資源簡介

2．4　點到直線的距離
最新課程標準
(1)掌握兩點間的距離公式及點到直線的距離公式．
(2)會求兩條平行直線間的距離．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　兩點間的距離
已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝.
要點二　點到直線的距離
點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0 的距離d＝____________________．
要點三　兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，
B不全為0，且C1≠C2)之間的距離d＝.
批注 　公式可簡記為“縱差方，橫差方，加起來，開平方”．
批注 　給出的直線方程必須是一般式，不是一般式的，則應先化為一般式再利用公式求距離．
批注 　利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數對應相等．
基 礎 自 測　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)平面內兩點間的距離公式與坐標順序有關．(　　)
(2)直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離是|C1－C2|.(　　)
(3)原點到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式是 .(　　)
(4)平行線間的距離是兩平行線上兩點間距離的最小值．(　　)
2．已知點A(3，7)，B(2，5)，則A，B兩點間的距離為(　　)
A．5　　　 B． C．3　　　 D．
3．點(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．已知兩條直線l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，則直線l1與直線l2間的距離為(　　)
A． B．
C． D．
5．已知點A(2，－1)到直線l：y＝2x＋t的距離為，則t＝________．
題型探究·課堂解透——強化創新性
　
題型1　兩點間距離公式的應用
例1　(1)若x軸的正半軸上的點M到原點的距離與點(5，－3)到原點的距離相等，則點M的坐標為________；
(2)已知△ABC三頂點坐標A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，試判斷△ABC的形狀．
方法歸納
1．利用兩點間的距離公式求參數的值的方法
常用方法是待定系數法，即先設出所求點的坐標，利用兩點間的距離公式建立方程，再利用方程的思想求解參數．
2．利用兩點間的距離公式判斷三角形的方法
要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理．
鞏固訓練1　(1)已知點A(－3，4)，B(2，)，在x軸上找一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知點M(x，－4)與點N(2，3)間的距離為7，求x的值．
題型2　點到直線的距離公式的應用
例2　(1)[2022·湖南長沙一中測試]已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　)
A．B．2－
C．－1 D．＋1
(2)[2022·湖南師大附中測試]已知△ABC的頂點A(5，1)，邊AB上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，邊AC上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，
①求頂點C的坐標；
②求△ABC的面積．
方法歸納
點到直線距離的求解方法
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應用點到直線的距離公式求解即可．
(2)對于與坐標軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|－b |.
(3)若已知點到直線的距離求參數時，只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可．
鞏固訓練2　(1)已知點A(1，－2)，B(5，6)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值為________；
(2)垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1，0)的距離是的直線l的方程是________．
題型3　兩條平行線間的距離問題
例3　(1)已知兩平行直線l1，l2分別過點P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為____________．
方法歸納
解決兩條平行直線間的距離問題的2種常用方法
鞏固訓練3　(1)[2022·湖南長郡中學測試]兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則a，d分別為(　　)
A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝
(2)若斜率為2的直線m被直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0所截得的線段為AB，則線段AB的長為________．
題型4　對稱問題(數學探究)
例4　已知點P，Q在直線l：3x－y－1＝0上．
(1)若點P到點A(4，1)和B(0，4)的距離之差最大，求點P的坐標；
(2)若點Q到點A(4，1)和C(3，4)的距離之和最小，求點Q的坐標．
方法歸納
利用對稱性解決問題
(1)在直線上求一點，使它到兩定點距離之和最小．
①當兩定點不在直線的同一側時，兩點連線與直線的交點即為所求；
②當兩定點在直線的同一側時，可借助點關于直線對稱，將問題轉化為①的情形來解決．
(2)在直線上求一點，使它到兩定點距離之差的絕對值最大．
①當兩定點在直線的同一側時，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可知兩定點的連線與直線的交點即為所求；
②當兩定點不在直線的同一側時，可借助點關于直線對稱，將問題轉化為①的情形來解決．
鞏固訓練4　若點P(m，0)到點A(－3，2)及B(2，8)的距離之和最小，求實數m的值．
易錯辨析　選用直線方程的形式不當引發錯誤
例5　過點P(2，5)，且與點(－4，1)距離等于6的直線方程為________．
解析：當斜率存在時，設所求直線方程為y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由點到直線的距離公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直線方程為5x＋12y－70＝0.
當斜率不存在時，直線平行于y軸，直線方程為x＝2，符合題意．
綜上，所求直線方程為5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
忽略了直線的斜率不存在的情況而漏解致錯． 一般地，求直線方程，設為點斜式或斜截式是常見的兩種形式．因此，一定要考慮斜率不存在而直線存在的形式．
2．4　點到直線的距離
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點二
(A，B不全為0)
[基礎自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由兩點間的距離公式得|AB|＝＝.
答案：B
3．解析：(0，－1)到直線y＝x＋1的距離為d＝＝.
答案：B
4．解析：因為兩直線l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0平行，且l1：2x＋4y－8＝0，它們之間的距離即為l1：2x＋4y－8＝0與l2：2x＋4y＋7＝0之間的距離為：d＝＝.
答案：A
5．解析：因為點A(2，－1)到直線l：2x－y＋t＝0的距離為，所以d＝＝，可得|5＋t|＝5，解得t＝－10或t＝0.
答案：－10或0
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)設點M(x，0)(x>0)，由題意可知，＝，解得x＝.所以點M的坐標為(，0)．
(2)方法一　∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二　∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
答案：(1)(，0)　(2)見解析
鞏固訓練1　解析：(1)設點P的坐標為(x，0)，則有
|PA|＝＝，
|PB|＝ ＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求點P的坐標為(－，0)．
|PA|＝ ＝.
(2)由|MN|＝7，
得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值為9或－5.
例2　解析：(1)由題意得＝1.解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
(2)①設C(m，n)，因為直線AC與直線BH垂直，且C點在直線2x－y－5＝0上，
所以，解得，故C(4，3)．
②設B(a，b)由題知：M()，
所以，解得，即B(－1，－3)．
kBC＝＝，直線BC：y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
|BC|＝＝，
點A到直線BC的距離d＝＝，
所以S△ABC＝＝8.
答案：(1)C　(2)見解析
鞏固訓練2　解析：(1)∵A(1，－2)，B(5，6)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，
∴＝，
解得a＝－2或a＝－1.
