資源簡介

3．1.1　條件概率
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　條件概率
如果事件A，B是兩個隨機事件，且P(A)＞0，則在________發生的條件下________發生的概率叫作條件概率，記為P(B|A) .
批注 　注意與P(A|B)的區別：P(B|A)表示在事件A發生的條件下，事件B發生的概率；而P(A|B)表示在事件B發生的條件下，事件A發生的概率．
要點二　條件概率計算公式
1．一般地，在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率為：P(B|A)＝(P(A)>0)．
類似的，如果P(B)>0，則P(A|B)＝.
2．用n(A)，n(AB) 分別表示A，AB中的樣本點個數，則P(B|A)＝＝.
批注 　P(AB)表示同時發生的概率．
批注 　n(AB)表示同時發生的樣本點個數．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)P(B|A)(2)事件B在“事件A已發生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件的概率一般是不同的．(　　)
(3)P(AB)＝P(B)P(A|B)．(　　)
2．已知P(AB)＝，P(A)＝，則P(B|A)等于(　　)
A． B．C． D．
3．某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率是，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為，則在刮風天里，下雨的概率為(　　)
A． B．C． D．
4．春季是鼻炎和感冒的高發期，某人在春季里鼻炎發作的概率為，鼻炎發作且感冒的概率為，則此人在鼻炎發作的情況下，感冒的概率為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　明辨條件概率的概念
例1　下面幾種概率是條件概率的是(　　)
A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6、0.7，各投籃一次都投中的概率
B．有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
C．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率
D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學途中遇到紅燈的概率
方法歸納
判斷是否是條件概率的標準：判斷是否是在事件A發生的前提下，再來求事件B發生的概率．
鞏固訓練1　為考察某種藥物預防疾病的效果，科研人員進行了動物試驗，結果如下列表：
患病 未患病 總計
服藥 10 45 55
未服藥 20 30 50
總計 30 75 105
在服藥的前提下，未患病的概率為(　　)
A.　　　B． C．　　　D．
　利用公式P(B|A)＝求概率
例2　某校從學生文藝部7名成員(4男3女)中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動，在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率．
方法歸納
利用公式P(B|A)＝，求概率的一般步驟
鞏固訓練2　拋擲2枚質地均勻的骰子(正方體，6個表面分別標有數字1、2、3、4、5、6)．在擲出的兩枚骰子點數之和為6點的條件下，點數均為奇數的概率為(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
　利用公式P(B|A)＝求條件概率
例3　從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽1張，已知第一次抽到A，第二次也抽到A的概率為多少？
方法歸納
先確定事件A，事件AB發生的事件個數，再利用公式P(B|A)＝求解．
鞏固訓練3　從5名男同學和3名女同學中任選2名同學，在選到的都是同性別同學的條件下，都是男同學的概率是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
3．1.1　條件概率
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
事件A　事件B
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：P(B|A)＝＝＝.
答案：B
3．解析：設事件A為“刮風”，事件B為“下雨”，事件AB為“既刮風又下雨”，則P(B|A)＝＝＝.
答案：D
4．解析：設某人在春季里鼻炎發作為事件A，感冒為事件B，則P(A)＝，P(AB)＝，則此人在鼻炎發作的情況下，感冒的概率為P(B|A)＝＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：由條件概率的定義：某一事件已發生的情況下，另一事件發生的概率．選項A：甲乙各投籃一次投中的概率，不是條件概率；選項B：抽2件產品恰好抽到一件次品，不是條件概率；選項C：甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率，是條件概率；選項D：一次上學途中遇到紅燈的概率，不是條件概率．
答案：C
鞏固訓練1　解析：在服藥的前提下，未患病的概率為P＝＝.
答案：C
例2　解析：記“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，
從7名成員中挑選2名成員，共有＝21種情況，
事件A所包含的基本事件數為種，
故P(A)＝＝.
又P(AB)＝，
故P(B|A)＝＝＝.
鞏固訓練2　解析：設擲出的兩枚骰子點數之和為6點為事件A，點數均為奇數為事件B，
則P(A)＝，P(AB)＝＝，
則P(B|A)＝＝.
答案：A
例3　解析：A＝{第一次抽到A}，B＝{第二次抽到A}，∴AB＝{兩次都抽到A}．
∴P(B|A)＝＝＝.
