資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
七年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題十三 一元一次方程的應(yīng)用（二）
類型五、數(shù)字問題
一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：
任何數(shù)=∑（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)） （54=5×10+4）
如兩位數(shù)ab= 10a + b； 三位數(shù)abc= 100a + 10b + c
【例5-1】小明爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，如表是小明每隔1小時看到的里程情況，你能確定小明在12：00時看到的里程碑上的數(shù)嗎？
時間 里程情況
12：00 是一個兩位數(shù)字，它的兩個數(shù)字之和為7．
13：00 十位與個位數(shù)字與12：00時所看到的正好顛倒了．
14：00 比12：00時看到的兩位數(shù)中間多了個0．
如果設(shè)小明在12：00時看到的數(shù)的十位數(shù)字是x，那么根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果均要化簡）
（1）12：00時小明看到的數(shù)可表示為 　 　；
（2）13：00時小明看到的數(shù)可表示為 　 　，12：00～13：00間摩托車行駛的路程是 　 　；
（3）14：00時小明看到的數(shù)可表示為 　 　，13：00～14：00問摩托車行駛的路程是 　 　；
（4）利用一元一次方程求出小明在12：00時看到的里程碑上的數(shù)是多少？
．
【例5-2】一個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是6，把這個兩位數(shù)加上18后，比十位數(shù)字大56，請問這個兩位數(shù)是多少？
針對練習(xí)5
1 .利用一元一次方程解應(yīng)用題：一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和是7．如果這個兩位數(shù)加上45，恰好成為個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)之后組成的新兩位數(shù)．
（1）設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，用含x式子表示這個兩位數(shù)，并化簡．
（2）求對調(diào)后新的兩位數(shù)．
2．若在一個兩位正整數(shù)A的個位數(shù)與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6，組成一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為A的“至善數(shù)”，如13的“至善數(shù)”為163；若將一個兩位正整數(shù)B加6后得到一個新數(shù)，我們稱這個新數(shù)為B的“明德數(shù)”，如13的“明德數(shù)”為19．
（1）38的“至善數(shù)”是 　368　，“明德數(shù)”是 　44　；
（2）若一個兩位正整數(shù)M的“明德數(shù)”的各位數(shù)字之和是M的“至善數(shù)”各位數(shù)字之和的一半，求出滿足條件的所有兩位正整數(shù)M的值．
3．列方程解應(yīng)用題
（1）一個兩位數(shù)，設(shè)它的個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大1，這個兩位數(shù)的2倍與2的和等于66，求這個兩位數(shù)．
（2）現(xiàn)有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側(cè)，要求在路的兩端各栽一棵，并且兩棵樹的間距相等．方案一：如果每隔5m栽一棵，則樹苗還差21棵；方案二：如果每隔5.5m栽一棵，則樹苗剛好用完．請問樹苗有多少棵和這段公路有多少米？
4．一個兩位數(shù)，個位與十位上的數(shù)字之和為12，如果交換個位與十位數(shù)字，則所得新數(shù)比原數(shù)大36，求原兩位數(shù)．
5．一個兩位數(shù)，把它的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)，原兩位數(shù)的個位數(shù)字比原兩位數(shù)的十位數(shù)字大2，且新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為154，求原兩位數(shù)是多少？
6.．一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字是十位上的數(shù)字的3倍．如果把十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)．
類型六、比賽積分問題
【例6-1】下面的表格是某次籃球比賽積分表：
某次籃球比賽積分表
隊名 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
前進(jìn) 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍(lán)天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠(yuǎn)大 14 7 7 21
衛(wèi)星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
（1）如果刪去積分表的最后一行，你能求出勝一場和負(fù)一場的得分嗎？
（2）某隊的負(fù)場總積分能等于它的勝場總積分的2倍嗎？
【例6-2】如表是某次籃球聯(lián)賽積分表，請同學(xué)們認(rèn)真觀察后完成下列各題．
隊名 比賽場次 勝場數(shù) 負(fù)場數(shù) 積分
A 16 12 4 28
B 16 12 4 28
C 16 10 6 26
D 16 10 6 26
E 16 8 8 24
F 16 8 8 24
G 16 4 12 20
H 16 0 16 16
（1）用式子表示總積分與勝、負(fù)場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）若某隊比賽了16場，它的勝場總積分能等于負(fù)場總積分嗎？說明理由．
針對練習(xí)6
1．下表是某次籃球聯(lián)賽積分榜的一部分：
球隊 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
飛龍 14 10 4 24
獵豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
備注：積分＝勝場積分+負(fù)場積分
（1）根據(jù)積分榜，你知道勝一場、負(fù)一場各積多少分嗎？為什么？
（2）聯(lián)賽中還有一支隊伍，領(lǐng)隊電話向組委會匯報，說他的隊伍在比賽中獲得勝場和負(fù)場的積分一樣多，請你判斷該領(lǐng)隊的說法是否成立，并說明理由．#Z8A0
2．下表是某次籃球聯(lián)賽積分榜的一部分（無平局）：
（1）根據(jù)積分榜，你知道勝一場、負(fù)一場各積多少分嗎？為什么？
（2）聯(lián)賽中還有一支隊伍，領(lǐng)隊電話向組委會匯報，說他的隊伍在比賽中獲得勝場和負(fù)場的積分一樣
請你判斷該領(lǐng)隊的說法是否成立，并說明理由．
球隊 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
飛龍 14 10 4 24
獵豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
備注：積分＝勝場積分+負(fù)場積分
3．?dāng)?shù)學(xué)課上，教師出示某區(qū)籃球賽積分表如下：
（1）從表中可以看出，負(fù)一場積　2　分，勝一場積　3　分；
（2）請你幫忙算出二隊勝了多少場？
（3）在這次比賽中，一個隊勝場總積分能不能等于它的負(fù)場總積分？
（4）在計算五隊、六隊勝出場次的時候，老師還沒等同學(xué)們計算出來就立刻說出了答案，老師解釋說：“我是通過找到積分與勝場之間的數(shù)量關(guān)系求出來的”，請你說出其中的奧秘．
類型七、和差倍分問題
搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，注意關(guān)鍵詞語，找出和差倍分關(guān)系中的關(guān)鍵字，“大、小、多，少，幾分之幾，增加、減少”等，根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，利用關(guān)鍵字表示出含有未知數(shù)的量，利用量與量的關(guān)系列方程。
【例7-1】兒子今年13歲，父親今年38歲，幾年后父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍？
【例7-2】2022年11月卡塔爾世界杯正式開賽，中國建造、中國制造大放異彩，彰顯了中國在全球產(chǎn)業(yè)鏈中的地位．本次比賽使用的足球由我國首條足球自動化生產(chǎn)線生產(chǎn)，已知每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)的足球數(shù)量比每條人工生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)的足球數(shù)量多2000個，并且每條人工生產(chǎn)線36天生產(chǎn)的足球數(shù)量是每條自動化生產(chǎn)線20天生產(chǎn)數(shù)量的，求每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)足球的數(shù)量．
針對練習(xí)7
1 .某校三年共購買計算機(jī)140臺，去年購買數(shù)量是前年的2倍，今年購買數(shù)量又是去年的2倍，則去年這個學(xué)校購買了 臺計算機(jī)．
2 .兔年春節(jié)之際，小文和幾個同學(xué)要用自己的壓歲錢為社區(qū)敬老院購買春節(jié)禮品，如果每人出80元，那么可剩余36元；如果每人出70元，那么還差14元．參加此次活動的共有 人．
3 .蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿，現(xiàn)有蜘蛛和蜻蜓若干只，它們共有120條腿，且蜻蜓的只數(shù)是蜘蛛的2倍．問蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若設(shè)蜘蛛有x只，則x滿足的方程為（ ）
A． B．
C． D．
類型八、日歷問題
【例8-1】小趙和小王交流暑假中的活動，小趙說：“我們一家外出旅行了一個星期，這7天的日期數(shù)之和是84天，你知道我們幾號出去的么？”小王說“我暑假去舅舅家住了7天，日歷數(shù)再加月份數(shù)也是84，你能猜出我是幾月幾號回的家？試試看列出方程，解決小趙、小王的問題．（提示：7月1日﹣9月1日暑假）
【例8-2】（1）小明同學(xué)在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，正方方框內(nèi)的四個數(shù)的左上角的數(shù)為2，那么右下角的那個數(shù)是 　10　．
（2）小麗也在上面的日歷上圈出2×2個數(shù)，斜框內(nèi)的四個數(shù)的右上角的數(shù)為10，那么左下角的那個數(shù)是 　4　．