(2)設與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，
則由點到直線的距離公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
答案：(1)－2或－1　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
例3　解析：(1)當直線l1，l2與直線PQ垂直時，它們之間的距離d達到最大，此時d＝＝5，∴0(2)設直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得＝，解得C＝1，∴直線l的方程為2x－y＋1＝0.
答案：(1)C　(2)2x－y＋1＝0
鞏固訓練3　解析：(1)∵兩直線平行，∴2＝，解得a＝6，
將2x－y＋3＝0化為6x－3y＋9＝0，
∴d＝＝.
(2)直線l1：x＋2y－3＝0與l2：x＋2y＋1＝0的斜率為－，
直線m的斜率為2，
故直線m與直線l1，l2垂直，
由兩條平行直線的距離公式可得|AB|＝＝.
答案：(1)D　(2)
例4　解析：
(1)如圖所示，設點B關于l的對稱點B′的坐標為(a，b)，
∵kl·kBB′＝－1，即3×＝－1，
∴a＋3b－12＝0.　①
又線段BB′的中點坐標為()，且中點在直線l上，
∴3×－1＝0，即3a－b－6＝0.　②
由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．
于是直線AB′的方程為＝，即2x＋y－9＝0.
由解得
∴l與直線AB′的交點坐標為(2，5)，
∴當點P到點A，B的距離之差最大時，點P的坐標為(2，5)．
(2)如圖所示，設點C關于l的對稱點為C′，同樣可以計算求得C′的坐標為()，
∴AC′所在直線的方程為＝，
即19x＋17y－93＝0，
由解得
∴直線AC′和l的交點坐標為()，
∴當點Q到點A，C的距離之和最小時，點Q坐標為()．
鞏固訓練4　解析：點A(－3，2)關于x軸的對稱點為A′(－3，－2)．
因為點P(m，0)在x軸上，由對稱性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以當A′，P，B三點共線時，|PA|＋|PB|最小．
因為kA′B＝＝2，
所以直線A′B的方程為y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三點共線時，點P的坐標為(－2，0)，
所以所求實數m的值為－2.2．5.1　圓的標準方程
最新課程標準
(1)從具體情境中抽象出圓，掌握圓的定義．
(2)會求圓的標準方程．
(3)能判斷點與圓的位置關系．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　圓的標準方程
1．圓的定義：平面內到________的距離等于________的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
2．確定圓的要素是________和________，如圖所示．
3．圓的標準方程：圓心為C(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
特別地，圓心在原點(0，0)，半徑為r的圓的方程為________________．
要點二　點與圓的位置關系
圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設所給點為M(x0，y0)，則
位置關系 判斷方法
幾何法 代數法
點在圓上 |MA|＝r 點M在圓A上 點M(x0，y0)在圓上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點在圓內 |MA|＜r 點M在圓A內 點M(x0，y0)在圓內 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
點在圓外 |MA|＞r 點M在圓A外 點M(x0，y0)在圓外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
批注 　方程中有三個參數，要確定圓的標準方程需要確定這三個參數，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件．
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(a，b，r∈R)表示一個圓．(　　)
(2)弦的垂直平分線必過圓心．(　　)
(3)圓內的任意兩條弦的垂直平分線的交點一定是圓心．(　　)
(4)圓心與切點的連線長是半徑長．(　　)
2．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是(　　)
A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C.(－2，3)， D．(2，－3)，
3．以原點為圓心，2為半徑的圓的標準方程是(　　)
A.x2＋y2＝2
B.x2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－2)2＝8
D.x2＋y2＝
4．點()與圓x2＋y2＝的位置關系是(　　)
A.點在圓上 B．點在圓內
C.點在圓外 D．不能確定
5．已知A(－1，0)，B(1，0)，則以AB為直徑的圓的方程為____________．
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　直接法求圓的方程
例1　求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1)圓心為點(－2，1)，半徑為；
(2)圓心為點(3，4)，且過坐標原點．
方法歸納
根據已知條件，寫出圓心坐標和圓的半徑，代入標準方程即可．
鞏固訓練1　圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1，2)的圓的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
題型2　待定系數法求圓的方程
例2　已知圓C的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，求圓C的標準方程．
方法歸納
1．待定系數法求圓的標準方程的一般步驟
2．本題還可以利用圓的幾何性質求圓的方程：圓心必在線段AB的垂直平分線上．
鞏固訓練2　已知△ABC的三個頂點A(－2，0)，B(2，0)，C(6，4)，求其外接圓H的標準方程．
題型3　點與圓的位置關系
例3　已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與x－2y＋2＝0的交點，且圓過點P(－5，6)，求圓的標準方程，并判斷點A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圓上，在圓內，還是在圓外？
方法歸納
根據條件求出圓的標準方程，利用點到圓心的距離與半徑比較大小得出點與圓的位置關系．
鞏固訓練3　已知三點A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以點P(2，－1)為圓心作一個圓，使A，B，C三點中一點在圓外，一點在圓上，一點在圓內，求這個圓的方程．
易錯辨析　對圓心位置考慮不全致誤
例4　已知某圓圓心C在x軸上，半徑為5，且在y軸截得的線段AB的長為8，則圓的標準方程為(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝25 B．x2＋(y±3)2＝25
C．(x±3)2＋y2＝5 D．(x±3)2＋y2＝25
解析：方法一　由題意知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，故|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝ ＝ ＝3.
如圖所示，有兩種情況．
故圓心C的坐標為(－3，0)或(3，0)，故所求圓的標準方程為(x±3)2＋y2＝25.
方法二　∵圓心在x軸上，半徑為5，
∴設圓的標準方程為(x－a)2＋y2＝25.
∵圓在y軸上截得的線段長為8，
∴a2＋＝25，解得a＝±3，
∴所求圓的標準方程為(x±3)2＋y2＝25.
答案：D
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
方法一中在求出|OC|＝3后，易錯誤地得出C(3，0)，漏掉圓心在x軸負半軸上的情況． 在解析幾何中，涉及距離問題時，一定要加絕對值，否則容易漏解．
2．5　圓的方程
2．5.1　圓的標準方程
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
1．定點　定長
2．圓心　半徑
3．x2＋y2＝r2
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由圓的標準方程可得圓心為(2，－3)，半徑為.故選D.
