資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十四 一元一次方程的應用（三）
類型十一、方案選擇問題
一個數學問題有多種解決方案，利用方程找出兩種方案相等時的結果，由相等時的值從而確定最優方案。
【例11-1】 周末，某校七年級準備組織觀看電影《長津湖》，由各班班長負責買票，每班人數都多于40人，票價每張20元，一班班長問售票員買團體票是否可以優惠，售票員說：40人以上的團體票有兩個優惠方案可選擇：
方案1：全體人員可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
（1）七年級二班有48名學生，他該選擇哪個方案比較省錢？請說明理由；
（2）一班班長思考一會兒說：“我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的”．請求出一班的人數．
【例11-2】某學校藝術社團將舉行“慶祝元旦”文藝匯演，需購買m套服裝和n個道具（n≥2m）．某商店報價為每套服裝100元，每個道具15元，并有兩種方案供選一種：
方案名稱 優惠情況
方案A 總價打8折
方案B 以原價購買，購買一套服裝贈送兩個道具
（1）若按方案B購買m套服裝和n個道具，則需要付費的道具數量是多少？（用含m、n的代數式表示）
（2）當m＝30時，試用含n的代數式表示選擇方案A與選擇方案B所需費用的差額，并直接寫出當n滿足什么條件時，選擇方案A合算？
【例11-3】如圖是于阿姨剛接收的新房的地面平面結構圖（圖中長度單位：m．其中每間房屋地面都是長方形，她準備在客廳和臥室地面全部鋪設復合地板、廚房和衛生間地面全部鋪設瓷磚，鋪完全部地面，有兩個施工計費方案供她選擇，根據圖中數據解決以下問題：
方案一：每平方米瓷磚的鋪設費用為25元．每平方米復合地板的鋪設費用為30元；
方案二：鋪完全部地面，一口價1500元．
（1）求該房屋地面的總面積（用含x的式子表示）；
（2）當x為何值時，兩種方案所花費用一樣？
（3）若x＝2，于阿姨選擇哪個方案更省錢呢？
針對練習11
1．某校七年級準備觀看電影《志愿軍》，由各班班長負責買票，每班人數都多于40人，票價每張30元，一班班長問售票員買團體票是否可以優惠，售票員說40人以上的團體票有兩種優惠方案可選擇：
方案一：全體人員可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名學生，則他該選擇哪個方案？
（2）一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？
2．某開發公司要生產若干件新產品，需要精加工后，才能投放市場，現有紅星和巨星兩個加工廠都想加工這批產品，已知紅星廠單獨加工這批產品比巨星廠單獨加工這批產品多用20天，紅星廠每天可加工16件產品，巨星廠每天可加工24件產品公司每天需付紅星廠每天加工費80元，巨星廠每天加工費120元．
（1）這個公司要加工多少件新產品？
（2）在加工過程中，公司需另派一名工程師每天到廠家進行技術指導，并負擔每天5元的午餐補助費，公司制定產品加工方案如下：可由一個廠單獨加工完成，也可由兩廠合作同時完成，請你幫助公司從所有可供選擇的方案中選擇一種最省錢的加工方案．
3．某中學七年級（1）班4名老師決定帶領本班m名學生去某革命勝地參觀．該革命勝地每張門票的票價為30元，現有 A、B兩種購票方案可供選擇：
方案 A：教師全價，學生半價；
方案 B：不分教師與學生，全部六折優惠；
（1）若按方案A購票，需付款 　 　元（用含m的代數式表示）；若按方案B購票，需付款 　 　元（用含m的代數式表示）；
（2）當學生人數m為何值時，選擇兩種方案的費用相同？
（3）當學生人數m＝40時，請通過計算說明選擇哪種方案更為優惠？
4．某校七年級準備觀看電影《長津湖》，由各班班長負責買票，每班人數都多于40人，票價每張30元，一班班長問售票員買團體票是否可以優惠，售票員說：40人以上的團體票有兩種優惠方案可選擇：方案一：全體人員可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．
（1）若二班有42名學生，則他該選擇哪個方案？
（2）一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？
5 .天虹超市銷售東北大米，每包10kg，定價為100元．元旦期間進行促銷活動，為滿足大眾采購需求，超市制定了兩種銷售方案以供選擇：
方案一：六折優惠并且免費送貨上門；
方案二：買一送一，但需另付200元運費．
（1）假設某食堂需要購買8包東北大米，且需送貨上門．
采用方案一購買，需要 　 　元；
采用方案二購買，需要 　 　元．
（2）假設某食堂需要購買x包東北大米（x是偶數），且需送貨上門．
①采用方案一購買x包東北大米需要 　 　元；
采用方案二購買x包東北大米需要 　 　元．
②某次進貨時，食堂的采購員小王發現兩種采購方案相差100元．請你算一算小王這次采購多少包東北大米？
類型十二、幾何圖形問題
【例12-1】如圖，幾塊大小不等的正方形紙片無重疊地鋪滿了一塊長方形．已知正方形紙片A的邊長為7，求最小的正方形紙片的邊長．
【例12-2】某長方形紙片的長是15㎝，長，寬上各剪去兩個寬為3㎝的長條，剩下的面積是原長方形面積的 。求原長方形紙片的面積。
【例12-3】如圖，將四個形狀、大小相同的長方形拼成一個大的長方形，如果大長方形的周長為28，那么大長方形的面積為 ．

針對練習12
1 .小王購買了一套經濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結構如圖所示．根據圖中的數據（單位：m），解答下列問題： (1).用含x的代數式表示廚房的面積 _____________ m 2 ， 臥室的面積 _____________ m 2 ．
A. 3x B. 6+3x
(2).設此經濟適用房的總面積為y m 2 ， 請你用含x的代數式表示y．
A. 解：y=6 3x+3 （2+x）+2x+3x =18x+6+3x+2x+3x =26x+6
(3).已知廚房面積比衛生間面積多3m 2 ， 且鋪1m 2地磚的平均費用為80元，那么鋪地磚的總費用為多少元？
A. 解：由題意得3x﹣2x=3，解得x=3 當x=3時，y=26×3+6=84（m2）， 即鋪地磚的總費用為80×84=6720元
2 .如圖，長方形被分割成六個正方形，其中最小正方形的面積等于1，則長方形的面積為 ．

2 .如圖，將四個形狀、大小相同的長方形拼成一個大的長方形，如果大長方形的周長為28，那么大長方形的面積為 ．

3 .探索新知：如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．
（1）一個角的平分線　 　這個角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=　??；（用含α的代數式表示出所有可能的結果）
