資源簡介

3．1.1　橢圓的標準方程
最新課程標準
(1)掌握橢圓的定義及其應用．
(2)掌握橢圓的標準方程．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　橢圓的定義
平面上到兩個定點F1，F2的________________________為常數(大于|F1F2|) 的點的軌跡叫作橢圓．這兩個定點F1，F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫作橢圓的________．
用集合語言描述橢圓的定義：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}．
要點二　橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
圖形
焦點坐標 ________________ __________________
a，b，c的關系 ____________________________
批注 　(1)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數>|F1F2|時，動點M的軌跡為橢圓；
(2)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數＝|F1F2|時，動點M的軌跡為以F1，F2為兩端點的線段；
(3)當動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數<|F1F2|時，動點M的軌跡不存在．
批注 　橢圓的焦點在x軸上 標準方程中含x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上 標準方程中含y2項的分母較大．因此由橢圓的標準方程判斷橢圓的焦點位置時，要根據方程中分母的大小來判斷，簡記為“焦點位置看大小，焦點隨著大的跑”．
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)
(2)平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的集合是橢圓．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲線是橢圓．(　　)
(4)設F1(－4，0)，F2(4，0)為定點，動點M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動點M的軌跡是橢圓．(　　)
2．設P是橢圓＝1上的點，若F1，F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　 B．5 C．8　　　 D．10
3．橢圓＋y2＝1的焦點坐標是(　　)
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
4．方程＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則(　　)
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
5．已知橢圓的焦距是6，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于10，則橢圓的標準方程是____________．
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　橢圓的定義的應用
例1　已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
方法歸納
應用橢圓定義的兩個技巧
鞏固訓練1　已知F1，F2是橢圓C：＝1的兩個焦點，點P在橢圓上＝0，則△PF1F2的面積是(　　)
A．3 B．6
C．2 D．2
題型2　橢圓方程的判斷
例2　(多選)已知曲線C：mx2＋ny2＝1(　　)
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在x軸上
C．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
方法歸納
用分類討論的數學思想，結合直線、圓、橢圓的特征，逐一驗證．
鞏固訓練2　[2022湖南嘉禾一中測試]已知方程＝1表示一個焦點在y軸上的橢圓，則實數m的取值范圍為(　　)
A．(3，4) B．(2，3)
C．(2，3)
題型3　求橢圓的標準方程
例3　求滿足下列條件的橢圓的標準方程．
(1)兩焦點的坐標分別是(－4，0)，(4，0)，且橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10；
(2)經過P1(，1)，P2(－，－)兩點；
(3)以橢圓9x2＋5y2＝45的焦點為焦點，且經過點M(2，)．
方法歸納
1．利用待定系數法求橢圓的標準方程
(1)先確定焦點位置；(2)設出方程；(3)尋求a，b，c的等量關系；(4)求a，b的值，代入所設方程．
2．當焦點位置不確定時，可設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因為它包括焦點在x軸上(mn)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡化了運算．
鞏固訓練3　(1)已知焦點在x軸上的橢圓，焦距為8，且2a＝10，則該橢圓的標準方程是(　　)
A．＝1
B．＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
(2)已知橢圓的焦點為F1(－2，0)，F2(2，0)，且經過(，－)，則橢圓的方程為____________．
題型4　橢圓中的焦點三角形問題(數學探究)
例4　已知點P是橢圓＝1上的一點，F1，F2分別是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面積．
方法歸納
1．橢圓中的焦點三角形：橢圓上的一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2，稱為焦點三角形．解決橢圓的焦點三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理等知識求解．
2．若本題以小題形式出現，則也可用焦點三角形的面積公式速解；記∠F1PF2＝θ，則＝b2tan .
鞏固訓練4　已知橢圓＝1中，點P是橢圓上一點，F1，F2是橢圓的焦點，且∠PF1F2＝120°，則△PF1F2的面積為________．
易錯辨析　忽略橢圓焦點位置的討論致錯
例5　已知橢圓的標準方程為＝1(m>0)，并且焦距為6，則實數m的值為________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
當橢圓的焦點在x軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝＝16，又m>0，故m＝4.當橢圓的焦點在y軸上時，由橢圓的標準方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
綜上可知，實數m的值為4或.
答案：4或
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
易錯之處是認為焦點在x軸上，從而漏掉一解． 涉及橢圓的標準方程的問題，如果沒有明確地指出橢圓焦點的位置，一般都要分兩種可能的情況進行討論，不能想當然地認為焦點在x軸上或y軸上去求解．
第3章　圓錐曲線與方程
3．1　橢圓
3．1.1　橢圓的標準方程
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
距離之和　焦距
要點二
F1(－c，0)，F2(c，0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　a2＝b2＋c2
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由橢圓方程知a2＝25，則a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故選D.
答案：D
3．解析：由題設方程可知橢圓焦點在x軸上且c＝＝，
∴焦點坐標為(±，0)．
答案：B
4．解析：方程＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則m＞n＞0.
答案：A
5．解析：由題意可知橢圓的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3，又由橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于10，可得2a＝10，即a＝5，
則b2＝a2－c2＝25－9＝16，
當焦點可以在x軸上時，橢圓的方程為＝1；
當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為＝1.
答案：＝1或＝1
題型探究·課堂解透
例1　解析：由橢圓的方程得a＝.設橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
答案：C
鞏固訓練1　解析：因為＝0＝0，
所以，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
則(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
由橢圓的定義可得：(2a)2－2|PF1||PF2|＝(2c)2，
所以|PF1|·|PF2|＝2a2－2c2＝2b2＝6，
所以＝|PF1|·|PF2|＝3.
答案：A
例2　解析：對于A，若m＞n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為＝1，因為m＞n＞0，所以＜，即曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確，B錯誤；
對于C，若m＝n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，故C不正確；
對于D，若m＝0，n＞0，則mx2＋ny2＝1可化為y2＝，y＝±，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．
答案：AD
鞏固訓練2　解析：因為方程＝1表示一個焦點在y軸上的橢圓，
所以有解得2＜m＜3，
所以實數m的取值范圍為2＜m＜3.
答案：B
例3　解析：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)．
又c＝4，2a＝10，則a＝5，b2＝a2－c2＝9.
于是所求橢圓的標準方程為＝1.
(2)方法一　①當焦點在x軸上時，設橢圓方程為＝1(a>b>0)．
由已知，得 ，
即所求橢圓的標準方程是＝1.
②當焦點在y軸上時，設橢圓方程為＝1(a>b>0)，
由已知，得
與a>b>0矛盾，此種情況不存在．
綜上，所求橢圓的標準方程是＝1.
方法二　設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故
即所求橢圓的標準方程是＝1.
(3)由題意，知焦點F1(0，2)，F2(0，－2)，
設所求橢圓方程為＝1(λ>0)，
將x＝2，y＝代入，得＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求橢圓的標準方程為＝1.
鞏固訓練3　解析：(1)橢圓的焦距為8，且2a＝10，
∴a＝5，c＝4，則b＝＝3，
∴橢圓方程為＝1.
(2)設橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞0)，依題意得c＝2，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝2，
∴a＝，則b2＝a2－c2＝6，故橢圓的標準方程為＝1.
答案：(1)A　(2)＝1
例4　解析：由橢圓的標準方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由橢圓的定義，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
鞏固訓練4　解析：由＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，從而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|　①，
由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4　②，
聯立①②可得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝.
答案：3．1.2　橢圓的簡單幾何性質
最新課程
(1)掌握橢圓的幾何性質．
(2)會求橢圓的離心率以及判斷直線與橢圓的位置關系．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　橢圓的簡單幾何性質
標準方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
范圍 ____≤x≤____，____≤y≤____ ____≤y≤____，____≤x≤____
對稱性 關于____軸、____軸對稱，關于原點對稱
頂點坐標 A1______，A2____，B1____，B2____ A1____，A2____，B1____，B2____
軸長 長軸長|A1A2|＝____，短軸長|B1B2|＝____
離心率 e＝(0批注 　離心率表示橢圓的扁平程度．當e越接近于1時，c越接近于a，從而b＝越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接近于0，從而b＝越大，因此橢圓接近圓；當e＝0時，c＝0，a＝b，兩焦點重合，圖形就是圓．
　基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)橢圓＝1(a>b>0)的長軸長等于a.(　　)
(2)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓．(　　)
(3)橢圓＝1的離心率e＝.(　　)
(4)橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0，13)，另一個頂點是(－10，0)，則焦點坐標為(0，±)．(　　)
2．橢圓6x2＋y2＝6的長軸的端點坐標是(　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
3．橢圓＝1的短軸長為(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
4．下列四個橢圓中，形狀最扁的是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是(4，0)，(0，2)，則此橢圓的方程是________．
題型探究·課堂解透——強化創新性
　
題型1　由橢圓方程求橢圓的幾何性質
例1　焦點在x軸上的橢圓的方程為＝1，點P(，1)在橢圓上．
(1)求m的值；
(2)依次求出這個橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率．
方法歸納
在求橢圓的長軸和短軸的長，焦點坐標，頂點坐標時，應先化為標準方程，然后判斷焦點所在的位置，看兩種情況是否都適合．
鞏固訓練1　求橢圓x2＋9y2＝36的長軸長和短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率．
題型2　根據橢圓幾何性質求其標準方程
例2　求適合下列條件的橢圓的標準方程．
(1)長軸長是10，離心率是；
(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6；
(3)經過點M(1，2)，且與橢圓＝1有相同離心率的橢圓的標準方程．
方法歸納
已知橢圓的幾何性質，求橢圓的標準方程的一般步驟
鞏固訓練2　(1)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點的坐標是(3，0)，則橢圓的標準方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，兩個焦點恰好將長軸三等分，則該橢圓的標準方程是________；
(3)已知橢圓的對稱軸是坐標軸，O為坐標原點，F是一個焦點，A是一個頂點，橢圓的長軸長為6，且cos ∠OFA＝，則橢圓的標準方程是________.
