資源簡介

復數的三角表示 學案
【目錄】
【新知講解】
知識點1.復數的三角表示式
知識點2.復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
【方法練】
【創新練】
【成果練】
【知識導圖】
【新知講解】
知識點1.復數的三角表示式
(1)復數的三角表示式
如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來表示復數z.
一般地，任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)輻角的主值
顯然，任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍.例如，復數i的輻角是
+2kπ，其中k可以取任何整數.對于復數0，因為它對應著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輻角也是任意的.我們規定在0<2π范圍內的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的復數相等
每一個不等于零的復數有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.
例1．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列復數是不是復數的三角形式，并說明理由.
(1)；
(2)．
例2．（2023·全國·高一隨堂練習）在復平面內作出下列復數對應的向量，并用三角形式表示（輻角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
例3．（2023·全國·高一隨堂練習）把下列復數表示成代數形式：
(1)；
(2)．
例4．（2023·全國·高一隨堂練習）將復數對應的向量旋轉，求所得向量對應的復數．
知識點2.復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
1．復數乘法運算的三角表示及其幾何意義
(1)復數乘法運算的三角表示
根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.
(2)幾何意義
兩個復數，相乘時，可以像圖那樣，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量
繞點O按逆時針方向旋轉角(如果<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角||)，再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積.這是復數乘法的幾何意義.
2．復數除法運算的三角表示及其幾何意義
(1)復數除法運算的三角表示
設=(+i)，=(+i)，且≠，因為(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根據復數除法的定義，有=[(-)+i(-)].
這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻
角減去除數的輻角所得的差.
(2)幾何意義
如圖，兩個復數，相除時，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量繞點O按
順時針方向旋轉角(如果<0，就要把繞點O按逆時針方向旋轉角||)，再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是商.這是復數除法的幾何意義.
例一、多選題
1．（2023上·福建莆田·高二莆田一中?？奸_學考試）已知復數，，，為坐標原點，，，對應的向量分別為，，，則以下結論正確的有（ ）
A．
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則為正三角形
例二、解答題
2．（2021下·遼寧大連·高一遼師大附中?？茧A段練習）設復數，
(1)寫出的三角形式；
(2)復數滿足，且在復平面內對應的點在虛軸的負半軸上，，求的代數形式．
3．（2023·全國·高一課堂例題）解方程，并將其所有的根用復平面上的點表示，觀察以這些點為頂點的多邊形是什么性狀．
4．（2023·全國·高一課堂例題）根據乘任意復數z的幾何意義計算：
(1)；
(2)．
【方法練】
一、單選題
1．（2022·高一課前預習）若，則（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2020·高一課時練習）復數-i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2022上·廣東東莞·高三統考期末）已知復數，是的共軛復數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校┮阎獮樘摂祮挝唬?，，…，，則.特別地，如果，那么，這就是法國數學家棣莫佛（1667—1754年）創立的棣莫佛定理.根據上述公式，可判斷下列命題錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
三、填空題
5．（2021下·上海長寧·高一上海市延安中學?？计谀┮阎獜蛿翟趶推矫嫔纤鶎南蛄渴牵瑢⒗@原點順時針旋轉120°得到向量，則向量所對應的復數為 (結果用復數的代數形式表示).
四、解答題
6．（2020·高一課時練習）化簡下列各式.
（1）；
（2）.
7．（2022·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)．
8．（2024·全國·高三專題練習）已知，且，試用多種解法求解．
【創新練】
一、單選題
1．（2020·高一課時練習）________.
A． B．
C． D．
2．（2023下·高一單元測試）1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式（x∈R，i為虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據此公式，下面四個結果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2022·湖北省直轄縣級單位·湖北省仙桃中學?？寄M預測）已知單位向量分別對應復數，且，則可能為（ ）
A． B． C． D．
4．（2021下·重慶江北·高三?？茧A段練習）已知復數(為虛數單位)，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2020·高一課時練習）計算： .
6．（2022·高一課時練習）將復數化為三角形式： ．
四、解答題
7．（2021·高一課時練習）已知z1=，z2=6cos+isin，計算z1z2，并說明其幾何意義.
8．（2023·全國·高一課堂例題）將正實數連續四次乘得到，，，，并將這些數用復平面上的點，，，表示，觀察這些點的相互位置關系，你發現了什么？
【成果練】
一、單選題
1．（2022·高一課時練習）如果，那么復數的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2021下·高一課時練習）已知復數和的輻角主值分別為、，則等于（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
3．（2023·全國·高三專題練習）把復數與對應的向量分別按逆時針方向旋轉和后，重合于向量且模相等，已知，則復數的代數形式和它的輻角分別是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022下·高一課時練習）（多選題）關于復數，，下列說法中正確的有（ ）
A．
B．復數是由順時針旋轉得到的
C．復數和的夾角為
D．復數是由逆時針旋轉，再拉伸為原來的倍得到的
三、填空題
5．（2022下·高一單元測試）已知復數，，則 .
6．（2023·高一課時練習）計算： ．
7．（2021·高一課時練習）復數，則 .
四、解答題
8．（2023·全國·高一隨堂練習）計算的5次方根．
9．（2023·全國·高一隨堂練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
10．（2023·全國·高一隨堂練習）圖中四邊形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用復數方法證明：．