深入研究：
如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成180°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒．
（3）當t為何值時，射線PM是∠QPN的“巧分線”；
（4）若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止，請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值．
4 .如圖，在長方形中，，，E是上的一點，且，點P從點C出發，以的速度沿勻速運動，最終到達點A．設點P運動時間為，若的面積為，則t的值為 ．

類型十三、古代問題
理解題意，將古代問題通過文字翻譯轉化成數學中的方程問題，方法理解題意，用代數式表示相關問題中的數量
【例13-1】我國古代問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩五折測之，繩少一尺，問繩長井深各幾何？”其題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份繩長比水井深度多四尺；如果將繩子折成五等份，那么每等份繩長比水井深度少一尺．問繩長和井深各多少尺？
【例13-2】列方程解應用題：（我國古代問題）
跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，問快馬幾天可以追上慢馬？
【例13-3】中國古代數學問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：“把你的羊給我一只，我的羊數就是你的羊數的2倍”．乙回答說：“最好還是把你的羊給我一只，我們羊數就一樣了”．請問甲、乙兩個牧童各有羊數多少？
針對練習13
1.我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統宗》里有一道著名算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁 ”意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，試問大、小和尚各多少人？設小和尚有x人，依題意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
2 .《孫子算經》是中國古代重要的數學著作之一，其中記載的“百鹿入城”問題很有趣原文如下∶今有百鹿進城，每家取一鹿，不盡；又三家合取一鹿，恰盡．問城中有家多少？大意為：現在有100只鹿要進城，城里的人家每家分一只，會有剩余分不完的鹿，如果再將剩余的鹿，3家合分一只，恰好分完．問城中有幾戶人家？問：城中有 戶人家．
3 .古希臘數學家丟番圖（公元3～4世紀），是代數學的創始人之一．在他的墓碑上記載著：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，兩 長起了細細的胡須；又度過了一生的，他結婚了；再過5年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死后，他在極度痛苦中度過了4年，與世長辭了．”
(1)設丟番圖的壽命為x歲，根據題意得兒子出生時丟番圖的年齡為_________歲，兒子的壽命為_________歲；
(2)用你喜歡的方式，求出丟番圖和兒子的壽命分別為多少歲？
4 .《九章算術》是中國古代的一部數學專著，其中第六章《均輸》卷記載了一道有趣的數學問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經過多少天相遇？
類型十四、新定義問題
理解新定義，按新定義給出的概念，法則，運算得出方程，解決問題。
【例14-1】1．新定義：一個四位數，記千位上和百位上的數字之和為x，十位上和個位上的數字之和為y，如果x＝y，那么稱這個四位數為“幸運數”，例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因為x＝y，所以1423是“幸運數”．
（1）直接運用：最大的“幸運數”是 　 　；
（2）提升運用：將一個“幸運數”的個位上與十位上的數字交換位置，同時將百位上與千位上的數字交換位置，稱交換前后這兩個“幸運數”為“相伴幸運數”．例如：1423與4132為“相伴幸運數；
設任意一個“幸運數”的千位上數字為a，百位上數字為b，十位上數字為c，個位上數字為d，請你說明“幸運數”和它的“相伴幸運數”之和一定是11的倍數；
（3）拓展運用：請你直接寫出同時滿足下列條件的所有“幸運數”；
①個位上的數字是千位上的數字的兩倍；
②百位上的數字與十位上的數字之和是12．
2．【新定義】：A、B、C為數軸上三點，若點C到A的距離是點C到B的距離的3倍，我們就稱點C是【A，B】的幸運點．
【特例感知】
（1）如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為3．表示2的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的幸運點．
①【B，A】的幸運點表示的數是 　 ??；
A．﹣1；B.0；C.1；D.2
②試說明A是【C，E】的幸運點．
（2）如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4，則【M，N】的幸運點表示的數為 　 ?。?br/>【拓展應用】
（3）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．現有一只電子螞蟻P從點B出發，以3個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當t為何值時，P、A和B三個點中恰好有一個點為其余兩點的幸運點？
針對練習14
1．[新定義]：A、B、C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的3倍，我們就稱點C是[A，B]的幸運點．
[特例感知]
（1）如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為3．表示2的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是[A，B]的幸運點，
①[B，A]的幸運點表示的數是 　 ??；
A．﹣1 B.0 C.1 D.2
②試說明A是[C，E]的幸運點．
（2）如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4，則[M，N]的幸運點表示的數為 　 　．
[拓展應用]
