資源簡介

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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題三十 期末綜合測評（二）
時間120分鐘 滿分120分
一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，則△ABC是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
2．如圖，∠1是在五邊形ABCDE的一個外角，若∠1＝40°，則∠A+∠B+∠C+∠D的度數是（　　）
A．300° B．400° C．500° D．540°
3．如果把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（　　）
A．擴大3倍 B．擴大9倍 C．縮小3倍 D．不變
﹣1
4．用科學記數法表示0.000059，正確的是（　　）
A．5.9×10﹣5 B．5.9×10﹣4 C．0.59×10﹣3 D．0.59×10﹣4
5．已知圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
6．已知2a＝5，4b＝7，則2a+2b的值是（　　）
A．35 B．19 C．12 D．10
7．如圖，根據計算長方形ABCD的面積，可以說明下列哪個等式成立（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
8．如圖，有甲、乙、丙三種紙片各若干張，其中甲、乙分別是邊長為a（cm）、b（cm）的正方形，丙是長為b（cm），寬為a（cm）的長方形．若同時用甲、乙、丙紙片分別為4張、1張、4張拼成正方形，則拼成的正方形的邊長為（　　）
A．（a+2b）cm B．（2a+b）cm C．（a﹣2b）cm D．（2a﹣b）cm
9．如圖，已知：AC＝BC，DC＝EC，，∠EBD＝38°，現有下列結論：①△BDC≌△AEC；②；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．如圖，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面積是20，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11．一個單項式與3x2y3的積為12x6y5，這個單項式是 　 　．
12．已知﹣＝，則的值為 　 　．
13．若x2y+xy2＝30，xy＝6，則x﹣y的值為 　 　．
14．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為 　 　．
15若++＝1，則abc＝　 　．
三．解答題（共8小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y．
（2）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m．
17．（8分）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
18．（8分）化簡并求值：
（1）化簡：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
19．（8分）如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，點F是BC延長線上一點，連接
DF，交AC于點E，連接BE，∠A＝∠ABE
（1）求證：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度數．
20．（8分）將兩數和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，通過適當的變形，可以解決很多數學問題．
例如：若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11．
請根據上面的解題思路和方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝10，x2+y2＝56，求xy的值；
（2）將邊長為x的正方形ABCD和邊長為y的正方形CEFG按如圖所示放置，其中點D在邊CE上，連接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求陰影部分的面積．
21．（10分）某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用30天時間完成整個工程．當一號施工隊工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前8天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程．
（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？
（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？
22．（10分）我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數都為一次的分式變形，轉化為整數與新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
＝＝1+，＝＝2﹣．
參考上面的方法，解決下列問題：
（1）將變形為滿足以上結果要求的形式：＝　 　；
（2）①將變形為滿足以上結果要求的形式：＝　 　；
②若為正整數，且a也為正整數，求a的值．
23．（13分）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，FD之間的數量關系：　 　；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；
（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD所在直線上的點，且∠EAF＝∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，FD之間的數量關系：　 　．
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題三十 期末綜合測評（二）（解析版）
時間120分鐘 滿分120分
一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，則△ABC是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【分析】利用三角形內角和定理求出第三個角的度數再判斷．
【解答】解：在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，
∴∠C＝180﹣28﹣62＝90°，
∴三角形是直角三角形，
故選：B．
【點評】本題考查了三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握三角形的內角和定理．