答案：D
3．解析：以原點為圓心，2為半徑的圓，其標準方程為x2＋y2＝4.故選B.
答案：B
4．解析：因為＝1>，所以點在圓外．
答案：C
5．解析：以AB為直徑的圓的圓心為AB中點O(0，0)，半徑r＝|OA|＝1，∴所求圓的方程為x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意可得圓的標準方程：
(x＋2)2＋(y－1)2＝3.
(2)由題意可得圓的半徑為：
＝5，
所以圓的標準方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.
鞏固訓練1　解析：因為圓心在y軸上，半徑長為1，
所以可設圓的方程為x2＋(y－b)2＝1，
因為圓過點A(1，2)，
所以1＋(2－b)2＝1，
解得b＝2，
所以圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
例2　解析：方法一　設圓心為O(a，b)，半徑為r，則圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由題意可得方程組，
解得a＝－1，b＝－2，r＝，
故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二　因為A(2，－3)，B(－2，－5)，所以線段AB的中點為(0，－4)，
kAB＝＝，
所以線段AB的垂直平分線方程為y＝－2x－4，
由，得，
所以圓C的圓心坐標為(－1，－2)，
所以圓的半徑為r＝＝，
所以圓C的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
鞏固訓練2　解析：方法一　設△ABC外接圓H的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解得a＝0，b＝6，r＝2，
故△ABC的外接圓的標準方程為x2＋(y－6)2＝40.
方法二　由題意得，AB中點為(0，0)，
BC中點為(4，2)，kBC＝＝1，
∴線段AB中垂線方程為x＝0；
線段BC中垂線方程為y－2＝－(x－4)，即x＋y－6＝0；
由得，即△ABC外接圓圓心H(0，6)，
∴外接圓半徑r＝|AH|＝＝2，
∴△ABC外接圓H的標準方程為x2＋(y－6)2＝40.
例3　解析：解方程組得
∴圓心M的坐標為(0，1)．半徑r＝|MP|＝＝5.
∴圓M的標準方程為x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝＝∴點A在圓內，
∵|BM|＝＝＝r，
∴點B在圓上．
∵|CM|＝＝>r，
∴點C在圓外．
綜上，圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝50，點A在圓內，點B在圓上，點C在圓外．
鞏固訓練3　解析：要使A，B，C三點中一點在圓外，一點在圓上，一點在圓內，則圓的半徑是|PA|，|PB|，|PC|的中間值．
因為|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圓的半徑r＝|PB|＝，
故所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝13.2．5.2　圓的一般方程
最新課程標準
(1)正確理解圓的方程的一般形式及特點，會由圓的一般方程求圓心和半徑．
(2)會在不同條件下求圓的方程．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　圓的一般方程
1．圓的一般方程的概念：
當____________時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圓的一般方程 .
2．圓的一般方程對應的圓心和半徑：
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為________，半徑長為________．
批注 　圓的一般方程體現了圓的方程形式上的特點：x2、y2的系數相等且不為0；沒有xy項．
　基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)圓的一般方程可以化為圓的標準方程．(　　)
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個圓的方程．(　　)
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(　　)
(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
2．圓x2＋y2－2x－3＝0的圓心坐標及半徑分別為(　　)
A．(－1，0)與 B．(1，0)與
C．(1，0)與2 D．(－1，0)與2
3．下列方程表示圓的是(　　)
A．x2＋y2＋xy－1＝0
B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0
C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0
D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0
4．若直線ax＋y＋1＝0經過圓x2＋y2＋x＋y－2＝0的圓心，則a＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知圓x2＋y2＋ax＋by＝0的圓心坐標(3，4)，則圓的半徑是________．
　　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　圓的一般方程的概念
例1　若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一個圓，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－4，4)
B．(－3，3)
C．(－∞，－4)
D．(－∞，－3)
方法歸納
判定二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圓的兩種方法
鞏固訓練1　方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圓心在第一象限的圓，則實數a的范圍為________．
題型2　根據圓的一般方程求圓心和半徑
例2　求下列各圓的圓心坐標和半徑：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)2x2＋2y2＋4ax－2＝0；
(3)x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0.
方法歸納
根據圓的一般方程求圓的圓心和半徑的兩種方法
鞏固訓練2　求下列各圓的圓心坐標和半徑：
(1)x2＋y2－4x＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0.
題型3　求圓的一般方程
例3　已知△ABC的三個頂點為A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑．
方法歸納
待定系數法求圓的方程的解題策略
(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數法求出a，b，r.
(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數法求出常數D、E、F.
鞏固訓練3　已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)，則△ABC的外接圓的一般方程為(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0
C．x2＋y2－2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＋1＝0
題型4　與圓有關的最值問題(數學探究)
例4　已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值和最大值；
(3)x2＋y2的最小值和最大值．
方法歸納
與圓有關的最值問題的常見類型及解法
(1)形如u＝形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．
(2)形如z＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－x＋截距的最值問題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
易錯辨析　忽視圓的條件致錯
例5　已知定點A(a，2)在圓x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，則a的取值范圍為________．
解析：由題意知
解得即2＜a＜.
答案：(2，)
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
忽視了二元二次方程表示圓的條件D2＋E2－4F＞0，從而得到錯誤答案：a＞2. 對于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圓，故求解本題在判定出點與圓的位置關系后，要驗證所求參數的范圍是否滿足D2＋E2－4F＞0.
2．5.2　圓的一般方程
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
1．D2＋E2－4F>0
2．(－，－)　
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標為(1，0)，半徑r＝2.
答案：C
3．解析：對于A選項，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy項，該方程不表示圓；
對于B選項，對于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，該方程不表示圓；
對于C選項，對于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×4<0，該方程不表示圓；
對于D選項，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化為x2＋y2＋2x＋y＋＝0，
因為22＋－4×>0，該方程表示圓．
答案：D
4．解析：由已知圓心坐標為(－，－)，
所以－a－＋1＝0，解得a＝1.
答案：A
5．解析：圓x2＋y2＋ax＋by＝0的圓心為(－，－)＝(3，4) a＝－6，b＝－8，所以圓的半徑為＝5.
答案：5
題型探究·課堂解透
例1　解析：因為方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一個圓，
則m2＋4－20>0，解得m>4或m<－4.