（3）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．有一只電子螞蟻P從點B出發，以5個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當t為何值時，P、A和B三個點中恰好有一個點為其余兩點的幸運點？
2 .對于有理數、定義一種新運算，規定．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
3．新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程和為“友好方程”．
(1)若關于的方程與方程是“友好方程”，求的值；
(2)若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個方程的解為，求的值；
(3)若關于的一元一次方程和關于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．
七年級數學上期末大串講+練專題復習
專題十四 一元一次方程的應用（三）（解析版）
類型十一、方案選擇問題
一個數學問題有多種解決方案，利用方程找出兩種方案相等時的結果，
從而確定最優方案。
【例11-1】 周末，某校七年級準備組織觀看電影《長津湖》，由各班班長負責買票，每班人數都多于40人，票價每張20元，一班班長問售票員買團體票是否可以優惠，售票員說：40人以上的團體票有兩個優惠方案可選擇：
方案1：全體人員可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
（1）七年級二班有48名學生，他該選擇哪個方案比較省錢？請說明理由；
（2）一班班長思考一會兒說：“我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的”．請求出一班的人數．
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】（1）分別計算出方案一和方案二的花費，然后比較大小即可解答本題；
（2）設一班有x人，根據已知得出兩種方案費用一樣，進而列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由題意可得，
方案一的花費為：48×20×0.8＝768（元），
方案二的花費為：（48﹣5）×0.9×20＝774（元），
∵768＜774，
∴若二班有48名學生，則他該選選擇方案一；
（2）設一班有x人，根據題意得，
x×20×0.8＝（x﹣5）×0.9×20，
解得x＝45．
答：一班有45人．
【點評】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據已知得出關于x的方程是解題關鍵．
【例11-2】某學校藝術社團將舉行“慶祝元旦”文藝匯演，需購買m套服裝和n個道具（n≥2m）．某商店報價為每套服裝100元，每個道具15元，并有兩種方案供選一種：
方案名稱 優惠情況
方案A 總價打8折
方案B 以原價購買，購買一套服裝贈送兩個道具
（1）若按方案B購買m套服裝和n個道具，則需要付費的道具數量是多少？（用含m、n的代數式表示）
（2）當m＝30時，試用含n的代數式表示選擇方案A與選擇方案B所需費用的差額，并直接寫出當n滿足什么條件時，選擇方案A合算？
【考點】一元一次方程的應用；列代數式．版權所有
【分析】（1）由方案B購買一套服裝贈送兩個道具，可知購買m套服裝和n個道具，需要付費的道具數量是（n﹣2m）個；
（2）方案A所需費用是（12n+2400）元，方案B所需費用是（15n+2100）元，可得差額為（12n+2400）﹣（15n+2100）＝（﹣3n+300）元，由﹣3n+300＜0得n＞100，即知n＞100時，選擇方案A合算．
【解答】解：（1）∵方案B購買一套服裝贈送兩個道具，
∴購買m套服裝和n個道具，需要付費的道具數量是（n﹣2m）個；
（2）但m＝30時，
方案A所需費用是（30×100+15n）×0.8＝（12n+2400）元，
方案B所需費用是30×100+15（n﹣30×2）＝（15n+2100）元，
∴選擇方案A與選擇方案B所需費用的差額為（12n+2400）﹣（15n+2100）＝（﹣3n+300）元，
由﹣3n+300＜0可得n＞100，
∴n＞100時，選擇方案A合算．
【點評】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出代數式表示兩種方案所需的費用．
【例11-3】如圖是于阿姨剛接收的新房的地面平面結構圖（圖中長度單位：m．其中每間房屋地面都是長方形，她準備在客廳和臥室地面全部鋪設復合地板、廚房和衛生間地面全部鋪設瓷磚，鋪完全部地面，有兩個施工計費方案供她選擇，根據圖中數據解決以下問題：
方案一：每平方米瓷磚的鋪設費用為25元．每平方米復合地板的鋪設費用為30元；
方案二：鋪完全部地面，一口價1500元．
（1）求該房屋地面的總面積（用含x的式子表示）；
（2）當x為何值時，兩種方案所花費用一樣？
（3）若x＝2，于阿姨選擇哪個方案更省錢呢？
【考點】一元一次方程的應用；列代數式；代數式求值．版權所有
【分析】（1）表示出每個房間的面積進一步求和可得該房屋地面的總面積；
（2）根據兩種方案所花費用一樣列一元一次方程，求解即可；
（3）當x＝2時，計算方案一的總費用，再進行比較即可．
【解答】解：（1）該房屋底面的總面積為2x 6+2×3+3x+3×（2+3）＝（15x+21）平方米；
（2）方案一總費用為25（3x+2×3）+30（2x 6+3×5）＝（435x+600）元，
根據題意，得435x+600＝1500，
解得x＝，
答：當x＝時兩種方案所花費用一樣；
（3）當x＝2時，方案一總費用為435×2+600＝1470（元），
方案二總費用為1500元，
1500＞1470，
∴選擇方案一更省錢．
【點評】本題考查了一元一次方程的應用，列代數式，代數式求值，根據題意表示出方案一的總費用是解題的關鍵．
針對練習11
1．某校七年級準備觀看電影《志愿軍》，由各班班長負責買票，每班人數都多于40人，票價每張30元，一班班長問售票員買團體票是否可以優惠，售票員說40人以上的團體票有兩種優惠方案可選擇：
方案一：全體人員可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名學生，則他該選擇哪個方案？
（2）一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】（1）分別計算出方案一和方案二的花費，然后比較大小即可解答本題；
（2）設一班有x人，根據已知得出兩種方案費用一樣，進而列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由題意可得，
方案一的花費為：50×30×0.8＝1200（元），