2．如圖，∠1是在五邊形ABCDE的一個外角，若∠1＝40°，則∠A+∠B+∠C+∠D的度數是（　　）
A．300° B．400° C．500° D．540°
【分析】根據多邊形內角與外角的關系，由∠1＝50°，得∠AED＝180°﹣∠1＝140°．再根據多邊形的內角和，得∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×3﹣∠AED＝540°﹣130°＝400°．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠1＝140°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×3﹣∠AED＝540°﹣140°＝400°．
故選：B．
【點評】本題主要考查多邊形的外角與內角，熟練掌握多邊形的內角和、多邊形外角與內角的關系是解決本題的關鍵．
3．如果把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（　　）
A．擴大3倍 B．擴大9倍 C．縮小3倍 D．不變
【分析】根據分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變，可得答案．
【解答】解：＝＝．
故選：D．
【點評】本題考查了分式的性質，分式的分子分母都乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．
4．用科學記數法表示0.000059，正確的是（　　）
A．5.9×10﹣5 B．5.9×10﹣4 C．0.59×10﹣3 D．0.59×10﹣4
【考點】科學記數法—表示較小的數．版權所有
【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數n由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解答】解：0.000059＝5.9×10﹣5，
故選：A．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
5．已知圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【考點】全等三角形的性質．版權所有
【分析】直接利用全等三角形的性質得出對應角進而得出答案．
【解答】解：∵圖中的兩個三角形全等，
∴∠α＝50°．
故選：D．
【點評】本題主要考查了全等三角形的性質，正確找出對應角是解題關鍵．
6．已知2a＝5，4b＝7，則2a+2b的值是（　　）
A．35 B．19 C．12 D．10
【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法．版權所有
【分析】利用冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法法則進行計算，即可解答．
【解答】解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a 22b
＝2a （22）b
＝2a 4b
＝5×7
＝35，
故選：A．
【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵．
7．如圖，根據計算長方形ABCD的面積，可以說明下列哪個等式成立（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【考點】完全平方公式的幾何背景；單項式乘多項式．版權所有
【分析】長方形ABCD的面積可以表示為a（a+b），也可表示為兩個長方形的面積和，即a2+ab，所以a（a+b）＝a2+ab
【解答】解：∵長方形ABCD面積＝兩個小長方形面積的和，
∴可得a（a+b）＝a2+ab
故選：D．
【點評】此題應用面積法，通過大長方形的面積等于兩個小長方形面積的和得出等式．
8．如圖，有甲、乙、丙三種紙片各若干張，其中甲、乙分別是邊長為a（cm）、b（cm）的正方形，丙是長為b（cm），寬為a（cm）的長方形．若同時用甲、乙、丙紙片分別為4張、1張、4張拼成正方形，則拼成的正方形的邊長為（　　）
A．（a+2b）cm B．（2a+b）cm C．（a﹣2b）cm D．（2a﹣b）cm
【考點】完全平方式．版權所有
【分析】先求出拼成的正方形的面積，從而得到拼成的正方形的邊長．
【解答】解：拼成的正方形的面積＝4a2+b2+4ab
＝（2a+b）2（cm2），
拼成的正方形的邊長＝（2a+b）（cm）．
故選：B．
【點評】本題考查了完全平方式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關鍵．
9．如圖，已知：AC＝BC，DC＝EC，，∠EBD＝38°，現有下列結論：①△BDC≌△AEC；②；③BD＝AE；④AE⊥BD．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】全等三角形的判定．版權所有
【分析】根據全等三角形的判定和性質解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∴△BDC≌△AEC（SAS），故①正確；
∴∠DBC＝∠EAC，BD＝AE，故③正確；
∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝38°，
∴∠EAC+∠EBC＝38°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣52°＝128°，故②正確；
∵∠3＝∠4，
∴∠BFE＝∠ACB＝90°，
∴AE⊥BD，故④正確；
故選：D．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，找三角形全等應有規律的去找，先找單個的全等三角形，再找由2部分或2部分以上組成全等的三角形．
10．如圖，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面積是20，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考點】軸對稱﹣最短路線問題；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．版權所有
【分析】連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結論．
【解答】解：連接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點C關于直線EF的對稱點為點A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的長為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．
故選：D．
【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．
二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）
11．一個單項式與3x2y3的積為12x6y5，這個單項式是 　4x4y2　．
【考點】整式的除法．版權所有
【分析】先根據題意列出式子12x6y5÷3x2y3，然后根據單項式除以單項式的法則計算即可．