（3）小文也在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，它們的和是45，則中間的那個數(shù)是 　9　．
（4）若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成如圖：
①圖（一）中方框內(nèi)的9個數(shù)的和與中間的那個數(shù)的關(guān)系是 　和是中間的數(shù)的9倍　．
②在圖（二）中，如果所畫的斜框內(nèi)中間的一個數(shù)是40，那么斜框內(nèi)這9個數(shù)的和等于 　360　．
③在圖（二）中，所畫的斜框內(nèi)的9個數(shù)之和能等于180嗎？若能，分別寫出斜框內(nèi)的9個數(shù)；若不能，請說明理由．
針對練習(xí)8
1．如表是2023年11月的日歷，用如圖所示的L形框去框其中的4個數(shù)．（1）若被框住的4個數(shù)中最小的數(shù)為7，求出被框住的這4個數(shù)的和；
（2）設(shè)被框住的最小的數(shù)為x，用含x的代數(shù)式表示出被框住的這4個數(shù)的和；
（3）被框住的4個數(shù)的和能等于100嗎？如果能，求出這4個數(shù)；如果不能，說明理由．
2．如圖四幅圖都是11月份的日歷，請仔細(xì)觀察該日歷，回答下列問題：
（1）圖1中帶陰影的方框中的9個數(shù)字之和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？請說明理由；
（2）如果將帶陰影的方框移至圖2的位置，（1）中的關(guān)系還成立嗎（無需說明理由）？
（3）不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動幾個位置試一試，你能得出什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論；
（4）如圖3，如果帶陰影的方框里的數(shù)是4個，你能得出的結(jié)論是 　方框中對角兩數(shù)之和相等　；
（5）如圖4，對于帶陰影的框中的4個數(shù)，又能得出的結(jié)論是 　方框中對角兩數(shù)之和相等　．
3．?dāng)?shù)學(xué)科技小組的同學(xué)利用所學(xué)的知識探究日歷的奧秘．
（1）在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，
①用圖1方框圈2個數(shù)，？位置的數(shù)可表示為 　m+7　（用含字母m的式子表示）；
②用圖2方框圈出四個數(shù)的和是32，那么第一個數(shù)是 　4　；
③用圖3斜框圈出的四個數(shù)和是42，最大的數(shù)是 　14　；
（2）若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成圖4所示，同樣用圖3斜框圈出4個數(shù)，用你學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明：這四個數(shù)的和是8的整數(shù)倍．
4．如圖是某月的日歷表，在此日歷表上用一個“十”字圈出5個數(shù)（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日歷表若圈出5個數(shù)，是否存在這5個數(shù)的和為120，請說明理由．
類型九、程序輸入問題
程序輸入問題的解題一般思路是：按照所給程序中的運(yùn)算法則、運(yùn)算順序轉(zhuǎn)化成方程問題，解方程得出結(jié)論。
【例9-1】軒軒在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到一個有神奇魔力的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按如圖所示的程序計算．若開始輸入的值x為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為41，則滿足條件的x值最多有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【例9-2】按下列程序進(jìn)行計算，經(jīng)過三次輸入，最后輸出的數(shù)是10，則最初輸入的數(shù)是（　　）
A．4 B． C． D．
【例9-3】根據(jù)流程右邊圖中的程序，當(dāng)輸出數(shù)值y為1時，輸入數(shù)值x為（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．不存在
針對練習(xí)9
1．按下面的程序計算：
若輸n＝100，輸出結(jié)果是501；若輸入n＝25，輸出結(jié)果是631，若開始輸入的n值為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則開始輸入的n值可能有（　　）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
2．觀察如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為5，則輸入的x值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．3或﹣1
3．觀察如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為3，則輸入的x值為（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
4．按如圖所示的程序進(jìn)行計算，若輸入x的值是﹣1，則輸出y的值為﹣1；若輸出y的值為，則輸入x的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．無法確定
5 .如圖是一種數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的運(yùn)算程序
（1）若第1次輸入的數(shù)為x＝1，則第1次輸出的數(shù)為4，則第10次輸出的數(shù)為　 　；若第1次輸入的數(shù)為12，則第10次輸出的數(shù)為　 　．
（2）若輸入的數(shù)x＝5，求第2010次輸出的數(shù)是多少？
（3）是否存在輸入的數(shù)x，使第3次輸出的數(shù)是x？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
類型十、比例分配問題
解決這類型問題的方法是：按照比例間接設(shè)立未知數(shù)，根據(jù)所給比例找等量關(guān)系。
【例10-1】平行四邊形兩鄰邊的比為,周長為，求這個平行四邊形的四條邊長分別是多少？
【例10-2】已知兩條線段的差是10cm，這兩條線段的比是2：3，求這兩條線段的長．
針對練習(xí)10
2 .列方程解應(yīng)用題，若沒有列方程，則給0分．
(1)洗衣機(jī)廠今年計劃生產(chǎn)洗衣機(jī)25500臺，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三種洗衣機(jī)的數(shù)量比為1：2：14，計劃生產(chǎn)這三種洗衣機(jī)各多少臺？
(2)一列火車勻速行駛，經(jīng)過（從車頭進(jìn)入到車尾離開）一條長300m的隧道需要20s的時間．隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10s．求這列火車的長度．
3 .根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2：5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，則這些消毒液分裝成的這兩種產(chǎn)品中有 瓶大瓶產(chǎn)品．
4 .某村原有林地115公頃、旱地65公頃，為保護(hù)環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地面積占林地面積的20%．設(shè)把公頃旱地改為林地，則可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5 .某村原有林地108公頃，旱地54公公頃，為保護(hù)環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地占林地面積的20%．設(shè)把x公頃旱地改為林地，則為可列方程為 _____________ ．
6．甲、乙兩人合資辦一個企業(yè)，并協(xié)議按照投資額的比例多少分配所得利潤．已知甲與乙投資額的比例為3：4，首年利潤為38 500元，問甲、乙兩人分別可獲得利潤多少元？
7．學(xué)校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知師傅單獨(dú)完成需要4天，徒弟單獨(dú)完成需要6天．
（1）徒弟先做一天，再兩人合作．共得報酬450元，按各人完成的工作量計算報酬，師徒各得多少？
（2）兩人合作完成后共得報酬450元，工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，多出的部分按每人單獨(dú)完成工作量的比例進(jìn)行分配，師徒各得多少元？
七年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題十三 一元一次方程的應(yīng)用（二）（解析版）
類型五、數(shù)字問題
一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：
任何數(shù)=∑（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)） （54=5×10+4）
如兩位數(shù)ab= 10a + b； 三位數(shù)abc= 100a + 10b + c
【例5-1】小明爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，如表是小明每隔1小時看到的里程情況，你能確定小明在12：00時看到的里程碑上的數(shù)嗎？
時間 里程情況
12：00 是一個兩位數(shù)字，它的兩個數(shù)字之和為7．
13：00 十位與個位數(shù)字與12：00時所看到的正好顛倒了．
14：00 比12：00時看到的兩位數(shù)中間多了個0．
如果設(shè)小明在12：00時看到的數(shù)的十位數(shù)字是x，那么根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果均要化簡）
（1）12：00時小明看到的數(shù)可表示為 　9x+7　；
（2）13：00時小明看到的數(shù)可表示為 　70﹣9x　，12：00～13：00間摩托車行駛的路程是 　63﹣18x　；
（3）14：00時小明看到的數(shù)可表示為 　99x+7　，13：00～14：00問摩托車行駛的路程是 　108x﹣63　；
（4）利用一元一次方程求出小明在12：00時看到的里程碑上的數(shù)是多少？
【分析】（1）由小明在12：00看到的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和為7及十位數(shù)字為x，可得出小明在12：00時看到的數(shù)的個位數(shù)字是（7﹣x），利用小明在12：00時看到的數(shù)＝10×十位數(shù)字+個位數(shù)字，即可用含x的代數(shù)式表示出小明在12：00時看到的數(shù)；
（2）利用小明在13：00時看到的數(shù)＝10×個位數(shù)字+十位數(shù)字，可用含x的代數(shù)式表示出小明在13：00時看到的數(shù)，再利用12：00～13：00間摩托車行駛的路程＝小明在13：00時看到的數(shù)﹣小明在12：00時看到的數(shù)，即可用含x的代數(shù)式表示出12：00～13：00間摩托車行駛的路程；