答案：C
鞏固訓練1　解析：由x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0得x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2＋a2－a＝0，
即(x－a)2＋(y－2a)2＝a－a2，
因為方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圓心在第一象限的圓，
所以，解得0答案：0例2　解析：(1)方程x2＋y2－6x＝0 (x－3)2＋y2＝9，
所以圓心為(3，0)，半徑為3.
(2)將2x2＋2y2＋4ax－2＝0兩邊同除以2，得x2＋y2＋2ax－1＝0，
配方，得(x＋a)2＋y2＝1＋a2.
故圓心坐標為(－a，0)，半徑為.
(3)方程x2＋y2－2ax－2ay＋3a2＝0 (x－a)2＋(y－a)2＝a2，
所以圓心為(a，a)，半徑為|a|.
鞏固訓練2　解析：(1)方程可變形為(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圓，圓心為C(2，0)，半徑r＝2.
(2)由圓的一般方程可知a≠0，原方程可化為(x＋a)2＋y2＝a2.
方程表示以(－a，0)為圓心，|a|為半徑的圓．
例3　解析：方法一　設△ABC的外接圓方程為
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圓上，
∴∴
∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5.
方法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，
∴外心是線段BC的中點，
坐標為(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
鞏固訓練3　解析：設△ABC外接圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由題意可得：，解得，
即△ABC的外接圓的方程為：x2＋y2－2x－4y＝0.
答案：C
例4　解析：
(1)如圖所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2，0)為圓心，以為半徑的圓．
設＝k，即y＝kx，則圓心(2，0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.(也可由平面幾何知識，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°.)
(2)設y－x＝b，則y＝x＋b，僅當直線y＝x＋b與圓切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－，(y－x)max＝－2＋.
解析：
(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點的距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖中的點M和N)．
又因為圓心到原點的距離為
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值為(2－)2＝7－4.2．6　直線與圓、圓與圓的位置關系
2．6.1　直線與圓的位置關系
最新課程標準
(1)掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離．
(2)會用代數法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系．
(3)會用直線與圓的位置關系來解決一些實際問題．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 ____個 ____個 ____個
判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d＝ d____r d____r d____r
代數法：由 消元得到一元二次方程的判別式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
批注 　“幾何法”與“代數法”判斷直線與圓的位置關系，是從不同的方面，不同的思路來判斷的．“幾何法”更多地側重于“形”，更多地結合了圖形的幾何性質；“代數法”則側重于“數”，它傾向于“坐標”與“方程”．
　基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)直線與圓最多有兩個公共點．(　　)
(2)如果一條直線被圓截得的弦長最長，則此直線過圓心．(　　)
(3)若A，B是圓O外兩點，則直線AB與圓O相離.(　　)
(4)若C為圓O內一點，則過點C的直線與圓O相交.(　　)
2．直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相離 D．無法判斷
3．設A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝(　　)
A．1　　　 B． C．　　　D．2
4．若直線x＋y＝2與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，則m的值為(　　)
A．　　　B． C．　　　D．2
5．直線x＋2y＝0被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長等于________．
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　直線與圓的位置關系
例1　[2022·湖南長沙測試]已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)與x軸、y軸分別相切于A、B兩點．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線l：y＝kx－2與線段AB沒有公共點，求實數k的取值范圍；
(3)試討論直線l：y＝kx－2與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置關系．
方法歸納
判斷直線與圓位置關系的3種方法
鞏固訓練1　(1)已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是(　　)
A．相切　　B．相交　　C．相離　　D．不確定
(2)若過點(1，2)總可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則實數k的取值范圍是________．
題型2　直線與圓相切問題
例2　(1)過點P(－2，4)的直線l與圓C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，則直線l的方程為(　　)
A．x＝－2或2x－y＋8＝0
B．x＝－2或x＋2y－6＝0
C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0
D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0
(2)過直線y＝2x－3上的點作圓C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切線，則切線長的最小值為(　　)
A． B． C．2 D．
(3)過點M(2，－3)作圓C：x2＋y2＝13的切線，則切線的方程為________．
方法歸納
圓的切線的求解策略
鞏固訓練2　(1)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是(　　)
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
(2)已知直線l平行于直線x－y＋2＝0，且與圓x2＋y2＝2相切，則直線l的方程是____________．
題型3　直線與圓相交問題
例3　(1)過點(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________；
(2)[2022·湖南衡陽田家炳實驗中學測試]已知直線l：(a＋1)x－y＋3＝0(a>0)．若直線l被圓x2－2x＋y2－5＝0截得的弦長為2，求直線l的方程．
方法歸納
求圓的弦長的2種常用方法
鞏固訓練3　[2022·湖南攸縣三中測試]已知圓C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)求m的取值范圍；
(2)當圓C過A(1，1)時，求直線l：x＋2y－4＝0被圓C所截得的弦MN的長．
易錯辨析　忽略了圓的一個隱含條件
例4　已知圓的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定點A(1，2)，要使過定點A(1，2)作圓的切線有兩條，則a的取值范圍為________．
解析：圓的標準方程為
(x＋)2＋(y＋1)2＝，
圓心C坐標為(－，－1)，
半徑r＝＝，
則4－3a2>0，解得－又過點A(1，2)作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即>.
化簡得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，
故a的取值范圍是(－)
答案：(－)
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
忽視了圓的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一個隱含條件，即D2＋E2－4F>0 同學們在解答含有參數的問題時，要多一些嚴謹，以免遺漏某些條件，導致結果出錯．
2．6　直線與圓、圓與圓的位置關系
2．6.1　直線與圓的位置關系
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
2　1　0　<　＝　>　>　＝　<
[基礎自測]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：圓心(0，0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝＝1.∵d＝r，∴直線與圓相切．故選B.
答案：B
3．解析：直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0，0)，則|AB|＝2，故選D.
答案：D
4．解析：圓x2＋y2＝m(m>0)的圓心為(0，0)，半徑為，因為直線x＋y＝2與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圓心到直線x＋y＝2的距離等于半徑，列出方程得：＝，解得：m＝2.
答案：D
5．解析：由已知圓心C(3，1)，半徑r＝5.又圓心C到直線l的距離d＝＝，則弦長＝2＝4.