題型3　求橢圓的離心率
例3　(1)[2022·湖南株洲測試]如圖為學生做手工時畫的橢圓C1、C2、C3(其中網格是由邊長為1的正方形組成)，它們的離心率分別為e1、e2、e3，則(　　)
A．e1＝e2＜e3 B．e2＝e3＜e1
C．e1＝e2＞e3 D．e2＝e3＞e1
(2)已知橢圓C的中心為O，左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，右頂點為B，且|OB|、|OA|、|OF2|成等比數列，則橢圓C的離心率為________.
方法歸納
求橢圓離心率(或范圍)的2種常用方法
鞏固訓練3　(1)[2022·湖南常德市淮陽中學測試]已知橢圓C：＝1(a＞0)的一個焦點為(2，0)，則C的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知F是橢圓C：＝1(a＞b＞0)的一個焦點，P為橢圓C上一點，O為坐標原點，若△POF為等邊三角形，則橢圓C的離心率為________．
題型4　直線與橢圓的位置關系
例4　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：
(1)有兩個不重合的公共點；
(2)有且只有一個公共點；
(3)沒有公共點．
方法歸納
直線與橢圓位置關系的判斷方法
設直線l：Ax＋By＋C＝0，橢圓C：F(x，y)＝0，
由消去y得到關于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
Δ＞0 直線l與橢圓C有兩個公共點；
Δ＝0 直線l與橢圓C有一個公共點；
Δ＜0 直線l與橢圓C沒有公共點．
鞏固訓練4　(1)已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相離 D．相切或相交
(2)判斷直線y＝2x－2與橢圓＝1是否有公共點，如有，求出公共點的坐標．
易錯辨析　忽視隱含條件致錯
例5　若直線y＝kx＋1與橢圓＝1恒有公共點，則實數m的取值范圍是________．
解析：由于直線y＝kx＋1過定點(0，1)，故點(0，1)恒在橢圓內或橢圓上，所以m∈[1，＋∞)．又因為m≠5，所以實數m的取值范圍是[1，5)
答案：[1，5)
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
本題容易忽視隱含條件m≠5致錯，錯誤答案為[1，＋∞)． 注意圓不是橢圓的特殊情況，解答此類問題時，一定要排除圓的情況．
3．1.2　橢圓的簡單幾何性質
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
－a　a　－b　b　－a　a　－b　b　x　y　(－a，0)　(a，0)　(0，－b)　(0，b)　(0，－a)　(0，a)　(－b，0)　(b，0)　2a　2b
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：橢圓方程可化為x2＋＝1，則長軸的端點坐標為(0，±)．故選D.
答案：D
3．解析：b2＝16，所以b＝4，所以短軸長為2b＝8.
答案：B
4．解析：由e＝，根據選項中的橢圓的方程，可得的值滿足＜＜＜，
因為橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，
所以這四個橢圓中，橢圓＝1的離心率最大，故其形狀最扁．
答案：A
5．解析：由已知a＝4，b＝2，橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓方程是＝1.
答案：＝1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意，點P(，1)在橢圓上，代入，
得＝1，解得m＝2.
(2)由(1)知，橢圓方程為＝1，則a＝2，b＝，c＝，
橢圓的長軸長2a＝4；
短軸長2b＝2；
焦距2c＝2；
離心率e＝＝.
鞏固訓練1　解析：因為橢圓x2＋9y2＝36的標準方程為＝1，所以a＝6，b＝2，c＝＝4，
故長軸長為12，短軸長為4，焦點坐標為(4，0)，(－4，0)、頂點坐標為(6，0)，(－6，0)，(0，2)，(0，－2)和離心率為.
例2　解析：(1)設橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，
由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，
∴c＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴橢圓的標準方程為＝1或＝1.
(2)依題意可設橢圓的標準方程為＝1(a>b>0)．
如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
故所求橢圓的標準方程為＝1.
解析：(3)方法一　由題意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，設所求橢圓的方程為＝1或＝1.
將點M(1，2)代入橢圓方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求橢圓方程為＝1或＝1.
方法二　設所求橢圓方程為＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，將點M的坐標代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求橢圓的標準方程為＝1或＝1.
鞏固訓練2　解析：(1)由題意，得
解得
因為橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓的標準方程為＝1.
(2)由2a＝18，得a＝9.
又因為2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.
所以所求橢圓的標準方程為＝1.
解析：(3)因為橢圓的長軸長是6，cos ∠OFA＝，所以點A不是長軸的端點(是短軸的端點)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以橢圓的方程是＝1或＝1.
答案：(1)B　(2)＝1　(3)＝1或＝1
例3　解析：(1)由圖知橢圓C1的半長軸和半短軸分別為a＝2，b＝1.5，
橢圓C2的半長軸和半短軸分別為a＝4，b＝2，
橢圓C3的半長軸和半短軸分別為a＝6，b＝3，
所以e1＝＝＝＝＝，
e2＝＝＝ ＝ ＝，
e3＝＝＝ ＝ ＝，
所以e2＝e3＞e1.
(2)設橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，
則|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，
由題設可得b2＝ac及b2＝a2－c2可得c2＋ac－a2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝，而e∈(0，1)，
所以橢圓的離心率為e＝.
答案：(1)D　(2)
鞏固訓練3　解析：(1)根據題意，可知c＝2，因為b2＝4，
所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，
所以橢圓C的離心率為e＝＝.
(2)根據題意，取點P為第一象限的點，過點P作OF的垂線，垂足為H，如圖所示：
因為△OPF為等邊三角形，又F(c，0)，
故可得|OH|＝cos 60°×c＝，|PH|＝sin 60°×c＝c，
則點P的坐標為(c)，代入橢圓方程可得：＝1，
又b2＝a2－c2，整理得：e2＋＝4，
即e2＝4－2，解得e＝1－(舍)或e＝－1.