（3）利用小明在14：00時看到的數(shù)＝100×十位數(shù)字+個位數(shù)字，可用含x的代數(shù)式表示出小明在14：00時看到的數(shù)，再利用13：00～14：00間摩托車行駛的路程＝小明在14：00時看到的數(shù)﹣小明在13：00時看到的數(shù)，即可用含x的代數(shù)式表示出13：00～14：00間摩托車行駛的路程；
（4）根據(jù)摩托車的行駛速度不變，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再將其代入（9x+7）中即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵小明在12：00看到的數(shù)是一個兩位數(shù)字，它的兩個數(shù)字之和為7，小明在12：00時看到的數(shù)的十位數(shù)字是x，
∴小明在12：00時看到的數(shù)的個位數(shù)字是（7﹣x），
∴小明在12：00時看到的數(shù)是10x+（7﹣x）＝9x+7．
故答案為：9x+7；
（2）根據(jù)題意得：13：00時小明看到的數(shù)是10（7﹣x）+x＝70﹣9x，
∴12：00～13：00間摩托車行駛的路程是70﹣9x﹣（9x+7）＝63﹣18x．
故答案為：70﹣9x，63﹣18x；
（3）根據(jù)題意得：14：00時小明看到的數(shù)是100x+（7﹣x）＝99x+7，
∴13：00～14：00問摩托車行駛的路程是99x+7﹣（70﹣9x）＝108x﹣63．
故答案為：99x+7，108x﹣63；
（4）根據(jù)題意得：63﹣18x＝108x﹣63，
解得：x＝1，
∴9x+7＝9×1+7＝16．
答：小明在12：00時看到的里程碑上的數(shù)是16．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）（2）（3）根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出各數(shù)；（4）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
【例5-2】一個兩位數(shù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是6，把這個兩位數(shù)加上18后，比十位數(shù)字大56，請問這個兩位數(shù)是多少？
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)字是6﹣x，根據(jù)把這個兩位數(shù)加上18后，比十位數(shù)字大56的等量關(guān)系列出方程解答即可．
【解答】解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，則個位數(shù)字是6﹣x，由題意得
10x+6﹣x+18﹣x＝56，
解得：x＝4，
6﹣x＝6﹣4＝2．
答：這個兩位數(shù)是42．
【點(diǎn)評】此題考查一元一次方程的實際運(yùn)用，理解題意，掌握數(shù)的計數(shù)方法是解決問題的關(guān)鍵．
針對練習(xí)5
1 .利用一元一次方程解應(yīng)用題：一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和是7．如果這個兩位數(shù)加上45，恰好成為個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)之后組成的新兩位數(shù)．
（1）設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，用含x式子表示這個兩位數(shù)，并化簡．
（2）求對調(diào)后新的兩位數(shù)．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，用含x式子表示這個兩位數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，進(jìn)一步求得這個兩位數(shù)．
【解答】解：（1）用含x式子表示這個兩位數(shù)為10x+（7﹣x）＝9x+7；
（2）依題意有
9x+7+45＝10（7﹣x）+x，
解得x＝1，
10（7﹣x）+x＝10×6+1＝61．
故對調(diào)后新的兩位數(shù)為61．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)字問題，方程思想是很重要的數(shù)學(xué)思想．
2．若在一個兩位正整數(shù)A的個位數(shù)與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6，組成一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為A的“至善數(shù)”，如13的“至善數(shù)”為163；若將一個兩位正整數(shù)B加6后得到一個新數(shù)，我們稱這個新數(shù)為B的“明德數(shù)”，如13的“明德數(shù)”為19．
（1）38的“至善數(shù)”是 　368　，“明德數(shù)”是 　44　；
（2）若一個兩位正整數(shù)M的“明德數(shù)”的各位數(shù)字之和是M的“至善數(shù)”各位數(shù)字之和的一半，求出滿足條件的所有兩位正整數(shù)M的值．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）根據(jù)“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的定義計算即可得答案；
（2）設(shè)M的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，分別寫出M的“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和，“明德數(shù)”的個位可能存在進(jìn)位，故分兩類計算即可．
【解答】解：（1）38的“至善數(shù)”是368；“明德數(shù)”是38+6＝44．
故答案為：368；44；
（2）設(shè)M的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則M的至善數(shù)的各位數(shù)字之和是a+6+b．
M的明德數(shù)各位數(shù)字之和是a+b+6（當(dāng)0≤b＜4時）或a+1+（6+b﹣10）（當(dāng)4≤b≤9時）．
由題意得：0≤b＜4時，a+b+6＝（a+6+b）．
∴a+b＝﹣6，不符合題意；
或者：當(dāng)4≤b≤9時，a+1+（6+b﹣10）＝（a+6+b）．
∴a+b＝12．
∴a＝3，b＝9或a＝4，b＝8或a＝5，b＝7或a＝6，b＝6或a＝7，b＝5或a＝8，b＝4．
∴滿足條件的所有兩位正整數(shù)M的值是：39或48或57或66或75或84．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，此題屬于新定義在數(shù)字問題中的應(yīng)用，讀懂定義并正確列式是解題的關(guān)鍵．
3．列方程解應(yīng)用題
（1）一個兩位數(shù)，設(shè)它的個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大1，這個兩位數(shù)的2倍與2的和等于66，求這個兩位數(shù)．
（2）現(xiàn)有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側(cè)，要求在路的兩端各栽一棵，并且兩棵樹的間距相等．方案一：如果每隔5m栽一棵，則樹苗還差21棵；方案二：如果每隔5.5m栽一棵，則樹苗剛好用完．請問樹苗有多少棵和這段公路有多少米？
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式．版權(quán)所有
【分析】（1）設(shè)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為x+1，由題意：這個兩位數(shù)的2倍與2的和等于66，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）設(shè)這段公路有x米，由題意：如果每隔5m栽一棵，則樹苗還差21棵；如果每隔5.5m栽一棵，則樹苗剛好用完．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）設(shè)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為x+1，
由題意得：2[10（x+1）+x]+2＝66，
解得：x＝2，
∴x+1＝3，
答：這個兩位數(shù)為32．
（2）設(shè)這段公路有x米，
由題意得：+1﹣21＝+1，
解得：x＝1155，
∴+1﹣21＝231+1﹣21＝211，
答：樹苗有211棵，這段公路有1155米．
【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
4．一個兩位數(shù)，個位與十位上的數(shù)字之和為12，如果交換個位與十位數(shù)字，則所得新數(shù)比原數(shù)大36，求原兩位數(shù)．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】設(shè)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為12﹣x．根據(jù)等量關(guān)系“交換個位與十位數(shù)字，則所得新數(shù)比原數(shù)大36”列出方程并求解．
【解答】解：設(shè)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為12﹣x，列方程得
10（12﹣x）+x+36＝10x+（12﹣x），
解得：x＝8，
12﹣8＝4．
答：原兩位數(shù)為48．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．
5．一個兩位數(shù)，把它的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)，原兩位數(shù)的個位數(shù)字比原兩位數(shù)的十位數(shù)字大2，且新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為154，求原兩位數(shù)是多少？
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】根據(jù)兩位數(shù)的確定方法列出一元一次方程即可求得結(jié)果．
【解答】解：方法一：
設(shè)個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x﹣2，兩位數(shù)為10（x﹣2）+x．
根據(jù)題意，得
10x+（x﹣2）+10（x﹣2）+x＝154
解得x＝8，x﹣2＝6．
∴10（x﹣2）+x＝68．
∴原兩位數(shù)是68．
方法二：
設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，兩位數(shù)為10y+x．
根據(jù)題意，得
解得
∴10y+x＝68．
∴原兩位數(shù)是68．
答：原兩位數(shù)是68．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是確定兩位數(shù).