答案：4
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由已知可得圓C的圓心為C(a，b)，
由于圓C與x軸、y軸分別相切于A、B兩點，圓心C到x軸、y軸的距離分別為b、a，
則a＝b＝2，
因此，圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)如下圖所示：
由圖可知，圓C與x軸相切于點A(2，0)，與y軸相切于點(0，2)，
當直線l過點A(2，0)時，則有2k－2＝0，解得k＝1，
由圖可知，當k≥1時，直線l與線段AB有公共點，
因此，當k<1時，直線l與線段AB沒有公共點，
所以，實數k的取值范圍為(－∞，1)．
(3)圓心C(2，2)到直線l的距離為d＝，圓C的半徑為r＝2.
①當d>r時，即k<時，直線l與圓C相離；
②當d＝r時，即k＝時，直線l與圓C相切；
③當d時，直線l與圓C相交．
綜上所述，當k<時，直線l與圓C相離；
當k＝時，直線l與圓C相切；
當k>時，直線l與圓C相交．
鞏固訓練1　解析：(1)因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝<1，所以直線與圓相交．
(2)把圓的方程化為標準方程得(x＋)2＋(y＋1)2＝16－，所以16－>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，則實數k的取值范圍是(－，－3))．
答案：(1)B　(2)(－，－3))
例2　解析：(1)由題意可知，P(－2，4)在圓C的外部，故點P不是切點；
圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，
當直線斜率不存在時，直線方程為x＝－2，
圓心C(－1，1)到切線l的距離為d＝|－1－(－2)|＝1≠，此時直線和圓不相切；
作圓C的切線，斜率存在，設為k，
則切線方程為l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.
圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圓心C(－1，1)到切線l的距離為d＝＝，
化簡可得2k2－3k－2＝0，
解得k＝－或k＝2，
∴切線方程為l：y＝－(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4，
化簡可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.
(2)直線y＝2x－3上任取一點P(x，y)作圓x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切線，設切點為A.
圓x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圓心為C(2，－3)，半徑為r＝1.
切線長為＝.
|PC|min＝＝.
所以切線長的最小值為 ＝.
(3)由圓C：x2＋y2＝13得到圓心C的坐標為(0，0)，圓的半徑r＝，
而|CM|＝＝＝r，
所以點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又M(2，－3)，
得到CM所在直線的斜率為－，
所以切線的斜率為，
則切線方程為：y＝(x－2)－3.
即2x－3y－13＝0.
答案：(1)C　(2)A　(3)2x－3y－13＝0
鞏固訓練2　解析：(1)方法一　由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，
代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
并化簡得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，
Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
方法二　由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0 (x－1)2＋(y－1)2＝1，
可知圓心坐標為(1，1)，半徑為1，
直線和圓相切，則＝1，解得b＝2或12.
(2)設所求直線l為x－y＋b＝0(b≠2)，
因為直線與圓相切，
則＝，解得b＝－2，
則所求直線為x－y－2＝0.
答案：(1)D　(2)x－y－2＝0
例3　解析：(1)設點A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當弦過點A(3，1)且與CA垂直時為最短弦，|CA|＝＝，∴半弦長＝＝＝，∴最短弦的長為2.
(2)圓方程可化為(x－1)2＋y2＝6，圓心坐標為(1，0)，半徑為，
則d＝，
因為直線l被圓x2－2x＋y2－5＝0截得的弦長為2，即2＝2，
d＝.
整理可得，4a2＋7a－11＝0，解得，a＝1或a＝－，
因為a>0，故a＝1，
所以，直線l的方程為2x－y＋3＝0.
答案：(1)2　(2)見解析
鞏固訓練3　解析：(1)圓C的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
令5－m>0得m<5.
(2)∵圓C過A(1，1)代入得m＝4，圓C方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圓心C(1，2)，半徑r＝1，
圓心C(1，2)到直線l：x＋2y－4＝0的距離為d＝＝，
∴MN＝2 ＝.2．6.2　圓與圓的位置關系
最新課程標準
(1)掌握圓與圓的位置關系的代數判斷方法與幾何判斷方法，能利用上述方法判斷兩圓的位置關系．
(2)能利用圓與圓的位置關系解決有關問題．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　圓與圓的位置關系
1．圓與圓的位置關系有：________、________、________、________、________.
2．圓與圓的位置關系的判斷方法
(1)幾何法：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1、 r2的關系 ________ ________ ________ ________ ________
(2)代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷．
消元，一元二次方程
批注 　代數法計算量偏大，一般不用此種方法；幾何法較簡潔，只需比較圓心距d與|r1－r2|、r1＋r2的大小即可得出位置關系．
批注 　有四條公切線．
批注 　有三條公切線．
批注 　兩條外公切線．
批注 　一條外公切線．
批注 　無公切線．
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，則兩圓外切．(　　)
(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(　　)
(3)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．(　　)
(4)如果兩圓相外切，則有公切線3條．(　　)
2．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系是(　　)
A．內含 B．內切
C．外切 D．相交
3．已知圓O1：x2＋y2＝1與圓O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16，則圓O1與圓O2的位置關系為(　　)
A．外切 B．內切
C．相交 D．外離
4．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
5．圓C1：x2＋y2＋4x＝0與圓C2：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B兩點，則直線AB的方程為____________．
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　圓與圓的位置關系的判斷
例1　已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．試求a為何值時兩圓C1，C2
(1)相切；(2)相交；(3)相離；(4)內含．
方法歸納
判斷圓與圓的位置關系的一般步驟
鞏固訓練1　(1)圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1與圓(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置關系是(　　)
A．相切 B．內含
C．相交 D．外離
(2)已知圓C1：x2＋(y－a)2＝a2，(a>0)的圓心到直線x－y－2＝0的距離為2，則圓C1與圓C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置關系是(　　)
A．相交 B．內切
C．外切 D．外離
題型2　兩圓相切問題
例2　(1)半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內切，則此圓的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
(2)圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，則m的值為________；
(3)[2022·河北石家莊二中測試]已知圓C：(x＋2)2＋y2＝4，若圓C與曲線x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三條公切線，則a＝________．
方法歸納
處理兩圓相切問題的策略
鞏固訓練2　(1)[2022·湖南邵東一中測試]若圓x2＋y2＝4與圓(x－a)2＋y2＝1(a>0)相內切，則a＝________；
(2)與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋y＝0相切于點M(3，－)的圓的方程是________________．
題型3　兩圓相交的問題
例3　已知圓C1過點(，1)、(1，－1)，且圓心在直線y＝1，圓C2：x2＋y2－4x＋2y＝0.