答案：(1)C　(2)－1
例4　解析：將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，得方程組
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　③
方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)Δ＞0，即－3＜m＜3時，方程③有兩個不同的實數根，可知原方程組有兩組不同的實數解．這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．
(2)當Δ＝0，即m＝±3時，方程③有兩個相同的實數根，可知原方程組有兩組相同的實數解．這時直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
(3)當Δ＜0，即m＜－3或m＞3時，方程③沒有實數根，可知原方程組沒有實數解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．綜上可得
當－3＜m＜3時，直線l與橢圓有兩個公共點；
當m＝－3或m＝3時，直線l與橢圓有一個公共點；
當m＜－3或m＞3時，直線l與橢圓沒有公共點．
鞏固訓練4　解析：(1)把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直線與橢圓相離．
(2)聯立直線與橢圓的方程，可得方程組，
解方程組可得或，
因此直線與橢圓有兩個公共點，且公共點的坐標為(0，－2)，()．
答案：(1)C　(2)見解析3.2　雙曲線
3．2.1　雙曲線的標準方程
最新課程標準
(1)掌握雙曲線的定義及其應用．
(2)掌握雙曲線的標準方程．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　雙曲線的定義
平面上到兩個定點F1，F2的__________________________為正常數(小于|F1F2| )點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|叫作雙曲線的________．
用集合語言描述雙曲線的定義：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|}．
要點二　雙曲線的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
圖形
焦點坐標 F1______，F2______ F1______，F2______
a，b，c的關系 c2＝________
批注 　若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線(包括端點)．若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點軌跡不存在．
批注 　焦點F1，F2的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，即若x2的系數為正，則焦點在x軸上；若y2的系數為正，則焦點在y軸上．
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)平面內到兩定點的距離的差等于常數(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線．(　　)
(2)雙曲線標準方程中的兩個參數a和b確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件．(　　)
(3)雙曲線的焦點F1，F2的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．(　　)
(4)點P到兩定點F1(－2，0)，F2(2，0)的距離之差為6，則點P的軌跡為雙曲線的一支．(　　)
2．動點P到點M(1，0)的距離與點N(3，0)的距離之差為2，則點P的軌跡是(　　)
A．雙曲線 B．雙曲線的一支
C.兩條射線 D．一條射線
3．已知雙曲線的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A.＝1
B.＝1
C.＝1或＝1
D.＝0或＝0
4．雙曲線－y2＝1的焦點坐標是(　　)
A.(±，0) B．(0，±2)
C.(0，±) D．(±2，0)
5．已知雙曲線＝1的兩個焦點分別為F1，F2，若雙曲線上的點P到點F1的距離為12，則點P到點F2的距離為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性
　
題型1　雙曲線定義的應用
例1　(1)[2022·湖南懷化測試]已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．＝1(x≤－)
B．＝1(x≥)
C．＝1
D．＝1
(2)設點P在雙曲線＝1上，若F1、F2為雙曲線的兩個焦點，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，則△F1PF2的周長等于(　　)
A．22 B．16
C．14 D．12
方法歸納
應用雙曲線定義的3種策略
鞏固訓練1　(1)已知在△ABC中，C(－2，0)，B(2，0)，sin B－sin C＝sin A，則頂點A的軌跡方程為________；
(2)已知F1，F2為雙曲線＝1的左、右焦點，點P在雙曲線上，滿足|PF1|＝2|PF2|，求△PF1F2的面積為________．
題型2　雙曲線方程的判斷
例2　(1)(多選)設θ∈(－，0)，π)，則關于x，y的方程＝1所表示的曲線可能是(　　)
A.焦點在y軸上的雙曲線
B．焦點在x軸上的雙曲線
C．焦點在y軸上的橢圓
D．焦點在x軸上的橢圓
(2)已知方程＝1對應的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是(　　)
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2方法歸納
1．判斷雙曲線的類型首先要將方程化為標準方程．
2．若方程為＝1(mn≠0)，需要對參數m，n進行討論，只有mn<0時，方程才表示雙曲線，若則雙曲線的焦點在x軸上；若，則雙曲線的焦點在y軸上．
鞏固訓練2　(1)(多選)關于x，y的方程＝1(其中m2≠6)表示的曲線可能是(　　)
A．焦點在y軸上的雙曲線
B．圓心為坐標原點的圓
C．焦點在x軸上的雙曲線
D．長軸長為4的橢圓
(2)若方程＝1，k∈R表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 　D．k>－2
題型3　求雙曲線的標準方程
例3　根據下列條件，求雙曲線的標準方程．
(1)a＝4，經過點A(1，－)；
(2)與雙曲線＝1有相同的焦點，且經過點(3，2)；
(3)過點P(3，)，Q(－，5)且焦點在坐標軸上．
方法歸納
求雙曲線標準方程的2種方法
鞏固訓練3　(1)已知雙曲線的一個焦點F1(5，0)，且過點(3，0)，則該雙曲線的標準方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2022·湖南石門測試]與橢圓＋y2＝1共焦點且過點Q(2，1)的雙曲線方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．＝1 D．x2－＝1
題型4　雙曲線中的焦點三角形問題(數學探究)
例4　已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為________．
方法歸納
求雙曲線中的焦點三角形面積的步驟
鞏固訓練4　如圖，已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2分別為左、右焦點，P為雙曲線上的點，∠F1PF2＝＝12，則雙曲線的標準方程為________．
易錯辨析　忽略雙曲線上的點到焦點的距離最小值致錯
例5　若雙曲線E：＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝7，則|PF2|＝________．
解析：由雙曲線定義得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝13或1，
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去．
答案：13
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
由雙曲線定義求得錯解|PF2|＝1或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a＝2. 利用雙曲線定義求|PF1|(或|PF2|)時，若有兩解，一定要檢驗解是否滿足|PF|≥c－a.
3．2　雙曲線
3．2.1　雙曲線的標準方程
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
距離之差的絕對值　焦距
要點二
(－c，0)　(c，0)　(0，－c)　(0，c)　a2＋b2
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以點P的軌跡是一條以N為端點的射線NP.故選D.
答案：D
3．解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故選C.
答案：C
4．解析：由雙曲線的標準方程－y2＝1知，a2＝3，b2＝1，c2＝3＋1＝4，則c＝±2.
因為焦點在x軸上，所以焦點坐標為(±2，0)．
答案：D
5．解析：設F1為左焦點，F2為右焦點，當點P在雙曲線左支上時，|PF2|－|PF1|＝10，則|PF2|＝22；當點P在雙曲線右支上時，|PF1|－|PF2|＝10，則|PF2|＝2.
答案：22或2
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)設動圓M的半徑為r，又圓C1與圓C2的半徑均為，
則由已知得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
所以|MC1|－|MC2|＝2.
又點C1(－4，0)，C2(4，0)，
則|C1C2|＝8，所以2＜|C1C2|，
根據雙曲線的定義可知，點M的軌跡是以C1(－4，0)，C2(4，0)為焦點的雙曲線的右支．
因為a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
于是點M的軌跡方程為＝1(x≥)．
解析：(2)由題意知|F1F2|＝2＝10，由雙曲線定義知||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，
∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周長為：3＋9＋10＝22.
答案：(1)B　(2)A
鞏固訓練1　解析：(1)由正弦定理及sin B－sin C＝sin A，得|AC|－|AB|＝|BC|<|BC|，
由雙曲線的定義知，頂點A的軌跡是以C，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，
∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3，
∴頂點A的軌跡方程為x2－＝1(x>1)．
(2)由題意得|PF1|＝2|PF2|，
又|PF1|－|PF2|＝4，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝4，又|F1F2|＝4，
∴|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
∴∠F1F2P＝，
＝·|PF2|·|F1F2|＝×4×4＝8.
答案：(1)x2－＝1(x>1)　(2)8
例2　解析：(1)當θ∈(－，0)時，sin θ<0，cos θ>0，則方程表示焦點在y軸上的雙曲線，A正確．
當θ∈(，π)時，sin θ>0，cos θ<0，則方程表示的曲線是在x軸上的雙曲線，B正確．
(2)∵方程對應的圖形是雙曲線，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即或
解得k>5或－2答案：(1)AB　(2)B
鞏固訓練2　解析：(1)m2＋2－(6－m2)＝2(m2－2)，
當m＝±時，m2＋2＝6－m2＝4，此時＝1表示圓，故B正確．
當－＜m＜，則6－m2＞m2＋2＞0，
故＝1表示焦點在y軸上的橢圓，
若此時長軸長為4，則6－m2＝8即m2＝－2，矛盾，故D錯誤．
若m＜－或m＞，則6－m2＜0，
故＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，故A錯誤，C正確．
若－＜m＜－或＜m＜，則m2＋2＞6－m2＞0，
故方程＝1表示焦點在x軸上的橢圓，
若長軸長為4，則m2＋2＝8即m＝±，矛盾，故D錯誤．
解析：(2)由題意知解得－3答案：(1)BC　(2)A
例3　解析：(1)當焦點在x軸上時，設所求標準方程為＝1(b>0)，把點A的坐標代入，得b2＝－<0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設所求標準方程為＝1(b>0)，把A點的坐標代入，得b2＝9.故所求雙曲線的標準方程為＝1.
(2)方法一　∵焦點相同，
∴設所求雙曲線的標準方程為＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　①
∵雙曲線經過點(3，2)，∴＝1.　②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴雙曲線的標準方程為＝1.
方法二　設所求雙曲線的方程為＝1(－4<λ<16)．
∵雙曲線過點(3，2)，∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴雙曲線的標準方程為＝1.
解析：(3)設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵點P，Q在雙曲線上，
∴解得
∴雙曲線的標準方程為＝1.
鞏固訓練3　解析：(1)因為雙曲線的一個焦點F1(5，0)，且過點(3，0)，所以c＝5，a＝3；
∴b2＝c2－a2＝16.
∴該雙曲線的標準方程是＝1.
(2)由橢圓方程可得焦點坐標為(±，0)，設與其共焦點的雙曲線方程為＝1(0＜m＜3)，
雙曲線過點Q(2，1)，則＝1，整理可得m2－8m＋12＝0，
結合0＜m＜3可得m＝2，則雙曲線方程為－y2＝1.
答案：(1)A　(2)A
例4　解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝4，
在△F1PF2中，由余弦定理，
cos ∠F1PF2＝
＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
答案：2
鞏固訓練4　解析：由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝
＝＝，
整理得|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，
所以＝|PF1||PF2|sin 60°＝2b2·＝b2，
因為＝12，可得b2＝12，解得b2＝12，
又由c＝2a，且c2＝a2＋b2，可得a2＝4，
所以雙曲線的標準方程為＝1.