11．（2021·高一課時練習）若復數的輻角主值是，求實數a的值．
12．（2022·高一課時練習）由方程得的三個根為，則．將上式右邊的各個一次因子適當分組相乘，則可變成有理系數多項式，就得到了的有理分解式．請你仿此將進行有理分解．
13．（2021下·福建莆田·高一仙游一中?？茧A段練習）已知z＝cosθ－sin θ＋＋i(cosθ＋sinθ).
(1)當θ為何值時，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示).
14．（2023·高一課時練習）復數的輻角主值是，且為一實數，求復數．復數的三角表示 學案
【目錄】
【新知講解】
知識點1.復數的三角表示式
知識點2.復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
【方法練】
【創新練】
【成果練】
【知識導圖】
【新知講解】
知識點1.復數的三角表示式
(1)復數的三角表示式
如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來表示復數z.
一般地，任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)輻角的主值
顯然，任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍.例如，復數i的輻角是
+2kπ，其中k可以取任何整數.對于復數0，因為它對應著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復數0的輻角也是任意的.我們規定在0<2π范圍內的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的復數相等
每一個不等于零的復數有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.
例1．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列復數是不是復數的三角形式，并說明理由.
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是，理由見解析；
(2)不是，理由見解析；
【分析】根據復數的三角形式即可判斷.
【詳解】（1）括號內兩項中間不是加號，故不是復數的三角形式，
其三角形式為.
（2）不滿足復數的模大于等于0，故不是復數的三角形式，
其三角形式為.
例2．（2023·全國·高一隨堂練習）在復平面內作出下列復數對應的向量，并用三角形式表示（輻角取主值）：
(1)6；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，畫向量見解析
(2)，畫向量見解析
(3)，畫向量見解析
(4)，畫向量見解析
【分析】根據復數的幾何意義，求出模長和輻角，即可求解.
【詳解】（1）6對應的向量如答圖中，
，又，
.

（2）對應的向量如答圖中，
，
又，.

（3）對應的向量如答圖中
，
又，.

（4）對應的向量如答圖中，
，
又，.