6 .一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字是十位上的數(shù)字的3倍．如果把十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)．
【分析】兩位數(shù)問題，一般都是設(shè)個位數(shù)或十位數(shù)，不能設(shè)某個兩位數(shù)是誰．設(shè)原來的這個兩位數(shù)十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為3x．利用新數(shù)﹣原數(shù)＝36，列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)原十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為3x，由題意得：
（3x×10+x）﹣（10x+3x）＝36，
解之得：x＝2，
故原數(shù)為2×10+6＝26；
答：原來的這個兩位數(shù)是26．
【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
類型六、比賽積分問題
【例6-1】下面的表格是某次籃球比賽積分表：
某次籃球比賽積分表
隊名 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
前進(jìn) 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍(lán)天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠(yuǎn)大 14 7 7 21
衛(wèi)星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
（1）如果刪去積分表的最后一行，你能求出勝一場和負(fù)一場的得分嗎？
（2）某隊的負(fù)場總積分能等于它的勝場總積分的2倍嗎？
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）設(shè)勝一場積x分，則負(fù)一場積分，依照光明隊的勝負(fù)場次及得分情況可列出一元一次方程，求解即可；
（2）設(shè)勝場數(shù)是y，負(fù)場數(shù)是（14﹣y），結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)負(fù)場總積分能等于它的勝場總積分的2倍，列一元一次方程求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)勝一場積x分，則負(fù)一場積分，
根據(jù)題意可得：，
解得：x＝2，
則，
答：勝一場得分為2，負(fù)一場的得分為1；
（2）設(shè)勝場數(shù)是y，負(fù)場數(shù)是（14﹣y），依題意得：
4y＝14﹣y，
解得：y＝（不符合題意），
答：某隊的負(fù)場總積分不能等于它的勝場總積分的2倍．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程在比賽問題中的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)并正確地列方程是解題的關(guān)鍵．
【例6-2】如表是某次籃球聯(lián)賽積分表，請同學(xué)們認(rèn)真觀察后完成下列各題．
隊名 比賽場次 勝場數(shù) 負(fù)場數(shù) 積分
A 16 12 4 28
B 16 12 4 28
C 16 10 6 26
D 16 10 6 26
E 16 8 8 24
F 16 8 8 24
G 16 4 12 20
H 16 0 16 16
（1）用式子表示總積分與勝、負(fù)場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）若某隊比賽了16場，它的勝場總積分能等于負(fù)場總積分嗎？說明理由．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）如果一個隊勝x場，根據(jù)比賽場次為16次，從而可得出負(fù)（16﹣x）場，再根據(jù)積分＝勝場積分+負(fù)場的積分即可求解；
（2）根據(jù)等量關(guān)系：某隊的勝場總積分能等于它的負(fù)場總積分得出方程，解出x的值后結(jié)合實際進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：（1）如果一個隊勝x場，則負(fù)（16﹣x）場，勝場積分為2x分，負(fù)場積分為（16﹣x）分，總積分為2x+（16﹣x）＝16+x分．
故總積分與勝、負(fù)場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系為：2x+（16﹣x）＝16+x．
（2）根據(jù)題意得：
2x＝16﹣x
3x＝16
x＝，不是正整數(shù)，
則某隊的勝場總積分不能等于它的負(fù)場總積分．
【點(diǎn)評】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，用字母表示數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)表格得出勝一場、負(fù)一場各自所得的積分．
針對練習(xí)6
1．下表是某次籃球聯(lián)賽積分榜的一部分：
球隊 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
飛龍 14 10 4 24
獵豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
備注：積分＝勝場積分+負(fù)場積分
（1）根據(jù)積分榜，你知道勝一場、負(fù)一場各積多少分嗎？為什么？
（2）聯(lián)賽中還有一支隊伍，領(lǐng)隊電話向組委會匯報，說他的隊伍在比賽中獲得勝場和負(fù)場的積分一樣多，請你判斷該領(lǐng)隊的說法是否成立，并說明理由．#Z8A0
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）設(shè)勝一場積x分、負(fù)一場積y分，根據(jù)題意，列出二元一次方程組，解出即可得出答案；
（2）設(shè)該隊勝場數(shù)為a場，則負(fù)場數(shù)為（14﹣a）場，根據(jù)隊伍在比賽中獲得勝場和負(fù)場的積分一樣多，列出方程，解出并分析，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)勝一場積x分、負(fù)一場積y分，
根據(jù)題意，可得：，
解得：，
∴勝一場積2分、負(fù)一場積1分；
（2）該領(lǐng)隊的說法不成立，理由如下：
設(shè)該隊勝場數(shù)為a場，則負(fù)場數(shù)為（14﹣a）場，
根據(jù)題意，可得：2a＝14﹣a，
解得：，
∵a為整數(shù)，
∴不符合題意，舍去，
∴該隊伍在比賽中獲得勝場和負(fù)場的積分不一樣多，
∴該領(lǐng)隊的說法不成立．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在理清題意，正確找出等量關(guān)系．
2．下表是某次籃球聯(lián)賽積分榜的一部分（無平局）：
（1）根據(jù)積分榜，你知道勝一場、負(fù)一場各積多少分嗎？為什么？
（2）聯(lián)賽中還有一支隊伍，領(lǐng)隊電話向組委會匯報，說他的隊伍在比賽中獲得勝場和負(fù)場的積分一樣
請你判斷該領(lǐng)隊的說法是否成立，并說明理由．
球隊 比賽場次 勝場 負(fù)場 積分
飛龍 14 10 4 24
獵豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
備注：積分＝勝場積分+負(fù)場積分
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）先根據(jù)猛虎隊得知負(fù)一場積1分，再根據(jù)小牛隊的積分列方程求解；
（2）假設(shè)成立，列方程求解．
【解答】解：（1）由猛虎隊的積分知，負(fù)一場積1分，
設(shè)勝一場積x分，
則：7x+7＝21，
解得：x＝2，
答：勝一場積2分，負(fù)一場積1分；
（2）不成立，設(shè)該隊勝了m場，則該隊負(fù)了（14﹣m）場，
則2m＝（14﹣m）×1，
解得，
因為m必須是整數(shù)，
所以該隊長說法不成立．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．?dāng)?shù)學(xué)課上，教師出示某區(qū)籃球賽積分表如下：
（1）從表中可以看出，負(fù)一場積　2　分，勝一場積　3　分；
（2）請你幫忙算出二隊勝了多少場？
（3）在這次比賽中，一個隊勝場總積分能不能等于它的負(fù)場總積分？
（4）在計算五隊、六隊勝出場次的時候，老師還沒等同學(xué)們計算出來就立刻說出了答案，老師解釋說：“我是通過找到積分與勝場之間的數(shù)量關(guān)系求出來的”，請你說出其中的奧秘．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）根據(jù)三隊的積分和負(fù)的場數(shù)可以得到負(fù)一場的積分，再根據(jù)一隊的積分和勝場數(shù)可以得到勝一場的積分；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和二隊的總積分，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到二隊勝了多少場；