(1)求圓C1的標準方程；
(2)求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
方法歸納
1．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程
若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦長的求法
(1)代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．
鞏固訓練3　(1)[2022·湖南長沙一中測試]圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________；
(2)若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度為________．
易錯辨析　忘記求相交兩圓的公共弦方程的前提
致錯例4　過兩圓C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交點所在的直線的方程為(　　)
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0
C．x＋y＋11＝0 D．不存在
解析：由題意得C1(1，1)，r1＝1，C2(2，0)，r2＝5，
∴|C1C2|＝＜r2－r1，∴兩圓內含．
∴過兩圓交點的直線不存在．故選D.
答案：D
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
忘記了兩圓相交的前提，直接把兩圓方程相減得x－y＋11＝0，錯選A. 只有當兩圓相交時，它的公共弦方程才是把兩圓的方程對應相減得到；如果兩圓不相交，則不能用這個結論．今后遇到類似問題，要先判斷兩圓的位置關系，再作決定．
2．6.2　圓與圓的位置關系
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
1．外離　外切　相交　內切　內含
2．(1)d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　d＝|r1－r2|　d＜|r1－r2|　(2)相交　內切或外切　外離或內含
[基礎自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由題意可知
圓O1的圓心O1(1，0)，半徑r1＝1，圓O2的圓心O2(0，2)，半徑r1＝2，
所以|O1O2|＝，又r2－r1<|O1O2|所以圓O1和圓O2的位置關系是相交．
答案：D
3．解析：圓O1的圓心為(0，0)，半徑等于1，
圓O2的圓心為(3，－4)，半徑等于4，
所以兩圓圓心距為＝5，
恰好等于它們的半徑之和，所以兩個圓外切．
答案：A
4．解析：兩圓的圓心分別是(－1，－1)，(2，1)，半徑分別是2，1；
兩圓圓心距離：＝>2＋1，說明兩圓相離，
因而公切線有四條．
答案：D
5．解析：兩圓方程作差可得：6x＋2y＋2＝0，即3x＋y＋1＝0，
∴直線AB的方程為3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
題型探究·課堂解透
例1　解析：對圓C1、C2的方程，經配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圓心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)當|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5時，兩圓外切，
當|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3時，兩圓內切．
(2)當3<|C1C2|<5即3(3)當|C1C2|>5即a>5時，兩圓相離．
(4)當|C1C2|<3即0鞏固訓練1　解析：(1)因為兩圓的圓心距d＝＝10<12－1＝11，
所以兩圓內含．
(2)已知圓C1的圓心到直線x－y－2＝0的距離d＝2，即＝2，
解得a＝2或a＝－6，因為a>0，所以a＝2，
∴圓C1：x2＋(y－2)2＝4的圓心C1的坐標為(0，2)，半徑r1＝2，
將圓C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0化為標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1，其圓心C2的坐標為(1，2)，半徑r2＝1，
圓心距|C1C2|＝＝1＝r1－r2，
∴兩圓內切．
答案：(1)B　(2)B
例2　解析：(1)由題意可設圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝36，由題意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故選D.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由題意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
(3)根據題意曲線x2＋y2－2x＋8y＋a＝0表示圓且與圓 C外切，
上述方程化簡為(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a，又圓 C方程為(x＋2)2＋y2＝4，
根據兩圓外切可得＝2＋，解得 a＝8.
答案：(1)D　(2)2或－5　(3)8
鞏固訓練2　解析：(1)圓x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑為2；
圓(x－a)2＋y2＝1的圓心為(a，0)，半徑為1.
所以兩圓圓心間的距離為d＝|a|，
由兩圓相內切得d＝|a|＝2－1＝1，解得：a＝±1.
由于a>0，所以a＝1.
(2)已知圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，
則圓心為C(1，0)，半徑為1.
設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由題意，可得
解得，或，即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
答案：(1)1　(2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
例3　解析：(1)由題意可設圓心C1(a，1)，
則＝，
解得a＝0，
此時圓的半徑為r1＝＝，
所以圓C1的標準方程為：x2＋(y－1)2＝5.
(2)將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，
即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，
化簡得x－y－1＝0，
所以圓C1的圓心C1(0，1)到直線x－y－1＝0的距離為d＝＝，
則＝－d2＝5－2＝3，
解得|AB|＝2，
所以所求公共弦長為2.
所以圓C1與圓C2的公共弦所在的直線方程為x－y－1＝0，公共弦長為2.
鞏固訓練3　解析：(1)由圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0，
兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0，
圓x2＋y2－4＝0的圓心O(0，0)，半徑r＝2，
則圓心O(0，0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝，
所以公共弦長為2＝2.
(2)如圖所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.
答案：(1)2　(2)42．7　用坐標方法解決幾何問題
最新課程標準
(1)能用坐標法解決幾何問題．
(2)會用“數形結合”的數學思想解決問題．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　坐標法
平面解析幾何的基本思想方法就是在平面直角坐標系中，把點用坐標表示，將直線與圓等曲線用方程表示，通過研究方程來研究圖形的性質，這種代數研究方法被稱為坐標法．
要點二　用代數方法解決幾何問題的基本過程
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)用坐標方法解決平面幾何問題時平面直角坐標系可以隨便建．(　　)
(2)圓O上一動點M與圓O外一定點P的距離的最小值為|PO|－|OM|.(　　)
(3)已知點P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，則PQ與x軸垂直．(　　)
2．方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示的軌跡為(　　)
A．圓心為(1，2)的圓
B．圓心為(2，1)的圓
C．圓心為(－1，－2)的圓
D．不表示任何圖形
3．到原點的距離等于4的動點的軌跡方程是(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝2
D．(x－4)2＋(y－4)2＝16
4．方程|x－1|＝表示的曲線是(　　)
A．一個圓 B．兩個半圓
C．兩個圓 D．半圓
5．已知兩定點A(－2，1)，B(2，－1)，如果動點P滿足|PA|＝|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于________．
　　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　用坐標法證明平面幾何問題
例1　在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法歸納
用坐標法證明平面幾何問題的一般步驟
鞏固訓練1　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.