例3．（2023·全國·高一隨堂練習）把下列復數表示成代數形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】由誘導公式及特殊角的三角函數化簡即可.
【詳解】（1）；
（2）.
例4．（2023·全國·高一隨堂練習）將復數對應的向量旋轉，求所得向量對應的復數．
【答案】
【分析】利用歐拉公式表達出原復數，利用旋轉即可得出旋轉后所得向量對應的復數.
【詳解】由題意，
旋轉后，變為，
∴旋轉后所得向量對應的復數為.
知識點2.復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
1．復數乘法運算的三角表示及其幾何意義
(1)復數乘法運算的三角表示
根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.
(2)幾何意義
兩個復數，相乘時，可以像圖那樣，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量
繞點O按逆時針方向旋轉角(如果<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角||)，再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積.這是復數乘法的幾何意義.
2．復數除法運算的三角表示及其幾何意義
(1)復數除法運算的三角表示
設=(+i)，=(+i)，且≠，因為(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根據復數除法的定義，有=[(-)+i(-)].
這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻
角減去除數的輻角所得的差.
(2)幾何意義
如圖，兩個復數，相除時，先分別畫出與，對應的向量，，然后把向量繞點O按
順時針方向旋轉角(如果<0，就要把繞點O按逆時針方向旋轉角||)，再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是商.這是復數除法的幾何意義.
例一、多選題
1．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考開學考試）已知復數，，，為坐標原點，，，對應的向量分別為，，，則以下結論正確的有（ ）
A．
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則為正三角形
【答案】ABD
【分析】根據復數的乘法運算及復數的模的計算公式計算即可判斷A；根據復數的除法運算即可判斷B；根據向量的數量積的運算律求出與的夾角的余弦值即可判斷C；結合C選項即可判斷D.
【詳解】因為，，，
所以，則，
對于A，，
故
，
，
所以，故A正確；
對于B，若，則，故B正確；
對于C，設與的夾角為，
若，則，
即，
即，所以，
所以，即與的夾角為，故C錯誤；
對于D，若，則，
則，
即，由C選項可知與的夾角為，
同理與的夾角為，與的夾角為，
又，
所以，故D正確.
故選：ABD.
例二、解答題
2．（2021下·遼寧大連·高一遼師大附中?？茧A段練習）設復數，
(1)寫出的三角形式；
(2)復數滿足，且在復平面內對應的點在虛軸的負半軸上，，求的代數形式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據公式，即可直接得出答案；
（2）設，根據三角恒等變換表示出，然后根據已知得出的值，代入即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2）由已知可設，
則.
所以，.
由已知可得，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
3．（2023·全國·高一課堂例題）解方程，并將其所有的根用復平面上的點表示，觀察以這些點為頂點的多邊形是什么性狀．
【答案】答案見解析.
【分析】應用復數的三角表示及幾何意義即可得解.
【詳解】在復平面C上，用向量來表示復數。
于是，該向量可以分成兩個在實軸、虛軸上的分向量。
如果向量與實軸正方向的夾角為 ，
那么這兩個分向量分別等于（其中）。
所以，復數可表示為，
設，，則
且
且．
由于正弦、余弦函數的周期均是，為避免復數根重復，只在范圍內取值，
于是取0，1，2三個值，得三個不同的根1，，．
在復平面上畫出表示這三個根的點，，，如圖所示．
觀察發現，以這三點為頂點的是以原點為圓心的單位圓的內接正三角形，三個頂點等分圓周．