（3）根據(jù)題意，列出相應(yīng)的方程，看方程的解是否為整數(shù)，即可解答本題；
（4）根據(jù)勝一場的積分和負(fù)一場的積分，以及總的比賽11場，可以寫出其中的奧秘．
【解答】解：（1）由表格可得，
負(fù)一場積分：22÷11＝2（分），勝一場積分為：（32﹣1×2）÷10＝3（分），
故答案為：2，3；
（2）設(shè)二隊勝了x場，則負(fù)了（11﹣x）場，
3x+2（11﹣x）＝29，
解得，x＝7，
答：二隊勝了7場；
（3）設(shè)一個隊勝了a場，負(fù)了（11﹣a）場，
3a＝2×（11﹣a），
解得，a＝4，
∵勝利的場數(shù)為整數(shù)，
∴一個隊勝場總積分不能等于它的負(fù)場總積分；
（4）其中的奧秘是：勝一場比負(fù)一場多1分，一共11場，最少22分，只要看最后得分比22分多幾分，就代表勝了幾場，從而可以快速的說出五隊、六隊勝出的場次．
【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，利用方程的知識解答．
類型七、和差倍分問題
搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，注意關(guān)鍵詞語，找出和差倍分關(guān)系中的關(guān)鍵字，“大、小、多，少，幾分之幾，增加、減少”等，根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，利用關(guān)鍵字表示出含有未知數(shù)的量，利用量與量的關(guān)系列方程。
【例7-1】兒子今年13歲，父親今年38歲，幾年后父親的年齡恰好是兒子年齡的2倍？
【答案】12
【分析】設(shè)x年后父親的年齡是兒子的年齡的2倍，然后根據(jù)題意給出的等量關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)x年后父親的年齡是兒子的年齡的2倍，
∴，
解得：，
故答案為：12
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出題意中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
【例7-2】2022年11月卡塔爾世界杯正式開賽，中國建造、中國制造大放異彩，彰顯了中國在全球產(chǎn)業(yè)鏈中的地位．本次比賽使用的足球由我國首條足球自動化生產(chǎn)線生產(chǎn)，已知每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)的足球數(shù)量比每條人工生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)的足球數(shù)量多2000個，并且每條人工生產(chǎn)線36天生產(chǎn)的足球數(shù)量是每條自動化生產(chǎn)線20天生產(chǎn)數(shù)量的，求每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)足球的數(shù)量．
【答案】3000個
【分析】每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)x個足球，根據(jù)每條人工生產(chǎn)線36天生產(chǎn)的足球數(shù)量是每條自動化生產(chǎn)線20天生產(chǎn)數(shù)量的列出方程，解之即可．
【詳解】解：設(shè)每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)x個足球，
由題意可得：，
解得：，
∴每條自動化生產(chǎn)線平均每天生產(chǎn)3000個足球．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出合適的未知數(shù)，找到等量關(guān)系，列出方程．
針對練習(xí)7
1 .某校三年共購買計算機(jī)140臺，去年購買數(shù)量是前年的2倍，今年購買數(shù)量又是去年的2倍，則去年這個學(xué)校購買了 臺計算機(jī)．
【答案】40
【分析】此題等量關(guān)系為：前年購買計算機(jī)臺數(shù)+去年購買計算機(jī)臺數(shù)+今年購買計算機(jī)臺數(shù)．
【詳解】解：設(shè)前年這個學(xué)校購買了臺計算機(jī)，
根據(jù)題意得：，
解得：．
．
答：去年這個學(xué)校購買40臺計算機(jī)．
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵描述語“三年共購買計算機(jī)140臺”，就找到了相應(yīng)的等量關(guān)系．
2 .兔年春節(jié)之際，小文和幾個同學(xué)要用自己的壓歲錢為社區(qū)敬老院購買春節(jié)禮品，如果每人出80元，那么可剩余36元；如果每人出70元，那么還差14元．參加此次活動的共有 人．
【答案】5
【分析】設(shè)此次參加活動的共有x人，根據(jù)購買春節(jié)禮品的總錢數(shù)不變，可得方程，解之即可．
【詳解】解：設(shè)此次參加活動的共有x人，
由題意可得：，
解得：，
∴此次參加活動的共有5人，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3 .蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿，現(xiàn)有蜘蛛和蜻蜓若干只，它們共有120條腿，且蜻蜓的只數(shù)是蜘蛛的2倍．問蜘蛛和蜻蜓各有多少只？”若設(shè)蜘蛛有x只，則x滿足的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)蜘蛛有x只，根據(jù)蜻蜓的只數(shù)是蜘蛛的2倍，以及它們共有120條腿，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)蜘蛛有x只，則蜻蜓有只，由題意，得：
；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
類型八、日歷問題
【例8-1】小趙和小王交流暑假中的活動，小趙說：“我們一家外出旅行了一個星期，這7天的日期數(shù)之和是84天，你知道我們幾號出去的么？”小王說“我暑假去舅舅家住了7天，日歷數(shù)再加月份數(shù)也是84，你能猜出我是幾月幾號回的家？試試看列出方程，解決小趙、小王的問題．（提示：7月1日﹣9月1日暑假）
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】根據(jù)題意設(shè)小趙是x號出去的那么建立等量關(guān)系x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝84，小王外出一周的中間一天是y號，根據(jù)題意得，同上建立等量關(guān)系y+（y﹣1）+（y﹣2）+（y﹣3）+（y﹣4）+（y﹣5）+（y﹣6）＝84．
【解答】解：設(shè)小趙是x號出去的，那么列出方程式x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）＝84，
簡化7x+21＝84，
解得x＝9．
答：小趙是9號出去的．
設(shè)小王外出一周的中間一天是y號，根據(jù)題意得：
7y+7＝84，
解得y＝11；
回來的日期是：
11+3＝14（號）．
或7y+8＝84，
解得 y＝10，不合題意舍去．
答：小趙是9號出去的，小王是7月14號回來的．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．此題的關(guān)鍵是知道七天中第兩天相差為1，然后依題意列出方程即可，但在第二問中，還有一個月份的問題，這就要我們先假設(shè)七月或八月，哪一個能答出整數(shù)哪一個就是正確的答案，這還要生活常識，知道學(xué)生的暑假一般在七八月這兩個月．
【例8-2】（1）小明同學(xué)在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，正方方框內(nèi)的四個數(shù)的左上角的數(shù)為2，那么右下角的那個數(shù)是 　10　．
（2）小麗也在上面的日歷上圈出2×2個數(shù)，斜框內(nèi)的四個數(shù)的右上角的數(shù)為10，那么左下角的那個數(shù)是 　4　．
（3）小文也在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，它們的和是45，則中間的那個數(shù)是 　9　．
（4）若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成如圖：
①圖（一）中方框內(nèi)的9個數(shù)的和與中間的那個數(shù)的關(guān)系是 　和是中間的數(shù)的9倍　．
②在圖（二）中，如果所畫的斜框內(nèi)中間的一個數(shù)是40，那么斜框內(nèi)這9個數(shù)的和等于 　360　．
③在圖（二）中，所畫的斜框內(nèi)的9個數(shù)之和能等于180嗎？若能，分別寫出斜框內(nèi)的9個數(shù)；若不能，請說明理由．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】先根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)第一個數(shù)是2，其他的數(shù)為2+1，2+7，2+8，
則右下角的那個數(shù)是2+8＝10．
故答案為：10；
（2）右上角的數(shù)是10，其他的數(shù)為10﹣1，10﹣7，10﹣6，