鞏固訓練3　解析：記事件A：“選到的都是同性別同學”；
事件B：“選到的都是男同學”；
∴P(B|A)＝＝＝＝.
答案：C3．1.2　事件的獨立性
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　相互獨立的概念
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝________成立，則稱事件A與事件B相互獨立 ，簡稱為獨立．
批注 　事件A與B是相互獨立的，那么A與與B，與也是相互獨立的．
要點二　n個事件的相互獨立
一般地，當n(n>2)個事件A1，A2，…，An相互獨立時，有以下公式成立：P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
批注 　此式并不表示A1，A2，…，An相互獨立．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立．(　　)
(2)必然事件與任何一個事件相互獨立．(　　)
(3)若P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)，則事件A1，A2，…，An相互獨立．(　　)
2．甲、乙兩人練習射擊，甲擊中目標的概率為0.9，乙擊中目標的概率為0.7，若兩人同時射擊一目標，則他們都擊中的概率是(　　)
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
3．擲兩枚質地均勻的骰子，設A＝“第一枚出現奇數點”，B＝“第二枚出現偶數點”，則A與B的關系為(　　)
A．互斥 B．互為對立
C．相互獨立 D．相等
4．已知甲、乙、丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人都被錄取的概率為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　相互獨立事件的判斷
例1　一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：
(1)家庭中有兩個小孩；
(2)家庭中有三個小孩．
方法歸納
判斷兩個事件是否相互獨立的兩個方法
鞏固訓練1　判斷下列各對事件是否是相互獨立事件．
(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(2)容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”．
　多個相互獨立事件的概率
例2　某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，假設撥過的號碼不再重復，試求下列事件的概率：
(1)第3次撥號才接通電話；
(2)撥號不超過3次而接通電話．
方法歸納
求多個相互獨立事件的概率的步驟
鞏固訓練2　甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，且各自能否被選中互不影響．求：
(1)3人同時被選中的概率；
(2)3人中恰有1人被選中的概率．
3．1.2　事件的獨立性
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
P(A)P(B)
[基礎自測]
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：設甲擊中為事件A，乙擊中為事件B，則P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.7＝0.63.
答案：B
3．解析：擲兩枚質地均勻的骰子，設A＝“第一枚出現奇數點”，B＝“第二枚出現偶數點”，
事件A與B能同時發生，故事件A與B既不是互斥事件，也不是對立事件，故選項A，B錯誤；
P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，P(A)·P(B)＝＝，
因為P(A)·P(B)＝P(AB)，所以A與B獨立，故選項C正確；
事件A與B不相等，故選項D錯誤．
答案：C
4．解析：因為甲、乙、丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人都被錄取的概率為＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)有兩個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的樣本空間為Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4個樣本點，由等可能性知每個樣本點發生的概率均為.
這時A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨立．
(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的樣本空間為Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8個樣本點，由等可能性知每個樣本點發生的概率均為.這時A包含6個樣本點，B包含4個樣本點，
AB包含3個樣本點．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，顯然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．
從而事件A與B是相互獨立的．
鞏固訓練1　解析：(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件．
(2)前一事件是否發生，對后一事件發生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件．
例2　解析：設Ai＝{第i次撥號接通電話}，i＝1，2，3.
(1)第3次才接通電話可表示為A3，于是所求概率為P(A3)＝＝.
(2)撥號不超過3次而接通電話可表示為A1＋A2＋A3，
于是所求概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＝.
鞏固訓練2　解析：記甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，
則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同時被選中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝.