【解答】解：由題意得，12x6y5÷3x2y3＝4x4y2，
即這個單項式為4x4y2，
故答案為：4x4y2．
【點評】本題考查了單項式除以單項式，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．
12．已知﹣＝，則的值為 　﹣　．
【考點】分式的加減法；分式的值．版權所有
【分析】根據﹣＝求出b﹣3a＝2ab，3a﹣b＝﹣2ab，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵﹣＝，
∴b﹣3a＝2ab，
∴3a﹣b＝﹣2ab，
∴
＝
＝
＝﹣．
故答案為：﹣．
【點評】本題考查了分式的加減和分式的值，能求出b﹣3a＝2ab和3a﹣b＝﹣2ab是解此題的關鍵．
13．若x2y+xy2＝30，xy＝6，則x﹣y的值為 　1或﹣1　．
【考點】因式分解﹣提公因式法；代數式求值．版權所有
【分析】直接利用已知得出x2+y2的值，再利用完全平方公式將原式變形，進而得出答案．
【解答】解：∵x2y+xy2＝30，
∴xy（x+y）＝30，
∵xy＝6，
∴x+y＝5，
∴（x+y）2＝25，
∴x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×6＝13，
∴x2+y2﹣2xy＝13﹣12＝1，
∴（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y的值為1或﹣1．
故答案為：1或﹣1．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及代數式求值，正確利用完全平方公式計算是解題關鍵．
14．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為 　4　．
【考點】含30度角的直角三角形．版權所有
【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根據平行線的性質求出∠F＝∠BAE＝30°，從而得到∠DAE＝∠F，根據等角對等邊求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分線，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∴DF＝4，
故答案為：4．
【點評】本題考查的是直角三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，掌握直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質是解題的關鍵．
15．若++＝1，則abc＝　1　．
【分析】設abc＝k再設ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w根據已知條件，++＝1，通過化簡即可得到結果．
【解答】解：設abc＝k
再設ab+a+1＝u，bc+b+1＝v，ac+c+1＝w
以上三式兩邊分別乘以c，a，b可得：
abc+ca+c＝cu，代入abc＝k并根據ac+c+1＝w得到：k﹣1+w＝cu①，
abc+ab+a＝av，代入abc＝k并根據ab+a+1＝u得到：k﹣1+u＝av②，
abc+bc+b＝bw，代入abc＝k并根據bc+b+1＝v得到：k﹣1+v＝bw③，
根據已知條件，++＝1，
兩邊同乘以uvw，得到avw+buw+cuv＝uvw，
下面把①式兩邊乘以v，②式兩邊乘以w，③式兩邊乘以u，三式相加得到
（k﹣1）（u+v+w）+uv+vw+uw＝avw+buw+cuv＝uvw④
①②③三式相乘，可得：（k﹣1+u）（k﹣1+v）（k﹣1+w）＝abcuvw＝kuvw，
等號左邊把（k﹣1）看作一項展開，把右邊的kuvw移到左邊，就有：
（k﹣1）3+（u+v+w）（k﹣1）2+（uv+vw+uw）（k﹣1）﹣uvw（k﹣1）＝0
（k﹣1）[（k﹣1）2+（u+v+w）（k﹣1）+（uv+vw+uw）﹣uvw]＝0⑤，
把④代入⑤化簡為：（k﹣1）3＝0，
所以k＝1，
即abc＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查了分式的加減法，正確的化簡是解題的關鍵．
三．解答題（共8小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y．
（2）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m．
【考點】整式的除法；因式分解﹣十字相乘法等；平方差公式．版權所有
【分析】（1）先整理括號內的項，再進行多項式除單項式的運算即可；
（2）多項式乘多項式后合并同類項得平方差公式模型，進行分解即可．
【解答】解：（1）計算：[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y
＝（x2﹣9y2﹣x2）÷9y
＝﹣9y2÷9y
＝﹣y．
（2）因式分解：（m﹣4）（m+1）+3m
＝m2﹣3m﹣4+3m
＝m2﹣4
＝（m+2）（m﹣2）．
【點評】本題考查了整式的混合運算和因式分解，整理合并多項式是基礎，需要熟練靈活．
17．（8分）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求證：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
【考點】全等三角形的判定與性質．版權所有
【分析】（1）根據線段的和差證出BC＝EF，由SSS即可得出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性質得到∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，根據平行線的判定與性質即可得解．
【解答】（1）證明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°，
∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A＝45°．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，由SSS得出△ABC≌△DEF是解題的關鍵．
18．（8分）化簡并求值：
（1）化簡：；
（2）先化簡，再求值：，其中．
【考點】分式的化簡求值．版權所有
【分析】（1）先把分式轉化為乘法，再約分即可；
（2）先計算括號內的分式的加減運算，再約分得到化簡的結果，再把代入化簡后的代數式進行計算即可．
【解答】（1）解：
＝
＝a；
（2）解：
＝
＝
＝﹣2m﹣6；
當時，
原式＝．
【點評】本題考查的是分式的除法運算，分式的化簡求值，掌握“分式的混合運算的運算順序”是解本題的關鍵．
19．（8分）如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，點F是BC延長線上一點，連接
DF，交AC于點E，連接BE，∠A＝∠ABE
（1）求證：ED平分∠AEB；
（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度數．
【考點】等腰三角形的判定與性質；三角形的外角性質．版權所有