方案二的花費為：（50﹣6）×0.9×30＝1188（元），
∵1200＞1188，
∴若二班有50名學生，則他該選擇方案二；
（2）設一班有x人，根據題意，得
x×30×0.8＝（x﹣6）×0.9×30，
解得x＝54．
答：一班有54人．
【點評】本題考查一元一次方程的應用，理解題意，弄清題目中的數量關系是解題關鍵．
2．某開發公司要生產若干件新產品，需要精加工后，才能投放市場，現有紅星和巨星兩個加工廠都想加工這批產品，已知紅星廠單獨加工這批產品比巨星廠單獨加工這批產品多用20天，紅星廠每天可加工16件產品，巨星廠每天可加工24件產品公司每天需付紅星廠每天加工費80元，巨星廠每天加工費120元．
（1）這個公司要加工多少件新產品？
（2）在加工過程中，公司需另派一名工程師每天到廠家進行技術指導，并負擔每天5元的午餐補助費，公司制定產品加工方案如下：可由一個廠單獨加工完成，也可由兩廠合作同時完成，請你幫助公司從所有可供選擇的方案中選擇一種最省錢的加工方案．
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】（1）設這個公司要加工x件新產品，則紅星廠單獨加工這批產品需天，巨星廠單獨加工這批產品需要天，根據題意找出等量關系：紅星廠單獨加工這批產品需要的天數﹣巨星廠單獨加工這批產品需要的天數＝20，根據此等量關系列出方程求解即可．
（2）應分為三種情況討論：①由紅星廠單獨加工；②由巨星廠單獨加工；③由兩場廠共同加工，分別比較三種情況下，所耗時間和花費金額，求出省錢的加工方案．
【解答】解：（1）設這個公司要加工x件新產品，由題意得：﹣＝20，
解得：x＝960，
答：這個公司要加工960件新產品．
（2）①由紅星廠單獨加工：需要耗時為＝60天，需要費用為：60×（5+80）＝5100元；
②由巨星廠單獨加工：需要耗時為＝40天，需要費用為：40×（120+5）＝5000元；
③由兩場廠共同加工：需要耗時為＝24天，需要費用為：24×（80+120+10）＝5040元．
所以，由巨星廠單獨加工省錢．
【點評】本題主要考查一元一次方程的應用，關鍵在于理解清楚題意，找出等量關系列出方程．對于要求最符合要求類型的題目，應將所有方案，列出來求出符合題意的那一個即可．
3．某中學七年級（1）班4名老師決定帶領本班m名學生去某革命勝地參觀．該革命勝地每張門票的票價為30元，現有 A、B兩種購票方案可供選擇：
方案 A：教師全價，學生半價；
方案 B：不分教師與學生，全部六折優惠；
（1）若按方案A購票，需付款 ?。?20+15m）　元（用含m的代數式表示）；若按方案B購票，需付款 　（18m+72）　元（用含m的代數式表示）；
（2）當學生人數m為何值時，選擇兩種方案的費用相同？
（3）當學生人數m＝40時，請通過計算說明選擇哪種方案更為優惠？
【考點】一元一次方程的應用；列代數式；代數式求值．版權所有
【分析】（1）根據題意列出兩個代數式即可；
（2）選擇方案A所需的費用＝選擇方案B所需的費用，解方程即可；
（3）把m＝40代入（1）中的兩個代數式進行計算，即可得出答案．
【解答】解：（1）選擇方案A所需的費用為：30×4+×30m＝（120+15m）元，
選擇方案B所需的費用為：30×（m+4）×0.6＝（18m+72）元；
故答案為：（120+15m）；（18m+72）．
（2）由題意得：120+15m＝18m+72，
解得：m＝16，
當學生人數為16時，選擇兩種方案的費用相同．
（2）當m＝40時，
選擇方案A所需的費用為：120+15×40＝720（元），
選擇方案B所需的費用為：18×40+72＝792（元），
∵720＜792，
∴選擇方案A更為優惠．
【點評】本題考查了列代數式及代數式求值，理解題意正確列出代數式是解題的關鍵．
4．某校七年級準備觀看電影《長津湖》，由各班班長負責買票，每班人數都多于40人，票價每張30元，一班班長問售票員買團體票是否可以優惠，售票員說：40人以上的團體票有兩種優惠方案可選擇：方案一：全體人員可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．
（1）若二班有42名學生，則他該選擇哪個方案？
（2）一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎？
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】（1）分別計算出方案一和方案二的花費，然后比較大小即可解答本題；
（2）設一班有x人，根據已知得出兩種方案費用一樣，進而列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由題意可得，
方案一的花費為：42×30×0.8＝1008（元），
方案二的花費為：（42﹣5）×0.9×30＝999（元），
∵1008＞999，
∴若二班有42名學生，則他該選選擇方案二；
（2）設一班有x人，根據題意得，
x×30×0.8＝（x﹣5）×0.9×30，
解得x＝45．
答：一班有45人．
【點評】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據已知得出關于x的方程是解題關鍵．
5 .天虹超市銷售東北大米，每包10kg，定價為100元．元旦期間進行促銷活動，為滿足大眾采購需求，超市制定了兩種銷售方案以供選擇：
方案一：六折優惠并且免費送貨上門；
方案二：買一送一，但需另付200元運費．
（1）假設某食堂需要購買8包東北大米，且需送貨上門．
采用方案一購買，需要 　480　元；
采用方案二購買，需要 　600　元．
（2）假設某食堂需要購買x包東北大米（x是偶數），且需送貨上門．
①采用方案一購買x包東北大米需要 　60x　元；
采用方案二購買x包東北大米需要 ?。?0x+200）　元．
②某次進貨時，食堂的采購員小王發現兩種采購方案相差100元．請你算一算小王這次采購多少包東北大米？
【考點】一元一次方程的應用；列代數式．版權所有
【分析】（1）利用總價＝單價×數量，結合兩種銷售方案的優惠方法，即可求出結論；
（2）①利用總價＝單價×數量，結合兩種銷售方案的優惠方法，即可用含x的代數式表示出采用兩種方案所需費用；
②由①的結論，結合兩種采購方案相差100元，可得出關于x的一元一次方程，解之即可求出結論．
【解答】解：（1）根據題意得：采用方案一購買所需費用為100×0.6×8＝480（元）；
采用方案二購買所需費用為100×+200＝600（元）．
故答案為：480；600；
（2）①根據題意得：采用方案一購買x包東北大米需要100×0.6x＝60x（元）；
采用方案二購買x包東北大米需要100×+200＝（50x+200）元．
故答案為：60x；（50x+200）；
②根據題意得：60x﹣（50x+200）＝100或50x+200﹣60x＝100，
解得：x＝30或x＝10．
答：小王這次采購10或30包東北大米．