答案：＝13．2.2　雙曲線的簡單幾何性質
最新課程標準
(1)掌握雙曲線的簡單幾何性質．
(2)掌握雙曲線的漸近線及離心率的意義．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　雙曲線的幾何性質
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
圖形
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
性質 范圍 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：________；對稱中心：________
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：________；虛軸：線段B1B2，長：________；半實軸長：________，半虛軸長：________
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
批注 　雙曲線的范圍說明雙曲線是非封閉曲線，而橢圓則是封閉曲線．
批注 　由于＝＝＝，因此e越大，漸近線的斜率的絕對值就越大，雙曲線的開口就越大．
批注 　雙曲線的漸近線決定了雙曲線的形狀．由雙曲線的對稱性可知，當雙曲線的兩支向外無限延伸時，雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永遠不會相交．
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．(　　)
(2)以y＝±2x為漸近線的雙曲線有2條．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x.(　　)
(4)離心率e越大，雙曲線＝1的漸近線的斜率絕對值越大．(　　)
2．雙曲線－x2＝1的實軸長為(　　)
A．2 B．4
C． D．
3．實軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標準方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1或＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
4．雙曲線－y2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
5．雙曲線9y2－16x2＝144的離心率e＝________．
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　由雙曲線的方程研究雙曲線的性質
例1　求雙曲線4x2－9y2＝－4的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．
方法歸納
已知雙曲線的方程討論其幾何性質時，需先看所給方程是否為標準方程，若不是，需先把方程化為標準方程，然后由標準方程確定焦點所在的坐標軸，找準a和b，才能正確地寫出焦點坐標、頂點坐標等．
鞏固訓練1　[2022·河北石家莊測試](多選)已知雙曲線方程為x2－＝1，則下列敘述正確的是(　　)
A．焦點F(±1，0)
B．漸近線方程：y＝±x
C．離心率為
D．實軸長為2
題型2　由雙曲線的幾何性質求其標準方程
例2　(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，實軸長與虛軸長之比為2∶3，且經過點P(，2)，求雙曲線的標準方程；
(2)求與雙曲線＝1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線的標準方程；
(3)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，焦距為10，求雙曲線的標準方程．
方法歸納
用待定系數法求雙曲線標準方程的4種方法
鞏固訓練2　(1)已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)焦點為(0，6)，且與雙曲線－y2＝1有相同的漸近線的雙曲線方程是________．
題型3　求雙曲線的離心率
例3　(1)[2022·湖南雅禮中學測試]已知雙曲線＝1(a＞)的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為(　　)
A．　 B．2　　C．或2　 D．
(2)[2022·湖南長沙一中測試]已知F1，F2是雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點N在雙曲線上，則雙曲線C的離心率為(　　)
A.4＋2 B．－1
C．D．＋1
方法歸納
求雙曲線離心率的2種常用方法
鞏固訓練3　(1)[2022·湖南岳陽一中測試]已知雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線的斜率之積等于－4，則雙曲線C的離心率為(　　)
A.　　 B． C．　　 D．
(2)設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為________．
題型4　直線與雙曲線的位置關系
例4　已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝kx－1，試討論滿足下列條件的實數k的取值范圍．
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
方法歸納
直線與雙曲線位置關系的判斷方法
鞏固訓練4　直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B，則實數k的取值范圍為________．
易錯辨析　　忽略對焦點所在軸的討論致誤
例5　已知雙曲線的漸近線方程是y＝±x，焦距為2，求雙曲線的標準方程．
解析：當雙曲線的焦點在x軸上時，由解得所以所求雙曲線的標準方程為＝1.
當雙曲線的焦點在y軸上時，由
解得所以所求雙曲線的標準方程為＝1.
故所求雙曲線的標準方程為＝1或＝1.
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
誤認為焦點一定在x軸上，得到答案：＝1，而漏掉焦點在y軸上的情況． 當題目條件沒有明確雙曲線的焦點所在軸時，應分兩種情況進行討論．同時注意兩種情況下，漸近線方程是有區別的：焦點在x軸上時，漸近線方程為y＝±x；焦點在y軸上時，漸近線方程為y＝±x.
3．2.2　雙曲線的簡單幾何性質
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
坐標軸　原點　　2a　　2b　a　b
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由題知a2＝4，∴雙曲線的實軸長為2a＝4.
答案：B
3．解析：由題意知2a＝2，2b＝4，
∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，
又雙曲線的焦點位置不確定，故選D.
答案：D
4．解析：由雙曲線方程得a＝，b＝1，∴漸近線方程為y＝±x＝±x.故選B.
答案：B
5．解析：雙曲線9y2－16x2＝144可化為＝1.
∴a2＝16，b2＝9，
∴離心率為：e＝＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：雙曲線方程可化為－x2＝1，
則雙曲線焦點在y軸上，a2＝，b2＝1，∴c2＝＋1＝，
∴a＝，b＝1，c＝，
∴頂點坐標為(0，±)；焦點坐標為(0，±)；實軸長為2a＝；虛軸長為2b＝2；離心率e＝＝；漸近線方程為y＝±x＝±x.
鞏固訓練1　解析：由題意，雙曲線x2－＝1，可得a＝1，b＝，則c＝＝，
所以雙曲線的焦點坐標為F(±，0)，所以A不正確；
漸近線方程為y＝±x＝±x，所以B正確；
離心率為e＝＝，所以C不正確；
實軸長為2a＝2，所以D正確．
答案：BD
例2　解析：(1)設雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，由題意知＝.
又∵雙曲線過點P(，2)，∴＝1，
依題意可得解得
故所求雙曲線方程為y2－x2＝1.
(2)雙曲線＝1的焦點為(±2，0)，
可設所求雙曲線的方程為
＝1(a，b＞0)，
由題意可得c＝2，即a2＋b2＝20，
將點(3，2)代入雙曲線方程可得，
＝1，
解得a2＝12，b2＝8，
即有所求雙曲線的方程為
＝1.
解析：(3)方法一　當焦點在x軸上時，設所求雙曲線方程為＝1，由漸近線方程為y＝±x得＝，2c＝10，
由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.
∴雙曲線方程為＝1.
同理，當焦點在y軸上時，可得雙曲線方程為＝1.
即所求雙曲線方程為＝1或＝1.
方法二　由漸近線方程為y＝±x可設雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)，即＝1.
由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.
∴所求雙曲線方程為＝1或＝1.
鞏固訓練2　解析：(1)不妨設點A在第一象限，由題意可知c＝2，點A的坐標為(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求雙曲線的方程為x2－＝1，故選D.
(2)由－y2＝1，得雙曲線的漸近線為y＝±x.設雙曲線方程為－y2＝λ(λ<0)，
∴＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故雙曲線方程為＝1.
答案：(1)D　(2)＝1
例3　解析：(1)依題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，因兩條漸近線的夾角為，
于是得直線y＝x的傾斜角是或，即＝tan 或＝tan ，解得a＝或，而a＞，則a＝，
又b＝，則有c＝2，所以雙曲線的離心率e＝＝.
(2)依題意知，若雙曲線焦點為F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴|F1F2|＝2c，則△MF1F2的高為c，即M(0，c)，
∴N(－c)，代入雙曲線方程：＝1，整理得b2c2－3a2c2＝4a2b2，
∵b2＝c2－a2，
∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，兩邊同除以a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±2，
∵e＞1，∴e＝＋1.
答案：(1)A　(2)D
鞏固訓練3　解析：(1)因為雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，
所以(－)×＝－4，即a＝2b，
所以c＝b，所以e＝＝.
(2)不妨設焦點F(c，0)，虛軸的端點B(0，b)，則kFB＝－.又漸近線的斜率為±，所以由直線垂直得－·＝－1(斜率為－的直線顯然不符合)，即b2＝ac.
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(負值舍去)．
答案：(1)A　(2)
例4　解析：由，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.　①
(1)直線與雙曲線有兩個公共點，則①式方程有兩個不相等的根．
∴，解得－＜k＜且k≠±1，故k的取值范圍為(－，－1))．
(2)直線與雙曲線只有一個公共點，則①式方程只有一解．
當1－k2＝0即k＝±1時，①式方程只有一解；
當解得k＝±，
故k的值為±1或±.
解析：(3)直線與雙曲線沒有公共點，則①式方程無解．
∴解得k＞或k＜－.
則k的取值范圍為(－∞，－，＋∞)．
鞏固訓練4　解析：聯立方程組
得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，
則
解得－2答案：(－2，－)3．3.1　拋物線的標準方程
最新課程標準
(1)掌握拋物線的定義及其標準方程．
(2)會由拋物線方程求焦點坐標和標準方程．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(F l) ________的點的軌跡叫作拋物線．點F叫作拋物線的________，直線l叫作拋物線的________．
要點二　拋物線的標準方程
圖象
標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
焦點坐標 __________ __________ __________ __________
準線方程 __________ __________ __________ __________
批注 　注意定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．
批注 　焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以寫成y＝ax2，這與以前所學習的二次函數的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦點坐標和準線方程時，必須先將拋物線的方程化成標準形式．
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)標準方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準線的距離．(　　)
(2)平面內到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡是拋物線．(　　)
(3)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．(　　)
(4)焦點在y軸上的拋物線的標準方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2，這與以前學習的二次函數的解析式是一致的．(　　)
2．拋物線y2＝－x的焦點坐標是(　　)
A．(0，－) B．(0，－)
C．(－，0) D．(－，0)
3．拋物線x2＝y的焦點坐標為(　　)
A．(0，) B．(，0)
C．(0，) D．(，0)
4．若點(－1，2)在拋物線x＝ay2上，則該拋物線的準線方程為(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝2
5．焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程為________．
　　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　求拋物線的標準方程
例1　(1)[2022·湖南長郡中學測試]M(4，t)是拋物線y2＝2px上一點，若點M到拋物線的焦點距離為6，則拋物線的準線方程是(　　)
A．x＝－2 B．x＝－1
C．y＝－2 D．y＝－1
(2)頂點在原點，且過點(－4，4)的拋物線的標準方程是(　　)
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
(3)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5的拋物線的標準方程為________．
方法歸納
求拋物線標準方程的2種常用方法
鞏固訓練1　(1)頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程是(　　)
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)頂點在原點，焦點在坐標軸上，以直線y＝－1為準線的拋物線方程是________．
題型2　拋物線定義的應用
例2　(1)[2022·湖南衡陽測試]設點An(n，)(n∈N＋)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，F是焦點，則|A1F|＋|A2F|＋…＋|A20F|＝(　　)
A．214　　 B．215 C．228　　 D．230
(2)已知圓C的方程為x2＋y2－10x＝0，求與y軸相切且與圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程．
方法歸納
靈活運用拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.