則左下角的數(shù)是10﹣6＝4．
故答案為：4；
（3）設(shè)中間的數(shù)是x，
則5x＝45，
解得x＝9；
故答案為：9；
（4）①和是中間的數(shù)的9倍．
故答案為：和是中間的數(shù)的9倍；
②根據(jù)規(guī)律可知，和是中間的數(shù)的9倍，
9×40＝360，
故答案為：360；
③設(shè)中間的數(shù)是x，
則9x＝180，
解得x＝20（不合題意舍去）．
故所畫的斜框內(nèi)的9個數(shù)之和不能等于180．
【點(diǎn)評】考查了一元一次方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生基本的計算能力和找規(guī)律的能力，解答時可聯(lián)系生活實際去解．
針對練習(xí)8
1．如表是2023年11月的日歷，用如圖所示的L形框去框其中的4個數(shù)．（1）若被框住的4個數(shù)中最小的數(shù)為7，求出被框住的這4個數(shù)的和；
（2）設(shè)被框住的最小的數(shù)為x，用含x的代數(shù)式表示出被框住的這4個數(shù)的和；
（3）被框住的4個數(shù)的和能等于100嗎？如果能，求出這4個數(shù)；如果不能，說明理由．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式；整式的加減．版權(quán)所有
【分析】（1）根據(jù)數(shù)的排布規(guī)律即可找出框中的四個數(shù)，將其相加即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合規(guī)律找出被框住的4個數(shù)相加即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合（2）以及被框住的4個數(shù)之和等于100即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，由x+15的值為31不符合實際意義可求解．
【解答】解：（1）由題意知：被框住的4個數(shù)分別為：7、14、21、22，
7+14+21+22＝64，
∴這4個數(shù)的和為64；
（2）∵被框住的4個數(shù)中最小的數(shù)為x，
∴框中的四個數(shù)分別為：x、x+7、x+14、x+15，
∴被框住的4個數(shù)的和是x+x+7+x+14+x+15＝4x+36．
故答案為：4x+36．
（3）不能，理由如下：
根據(jù)題意得：4x+36＝100，
解得：x＝16，
∵x+15＝31，
∴而十一月份沒有31天，
∴被框住的4個數(shù)的和不能等于100．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)正方形框住4個數(shù)的和列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．如圖四幅圖都是11月份的日歷，請仔細(xì)觀察該日歷，回答下列問題：
（1）圖1中帶陰影的方框中的9個數(shù)字之和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？請說明理由；
（2）如果將帶陰影的方框移至圖2的位置，（1）中的關(guān)系還成立嗎（無需說明理由）？
（3）不改變帶陰影的方框的大小，將方框移動幾個位置試一試，你能得出什么結(jié)論？請證明你的結(jié)論；
（4）如圖3，如果帶陰影的方框里的數(shù)是4個，你能得出的結(jié)論是 　方框中對角兩數(shù)之和相等　；
（5）如圖4，對于帶陰影的框中的4個數(shù)，又能得出的結(jié)論是 　方框中對角兩數(shù)之和相等　．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】（1）根據(jù)題意列式計算求解；
（2）根據(jù)題意列式計算求解；
（3）根據(jù)題意列式計算求解；
（4）根據(jù)題意列式計算求解；
（5）根據(jù)題意列式計算求解．
【解答】解：（1）帶陰影的方框中的9個數(shù)字之和等于方框正中心的數(shù)的9倍，
理由：7+8+9+14+15+16+21+22+23＝135＝15×9；
（2）將帶陰影的方框移至圖2的位置（1）中的關(guān)系還成立；
（3）帶陰影的方框內(nèi)的9個數(shù)字的和等于中間數(shù)字的9倍；
理由：設(shè)最中間位置上的數(shù)字為x，
則：x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝9x；
（4）如果帶陰影的方框里的數(shù)是4個，則：方框中對角兩數(shù)之和相等，
故答案為：方框中對角兩數(shù)之和相等；
（5）如圖4，對于帶陰影的框中的4個數(shù)，則方框中對角兩數(shù)之和相等，
故答案為：方框中對角兩數(shù)之和相等．
【點(diǎn)評】本題考查了列代數(shù)式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
3．?dāng)?shù)學(xué)科技小組的同學(xué)利用所學(xué)的知識探究日歷的奧秘．
（1）在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，
①用圖1方框圈2個數(shù)，？位置的數(shù)可表示為 　m+7　（用含字母m的式子表示）；
②用圖2方框圈出四個數(shù)的和是32，那么第一個數(shù)是 　4　；
③用圖3斜框圈出的四個數(shù)和是42，最大的數(shù)是 　14　；
（2）若干個偶數(shù)按每行8個數(shù)排成圖4所示，同樣用圖3斜框圈出4個數(shù)，用你學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明：這四個數(shù)的和是8的整數(shù)倍．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式．版權(quán)所有
【分析】（1）①根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示出來即可；
②設(shè)第一個數(shù)是x，根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可；
③設(shè)最大的數(shù)是y，根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可；
（2）設(shè)第一個數(shù)是n，根據(jù)圖4上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示求解即可．
【解答】解：（1）①用圖1方框圈2個數(shù)，？位置的數(shù)可表示為m+7．
故答案為：m+7；
②設(shè)第一個數(shù)是x，依題意有：
x+x+1+x+7+x+8＝32，
解得：x＝4．
故答案為：4；
③設(shè)最大的數(shù)是y，依題意有：
y+y﹣1+y﹣6+y﹣7＝42，
解得：y＝14．
故答案為：14；
（2）設(shè)第一個數(shù)是n，
則這四個數(shù)的和是n+n+2+n+14+n+16＝4n+32，
∵n為偶數(shù)，
∴4n+32是8的整數(shù)倍．
故這四個數(shù)的和是8的整數(shù)倍．
【點(diǎn)評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．
4．如圖是某月的日歷表，在此日歷表上用一個“十”字圈出5個數(shù)（如3，9，10，11，17）．照此方法，在某年四月的日歷表若圈出5個數(shù)，是否存在這5個數(shù)的和為120，請說明理由．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．版權(quán)所有
【分析】設(shè)第二行中間數(shù)為x，則其他四個數(shù)分別為x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，根據(jù)“這5個數(shù)的和為120”列出x的一元一次方程，求出x的值，進(jìn)而求出這5個數(shù)．
【解答】解：不能，理由如下：
設(shè)第二行中間數(shù)為x，則其他四個數(shù)分別為x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，
根據(jù)題意：這5個數(shù)的和為120，則x+x﹣7+x﹣1+x+1+x+7＝120，
解得x＝24，
即圈出5個數(shù)分別為17，24，31，23，25．
由于該月沒有31號，所以不能圈出5個數(shù)字的和為120．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)第二行中間數(shù)為x，用x表示出其他四個數(shù)，此題難度不大．
類型九、程序輸入問題
程序輸入問題的解題一般思路是：按照所給程序中的運(yùn)算法則、運(yùn)算順序轉(zhuǎn)化成方程問題，解方程得出結(jié)論。
【例9-1】軒軒在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到一個有神奇魔力的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按如圖所示的程序計算．若開始輸入的值x為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為41，則滿足條件的x值最多有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點(diǎn)】代數(shù)式求值；有理數(shù)的混合運(yùn)算．版權(quán)所有