【點評】本題考查了一元一次方程的應用、列代數式以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，列式計算；（2）①根據各數量之間的關系，用含x的代數式表示出各數量；②找準等量關系，正確列出一元一次方程．
類型十二、幾何圖形問題
【例12-1】如圖，幾塊大小不等的正方形紙片無重疊地鋪滿了一塊長方形．已知正方形紙片A的邊長為7，求最小的正方形紙片的邊長．
【答案】
解：設最小的正方形紙片的邊長為x．
則B，C，D，E，F，G，H的邊長依次為x+7，2x+7，3x+7，7x+7，4x，11x+7，x+14，
根據H的邊長列方程：11x+7﹣（7﹣4x）=14+x，
解得：x=1．
答：最小的正方形紙片的邊長為1．
或根據長方形的對邊相等，列方程：
2x+7+x+7+x+14=7x+7+11x+7，
解得：x=1．
答：最小的正方形紙片的邊長為1．
【解析】可從中間最小的正方形的邊長入手思考，表示出其余正方形的邊長，根據正方形的邊長相等列式求解即可．
【例12-2】某長方形紙片的長是15㎝，長，寬上各剪去兩個寬為3㎝的長條，剩下的面積是原長方形面積的 。求原長方形紙片的面積。
【答案】解：設長方形紙片的寬是xcm，原面積是15xcm 2 ，
長寬上各剪去兩個寬為3cm的長條，剩下的面積是12 （x-3）cm 2 ，
∵15xcm 2× =9xcm 2 ，
∴9x=12 （x-3），
解可得x=12，
∴原面積是180cm 2 ．
【解析】由題意可知剩下的面積是原面積的 ．
【例12-3】如圖，將四個形狀、大小相同的長方形拼成一個大的長方形，如果大長方形的周長為28，那么大長方形的面積為 ．

【答案】
【分析】設小長方形的寬為x，則長為，根據大長方形的周長為28，列出方程，求出，即可求解．
【詳解】解：設小長方形的寬為x，則長為，
∵大長方形的周長為28，
∴，
解得：，
∴，
∴大長方形的面積，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程是實際應用，解題的關鍵是根據圖形，正確設出未知數，列出方程求解．
針對練習12
1 .小王購買了一套經濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結構如圖所示．根據圖中的數據（單位：m），解答下列問題： (1).用含x的代數式表示廚房的面積 _____________ m 2 ， 臥室的面積 _____________ m 2 ．
A. 3x B. 6+3x
(2).設此經濟適用房的總面積為y m 2 ， 請你用含x的代數式表示y．
A. 解：y=6 3x+3 （2+x）+2x+3x =18x+6+3x+2x+3x =26x+6
(3).已知廚房面積比衛生間面積多3m 2 ， 且鋪1m 2地磚的平均費用為80元，那么鋪地磚的總費用為多少元？
A. 解：由題意得3x﹣2x=3，解得x=3 當x=3時，y=26×3+6=84（m2）， 即鋪地磚的總費用為80×84=6720元
(1).【答案】3x,6+3x
【解析】解：（1）根據圖中數據可知廚房的長為3，寬為x；臥室的鄰邊長分別為3和（2+x）； ∴廚房的面積為3×x=3x，臥室的面積為3×（2+x）=6+3x；（1）根據圖中數據可知廚房的長為3，寬為x；臥室的鄰邊長分別為3和（2+x）；（2）設客廳的寬是x，衛生間的寬是y，根據長方形的面積=長×寬，表示出總面積．（3）把相關數值代入即可求得面積，乘以80即為鋪地轉的總費用．
解：y=6 3x+3 （2+x）+2x+3x =18x+6+3x+2x+3x
(2).【答案】=26x+6
【解析】解：（1）根據圖中數據可知廚房的長為3，寬為x；臥室的鄰邊長分別為3和（2+x）； ∴廚房的面積為3×x=3x，臥室的面積為3×（2+x）=6+3x；（1）根據圖中數據可知廚房的長為3，寬為x；臥室的鄰邊長分別為3和（2+x）；（2）設客廳的寬是x，衛生間的寬是y，根據長方形的面積=長×寬，表示出總面積．（3）把相關數值代入即可求得面積，乘以80即為鋪地轉的總費用．
解：由題意得3x﹣2x=3，解得x=3 當x=3時，y=26×3+6=84（m (3).【答案】2），
即鋪地磚的總費用為80×84=6720元
【解析】解：（1）根據圖中數據可知廚房的長為3，寬為x；臥室的鄰邊長分別為3和（2+x）； ∴廚房的面積為3×x=3x，臥室的面積為3×（2+x）=6+3x；（1）根據圖中數據可知廚房的長為3，寬為x；臥室的鄰邊長分別為3和（2+x）；（2）設客廳的寬是x，衛生間的寬是y，根據長方形的面積=長×寬，表示出總面積．（3）把相關數值代入即可求得面積，乘以80即為鋪地轉的總費用．
2 .如圖，長方形被分割成六個正方形，其中最小正方形的面積等于1，則長方形的面積為 ．

【答案】143
【分析】設第四個大正方形的邊長為，然后依次把其他正方形的邊長表示出來，列方程求解即可．
【詳解】設第四個大正方形的邊長為（如圖所示）．

，故最小的正方形的邊長為1；
，
，
∴，
長方形的長：，
長方形的寬：，
長方形的面積：，
故答案為：143．
【點睛】本題主要考查整式的運算及一元一次方程的應用，關鍵是設出未知數表示出正方形的邊長即可．
2 .如圖，將四個形狀、大小相同的長方形拼成一個大的長方形，如果大長方形的周長為28，那么大長方形的面積為 ．

【答案】
【分析】設小長方形的寬為x，則長為，根據大長方形的周長為28，列出方程，求出，即可求解．
【詳解】解：設小長方形的寬為x，則長為，
∵大長方形的周長為28，
∴，
解得：，
∴，
∴大長方形的面積，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程是實際應用，解題的關鍵是根據圖形，正確設出未知數，列出方程求解．
3 .探索新知：如圖1，射線OC在∠AOB的內部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．
（1）一個角的平分線　 　這個角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=　?。唬ㄓ煤恋拇鷶凳奖硎境鏊锌赡艿慕Y果）
深入研究：
如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成180°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒．
（3）當t為何值時，射線PM是∠QPN的“巧分線”；
（4）若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止，請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值．
【答案】（1）是；（2）或或；（3）當t為9或12或18時，射線PM是∠QPN的“巧分線”；（4）當t為2.4或4或6時，射線PQ是∠MPN的“巧分線”．