鞏固訓練2　(1)[2022·湖南永州測試]已知點A(4，y0)在拋物線C：y2＝8x上，F為拋物線的焦點，則|AF|＝(　　)
A．2　　　B．4 C．6　　　D．8
(2)[2022·湖南益陽測試]拋物線x2＝ay(a＞0)的焦點到準線的距離為，則a的值為________．
題型3　與拋物線有關的最值問題
例3　(1)[2022·湖南常德測試]拋物線y＝上的動點M到兩定點A(0，－1)，B(1，－3)的距離之和的最小值為(　　)
A．4 B．
C． D．
(2)已知定點M(a，0)，試在拋物線y2＝2px(p>0)上求一點N，使得|MN|最小．
方法歸納
解決與拋物線有關的最值問題的2種方法
鞏固訓練3　(1)已知點P在拋物線y2＝16x上，F為焦點，點A(2，1)，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　)
A.3　 　　B．4 C．5　 　　D．6
(2)已知點P為拋物線C：y＝x2上的動點，過點P作圓M：x2＋(y－2)2＝1的一條切線，切點為A，則·的最小值為________．
易錯辨析　　忽略拋物線標準方程的特征致誤
例4　若拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值是________．
解析：把拋物線方程 y＝ax2化為標準方程得x2＝y，所以－＝2，
解得a＝－.
答案：－
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
受二次函數的影響，誤以為y＝ax2就是拋物線的標準方程，從而得到－＝2，即a＝－8的錯誤結論． 根據拋物線方程求準線方程時，應先把拋物線的方程化為標準方程，即等式左端是二次項且系數是1，等式右端是一次項，這樣才能準確寫出拋物線的準線方程．
3．3　拋物線
3．3.1　拋物線的標準方程
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
距離相等　焦點　準線
要點二
F(，0)　F(－，0)　F(0，)　F(0，－)
x＝－　x＝　y＝－　y＝
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：拋物線y2＝－x焦點在x軸負半軸，因為2p＝1，所以＝，所以焦點坐標為(－，0)．
答案：D
3．解析：拋物線x2＝y的焦點在y軸上，2p＝1，p＝，故焦點坐標為(0，)．
答案：A
4．解析：由題意知，－1＝a×22，可得a＝－，
∴拋物線的方程為x＝－y2，即y2＝－4x，故其準線方程為x＝1.
答案：A
5．解析：依題意p＝，2p＝3，
所以拋物線方程為：y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y.
答案：y2＝3x或y2＝－3x或x2＝3y或x2＝－3y
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－，
其上一點M(4，t)到拋物線的焦點距離為6，則|4－(－)|＝6，
解得－＝－2，即拋物線的準線方程為x＝－2.
(2)設拋物線方程為y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故拋物線的標準方程為y2＝－4x或x2＝4y.
(3)已知拋物線的焦點在y軸上，可設方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝±5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y.
答案：(1)A　(2)C　(3)x2＝10y和x2＝－10y
鞏固訓練1　解析：(1)由已知得＝3，p＝6.
∴拋物線的標準方程是x2＝±12y.
(2)由題意，拋物線的頂點在原點，焦點在坐標軸上，且以直線y＝－1為準線，
可得拋物線的開口向上，設其方程為x2＝2py(p＞0)，
則－＝－1，解得p＝2，所以所求拋物線的方程為x2＝4y.
答案：(1)C　(2)x2＝4y
例2　解析：(1)依題意可得n＝2pn，則p＝，根據拋物線的定義，
則|AnF|＝n＋＝n＋，
故|A1F|＋|A2F|＋…＋|A20F|＝1＋2＋…＋20＋×20＝＋5＝215.
(2)設點P的坐標為(x，y)，動圓的半徑為R，
∵動圓P與y軸相切，∴R＝|x|.
∵動圓與定圓C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，
當點P在y軸右側時，x>0，則|PC|＝x＋5，
∴點P的軌跡是以(5，0)為焦點的拋物線，則圓心P的軌跡方程為y2＝20x(x>0)；
當點P在y軸左側時，x<0，則|PC|＝－x＋5，此時點P的軌跡是x軸的負半軸，即方程為y＝0(x<0)．
∴點P的軌跡方程為y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
答案：(1)B　(2)見解析
鞏固訓練2　解析：(1)因為拋物線C：y2＝8x，
所以p＝4，
因為點A(4，y0)在拋物線C：y2＝8x上，
故|AF|＝xA＋＝4＋2＝6，
(2)拋物線x2＝ay(a＞0)的焦點為(0，)，準線方程為：y＝－，
因為拋物線x2＝ay(a＞0)的焦點到準線的距離為，
所以×2＝，
解得a＝5.
答案：(1)C　(2)5
例3　解析：(1)由題可知拋物線方程y＝－x2，即x2＝－4y，所以點A(0，－1)為拋物線的焦點，
如圖
根據拋物線的定義可知：點M到拋物線準線y＝1的距離與到焦點距離相等，
所以|MA|＝|MD|，
則動點M到兩定點A(0，－1)，B(1，－3)的距離之和為|MD|＋|MB|，
當D，A，M三點共線時，距離之和有最小，即為4.
(2)設拋物線y2＝2px(p>0)上一點N(x0，y0)，則有＝2px0，因為x0≥0，且|MN|2＝＝－2ax0＋a2＋2px0＝－(2a－2p)x0＋a2＝[x0－(a－p)]2－p2＋2ap.
①當a>p時，x0＝a－p使|MN|最小，則N(a－p，±)．
②當a≤p時，x0＝0使|MN|最小，則N(0，0)．
答案：(1)A　(2)見解析
鞏固訓練3　解析：
(1)因為拋物線方程y2＝16x，所以其準線方程是x＝－4.過P作PM垂直于準線，垂足為M，則|PF|＝|PM|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.當A，P，M三點共線時，|PA|＋|PM|最小，最小值2－(－4)＝6，故|PA|＋|PF|的最小值為6.
解析：(2)由已知得：·＝||2＝||2－1，
設點P(x，x2)，則||2－1＝x2＋(x2－2)2－1＝x4－3x2＋3＝＋，
當x2＝時，·＝||2－1取得最小值.