【分析】根據(jù)題意列出等式，進(jìn)而可以求解
【解答】解：由題意可得，
當(dāng)輸入x時，3x﹣1＝41，解得：x＝14，
即輸入x＝14，輸出結(jié)果為41；
當(dāng)輸入x滿足3x﹣1＝14時，解得x＝5，
即輸入x＝5，結(jié)果為14，再輸入14可得結(jié)果為41，；
同理：
當(dāng)輸入9x﹣4時，3（9x﹣4）﹣1＝41，即：27x﹣13＝41，解得：x＝2，
當(dāng)輸入27x﹣13時，3（27x﹣13）﹣1＝41，即：81x﹣40＝41，解得：x＝1，
∵x為正整數(shù)，
∴x的值可取1或2或5或14，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了代數(shù)式的值，根據(jù)題意列出等式是解決本題的關(guān)鍵．
【例9-2】按下列程序進(jìn)行計算，經(jīng)過三次輸入，最后輸出的數(shù)是10，則最初輸入的數(shù)是（　　）
A．4 B． C． D．
【考點(diǎn)】解一元一次方程．版權(quán)所有
【分析】先根據(jù)所給的程序圖列出一元一次方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出x的值即可．
【解答】解：由程序圖可知：
4[4（4x﹣6）﹣6]﹣6＝10，
移項、合并同類項得，64x＝136，
化系數(shù)為1得，x＝．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次方程，根據(jù)題意列出方程式是解答此題的關(guān)鍵．
【例9-3】根據(jù)流程右邊圖中的程序，當(dāng)輸出數(shù)值y為1時，輸入數(shù)值x為（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣8或8 D．不存在
【考點(diǎn)】解一元一次方程．版權(quán)所有
【分析】分別把y＝1代入左右兩邊的算式求出x的值，哪邊的x的值滿足取值范圍，則哪邊求出的x的值就是輸入的x的值．
【解答】解：∵輸出數(shù)值y為1，
∴x+5＝1時，解得x＝﹣8，
﹣x+5＝1時，解得x＝8，
∵﹣8＜1，8＞1，
都不符合題意，故不存在．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次方程，題目比較新穎，有創(chuàng)意，需要先求出x的值再根據(jù)條件判斷是否符合．
針對練習(xí)9
1．按下面的程序計算：
若輸n＝100，輸出結(jié)果是501；若輸入n＝25，輸出結(jié)果是631，若開始輸入的n值為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則開始輸入的n值可能有（　　）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；代數(shù)式求值．版權(quán)所有
【分析】根據(jù)最后輸出的結(jié)果可以列出關(guān)于x的方程5n+1＝656，通過解方程可得它前面的那個數(shù)，接下來可求出符合題意的正整數(shù)．
【解答】解：由題意可知：
5n+1＝656，n＝131，
5n+1＝131，n＝26，
5n+1＝26，n＝5，
5n+1＝5，n＝0.8，
∵n值為正整數(shù)，
∴n＝0.8不符合題意．
n的值可取131，26，5，共3個．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了代數(shù)式求值以及一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系．
2．觀察如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為5，則輸入的x值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．3或﹣1
【考點(diǎn)】解一元一次方程．版權(quán)所有
【分析】分當(dāng)x＞0時，當(dāng)x＜0時，兩種情況根據(jù)輸出的結(jié)果為5建立方程求解即可．
【解答】解：當(dāng)x＞0時，
∵輸出的結(jié)果為5，
∴2x﹣1＝5，
解得x＝3；
當(dāng)x＜0時，
∵輸出的結(jié)果為5，
∴|x|+2＝5，
∴﹣x+2＝5，
解得x＝﹣3；
綜上所述，輸入的x值為3或﹣3．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的計算，分類討論是解題的關(guān)鍵．
3．觀察如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為3，則輸入的x值為（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或﹣2
【考點(diǎn)】一元一次方程的解．版權(quán)所有
【分析】根據(jù)輸出結(jié)果為3，得到關(guān)于x的方程，求解得結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng)|x|+2＝3時，|x|＝1．
∴x＝±1．
由于x＜0，
∴x＝﹣1；
（2）當(dāng)2x﹣1＝3時，x＝2．
所以當(dāng)輸出的結(jié)果為3，則輸入的x值為2或﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
4．按如圖所示的程序進(jìn)行計算，若輸入x的值是﹣1，則輸出y的值為﹣1；若輸出y的值為，則輸入x的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．無法確定
【考點(diǎn)】解一元一次方程．版權(quán)所有
【分析】根據(jù)“輸入x的值是﹣1，輸出y的值為﹣1”求出a的值，再分兩種情況：①當(dāng)x≥﹣2時，②當(dāng)x＜﹣2時y的值為，分別求出x的值即可．
【解答】解：∵﹣1＞﹣2，
∴把x＝﹣1，y＝﹣1代入y＝得，，
解得，a＝1，
∴y＝或y＝3x+1，
∴當(dāng)輸出y的值為，分兩種情況：
①當(dāng)x≥﹣2時，＝，解得x＝1；
②當(dāng)x＜﹣2時，＝3x+1，解得x＝﹣＞﹣2，舍去，
∴輸出y的值為時，輸入x的值是1，
故選：A．
【點(diǎn)評】考查了代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚題圖給出的計算程序，注意分類討論．
5 .如圖是一種數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的運(yùn)算程序
（1）若第1次輸入的數(shù)為x＝1，則第1次輸出的數(shù)為4，則第10次輸出的數(shù)為　4　；若第1次輸入的數(shù)為12，則第10次輸出的數(shù)為　3　．
（2）若輸入的數(shù)x＝5，求第2010次輸出的數(shù)是多少？
（3）是否存在輸入的數(shù)x，使第3次輸出的數(shù)是x？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）（2）由圖示知，當(dāng)輸入的數(shù)x為偶數(shù)時，輸出x，當(dāng)輸入的數(shù)x是奇數(shù)時，輸出x+3．按此規(guī)律計算即可求解；
（2）分x為奇數(shù)，x為偶數(shù)兩種情況，根據(jù)輸入的數(shù)x，使第3次輸出的數(shù)是x，路程方程求解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)?shù)?次輸入的數(shù)為x＝1時，
第一次輸出1+3＝4，
第二次輸出4×＝2，
第三次輸出2×＝1，
三個一循環(huán)，則第10次輸出的數(shù)為4；
當(dāng)?shù)?次輸入的數(shù)為x＝12時，
第一次輸出12×＝6，
第二次輸出6×＝3，
第三次輸出3+3＝6，
二個一循環(huán)，則第10次輸出的數(shù)為3；
（2）當(dāng)?shù)?次輸入的數(shù)為x＝5時，
第一次輸出5+3＝8，
第二次輸出8×＝4，
第三次輸出4×＝2，
第四次輸出2×＝1，
第五次輸出1+3＝4，
三個一循環(huán)，則第2010次輸出的數(shù)為2；
（3）當(dāng)x為奇數(shù)時，有（x+3）+3＝x，解得x＝9（舍去），
×（x+3）＝x，解得x＝1，
當(dāng)x為偶數(shù)時，有××x＝x，解得x＝0，
×x+3＝x，解得x＝4，
×（x+3）＝x，解得x＝2，
綜上所述，x＝0或1或2或4．
【點(diǎn)評】考查了一元一次方程的應(yīng)用，本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，注意輸入的數(shù)x分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況．
類型十、比例分配問題
解決這類型問題的方法是：按照比例間接設(shè)立未知數(shù)，根據(jù)所給比例找等量關(guān)系。
【例10-1】平行四邊形兩鄰邊的比為,周長為，求這個平行四邊形的四條邊長分別是多少？
解：根據(jù)題意設(shè)一條邊的長為2x，另一條為5x，則有 2(2x+5x)=28 ， 解得：x=2． 所以2x=4 , 5x=10
即這四條邊的長分別為：4cm，10cm, 4cm，10cm
【解析】根據(jù)題意設(shè)一條線段長為2x，另一條為5x，繼而可列出方程求出答案.