4．（2023·全國·高一課堂例題）根據乘任意復數z的幾何意義計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)1
【分析】（1）根據乘任意復數z的幾何意義求解即可.
（2）根據乘任意復數z的幾何意義求解即可.
【詳解】（1）設，
則用乘任意復數，其幾何意義是將對應的向量旋轉45°，
于是，用乘的幾何意義是將對應的向量連續旋轉兩個45°，
也就是將對應的向量旋轉90°，又由虛數單位乘任意復數的幾何意義可知，
，即．
（2）設，
則用乘任意復數，其幾何意義是將對應的向量旋轉120°，
同理可得，用乘任意復數就是將對應的向量連續旋轉三個120°，
其結果就是將對應的向量旋轉360°后回到原處，
因而．
【方法練】
一、單選題
1．（2022·高一課前預習）若，則（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】根據復數乘方的三角運算得到的三角形式，即可確定輻角.
【詳解】由，
所以60°.
故選：B
2．（2020·高一課時練習）復數-i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據復數的三角形式求解即可.
【詳解】
-i的立方根為（其中）
當時,得；
當時,得；
當時,得,
故選：D
【點睛】本題主要考查了復數的三角形式的應用,屬于中檔題.
二、多選題
3．（2022上·廣東東莞·高三統考期末）已知復數，是的共軛復數，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】ABC
【分析】若 ，則， ，利用復數代數運算，可以判斷AB；利用復數的三角運算，可以判斷C；利用數形結合，可以判斷D.
【詳解】對于A：
若 ，則，故，
所以A正確；
對于B：
若，則，
所以B正確；
對于C：
設 ，
則 ，故 ，
所以C正確；
對于D：
如下圖所示，若 ，，則，，故 ，
所以D錯誤.
故選：ABC
4．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校┮阎獮樘摂祮挝唬?，，…，，則.特別地，如果，那么，這就是法國數學家棣莫佛（1667—1754年）創立的棣莫佛定理.根據上述公式，可判斷下列命題錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】BCD
【分析】根據題目中的已知條件，依次判斷各項正誤.
【詳解】A.若，則，所以該選項正確；
B.若，則，所以該選項錯誤；
C.若，，則
，所以該選項錯誤；
D.，，則
.所以該選項錯誤.
故選：BCD.
三、填空題
5．（2021下·上海長寧·高一上海市延安中學?？计谀┮阎獜蛿翟趶推矫嫔纤鶎南蛄渴牵瑢⒗@原點順時針旋轉120°得到向量，則向量所對應的復數為 (結果用復數的代數形式表示).
【答案】
【分析】把繞原點按順時針方向旋轉得到，可知與所對應的復數為，代入三角函數值，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．
【詳解】解：向量與復數對應，把繞原點按順時針方向旋轉得到，
可得與對應的復數為
，
故答案為：．
四、解答題
6．（2020·高一課時練習）化簡下列各式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】根據三角函數的和差公式化簡即可.
【詳解】（1）原式
.
（2）原式
.
【點睛】本題考查復數的運算法則，三角函數的和差公式，屬于基礎題.
7．（2022·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)．
【答案】(1)； (2).
【分析】(1)利用復數三角形式的乘法法則直接進行計算作答.
(2)利用復數三角形式的除法法則直接進行計算作答.
【詳解】（1）.
（2）
.
8．（2024·全國·高三專題練習）已知，且，試用多種解法求解．
【答案】
【分析】根據復數的代數形式、三角形式和自身的運算規律，可從三個方面出發求．
【詳解】解法一：設．
由知．
∴
解得．故．
解法二：由，設，
∴．
∴，即，
∴，
∴．
即或．故．
解法三：由，知，
．
又由，易得，即．
．故．
【創新練】
一、單選題
1．（2020·高一課時練習）________.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據復數的基本運算求解即可.
【詳解】原式=.
故選：C
【點睛】本題主要考查了復數的三角形式運算,屬于基礎題.
2．（2023下·高一單元測試）1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式（x∈R，i為虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據此公式，下面四個結果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題設中的公式和復數運算法則，逐項計算后可得正確的選項．
【詳解】對于A，當時，因為，所以，故選項A正確；
對于B，，
故選項B正確；
對于C，由，，
所以,得出，故選項C正確；
對于D，由C的分析得，推不出，故選項D錯誤．
故選：D．
二、多選題
3．（2022·湖北省直轄縣級單位·湖北省仙桃中學?？寄M預測）已知單位向量分別對應復數，且，則可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據題意，設復數，，計算可得，即可選出答案.
【詳解】因為單位向量分別對應復數，
設復數，，
因為，所以，即，
所以，
故選：AD.
4．（2021下·重慶江北·高三?？茧A段練習）已知復數(為虛數單位)，則下列說法中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由已知可得，由復數三角形式的乘方運算，即可判斷各選項的正誤.
【詳解】由，
A：，正確；
B：，錯誤；
C：由B知：，正確；
D：，錯誤；
故選：AC
三、填空題
5．（2020·高一課時練習）計算： .
【答案】
【解析】先根據復數的三角形式的運算法則化簡，再利用特殊角的三角函數值求值．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查復數的三角形式及其運算，考查復數的代數形式及其運算，屬于基礎題．
6．（2022·高一課時練習）將復數化為三角形式： ．
【答案】
【分析】根據復數的三角表示的定義計算即可.
【詳解】解：復數中，，設為復數的輻角主值，
又
所以.
故答案為：.
四、解答題
7．（2021·高一課時練習）已知z1=，z2=6cos+isin，計算z1z2，并說明其幾何意義.
【答案】3i，幾何意義見解析.
【分析】利用復數三角形式的乘法運算，即可得到答案；
【詳解】解：.
首先作復數z1對應的向量，然后將繞點O按逆時針方向旋轉，再將其長度伸長為原來的6倍，得到的向量即為z1z2所對應向量.
8．（2023·全國·高一課堂例題）將正實數連續四次乘得到，，，，并將這些數用復平面上的點，，，表示，觀察這些點的相互位置關系，你發現了什么？
【答案】向量每旋轉，其所對應的復數就相應乘．
【分析】根據復數模的特征，結合旋轉的性質進行求解即可.
【詳解】由于，，，的模都等于，
且它們在復平面上對應的向量，，，的模都等于，
方向分別為軸正方向、軸正方向、軸負方向、軸負方向，如圖所示，
將依次旋轉，旋轉四次，則依次得到，，，．
于是可發現向量每旋轉，其所對應的復數就相應乘．
.
【成果練】
一、單選題
1．（2022·高一課時練習）如果，那么復數的三角形式是（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根據復數的三角形式公式，利用復數的乘法以及三角函數的運算，可得答案.
【詳解】因為，，
所以.
故選：A.
2．（2021下·高一課時練習）已知復數和的輻角主值分別為、，則等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根據題意，得到，結合兩角和的正切公式，即可求解.
【詳解】由題意，復數和的輻角主值分別為，
則，所以 .
故選：D.
二、多選題
3．（2023·全國·高三專題練習）把復數與對應的向量分別按逆時針方向旋轉和后，重合于向量且模相等，已知，則復數的代數形式和它的輻角分別是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由題意可知，，求出，再求出所對應的坐標，可得輻角.
【詳解】由題意可知，
又，
則
，
可知對應的坐標為，則它的輻角主值為，
故可以作為復數的輻角的是，，
當時，.
故選：BD.
4．（2022下·高一課時練習）（多選題）關于復數，，下列說法中正確的有（ ）
A．
B．復數是由順時針旋轉得到的
C．復數和的夾角為
D．復數是由逆時針旋轉，再拉伸為原來的倍得到的
【答案】ACD
【分析】由復數的模長公式判斷A；由復數的三角形式旋轉計算判斷選項B和D；由復數的集合意義判斷選項C．
【詳解】選項A，，，，A正確；
選項B，復數，其中，順時針旋轉得到，B錯誤；
選項C，復數對應的向量為，對應的向量為，，復數和的夾角為，C正確；
選項D，，其中，逆時針旋轉得到，再拉伸為原來的倍可得，D正確；
故選：ACD
三、填空題
5．（2022下·高一單元測試）已知復數，，則 .
【答案】
【分析】設出復數的三角形式，根據復數的三角形式運算即可得解.
【詳解】因為，
可設，
所以：，
所，則.
故答案為：1
6．（2023·高一課時練習）計算： ．
【答案】
【分析】根據復數的三角運算公式運算即可.
【詳解】
，
，
故答案為：.
7．（2021·高一課時練習）復數，則 .
【答案】
【分析】利用復數的除法運算進行化簡，再借助復數的輻角主值的求法進行求解即可.
【詳解】
復數在復平面內，對應點的坐標為，
點在軸上，
所以，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查復數的除法運算及復數的輻角主值的計算，屬于基礎題.
四、解答題
8．（2023·全國·高一隨堂練習）計算的5次方根．
【答案】
【分析】把復數化成三角形式，利用復數的開方運算法則直接求5次方根.
【詳解】設的5次方根為，
所以，
即，
所以，得，
所以的5次方根是5個復數，記為.
9．（2023·全國·高一隨堂練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6).
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的復數乘法、除法、乘方運算法則求解即得.
（6）把復數化成三角形式，再利用三角形式的復數運算計算即得.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
（6）
.
10．（2023·全國·高一隨堂練習）圖中四邊形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用復數方法證明：．