(2)3人中恰有1人被選中的概率P2＝P(ABC)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝.3．1.3　乘法公式
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　兩事件的乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A) ，(P(A)>0)．
批注 　由條件概率公式P(A|B)＝可得．
要點二　三事件的乘法公式
若P(AB)>0，則P(ABC)＝________________．
要點三　n個事件的乘法公式
若Ai(i＝1，2，3，…，n)為隨機事件 ，且P(A1A2…An－1)>0，則P(A1A2…An)＝________________．
批注 　若事件Ai(i＝1，2，3，…，n)相互獨立，則P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)，稱為相互獨立事件的概率乘法公式．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)P(AB)＝P(B)P(B|A)．(　　)
(2)P(B)＝P(AB)P(B|A)．(　　)
(3)P(ABC)＝P(AB)P(C|AB)．(　　)
2．若P(A|B)＝，P(B)＝，則P(AB)的值是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
3．已知P(B|A)＝0.6，P(AB)＝0.18，則P(A)＝(　　)
A．0.1 B．0.108
C．0.2 D．0.3
4．已知P(B)＝0.1，P(A|B)＝0.3，則P(BA)＝________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　兩個事件概率乘法公式的應用
例1　一個盒子中裝有2個紅球、8個黑球，從中不放回地任取1個小球，則第二次才取出紅球的概率是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
方法歸納
在乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)中，只要求出P(A)和P(B|A)就可求P(AB)．
鞏固訓練1　有一批種子的發芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是(　　)
A．0.72　　　B．0.8 C．　　　 D．0.9
　三個事件概率乘法公式的應用
例2　一個不透明的盒子中有6個小球，其中有4個紅球，2個黑球，從中不放回地摸出小球，每次去一個，求取三次，第三次才能取得黑球的概率．
方法歸納
利用概率乘法公式求三個事件的概率的步驟
鞏固訓練2　一個不透明的箱子里裝有2個白球，3個紅球，不放回地隨機摸球，每次摸出1個，事件A＝“第一次摸出紅球”，事件B＝“第二次摸出紅球”，事件C＝“第三次摸出紅球”，求事件ABC＝“三次都摸出紅球”的概率．
　多個事件概率乘法公式的應用
例3　袋中有一個白球和一個黑球，一次次地從袋中摸球，如果取出白球，則除了把這個白球放回外，再加進一個白球，直到取出黑球為止，求取了n次都沒有取到黑球的概率．
方法歸納
利用概率乘法公式求多個事件的概率的關鍵在于將事件A分解為A1，A2，A3，…，An事件．
鞏固訓練3　某人帶有n把鑰匙去開自己的房門，其中只有一把能打開，他隨機地從中逐一任取一把去試開房門，試過的鑰匙不再重試，求他第k次試開打開門的概率(1≤k≤n)．
3．1.3　乘法公式
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點二
P(A)P(B|A)P(C|AB)
要點三
P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)
[基礎自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝＝.
答案：A
3．解析：因為P(AB)＝P(A)P(B|A)，所以P(A)＝＝＝0.3.
答案：D
4．解析：P(BA)＝P(B)P(A|B)＝0.1×0.3＝0.03.
答案：0.03
題型探究·課堂解透
例1　解析：由題意可知第一次取出的是黑球，設為事件A，第二次取出紅球設為事件B，則P(A)＝＝，P(B|A)＝，
所以第二次才取出紅球的概率是P(AB)＝P(A)P(B|A)＝＝.
答案：D
鞏固訓練1　解析：設“種子發芽”為事件A，“出芽后的幼苗成活”為事件B，“種子成長為幼苗”為事件AB(發芽并成長為幼苗)，則P(A)＝0.9.又種子發芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
例2　解析：令Ai為第i(i＝1，2，3)次取得黑球，
則P(A3)＝P()P(|)P(A3|)＝＝.
鞏固訓練2　解析：方法一　由于P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，P(C|AB)＝＝，則P(ABC)＝P(A)P(B|A)·P(C|AB)＝＝.
方法二　求事件“三次都摸出紅球”的概率，實質上是求從5個球中取到3個紅球的概率．樣本空間的基本事件的總數n＝＝10，“取3個紅球”包含的基本事件數m＝＝1，即P(ABC)＝＝.
例3　解析：設A＝{取了n次都沒取到黑球}，Ak＝{第k次取到白球}(k＝1，2，…，n)，則有A＝A1A2A3…An，由乘法公式，得P(A)＝P(A1A2A3…An)
＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)
＝···…··＝.
鞏固訓練3　解析：設Ak＝{第k次試開時打開房門}(1≤k≤n)，Bi＝{第i次試開時選對鑰匙}(i＝1，2，…，n)，
則Ak＝Bk，由乘法公式，得
P(Ak)＝P(Bk)
＝P()P(|)·…·P(|)·P(Bk|)
＝··…··＝.3．1.4　全概率公式
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
批注 　它的直觀意義：如圖，B發生的概率與P(BAi)(i＝1，2，…，n)有關，且B發生的概率等于所有這些概率的和．
要點　全概率公式
設Ai(i＝1，2，…，n)為n個事件，若滿足
(1)AiAj＝ (i≠j)；
(2)A1＝Ω；
(3)P(Ai)>0，i＝1，2，…，n.