答案：(1)D　(2)3．3.2　拋物線的簡單幾何性質
最新課程標準
(1)掌握拋物線的幾何性質．
(2)掌握直線與拋物線的位置關系的判斷及相關問題．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　拋物線的簡單幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
性質 焦點 (，0) (－，0) (0，) (0，－)
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱軸 x軸 y軸
頂點 (0，0)
離心率 e＝1
批注 　橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線，由于拋物線沒有漸近線，所以在畫拋物線時切忌將其畫成雙曲線的一支的形式．
批注 　拋物線、橢圓和雙曲線都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形．
批注 　頂點個數不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點．
　基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)拋物線x2＝2py(p>0)有一條對稱軸為y軸．(　　)
(2)拋物線y＝－x2的準線方程是x＝.(　　)
(3)拋物線是中心對稱圖形．(　　)
(4)拋物線的標準方程雖然各不相同，但是其離心率都相同．(　　)
2．對拋物線y＝x2，下列描述正確的是(　　)
A．開口向上，焦點為(0，2)
B．開口向上，焦點為(0，)
C．開口向右，焦點為(2，0)
D．開口向右，焦點為(，0)
3．頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
4．過點(2，4)的直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有(　　)
A．1條 B．2條
C．3條 D．4條
5．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝4，則|PQ|＝________．
　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　由拋物線的幾何性質求標準方程
例1　已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程．
方法歸納
用待定系數法求拋物線方程的步驟
鞏固訓練1　邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
題型2　直線與拋物線的位置關系
例2　已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C有：
(1)一個公共點；
(2)兩個公共點；
(3)沒有公共點．
方法歸納
判斷直線與拋物線的位置關系通常使用代數法：將直線的方程與拋物線的方程聯立，整理成關于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)當a≠0時，利用判別式解決：
Δ＞0 相交；Δ＝0 相切；Δ＜0 相離．
(2)當a＝0時，方程只有一解x＝－，這時直線與拋物線的對稱軸平行或重合．
鞏固訓練2　過點M(3，2)作直線l與拋物線y2＝8x只有一個交點，這樣的直線共有(　　)
A．0條 B．1條
C．2條 D．3條
題型3　拋物線的焦點弦問題
例3　[2022·湖南平江一中高二期末]已知點P(1，m)是拋物線C：y2＝2px上的點，F為拋物線的焦點，且|PF|＝2，直線l：y＝k(x－1)與拋物線C相交于不同的兩點A，B.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
方法歸納
求直線與拋物線相交弦長的2種方法
鞏固訓練3　(1)過拋物線C：y2＝4x的焦點F作斜率為1的直線l，交拋物線C于A，B兩點，則弦長|AB|＝(　　)
A．3　　　B．8　　　C．9　　　D．12
(2)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(，0)，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝4，則弦AB的中點到y軸的距離為(　　)
A． B．2 C．3 D．4
易錯辨析　忽略直線與拋物線有一個公共點的特殊情況致誤
例4　(多選)過定點P(－1，1)且與拋物線y2＝2x只有一個交點的直線l的方程為(　　)
A．y＝－1
B．y＝1
C．(－1)x－2y＋＋1＝0
D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
解析：(1)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
(2)當直線l的斜率存在時，
①若直線l與拋物線的對稱軸平行，則直線l的方程為y＝1，此時直線l與拋物線只有一個公共點．
②若直線l與拋物線的對稱軸不平行，設直線l的方程為y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0，
由題意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝
故所求直線l的方程為：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0，
綜上所述，所求直線l的方程為y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
答案：BCD
【易錯警示】
出錯原因 糾錯心得
本題易錯的地方是只考慮直線l的斜率k存在且不為0時的情形，而忽略k不存在及直線l平行于拋物線的對稱軸這兩種情形． 在涉及直線與拋物線只有一個交點的問題時，應提防兩處陷阱：一是直線與對稱軸平行時，直線與拋物線只有一個交點，這是由Δ＝0無法得到的(事實上，此時消元后對應的“一元二次”方程的“二次”項系數一定為零)；二是若由Δ＝0僅得到一條直線，則意味著斜率不存在的直線可能與拋物線相切(僅有一個交點)，應檢驗斜率不存在的直線是否滿足條件．
3．3.2　拋物線的簡單幾何性質
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由題知，該拋物線的標準方程為x2＝8y，
則該拋物線開口向上，焦點坐標為(0，2)．
答案：A
3．解析：頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點到準線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因點(2，4)在拋物線y2＝8x上，所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點．
答案：B
5．解析：拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.
根據題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
題型探究·課堂解透
例1　解析：方法一　由拋物線開口方向向下，可設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F(0，－)．
因為M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
所以解得
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
方法二　設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F(0，－)，準線l：y＝，如圖所示，作MN⊥l，垂足為N，則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因為點M在拋物線上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
鞏固訓練1　解析：設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取點A在x軸上方)，
則有＝±a，解得a＝±，
所以拋物線方程為y2＝±x.
答案：C
例2　解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.　(*)
當k＝0時，方程變為－4x＋1＝0，x＝，此時y＝1.
∴直線l與C只有一個公共點(，1)，此時直線l平行于x軸．
當k≠0時，方程(*)是一個一元二次方程，其中
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①當Δ＞0，即k＜1，且k≠0時，l與C有兩個公共點，此時l與C相交；
②當Δ＝0時，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；
③當Δ＜0，即k＞1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離．
綜上所述：(1)當k＝1或k＝0時，直線l與C有一個公共點；
(2)當k＜1，且k≠0時，直線l與C有兩個公共點；
(3)當k＞1時，直線l與C沒有公共點．
鞏固訓練2　解析：經驗證點M(3，2)在拋物線開口內部，結合函數圖象，可知
過點M(3，2)與拋物線只有一個交點的直線只有一條，即過M平行與x軸的直線，即y＝2.
答案：B
例3　解析：(1)拋物線C：y2＝2px的準線為x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以拋物線的方程為y2＝4x.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16＞0.
∴x1＋x2＝，
∵直線l經過拋物線C的焦點F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得：k＝±1，
所以k的值為1或－1.
鞏固訓練3　解析：(1)由題設，F(1，0)，則直線l為y＝x－1，聯立拋物線得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，則|yA－yB |2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，
∴|AB|＝·|yA－yB|＝8.
(2)∵拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(，0)，
所以p＝1，拋物線方程為y2＝2x，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義得，|AB|＝x1＋x2＋p，
所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，
所以弦AB的中點到y軸的距離為d＝＝.
答案：(1)B　(2)A3.4　曲線與方程
最新課程標準
(1)了解曲線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系．
(2)理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念．
(3)掌握求軌跡方程的方法．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　曲線的方程與方程的曲線
一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程 f (x，y) ＝ 0的實數解建立了如下關系：
(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解 ；
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 .
此時，這個方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線．
要點二　坐標法
確定曲線的方程后，通過研究方程的性質從而得到曲線的幾何性質．我們稱這種研究幾何的方法為坐標法．基于坐標法，我們將幾何問題轉化為代數問題來解決，這也是解析幾何的核心思想．
批注 　闡明了曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外(純粹性、不雜)；
批注 　闡明了符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏(完備性、不漏) .
基 礎 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若點P的坐標是方程f(x，y)＝0的解，則點P在方程f(x，y)＝0的曲線上．(　　)
(2)單位圓上的點的坐標是方程x2＋y2＝1的解．(　　)
(3)方程y＝與方程y＝(x>0)是同一條曲線的方程．(　　)
2．方程y＝表示的曲線是(　　)
A．一條直線 B．圓
C．半圓 D．不表示任何圖形
3．已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點M(2，1)(　　)
A．在直線l上，但不在曲線C上
B．在直線l上，也在曲線C上
C．不在直線l上，也不在曲線C上
D．不在直線l上，但在曲線C上
4．到兩坐標軸距離之和為4的點M的軌跡方程為(　　)
A.x＋y＝4 B．x－y＝4
C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4
5．點M到點F(0，－2)的距離比它到直線l：y－3＝0的距離小1，則點M的軌跡方程是________．
　　題型探究·課堂解透——強化創新性
題型1　曲線與方程的概念
例1　命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是(　　)
A．方程f(x，y)＝0的曲線是C
B．方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲線C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上
方法歸納
1．解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的兩個條件是否都滿足，并作出相應的回答即可．
2．判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程．
鞏固訓練1　已知坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么(　　)
A．曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)＝0
B．凡坐標不適合f(x，y)＝0的點都不在曲線C上
C．不在曲線C上的點的坐標必不適合f(x，y)＝0
D．不在曲線C上的點的坐標有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0
題型2　用直接法求曲線方程
例2　已知定點F(1，0)，動點P在y軸上運動，點M在x軸上，且·＝0，延長MP到點N，使得||＝||，求點N的軌跡方程．
方法歸納
用直接法求軌跡方程的一般步驟
鞏固訓練2　已知點C(4，0)，A(－4，0)，若直線PA，PC相交于點P，且它們的斜率之積為，求動點P的軌跡方程并說明軌跡圖形．
題型3　代入法求軌跡方程
例3　已知三角形ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，若頂點C在拋物線y2＝6x上移動，求三角形ABC的重心的軌跡方程．
方法歸納
用代入法求軌跡方程的一般步驟
鞏固訓練3　已知DP⊥x軸，垂足為D，點M在DP的延長線上，且＝，當點P在圓x2＋y2＝4上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．
3．3.2　拋物線的簡單幾何性質
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由題知，該拋物線的標準方程為x2＝8y，
則該拋物線開口向上，焦點坐標為(0，2)．
答案：A
3．解析：頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點到準線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因點(2，4)在拋物線y2＝8x上，所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點．
答案：B
5．解析：拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.
根據題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
題型探究·課堂解透
例1　解析：方法一　由拋物線開口方向向下，可設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F(0，－)．
因為M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
所以解得
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
方法二　設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點為F(0，－)，準線l：y＝，如圖所示，作MN⊥l，垂足為N，則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因為點M在拋物線上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2，準線方程為y＝2.
鞏固訓練1　解析：設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取點A在x軸上方)，
則有＝±a，解得a＝±，
所以拋物線方程為y2＝±x.
答案：C
例2　解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.　(*)
當k＝0時，方程變為－4x＋1＝0，x＝，此時y＝1.
∴直線l與C只有一個公共點(，1)，此時直線l平行于x軸．
當k≠0時，方程(*)是一個一元二次方程，其中
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①當Δ＞0，即k＜1，且k≠0時，l與C有兩個公共點，此時l與C相交；
②當Δ＝0時，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；
③當Δ＜0，即k＞1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離．
綜上所述：(1)當k＝1或k＝0時，直線l與C有一個公共點；
(2)當k＜1，且k≠0時，直線l與C有兩個公共點；
(3)當k＞1時，直線l與C沒有公共點．
鞏固訓練2　解析：經驗證點M(3，2)在拋物線開口內部，結合函數圖象，可知
過點M(3，2)與拋物線只有一個交點的直線只有一條，即過M平行與x軸的直線，即y＝2.
答案：B
例3　解析：(1)拋物線C：y2＝2px的準線為x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以拋物線的方程為y2＝4x.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16＞0.
∴x1＋x2＝，
∵直線l經過拋物線C的焦點F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得：k＝±1，
所以k的值為1或－1.