求證：|AC|＝|BD|.
題型2　直接法求動點的軌跡方程
例2　已知圓C過點(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)．
(1)求圓C的標準方程；
(2)已知點P是直線2x＋y－1＝0與直線x＋2y＋1＝0的交點，過點P作直線與圓C交于點A，B，求弦AB的中點M的軌跡方程．
方法歸納
用直接法求軌跡方程的一般步驟
鞏固訓練2　已知點A(－3，0)，B(3，0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程．
題型3　代入法(相關點法)求動點的軌跡方程
例3　已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．
(1)求△ABC外接圓的方程；
(2)動點D在△ABC的外接圓上運動，點E坐標為(7，4)，求DE中點M的軌跡．
方法歸納
用代入法(相關點法)求軌跡方程的一般步驟
鞏固訓練3　已知圓(x＋1)2＋y2＝2上動點A，x軸上定點B(2，0)，將BA延長到M，使AM＝BA，求動點M的軌跡方程．
易錯辨析　因忽視驗證造成增解而致錯
例4　求以A(－2，0)，B(2，0)為直徑端點的圓的內接三角形的頂點C的軌跡方程．
解析：設C的坐標為(x，y)．
∵△ABC為圓的內接三角形，且圓以線段AB為直徑，∴⊥，即·＝0.
又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.
又當x＝±2時，C與A或B重合，不構成三角形，
∴所求C點的軌跡方程為x2＋y2－4＝0(x≠±2)．
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
(1)若采用斜率解題，易在表述kAC，kBC時沒有注意斜率不存在的情況． (2)沒有驗證x＝±2是否滿足題意． 求得點的軌跡方程后一定要檢查題意中有沒有限制條件，如本題構成三角形的條件．
2．7　用坐標方法解決幾何問題
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點二
幾何　代數
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：因為x2＋y2－2x－4y＋6＝0等價于(x－1)2＋(y－2)2＝－1，即方程無解，所以該方程不表示任何圖形．
答案：D
3．解析：由題意可知到原點的距離等于4的動點的軌跡方程是圓的方程，圓心是坐標原點，半徑為4，故所求軌跡方程為x2＋y2＝16.
答案：B
4．解析：方程兩邊平方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
5．解析：設P(x，y)，由題設得：(x＋2)2＋(y－1)2＝2[(x－2)2＋(y＋1)2]，∴(x－6)2＋(y＋3)2＝40，故P的軌跡是半徑為的圓，∴圖形的面積等于40π.
答案：40π
題型探究·課堂解透
例1　
證明：設BC所在邊為x軸，以D為原點，建立坐標系，如圖所示，設A(b，c)，C(a，0)，則B(－a，0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
鞏固訓練1　證明：
如圖所示，建立直角坐標系，
設A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
則點D的坐標是(a－b，c)
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
例2　解析：(1)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
把點(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)代入得
解得
所以圓的方程為：x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，化為標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)聯立，解得，
所以P(1，－1)．
設弦AB的中點M的坐標為(x，y)，
由垂徑定理得CM⊥AB，即CM⊥PM，則kCM ·kPM＝－1，
由第一問知，圓心坐標為C(1，－2)
所以·＝－1，整理得：x2＋y2－2x＋3y＋3＝0，
故中點M的軌跡方程為x2＋y2－2x＋3y＋3＝0.
鞏固訓練2　解析：設點P的坐標為(x，y)，則＝2，
化簡得(x－5)2＋y2＝16，
故此曲線的方程為(x－5)2＋y2＝16.
例3　解析：(1)因為A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)，所以kAB＝＝0，AB的中點為(2，5)，則
AB的垂直平分線的方程為x＝2；
kBC＝＝－7，BC的中點為()，則BC的垂直平分線的方程為
y－＝(x－)，即x－7y＋5＝0；
聯立，解得，所以圓心坐標為(2，1)，半徑為＝5，
所以△ABC外接圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.
(2)設M(x，y)，D(x0，y0)，由中點公式得，則，代入(x－2)2＋(y－1)2＝25得DE中點M的軌跡方程為(2x－7－2)2＋(2y－4－1)2＝25，即(x－)2＋(y－)2＝，
所以DE中點M的軌跡是以點()為圓心，以為半徑的圓．
鞏固訓練3　解析：設A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延長線上，
∴A為線段MB的中點，
由中點坐標公式得
∵A在圓上運動，將點A的坐標代入圓的方程，得(＋1)2＋＝2，
化簡得(x＋4)2＋y2＝8，
∴點M的軌跡方程為(x＋4)2＋y2＝8.章末復習課
知識網絡·形成體系
　考點聚焦·分類突破
考點一　直線方程的求法及應用
(1)求直線方程的一種重要方法就是待定系數法．運用此方法，要注意各種形式的方程的適用條件，選擇適當的直線方程的形式至關重要．
(2)通過對直線方程的學習，提升學生的數學建模、數學運算素養．
例1　在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(0，1)，B(3，2)．
(1)若點C的坐標為(1，0)，求AB邊上的高所在的直線方程；
(2)若M(1，1)為邊AC的中點，求邊BC所在的直線方程．
考點二　兩條直線的位置關系
(1)解決此類問題的關鍵是掌握兩條直線平行與垂直的判定：若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數，則要考慮斜率是否存在．對于兩條直線平行的問題，要注意排除兩條直線重合的可能性．
(2)通過對兩直線平行與垂直的學習，提升學生的邏輯推理、數學運算素養．
例2　(1)已知直線l1：ax＋y＋1＝0與直線l2：x＋(2a－3)y＋5＝0垂直，則a＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
(2)(多選)若直線l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0與直線 l2：x＋ay＋1＝0平行，則a＝(　　)
A．2或－1 B．－2或1
C．2 D．－1
考點三　距離問題
(1)解決解析幾何中的距離問題時，往往是代數運算與幾何圖形直觀分析相結合．三種距離是高考考查的熱點，公式如下表：
類型 已知條件 公式
兩點間的距離 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝
點到直線的距離 P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) d＝ A2＋B2
兩平行直線的距離 l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2) d＝