【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一即可解決問題．
（2）根據等腰三角形的性質求出∠ABE，證明∠BDF＝90°．
【解答】（1）證明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DE是∠AEB的平分線．
（2）解：∵∠A＝38°，
∴∠ABE＝∠A＝38°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝71°，
∵EA＝EB，AD＝DB，
∴ED⊥AB，
∠F＝90°﹣∠ABC＝19°．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的判定、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，掌握到線段的兩個端點的距離相等的點在垂直平分線上是解題的關鍵．
20．（8分）將兩數和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，通過適當的變形，可以解決很多數學問題．
例如：若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11．
請根據上面的解題思路和方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝10，x2+y2＝56，求xy的值；
（2）將邊長為x的正方形ABCD和邊長為y的正方形CEFG按如圖所示放置，其中點D在邊CE上，連接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求陰影部分的面積．
【考點】完全平方公式的幾何背景．版權所有
【分析】（1）x+y＝10兩邊平方，可得x2+2xy+y2＝100，將已知代入求解即可；
（2）運用割補法，陰影部分的面積為：S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG，根據面積公式結合題意化簡整理得，將已知代入計算即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝10，
∴（x+y）2＝100，
∴x2+2xy+y2＝100，
∵x2+y2＝56，
∴；
（2）陰影部分的面積為：S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG
＝
＝＝
＝
＝，
∵x+y＝8，xy＝14，
∴．
【點評】本題考查了整式的運算；掌握完全平方公式和整式的運算法則是解題的關鍵．
21．（10分）某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用30天時間完成整個工程．當一號施工隊工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前8天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程．
（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？
（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？
【考點】分式方程的應用．版權所有
【分析】（1）設二號施工隊單獨施工需要x天，根據題意列方程即可得到結論；
（2）根據題意列式計算即可．
【解答】解：（1）設二號施工隊單獨施工需要x天，
根據題意得：，
解得：x＝45，
經檢驗，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天．
（2）根據題意得：（天），
答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天．
【點評】本題考查了分式方程的應用，正確的理解題意是解題的關鍵．
22．（10分）我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數都為一次的分式變形，轉化為整數與新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
＝＝1+，＝＝2﹣．
參考上面的方法，解決下列問題：
（1）將變形為滿足以上結果要求的形式：＝　1﹣　；
（2）①將變形為滿足以上結果要求的形式：＝　3+　；
②若為正整數，且a也為正整數，求a的值．
【考點】分式的加減法；分式的基本性質．版權所有
【分析】（1）按照范例進行分解即可；
（2）①按照范例的要求分解即可；②根據正整數的條件進行解答即可．
【解答】解：（1）；
故答案為：1﹣；
（2）①＝＝3+，
故答案為：3+，
②若為正整數，且a也為正整數，
則有3+為正整數，
∴a﹣1＝5或a﹣1＝1，
∴a＝6或2．
故答案為：6或2．
【點評】本題考查了分式的加減法，熟練掌握分式的加減運算法則是解答本題的關鍵．
23．（13分）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，FD之間的數量關系：　EF＝BE+FD　；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；
（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD所在直線上的點，且∠EAF＝∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，FD之間的數量關系：　EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE　．
【分析】（1）如圖1，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解題；
（2）如圖2，同理可得：EF＝BE+DF；
（3）如圖3，作輔助線，構建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結論：EF＝BE﹣DF．
【解答】解：（1）如圖1，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易證△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的結論EF＝BE+FD仍然成立．
理由是：如圖2，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（3）當（1）結論EF＝BE+FD成立，
當圖三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
同理可得：∴EG＝EF
∵EG＝BG﹣BE
∴EF＝FD﹣BE．
故答案為：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．
【點評】本題是三角形的綜合題，利用全等三角形的判定與性質得出AF＝AG是解題關鍵，再利用全等三角形的判定與性質得出EF＝EG，本題的4個問題運用了類比的方法依次解決問題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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