 2 96 189
2．已知等比數列的通項公式為，求首項和公比．
3．求出下列等比數列中的未知項：
(1)2，a，8；
(2)，b，c，．
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