鞏固訓練3　解析：(1)由題設，F(1，0)，則直線l為y＝x－1，聯立拋物線得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，則|yA－yB |2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，
∴|AB|＝·|yA－yB|＝8.
(2)∵拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(，0)，
所以p＝1，拋物線方程為y2＝2x，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義得，|AB|＝x1＋x2＋p，
所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，
所以弦AB的中點到y軸的距離為d＝＝.
答案：(1)B　(2)A
3．4　曲線與方程
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：方程兩邊平方得方程x2＋y2＝9(y≥0)．
答案：C
3．解析：將點M的坐標代入直線l、曲線C的方程知點M在直線l上，也在曲線C上．
答案：B
4．解析：點M(x，y)到兩坐標軸的距離分別為|x|和|y|，|x|＋|y|＝4.
答案：D
5．解析：設M(x，y)，
∵點M到點F(0，－2)的距離比它到直線l：y－3＝0的距離小1，
∴＝|y－3|－1，
根據平面幾何知識得：y＜3，原方程化為＝2－y，
兩邊平方，得x2＋(y＋2)2＝(2－y)2，整理得x2＝－8y，
即點M的軌跡方程是x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
題型探究·課堂解透
例1　解析：根據方程的曲線和曲線的方程的定義知A、C、D錯，如曲線y＝表示的半圓的點的坐標都是方程x2＋y2＝1的解．
答案：B
鞏固訓練1　解析：根據曲線的方程的定義知選C.
答案：C
例2　解析：由||＝||，則P為MN的中點，設N(x，y)，則M(－x，0)，P(0，)，
由·＝0，得(－x，－)·(1，－)＝0，
所以(－x)·1＋(－)·(－)＝0，則y2＝4x，
即點N的軌跡方程是y2＝4x.
鞏固訓練2　解析：設P(x，y)，由題意得，＝(x≠±4)，
化簡得，P的軌跡方程為＝1(x≠±4)，所以P的軌跡是除去(－4，0)，(4，0)兩點的雙曲線．
例3　解析：設△ABC的重心G(x，y)，點C(x′，y′)，
則有，即，
因為點C在曲線上y2＝6x上，
所以有(3y)2＝6×3x，即y2＝2x，
因為三角形的三個頂點不能共線，所以y≠0，
所以△ABC的重心的軌跡方程為：y2＝2x(y≠0)．
鞏固訓練3　解析：設M(x，y)．
由＝得P(x，)．
又∵點P在圓x2＋y2＝4上，∴x2＋()2＝4.
設D坐標為(x，0)，當x＝±2時，P點和D點坐標相同，即兩點重合，
此時約束條件中DP垂直于x軸，沒有意義，∴x≠±2，
∴M的軌跡方程是＝1(x≠±2)．
所以點M的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(去掉短軸頂點)．3.5　圓錐曲線的應用
最新課程標準
(1)了解圓錐曲線的光學性質．
(2)通過圓錐曲線在現實生活中的應用，培養解決應用問題的能力．
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　天體運動的軌道
牛頓根據開普勒定律得出了萬有引力定律，人們按照萬有引力定律可以推出，太陽系的行星每時每刻都環繞太陽在________軌道上運行，而某些天體的運行速度若增大到某種程度，它就會沿________或________運行．
要點二　斜拋物體的軌跡
運動場上推出的鉛球、投出的籃球，都是斜拋物體，它們的運動軌跡近似于拋物線．噴水池里噴出的水柱中的每一部分水也可以看作斜拋物體，水柱的形狀也接近于拋物線．
要點三　圓錐曲線的光學性質及其應用
(1)橢圓的光學性質：從橢圓一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．
橢圓的這種光學特性，常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置．例如在F1處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對F2處的物體加熱．
(2)雙曲線的光學性質：從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．
雙曲線的這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用．
(3)拋物線的光學性質：從拋物線的焦點發出的光，經過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸．
拋物線的這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發射裝置的最佳選擇，例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點處，經鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向．衛星通信像碗一樣接收或發射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉得到的，把接收器置于其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準衛星，這樣可以把衛星發射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中得到接收器上，保證接收效果；反之，把發射裝置安裝在焦點，把對稱軸跟蹤對準衛星，則可以使發射的電磁波訊號射線能平行地到達衛星的接收裝置，同樣保證接收效果．最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的．
　基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)汽車大燈的反射鏡面是雙曲線．(　　)
(2)電影放映機的反光鏡鏡面是橢圓. (　　)
(3)天文望遠鏡：哈勃望遠鏡鏡面是拋物線．(　　)
(4)中國天眼：世界最大的單口徑射電望遠鏡鏡面是拋物線．(　　)
2．在相距1 400 m的A，B兩哨所，哨兵聽到炮彈爆炸聲的時間相差3 s，已知聲速是340 m/s，則炮彈爆炸點所在的曲線是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的一支 D．拋物線
3．如圖，“天宮三號”的運行軌道是以地心(地球的中心)F為其中一個焦點的橢圓．已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面m千米，遠地點B(離地面最遠的距離)距離地面n千米，并且F，A，B在同一條直線上，地球的半徑為R千米，則“天宮三號”運行的軌道的短軸長為(　　)千米
A．2mn B．
C．mn D．2
4．根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發出的光線經該拋物線反射后與對稱軸平行．如下圖所示，沿直線y＝－2發出的光線經拋物線y2＝2px(p>0)反射后，與x軸相交于點A(2，0)，則該拋物線的焦點到準線的距離為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性
　
題型1　橢圓在實際中的應用
例1　有一幅橢圓形彗星軌道圖，長4 cm，高2cm.如圖所示，已知O為橢圓中心，A1，A2是橢圓長軸的兩端點，太陽位于橢圓的左焦點F處．試建立恰當的坐標系，求出橢圓方程，并求當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離．
方法歸納
在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個焦點，該橢圓的兩個端點，一個是近地點，另一個是遠地點，這兩點到恒星的距離一個是a－c，另一個是a＋c.
鞏固訓練1　如圖，“神州十三號”載人飛船的運行軌道是以地球的中心(簡稱“地心”)為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為e.設地球半徑為r，該飛船遠地點離地面的距離為R，則該衛星近地點離地面的距離為________．
題型2　雙曲線在實際中的應用
例2　雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點F2發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點F1. 我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質．某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為＝1(a>0，b>0)，F1，F2為其左、右焦點，若從右焦點F2發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后，滿足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝－，則該雙曲線的離心率為(　　)
A．　　　B．C．　　　D．
方法歸納
將實際問題轉化為雙曲線問題，結合雙曲線的定義與性質解決問題．
鞏固訓練2　(多選)如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的右支與直線x＝0，y＝4，y＝－2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，則下列曲線中與雙曲線C不是共漸近線的有(　　)
A．－x2＝1 B．＝1
C．－x2＝1 D．＝1
題型3　拋物線在實際中的應用
例3　某河道上有一拋物線型拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面9 m，拱圈內水面寬30 m，一條船在水面以上部分高7 m，船頂部寬6 m.
(1)試建立適當的直角坐標系，求拱橋所在的拋物線的標準方程；
(2)近日由于水位暴漲了2.46 m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞，試問：船身至少應該降低多少？(精確到0.1 m)
方法歸納
將實際問題轉化為拋物線問題，結合拋物線的定義、方程與性質解決問題．
鞏固訓練3　一種衛星接收天線如圖(1)所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點F處，如圖(2)所示．已知接收天線的口徑AB為4.8 m，深度為1 m．若P為接收天線上一點，則點P與焦點F的最短距離為(　　)
A．0.72 mB．1.44 m
C．2.44 mD．2.88 m
3．5　圓錐曲線的應用
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
橢圓　拋物線　雙曲線
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：設點M是炮彈爆炸點所在的曲線上任意一點，
則＝3×340＝1 020<1 400，所以炮彈爆炸點所在的曲線是雙曲線．
答案：B
3．解析：由題設條件可得＝n＋R，＝R＋m，
設橢圓的半長軸長為a，半焦距為c，則a＋c＝n＋R，a－c＝R＋m，
故短半軸長為b＝＝，
所以短軸長為2.
答案：D
4．解析：依題意，A(2，0)為該拋物線的焦點，則＝2，得p＝4.
∴該拋物線的焦點到準線的距離為4.
答案：4
題型探究·課堂解透
例1　
解析：建立如圖所示的坐標系，設橢圓方程為＝1(a>b>0)．
依題意有2a＝4，2b＝2，
所以a＝2，b＝，c＝1，
故橢圓方程為＝1，F為(－1，0)，
將x＝－1代入橢圓方程得y＝±，
即彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離為1.5 cm.
鞏固訓練1　解析：由題設，若橢圓軌道對應方程為＝1且a>b>0，
橢圓的幾何性質知，則，
又近地點離地面的距離為a－c－r＝－r＝.
答案：
例2　解析：易知F1，A，D共線，F1，B，C共線，如圖，
設＝m，＝n，則m－n＝2a，
由tan ∠ABC＝－得＝，
又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，
所以tan ∠ABF1＝＝＝m，
所以＝＝m－n，
所以＝2a＋＝2a＋m－n＝4a＋m，
由2＋2＝2得m2＋2＝2，
因為m>0，故解得m＝3a，
則n＝3a－2a＝a，
在△AF1F2中，m2＋n2＝(2c)2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝＝.