【解析】試題分析：（1）根據巧分線定義即可判定；（2）分三種情況，根據巧分線定義即可求解；（3）分三種情況，根據巧分線定義得到方程求解即可；（4）分三種情況，根據巧分線定義得到方程求解即可．
試題解析：
（1）一個角的平分線是這個角的“巧分線”；（填“是”或“不是”）
故答案為：是
（2）∵∠MPN=α，
∴∠MPQ=α或α或α；
故答案為α或α或α；
深入研究：
（3）依題意有
①10t=60+×60，
解得t=9；
②10t=2×60，
解得t=12；
③10t=60+2×60，
解得t=18．
故當t為9或12或18時，射線PM是∠QPN的“巧分線”；
（4）依題意有
①10t=（5t+60），
解得t=2.4；
②10t=（5t+60），
解得t=4；
③10t=（5t+60），
解得t=6．
故當t為2.4或4或6時，射線PQ是∠MPN的“巧分線”．
4 .如圖，在長方形中，，，E是上的一點，且，點P從點C出發，以的速度沿勻速運動，最終到達點A．設點P運動時間為，若的面積為，則t的值為 ．

【答案】或5
【分析】分兩種情況：當點P在上，即時和當點P在上，即時．分別進行求解即可．
【詳解】解：如圖1，當點P在上，即時．

∵四邊形是長方形，
∴，，
∴，
∴．
如圖2，當點P在上，即時．

∵，
∴．
∵，，
∴，
解得．
綜上所述，當或5時，的面積為．
故答案為：或5．
【點睛】此題考查了動點問題，一元一次方程的應用，分類討論是解題的關鍵
類型十三、古代問題
理解題意，將古代問題通過文字翻譯轉化成數學中的方程問題，方法理解題意，用代數式表示相關問題中的數量
【例13-1】我國古代問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩五折測之，繩少一尺，問繩長井深各幾何？”其題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份繩長比水井深度多四尺；如果將繩子折成五等份，那么每等份繩長比水井深度少一尺．問繩長和井深各多少尺？
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】設井深為x尺，則繩長為：3（x+4）尺，根據把將繩子折成五等份，那么每等份繩長比水井深度少一尺，列方程即可．
【解答】解：設井深為x尺，則繩長為：3（x+4），依題意得：
3（x+4）＝5（x﹣1）．
解得x＝，
則3（x+4）＝．
答：繩長是尺，井深是尺．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，用代數式表示井深是此題的關鍵．
【例13-2】列方程解應用題：（我國古代問題）
跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，問快馬幾天可以追上慢馬？
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】設快馬x天可以追上慢馬，根據快馬和慢馬所走的路程相等建立方程，解出即可．
【解答】解：設快馬x天可以追上慢馬，
據題題意：240x＝150x+12×150，
解得：x＝20．
答：快馬20天可以追上慢馬．
【點評】本題考查了一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是設出未知數，挖掘出隱含條件．
【例13-3】中國古代數學問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：“把你的羊給我一只，我的羊數就是你的羊數的2倍”．乙回答說：“最好還是把你的羊給我一只，我們羊數就一樣了”．請問甲、乙兩個牧童各有羊數多少？
【考點】一元一次方程的應用．版權所有
【分析】由乙說的話可得甲的羊比乙的羊多2只，可根據甲的話來列等量關系：甲的羊數+1＝2（乙的羊數﹣1），把相關數值代入求解即可．
【解答】解：設乙有x只羊，則甲有（x+2）只羊，
x+2+1＝2（x﹣1），
解得x＝5，
∴x+2＝7．
答：甲牧童有羊7只，乙牧童有羊5只．
【點評】考查一元一次方程的應用，得到甲乙羊的實際數量的等量關系是解決本題的突破點．
針對練習13
1.我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統宗》里有一道著名算題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁 ”意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，試問大、小和尚各多少人？設小和尚有x人，依題意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，設小和尚有x人，需要個饅頭，則大和尚有人，需要個饅頭，依據個和尚分個饅頭，正好分完列方程即可．
【詳解】解：設小和尚有x人，需要個饅頭，則大和尚有人，需要個饅頭，依題意得：
．
故選：A．
2 .《孫子算經》是中國古代重要的數學著作之一，其中記載的“百鹿入城”問題很有趣原文如下∶今有百鹿進城，每家取一鹿，不盡；又三家合取一鹿，恰盡．問城中有家多少？大意為：現在有100只鹿要進城，城里的人家每家分一只，會有剩余分不完的鹿，如果再將剩余的鹿，3家合分一只，恰好分完．問城中有幾戶人家？問：城中有 戶人家．
【答案】75
【分析】設城中共有x戶人家，根據兩次分掉的頭數和等于100列出方程，然后解之即可．
【詳解】解：設城中共有x戶人家，依題意得：
，
解得：，
答：城中有75戶人家．
故答案為：75
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，理解題意，正確列出方程，找準數量關系：剩下的鹿的頭數為城中總戶數的是解題關鍵．
3 .古希臘數學家丟番圖（公元3～4世紀），是代數學的創始人之一．在他的墓碑上記載著：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，兩 長起了細細的胡須；又度過了一生的，他結婚了；再過5年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死后，他在極度痛苦中度過了4年，與世長辭了．”
(1)設丟番圖的壽命為x歲，根據題意得兒子出生時丟番圖的年齡為_________歲，兒子的壽命為_________歲；
(2)用你喜歡的方式，求出丟番圖和兒子的壽命分別為多少歲？
【答案】(1)
(2)丟番圖的壽命為84歲，兒子的壽命為42歲
【分析】（1）根據他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，兩 長起了細細的胡須；又度過了一生的，他結婚了；再過5年，他有了兒子列式即可，再根據兒子只活了他全部年齡的一半列式；
（2）設丟番圖的壽命為歲，則根據題中的描述他的年齡的童年生命的年兒子的年齡年，可列出方程，即可求解．