【例10-2】已知兩條線段的差是10cm，這兩條線段的比是2：3，求這兩條線段的長．
【答案】解：根據(jù)題意設(shè)一條線段長為2x，另一條為3x，則有 3x-2x=10 ， 解得：x=10cm．
即這兩條線段的長分別為：20cm，30cm
【解析】根據(jù)題意設(shè)一條線段長為2x，另一條為3x，繼而可列出方程求出答案．
針對練習(xí)10
1 .新冠疫情期間，甲、乙、丙三家公司為抗擊疫情捐款，他們共捐款216萬元，所捐款數(shù)的比為3：4：5，問甲、乙、丙三家公司各捐款多少萬元？
【答案】甲公司捐款54萬元，乙公司捐款72萬元，丙公司捐款90萬元
【分析】設(shè)甲公司捐款3x萬元，則乙公司捐款4x萬元，丙公司捐款5x萬元，根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可；
【詳解】解：設(shè)甲公司捐款3x萬元，則乙公司捐款4x萬元，丙公司捐款5x萬元，根據(jù)題意得，
3x+4x+5x=216，
解得，x=18．
所以3x=54，4x=72，5x=90；
答：甲公司捐款54萬元，乙公司捐款72萬元，丙公司捐款90萬元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
2 .列方程解應(yīng)用題，若沒有列方程，則給0分．
(1)洗衣機(jī)廠今年計劃生產(chǎn)洗衣機(jī)25500臺，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三種洗衣機(jī)的數(shù)量比為1：2：14，計劃生產(chǎn)這三種洗衣機(jī)各多少臺？
(2)一列火車勻速行駛，經(jīng)過（從車頭進(jìn)入到車尾離開）一條長300m的隧道需要20s的時間．隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10s．求這列火車的長度．
【答案】(1)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三種洗衣機(jī)分別生產(chǎn)1500、3000、21000臺．
(2)這列火車的長度300m．
【分析】（1）設(shè)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三種洗衣機(jī)分別生產(chǎn)x、2x、14x臺，由于洗衣機(jī)廠今年計劃生產(chǎn)洗衣機(jī)25500臺，由此即可列出方程，解方程即可求出結(jié)果．
（2）根據(jù)速度相等列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．
【詳解】（1）解：設(shè)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三種洗衣機(jī)分別生產(chǎn)x、2x、14x臺，
依題意得：x＋2x＋14x＝25500
解得：x＝1500
∴2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000
答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三種洗衣機(jī)分別生產(chǎn)1500、3000、21000臺．
（2）解：設(shè)火車的長度為x m，
根據(jù)題意得：，
解得：x＝300，
答：這列火車的長度300m．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
3 .根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2：5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，則這些消毒液分裝成的這兩種產(chǎn)品中有 瓶大瓶產(chǎn)品．
【答案】20000
【分析】設(shè)大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根據(jù)題意列方程求出x，則可知大瓶的數(shù)量
【詳解】換算單位：22.5t=22.5×1000×1000g
設(shè)大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根據(jù)題意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案為：20000
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一般情況下題目中出現(xiàn)比值問題，通常設(shè)每份為x，掌握以上方法是解題的關(guān)鍵．
4 .某村原有林地115公頃、旱地65公頃，為保護(hù)環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地面積占林地面積的20%．設(shè)把公頃旱地改為林地，則可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)把x公頃旱地改為林地，根據(jù)旱地面積占林地面積的20%列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)把x公頃旱地改為林地，根據(jù)題意可得方程：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以以改造后的旱地與林地的關(guān)系為等量關(guān)系列出方程．
5 .某村原有林地108公頃，旱地54公公頃，為保護(hù)環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地占林地面積的20%．設(shè)把x公頃旱地改為林地，則為可列方程為 _____________ ．
【答案】20%（108+x）=54﹣x
【解析】【解答】解：設(shè)把x公頃旱地改為林地，根據(jù)題意可得方程：54﹣x=20%（108+x）．
故答案為：20%（108+x）=54﹣x．
設(shè)把x公頃旱地改為林地，根據(jù)旱地面積占林地面積的20%列出方程即可．
6 .甲、乙兩人合資辦一個企業(yè)，并協(xié)議按照投資額的比例多少分配所得利潤．已知甲與乙投資額的比例為3：4，首年利潤為38 500元，問甲、乙兩人分別可獲得利潤多少元？
【分析】此題的等量關(guān)系是甲乙所得利潤和為38500元，解題的關(guān)鍵是抓住此類題目的設(shè)法，此題可設(shè)甲乙可獲得利潤分別是3x元、4x元，列方程即可．
【解答】解：設(shè)甲乙可獲得利潤分別是3x元、4x元，
由題意得，3x+4x＝38500，
解得：x＝5500．
∴甲乙可獲得利潤分別是16500元、22000元．
答：甲獲得的利潤為16500元，乙獲得的利潤為22000元．
【點(diǎn)評】此題貼近于學(xué)生生活實際，利于學(xué)生理解，但要把握好比例問題中未知數(shù)得設(shè)法，設(shè)一份為x元，則甲乙可獲得利潤分別是3x元、4x元．
7．學(xué)校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知師傅單獨(dú)完成需要4天，徒弟單獨(dú)完成需要6天．
（1）徒弟先做一天，再兩人合作．共得報酬450元，按各人完成的工作量計算報酬，師徒各得多少？
（2）兩人合作完成后共得報酬450元，工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，多出的部分按每人單獨(dú)完成工作量的比例進(jìn)行分配，師徒各得多少元？
【分析】根據(jù)師徒單獨(dú)制作時間可知，師傅一天可以完成廣告牌的，徒弟一天可以完成廣告牌的．
（1）設(shè)師傅工作了x天，則徒弟工作了（x+1）天，根據(jù)總工作量＝徒弟完成的工作量+師傅完成的工作量即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)報酬的分配方式為按各人完成的工作量計算，即可求出師徒各得多少錢；
（2）根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率即可求出制作廣告牌需要的時間，結(jié)合兩人的工作效率即可求出各自完成的工作量，再根據(jù)報酬的分配方式即可求出師徒各自獲得的報酬，此題得解．
【解答】解：根據(jù)師徒單獨(dú)制作時間可知，師傅一天可以完成廣告牌的，徒弟一天可以完成廣告牌的．
（1）設(shè)師傅工作了x天，則徒弟工作了（x+1）天，
根據(jù)題意，得：x+（x+1）＝1，
解得：x＝2．
師傅獲得的報酬為×2×450＝225（元），
徒弟獲得的報酬為450﹣225＝225（元）．
答：師傅獲得的報酬為225元，徒弟獲得的報酬為225元．
（2）師徒二人共同工作的時間為：1÷（+）＝（天），
徒弟完成了廣告牌的×＝，
師傅完成了廣告牌的×＝，
師徒完成工作量相同的部分占廣告牌的×2＝，
徒弟獲得的報酬為：450××＝144（元），
師傅獲得的報酬為：450﹣144＝306（元）．
答：師傅獲得的報酬為306元，徒弟獲得的報酬為144元．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程（或列式計算）是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