答案：C
鞏固訓練2　解析：依題意可知M(，4)，N(，－2)，
將M、N的坐標分別代入＝1，
得，解得a2＝3，b2＝9，
所以雙曲線C的方程為＝1，其漸近線為y＝±x，
對于A，－x2＝1，其漸近線為y＝±x，不符合題意，
對于B，＝1，其漸近線為y＝±x，符合題意，
對于C，－x2＝1，其漸近線為y＝±2x，符合題意，
對于D，＝1，其漸近線為y＝±x，符合題意．
答案：BCD
例3　解析：(1)設拋物線型拱橋與水面兩交點分別為A，B，
以AB垂直平分線為y軸，拱圈最高點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，
則A(－15，－9)，B(15，－9)，
設拱橋所在的拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，
因點A(－15，－9)在拋物線上，代入解得2p＝25，
故拱橋所在的拋物線方程是x2＝－25y；
解析：(2)因x2＝－25y，故當x＝3時，y＝－0.36，
故當水位暴漲2.46 m后，船身至少應降低7＋2.46－(9－0.36)＝0.82，
因精確到0.1 m，
故船身應降低0.9 m，才能安全通過橋洞．
鞏固訓練3　解析：在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標系，使接收天線的頂點與原點重合，
焦點在x軸上，如圖所示
設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由題知點A(1，2.4)在拋物線方程上，
所以2.42＝2p，解得p＝2.88.
則點P與焦點F的最短距離為＝1.44.
答案：B章末復習課
知識網絡·形成體系
本章自我梳理：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考點聚焦·分類突破
考點一　圓錐曲線的定義與標準方程
(1)解決這類問題的關鍵是準確把握圓錐曲線的定義和標準方程．
(2)通過對圓錐曲線的定義與標準方程的學習，提升學生的直觀想象、數學運算素養．
例1　(1)[2022·湖南武岡二中測試]F1、F2分別是雙曲線＝1的左、右焦點，過F1的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A、B兩點，若AF2⊥BF2，＝，則＝(　　)
A．2　　 　B．2　 　C．4　 　　D．4
(2)設F1，F2是橢圓＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為(　　)
A．2B．4C．4 D．6
(3)[2022·湖南永州測試]已知F是拋物線y2＝4x的焦點，若A，B是該拋物線上的兩點，且＝6，則線段AB的中點到直線x＝－的距離為(　　)
A．2 B．C．3 D．
考點二　圓錐曲線的幾何性質
(1)分析圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關系是求解圓錐曲線性質問題的關鍵．
(2)通過對圓錐曲線幾何性質的學習，提升學生的邏輯推理、數學運算素養．
例2　(1)[2022·湖南長郡中學月考]已知雙曲線C：＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與圓x2＋(y－2)2＝4相交于A，B兩點，若＝2，則C的離心率為(　　)
A．B．C．2 D．4
(2)[2022·湖南岳陽一中測試]已知橢圓M的左、右焦點分別為F1，F2，若橢圓M與坐標軸分別交于A，B，C，D四點，且從F1，F2，A，B，C，D這六點中，可以找到三點構成一個直角三角形，則橢圓M的離心率的可能取值為(　　)
A．B．C．D．
(3)一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝ax上，另一個頂點是坐標原點，如果這個三角形的面積為36，那么a＝________．
考點三　直線與圓錐曲線的綜合問題
角度1　定點問題
(1)求解直線和曲線過定點問題的基本解題模板是：把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對變量的任意一個值都成立，這時變量的系數就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．
(2)通過對圓錐曲線中的定點問題的學習，提升學生的數學建模、邏輯推理、數學運算素養．
例3　已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，A(2，y0)是E上一點，且|AF|＝2.
(1)求E的方程；
(2)設點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線y＝x－3交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M，證明：直線BM過定點．
角度2　定值問題
(1)解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或某些代數表達式的值和題目中的變量無關，始終是一個確定的值，對于定值問題常見的解題模板有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
②可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再研究一般情況．同時，要掌握巧妙利用特殊值解決相關的定點、定值問題的方法，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來研究等．
(2)通過對圓錐曲線中的定值問題的學習，提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算素養．
例4　[2022·湖南名校聯考測試]設點P為雙曲線E：＝1(a>0，b>0)上任意一點，雙曲線E的離心率為，右焦點與橢圓G：＝1(t>0)的右焦點重合．
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)過點P作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點A，B，求證：平行四邊形OAPB的面積為定值，并求出此定值．
角度3　最值問題
(1)構建關于變量的目標函數，轉化為求函數的值域或最值，常利用二次函數的相關知識或基本不等式求解．面積、弦長、含變量的代數式的最值問題，常選用此法，解決問題時要注意自變量的取值范圍．
(2)通過對圓錐曲線中的最小問題的學習，提升學生的數學建模、邏輯推理、數學運算素養．
例5　[2022·湖南師大附中測試]設橢圓M：＝1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數，且橢圓的長軸長為4.
(1)求橢圓M的標準方程；
(2)若直線y＝x＋m交橢圓M于A，B兩點，P(1，t)(t>0)為橢圓M上一點，求△PAB面積的最大值．
章末復習課
考點聚焦·分類突破
例1　解析：(1)由雙曲線的定義可得，＝2a，＝2a，
因為＝，所以＝2a，
所以＝4a，即＝4a，
因為AF2⊥BF2，
所以2＋2＝2，所以22＝2＝16a2，
由＝1，得a2＝2，
所以22＝2＝16a2＝32，得＝4，
(2)易知a2＝，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝，a＝，即c＝，
由橢圓的定義，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因為|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又＝2c＝5，
所以△PF1F2為直角三角形，所以＝×3×4＝6.
(3)∵F是拋物線y2＝4x的焦點，F(1，0)，準線方程x＝－1，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)
∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6，即x1＋x2＝4，
∴線段AB的中點橫坐標為(x1＋x2)＝2，
∴線段AB的中點到直線x＝－的距離為2＋＝.
答案：(1)C　(2)D　(3)B
例2　解析：(1)設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
又由已知圓的方程可得圓心為M(0，2)，半徑r＝2，
設圓心M到漸近線的距離為d，則|AB|＝2＝2＝2，
所以d＝＝，即1＝，所以e＝2.
(2)結合橢圓的對稱性，只需要考慮三種情況：
圖1
圖2
圖3
第一種，如圖1，若以D，C，F2作為直角三角形的三個頂點，則DC⊥CF2，
由勾股定理可得：(a2＋b2)＋a2＝(a＋c)2，將b2＝a2－c2代入可得c2＋ac－a2＝0，
所以e2＋e－1＝0，因為0第二種，如圖2，若以C，F1，F2作為直角三角形的三個頂點，則CF1⊥CF2，
所以∠OCF2＝45°，則e＝＝，
第三種，如圖3，若以C，A，F2作為直角三角形的三個頂點，則CF2⊥AF2，
所以∠CF2O＝45°，e＝＝，
綜上所述：橢圓M的離心率的可能取值為或，
故選項A正確．
解析：(3)由題意可得，正三角形的另外兩個頂點關于x軸對稱，
設其它兩個頂點的坐標分別為，
把頂點代入拋物線方程可得t2＝ta，解得a＝t，
正三角形的邊長為t，
故這個正三角形的面積＝36，
解得t＝±6，a＝±2.
答案：(1)C　(2)A　(3)±2
例3　解析：(1)根據題意知，4＝2py0，　①
因為|AF|＝2，所以y0＋＝2.　②
聯立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程為x2＝4y.
(2)證明：設B(x1，y1)，M(x2，y2)
由題意，可設直線BM的方程為y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.
由根與系數的關系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.　③
由MP⊥x軸及點P在直線y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，
則由A，P，B三點共線，得＝，
整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.
將③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.
由點B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直線BM恒過定點(2，3)．
例4　解析：(1)
則a＝1，b＝，c＝.
所以雙曲線E的標準方程為x2－＝1.
(2)設P點坐標為(x0，y0)，過P與漸近線平行的直線分別為l1，l2，
方程分別為y－y0＝(x－x0)，y－y0＝－(x－x0)，
聯立方程，得，
同理可得得，
又漸近線方程為y＝±x，則sin ∠AOB＝，
|OA|2|OB|2sin 2·＝，
又點P在雙曲線上，則＝2，
所以＝，即平行四邊形OAPB的面積為定值，且此定值為.
例5　解析：(1)雙曲線的離心率為，
則橢圓的離心率為e＝＝，2a＝4，
由 ，故橢圓M的方程為＝1.
解析：(2)由，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，得－2＜m＜2，
∵x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，
因為P(1，t)(t>0)為橢圓M上一點，所以P(1，)，
又P到AB的距離為d＝.
則S△PAB＝|AB|d＝··＝＝·＝，
當且僅當m＝±2∈(－2，2)時取等號，
∴(S△PAB)max＝.

展開更多......

收起↑