【詳解】（1）解：設丟番圖的壽命為x歲，
根據題意得兒子出生時丟番圖的年齡為歲，兒子的壽命為歲,
故答案為：，；
（2）設丟番圖的壽命為歲，
根據題意得：，
解得：，
當時，可得兒子的壽命為，
答：丟番圖的壽命為84歲，兒子的壽命為42歲．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出丟番圖的年齡的表達式，根據等量關系，列出方程再求解．
4 .《九章算術》是中國古代的一部數學專著，其中第六章《均輸》卷記載了一道有趣的數學問題：“今有鳧（讀fú，指野鴨）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”題目大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現野鴨從南海、大雁從北海同時起飛（兩者的飛行路線相同），問經過多少天相遇？
【答案】天
【分析】首先設經過天相遇，根據題意可得等量關系：野鴨天的路程＋大雁天的路程，再根據等量關系列出方程，再解即可．
【詳解】解：設經過天相遇，
根據題意，得∶ ，
解得：．
答：經過天相遇．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程
類型十四、新定義問題
理解新定義，按新定義給出的概念，法則，運算得出方程，解決問題。
【例14-1】1．新定義：一個四位數，記千位上和百位上的數字之和為x，十位上和個位上的數字之和為y，如果x＝y，那么稱這個四位數為“幸運數”，例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因為x＝y，所以1423是“幸運數”．
（1）直接運用：最大的“幸運數”是 　9999??；
（2）提升運用：將一個“幸運數”的個位上與十位上的數字交換位置，同時將百位上與千位上的數字交換位置，稱交換前后這兩個“幸運數”為“相伴幸運數”．例如：1423與4132為“相伴幸運數；
設任意一個“幸運數”的千位上數字為a，百位上數字為b，十位上數字為c，個位上數字為d，請你說明“幸運數”和它的“相伴幸運數”之和一定是11的倍數；
（3）拓展運用：請你直接寫出同時滿足下列條件的所有“幸運數”；
①個位上的數字是千位上的數字的兩倍；
②百位上的數字與十位上的數字之和是12．
【考點】一元一次方程的應用；列代數式；整式的加減．版權所有
【分析】（1）根據題意直接可得最大的“幸運數”9999；
（2）設任意一個“幸運數”千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，則它的“相伴幸運數”千位數字為b，百位數字為a，十位數字為d，個位數字為c，根據“幸運數”的定義可知a+b＝c+d，再計算（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝11（100a+100b+c+d），即可證明．
（3）設這個“幸運數”的千位數字是a，百位數字是m，十位數字是n，其中a，m，n均是正整數且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，則個位數字是2a，又由0≤2a≤9，得到a的取值為1，2，3，4；百位上的數字與十位上的數字之和是12的倍數，可知m+n＝12，得到a＝2m﹣12，當m＝7時，a＝2，這個“幸運數”是2754；當m＝8時，a＝4，這個“幸運數”是4848．
【解答】解：（1）根據“幸運數”的定義可知：最大的“幸運數”9999，
故答案為：9999；
（2）設任意一個“幸運數”千位數字為 a，百位數字為 b，十位數字為 c，個位數字為 d，則它的“相伴幸運數”千位數字為 b，百位數字為 a，十位數字為 d，個位數字為 c，且a+b＝c+d，
∵（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝11（100a+100b+c+d），
∴（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）能被 11 整除，
即“幸運數”與“相伴幸運數”之和是11的倍數．
（3）設“幸運數”的千位數字是 a，百位數字是 m，十位數字是 n，其中 a，m，n 均是正整數且 1 a 9，0 m 9，0 n 9，則個位數字是 2a，
又∵0 2a 9，
∴a 的取值為 1，2，3，4；
∵百位上的數字與十位上的數字之和是 12 的倍數，
∴m+n＝0 或 m+n＝12，
∵“幸運數”中 a+m＝n+2a，
∴m+n＝12，
∴a+m＝12﹣m+2a，即 a＝2m﹣12，
∴m 的取值為 7，8，9；
當 m＝7 時，a＝2，這個“幸運數”是 2754；
當 m＝8 時，a＝4，這個“幸運數”是 4848；
當 m＝9 時，a＝6，不成立；
綜上所述，滿足條件的“幸運數”是 2754 和 4848．
【點評】本題主要考查閱讀材料類題目，屬于創新題，同時又包含了大量計算，做此類型題目時，應注意從材料中獲取解題方法，同時本題考查了多位數的表示方法，表示多位數時，應將數位上的數字乘對應的計數單位．
2．【新定義】：A、B、C為數軸上三點，若點C到A的距離是點C到B的距離的3倍，我們就稱點C是【A，B】的幸運點．
【特例感知】
（1）如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為3．表示2的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的幸運點．
①【B，A】的幸運點表示的數是 　B　；
A．﹣1；B.0；C.1；D.2
②試說明A是【C，E】的幸運點．
（2）如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4，則【M，N】的幸運點表示的數為 　2.5或7?。?br/>【拓展應用】
（3）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．現有一只電子螞蟻P從點B出發，以3個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當t為何值時，P、A和B三個點中恰好有一個點為其余兩點的幸運點？
【考點】一元一次方程的應用；數軸．版權所有
【分析】（1）①由題意可知，點0到B是到A點距離的3倍；②由數軸可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）設【M，N】的幸運點為P，P表示的數為p，由題意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由題意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四種情況討論：①當P是【A，B】的幸運點時，PA＝3PB②當P是【B，A】的幸運點時，PB＝3PA③當A是【B，P】的幸運點時，AB＝3PA，④當B是【A，P】的幸運點時，AB＝3PB．