(2)通過對距離問題的學習，提升學生的數學運算素養．
例3　(1)直線l在兩坐標軸上的截距相等，且點P(4，3)到直線l的距離為3，求直線l的方程；
(2)已知直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數，且點A(3，1)到它的距離為，求直線l的方程．
考點四　有關圓的問題
角度1　求圓的方程
(1)求圓的方程是考查圓的方程問題中的一個基本點，一般涉及圓的性質、直線與圓的位置關系等，主要依據圓的標準方程、一般方程、直線與圓的幾何性質，運用幾何方法或代數方法解決問題．
(2)通過對圓的方程的求解，提升學生的數學運算素養．
例4　[2022·湖南懷化測試]已知圓C的圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)，則圓C的標準方程為________________．
角度2　直線與圓、圓與圓的位置關系
(1)圓具有許多重要的幾何性質，如圓的切線垂直于經過切點的半徑；圓心與弦的中點的連線垂直于弦；切線長定理；直徑所對的圓周角是直角等．充分利用圓的幾何性質可獲得解題途徑，減少運算量．另外，對于未給出圖形的題目，要邊解題邊畫圖，這樣能更好地體會圓的幾何形狀，有助于找到解題思路．
(2)通過對直線與圓、圓與圓的位置關系的學習，提升學生的直觀想象、數學運算素養．
例5　(1)[2022·湖南師大附中測試]圓C：(x－2)2＋y2＝4, 直線l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圓C所截得的弦的長度之比為1∶2，則k的值為________；
(2)[2022湖南·長郡中學測試](多選)已知曲線C的方程為＝|x＋2y|，圓M：(x－5)2＋y2＝r2(r>0)，則(　　)
A．C表示一條直線
B．當r＝4時，C與圓M有3個公共點
C．當r＝2時，存在圓N，使得圓N與圓M相切，且圓N與C有4個公共點
D．當C與圓M的公共點最多時，r的取值范圍是(4，＋∞)
角度3　與圓有關的最值問題
(1)與圓有關的最值問題包括：
①求圓O上一點到圓外一點P的最大距離、最小距離：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
②求圓上的點到某條直線的最大、最小距離：設圓心到直線的距離為m，則dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；
③已知點的運動軌跡方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是運用幾何法求解．
(2)通過對圓中最值問題的掌握，提升學生的直觀想象、邏輯推理素養．
例6　(1)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點，則的最大值________；最小值為________；
(2)[2022·湖南益陽模擬]已知圓O：x2＋y2＝1，A(3，3)，點P在直線l：x－y＝2上運動，則|PA|＋|PO|的最小值為________．
章末復習課
考點聚焦·分類突破
例1　解析：(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝＝，
由垂直關系可得AB邊上的高所在的直線的斜率為k＝－3，
∴AB邊上的高所在的直線方程為y－0＝－3(x－1)，化為一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)∵M(1，1)為AC的中點，A(0，1)，
∴C(2，1)，∴kBC＝＝1，
∴邊BC所在的直線方程為y－1＝x－2，
化為一般式可得x－y－1＝0.
例2　解析：(1)由題意，得a＋2a－3＝0，所以a＝1.故選C.
(2)因為直線l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0與直線l2：x＋ay＋1＝0平行，
所以，
解得a＝－1.
答案：(1)C　(2)D
例3　解析：(1)當直線過原點時，設所求直線方程為kx－y＝0，則＝3.
解得k＝±－6，
∴y＝(±－6)x.
當直線不經過原點時，設所求直線方程為x＋y＝a，則＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
綜上，所求直線方程為y＝(±－6)x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.
解析：(2)當直線過原點時，設直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0.
由題意知＝，解得k＝1或k＝－.
所以所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0.
當直線不經過原點時，設所求直線的方程為＝1，即x－y－a＝0.
由題意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去)．
所以所求直線的方程為x－y－4＝0.
綜上可知，所求直線的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.
例4　解析：圓C的圓心在直線x－2y－3＝0上，令C(2m＋3，m)，半徑為r，
∴圓C的方程為(x－2m－3)2＋(y－m)2＝r2，
又A(2，－3)，B(－2，－5)兩點在圓C上，有
解得，有C(－1，－2)，所以圓的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
例5　解析：(1)圓心(2，0)到直線l1：y＝x的距離d＝＝，
則圓被直線l1截得的弦長＝2＝2＝2，
由題意可知圓被直線l2截得的弦長是4，
而圓的直徑就是4，所以直線l2過圓心，
即2k－1＝0，解得：k＝.
解析：(2)由＝|x＋2y|，得x2＋y2＝|x＋2y|2＝x2＋4xy＋4y2，即y(4x＋3y)＝0，
則C表示兩條直線，其方程分別為y＝0與4x＋3y＝0，所以A錯誤；
因為M(5，0)到直線4x＋3y＝0的距離d＝＝4，所以當r＝4時，直線4x＋3y＝0與圓M相切，易知直線y＝0與圓M相交，C與圓M有3個公共點，所以B正確；
當r＝2時，存在圓N，使得圓M內切于圓N，且圓N與這兩條直線都相交，即與C有4個公共點，C與圓M的公共點的個數的最大值為4，所以C正確；
當r＝5時，圓M與直線y＝0、 4x＋3y＝0交于一點，所以公共點的個數為3，所以D錯誤．
答案：(1)　(2)BC
例6　解析：(1)方法一　設k＝，則y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
∵P(x，y)為圓C上任一點，
∴圓心(－2，0)到直線kx－y＋2－k＝0的距離d＝＝≤1，
即|2－3k|≤，
平方得到8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值為，最小值為.
方法二　可看作圓上的點(x，y)與點(1，2)連線的斜率．
令k＝，則y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.
當直線kx－y＋2－k＝0與圓相切時，k取得最大值和最小值，
此時＝1，解得k＝.
故的最大值為，最小值為.
解析：(2)由于點A與點O在直線l：x－y＝2的同側，
設點O關于直線l：x－y＝2的對稱點為O′(x′，y′)，
∵kOO′＝－1，∴OO′所在直線方程為y＝－x，
聯立，解得，即OO′的中點為(1，－1)，
∴O′(2，－2)，
則|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝＝.
答案：(1)　(2)

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