則對任一事件B，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝
此公式稱為全概率公式．
特別地，若將樣本空間Ω分為A，兩部分，則事件B的概率為P(B)＝______________．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)全概率公式中，A1，A2，…，An必須是一組兩兩互斥的事件．(　　)
(2)使用全概率公式關鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間．(　　)
(3)全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率求解問題，轉化為在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題．(　　)
2．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗血結果為陽性，患者中有2%的人驗血結果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為(　　)
A．0.068 9 B．0.049
C．0.024 8 D．0.02
3．甲袋中有5個白球、7個紅球，乙袋中有4個白球、2個紅球，從兩個袋中任選一袋，從中任取一球，則取到的球是白球的概率為(　　)
A．　　　B．C．　　　D．
4．已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.1，則P(B)＝________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　全概率公式的簡單應用
例1　已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.4，P(B|)＝0.1，求P(B)和P(A|B)．
方法歸納
解決此類問題，要熟練應用以下公式并且注意各事件間的關系：
(1)P(A)＝P(AB)＋P(A)；
(2)條件概率公式和乘法公式：
P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(B|A)＝.
(3)全概率公式：
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
鞏固訓練1　已知P()＝0.9，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.4，求P()，P(A|B)．
　全概率公式的實際應用
例2　甲、乙、丙三人向同一飛機進行射擊，擊中飛機的概率分別為0.4，0.5，0.7. 如果一人擊中飛機，飛機被擊落的概率為0.2；兩人擊中飛機，飛機被擊落的概率為0.6；三人擊中飛機，飛機必被擊落．求飛機被擊落的概率．
方法歸納
全概率公式的主要用處在于它可以將一個復雜的事件的概率計算問題，分解為若干個簡單事件的概率計算問題，最后應用概率的可加性求出最終結果．用樹狀圖表示如下：
鞏固訓練2　假設某市場供應的智能手機中，市場占有率和優質率的信息如下表所示：
品牌 甲 乙 其他
市場占有率 50% 30% 20%
優質率 95% 90% 70%
在該市場中任意買一部智能手機，求買到的是優質品的概率．
3．1.4　全概率公式
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
[基礎自測]
1．(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為
P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8.
答案：C
3．解析：設事件A表示“選中甲袋”，B表示“選中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，
則P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝，P(C|B)＝＝，
故P(C)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝＝.
答案：D
4．解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5.
答案：0.5
題型探究·課堂解透
例1　解析：由題意可知，P()＝1－0.8＝0.2，所以
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.4＝0.32，
所以P(A|B)＝＝＝.
鞏固訓練1　解析：由題意可得P(A)＝1－P()＝0.1，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42.
則P()＝1－0.42＝0.58.
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.1×0.6＝0.06，所以P(A|B)＝＝＝.
例2　解析：以B表示事件“飛機被擊落”，A0表示事件“三人均未擊中飛機”，A1表示“三人中僅有一人擊中飛機”，A2表示事件“三人中有兩人擊中飛機”，A3表示事件“三人同時擊中飛機”．
根據題意有P(A0)＝(1－0.4)×(1－0.5)×(1－0.7)＝0.09，
P(A1)＝0.4×(1－0.5)×(1－0.7)＋0.5×(1－0.4)×(1－0.7)＋0.7×(1－0.4)×(1－0.5)＝0.36，
P(A2)＝0.4×0.5×(1－0.7)＋0.5×0.7×(1－0.4)＋0.4×0.7×(1－0.5)＝0.41，
P(A3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14，
P(B|A0)＝0，P(B|A1)＝0.2，
P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
根據全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B |A1)＋ P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1
＝0.458.