【解答】解：（1）①由題意可知，點0到B是到A點距離的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故選B．
②由數軸可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸運點．
（2）設【M，N】的幸運點為P，P表示的數為p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案為7或2.5；
（3）由題意可得，AB＝60，BP＝3t，AP＝60﹣3t，
①當P是【A，B】的幸運點時，PA＝3PB，
∴60﹣3t＝3×3t，
∴t＝5；
②當P是【B，A】的幸運點時，PB＝3PA，
∴3t＝3×（60﹣3t），
∴t＝15；
③當A是【B，P】的幸運點時，AB＝3PA，
∴60＝3（60﹣3t）
∴t＝；
④當B是【A，P】的幸運點時，AB＝3PB，
∴60＝3×3t，
∴t＝；
∴t為5秒，15秒，秒，秒時，P、A、B中恰好有一個點為其余兩點的幸運點．
【點評】本題考查一元一次方程的應用；能夠理解題意，將所求問題轉化為數軸與絕對值、數軸與一次方程的關系是解題的關鍵．
針對練習14
1．[新定義]：A、B、C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的3倍，我們就稱點C是[A，B]的幸運點．
[特例感知]
（1）如圖1，點A表示的數為﹣1，點B表示的數為3．表示2的點C到點A的距離是3，到點B的距離是1，那么點C是[A，B]的幸運點，
①[B，A]的幸運點表示的數是 　B??；
A．﹣1 B.0 C.1 D.2
②試說明A是[C，E]的幸運點．
（2）如圖2，M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣2，點N所表示的數為4，則[M，N]的幸運點表示的數為 　7或2.5?。?br/>[拓展應用]
（3）如圖3，A、B為數軸上兩點，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為40．有一只電子螞蟻P從點B出發，以5個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止．當t為何值時，P、A和B三個點中恰好有一個點為其余兩點的幸運點？
【考點】一元一次方程的應用；數軸．版權所有
【分析】（1）①由題意可知，點0到B是到A點距離的3倍；②由數軸可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）設【M，N】的幸運點為P，T表示的數為p，由題意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由題意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四種情況討論：①當P是【A，B】的幸運點時，PA＝3PB②當P是【B，A】的幸運點時，PB＝3PA③當A是【B，P】的幸運點時，AB＝3PA，④當B是【A，P】的幸運點時，AB＝3PB．
【解答】解：（1）①由題意可知，點0到B是到A點距離的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故選B．
②由數軸可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸運點．
（2）設【M，N】的幸運點為P，T表示的數為p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案為7或2.5；
（3）由題意可得，BP＝5t，AP＝60﹣5t，
①當P是[A，B]的幸運點時，PA＝3PB，
∴60﹣5t＝3×5t，
∴t＝3；
②當P是[B，A]的幸運點時，PB＝3PA，
∴5t＝3×（60﹣5t），
∴t＝9；
③當A是[B，P]的幸運點時，AB＝3PA，
∴60＝3×（60﹣5t），
∴t＝8；
④當B是[A，P]的幸運點時，AB＝3PB，
∴60＝3×5t，
∴t＝4；．
∴t為3秒，9秒，8秒，4秒時，P、A、B中恰好有一個點為其余兩點的幸運點..
【點評】本題考查一元一次方程的應用；能夠理解題意，將所求問題轉化為數軸與絕對值、數軸與一次方程的關系是解題的關鍵．
2 .對于有理數、定義一種新運算，規定．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)10
(2)
【分析】此題主要考查了有理數的混合運算，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算，如果有括號，要先做括號內的運算；
（1）根據據的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，求出的值是多少即可．
（2）首先根據據的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，由，列出一元一次方程，然后根據解一元一次方程方法，求出的值是多少即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
，
解得．
3．新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程和為“友好方程”．
(1)若關于的方程與方程是“友好方程”，求的值；
(2)若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個方程的解為，求的值；
(3)若關于的一元一次方程和關于的一元一次方程是“友好方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及新定義運算：
（1）根據“友好方程”的定義，結合的解為，得的解為。代數列式，即可作答．
（2）根據“友好方程”的定義，先表達某“友好方程”的兩個解分別為，再列式計算，即可作答．
（3）先表達某“友好方程”的兩個解分別為，，根據“友好方程”的定義再列式計算，即可作答．
正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：方程的解為
因為關于的方程與方程是“友好方程”，
所以關于的方程的解為，
所以，
所以
（2）解：∵某“友好方程”的一個解為，
∴“友好方程”的另一個解為，
所以或，
所以或
（3）解：對于方程，
解為，
對于方程，
解為，
由題意可知：，
解得
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