鞏固訓練2　解析：用事件A1、A2、A3分別表示買到的智能手機為甲品牌、乙品牌、其他品牌，
事件B表示“買到的是優質品”，
則Ω＝A1且A1，A2，A3兩兩互斥，
依據已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，
因此，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.3.1.5　貝葉斯公式
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　貝葉斯公式
設事件A，B，則P(B|A)＝稱為貝葉斯公式(又稱逆概率公式)．
批注 　貝葉斯公式是由英國數學家貝葉斯(1702～1716)發現的，它用來描述兩個條件概率之間的關系．
要點二　貝葉斯公式的推廣
設A1，A2，…，An滿足AiAj＝ (i≠j)，且A1＝Ω.若P(Ai)>0(i＝1，2，…，n)，則對任一事件B(其中P(B)>0)，由條件概率及全概率公式，有P(Ai|B)＝
　
基 礎 自 測
1．一道考題有4個，要求學生將其中的一個正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，而亂猜正確的概率為.在亂猜時，4個都有機會被他選擇，如果他答對了，則他確實知道正確的概率是(　　)
A．　　　B．C．　　　D．
2．李老師一家要外出游玩幾天，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果這幾天內鄰居記得澆水，那么花存活的概率為0.8，如果這幾天內鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為0.3，假設李老師對鄰居不了解，即可以認為鄰居記得和忘記澆水的概率均為0.5，幾天后李老師回來發現花還活著，則鄰居記得澆水的概率為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　貝葉斯公式的應用
例1　兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現廢品的概率是0.03，第二臺出現廢品的概率是0.02.加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．
方法歸納
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：(1)如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式；(2)如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率. 熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效．
鞏固訓練1　設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車中途停車修理的概率為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．
　貝葉斯公式推廣的應用
例2　某商店從三個廠購買了一批燈泡，甲廠占25%，乙廠占35%，丙廠占40%，各廠的次品率分別為5%，4%，2%.
(1)求消費者買到一只次品燈泡的概率；
(2)若消費者買到一只次品燈泡，則它是哪個廠家生產的可能性最大？
方法歸納
(1)全概率中，事件B發生的概率通常是在試驗之前已知的，習慣上稱之為先驗概率．而貝葉斯公式中如果在一次試驗中，已知事件A確已發生，再考察事件B發生的概率，即在事件A發生的條件下，計算事件B發生的條件概率，它反映了在試驗之后，A發生的原因的各種可能性的大小，通常稱之為后驗概率．
(2)兩者最大的不同之處在于處理的對象不同，全概率公式常用來計算復雜事件的概率，而貝葉斯公式是用來計算簡單條件下發生的復雜事件的概率．
鞏固訓練2　有朋自遠方來，他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機的概率分別是0.3，0.2，0.1，0.4.而他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機遲到的概率分別是0.25，0.3，0.1，0，實際上他是遲到了，推測他坐哪種交通工具來的可能性大．(結果保留小數點后兩位)
*3.1.5　貝葉斯公式
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．解析：設A＝“考生答對”，B＝“考生知道正確”，
由全概率公式：
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋＝.
又由貝葉斯公式： P(B|A)＝＝＝.
答案：B
2．解析：設事件B表示“鄰居記得澆水”，表示“鄰居忘記澆水”，A表示“花還活著”，
由題意得，P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝0.8，P(A|)＝0.3，
則P(B|A)＝
＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：設Ai表示“第i臺機床加工的零件”(i＝1，2)；B表示“出現廢品”；C表示“出現合格品”．
(1)P(C)＝P(A1CA2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝
P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)
＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.
(2)P(A2|B)＝＝＝＝0.25.
鞏固訓練1　解析：設B表示“中途停車修理”，A1表示“經過的是貨車”，A2表示“經過的是客車”，
則B＝A1B由題意得，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，
由貝葉斯公式得，P(A1|B)＝＝＝.
例2　解析：記事件B表示“消費者買到一只次品燈泡”，A1，A2，A3分別表示“買到的燈泡是甲、乙、丙廠生產的燈泡”，根據題意得，
P(A1)＝25%，P(A2)＝35%，P(A3)＝40%，P(B|A1)＝5%，P(B|A2)＝4%，P(B|A3)＝2%.
(1)P(B)＝＝0.034 5.
(2)P(A1|B)＝＝≈0.362 3，
P(A2|B)＝＝≈0.405 8，
P(A3|B)＝＝≈0.231 9，
所以買到乙廠產品的可能性最大．
鞏固訓練2　解析：令A1＝“坐火車來”，A2＝“坐船來”，A3＝“坐汽車來”，A4＝“坐飛機來”，B＝“他遲到了”，
則Ω＝A1且A1、A2、A3、A4兩兩互斥，
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，P(A4)＝0.4，
P(B|A1)＝0.25，P(B|A2)＝0.3，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0，
于是得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145，
P(A1|B)＝＝≈0.52，
P(A2|B)＝＝≈0.41，
P(A3|B)＝＝≈0.07，
P(A4|B)＝＝0，
比較四個概率值知，他坐火車和坐船的概率較大，坐火車的可能性最大，坐汽車的可能性很小，不可能是坐飛機過來的．

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