【答案】證明見解析
【分析】根據題意，建立以為坐標原點的直角坐標系，分別表示出對應的復數，并將復數改寫成三角表示的形式并進行乘法運算即可得出結論.
【詳解】以為坐標原點，以方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，如下圖所示：

令，可得點，
所以對應的復數分別為，
所以分別為的輻角，且；
可得
；
所以可得
11．（2021·高一課時練習）若復數的輻角主值是，求實數a的值．
【答案】
【分析】計算得到，故且，解得答案.
【詳解】，故且，解得.
12．（2022·高一課時練習）由方程得的三個根為，則．將上式右邊的各個一次因子適當分組相乘，則可變成有理系數多項式，就得到了的有理分解式．請你仿此將進行有理分解．
【答案】
【分析】根據題目所給的信息即可求解.
【詳解】根據題目有理分解式原理可知
的個根為，
則.
13．（2021下·福建莆田·高一仙游一中校考階段練習）已知z＝cosθ－sin θ＋＋i(cosθ＋sinθ).
(1)當θ為何值時，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示).
【答案】(1)當時， 取最大值為2 ，
(2).
【分析】（1）按照復數模的定義求解即可；
（2）按照復數的輻角主值的定義求解即可.
【詳解】（1）由復數模的定義可得：
，
顯然當 時最大，即 ， 最大值為 ；
（2）設 ，
，
實部為 ，虛部為，
，
∴當 即 時， ，
此時復數z對應的點在第四象限， ， ，
當 即，，
此時復數z對應的點在第一象限（或x軸的非負半軸上），
，∴ ，
∴ ；
綜上，當時， 最大，最大值為，
.
14．（2023·高一課時練習）復數的輻角主值是，且為一實數，求復數．
【答案】
【分析】根據輻角主值的定義，寫出的表達式，并帶入化簡，結合為一實數求出參數，進而得到的值.
【詳解】∵復數的輻角主值是，且，
，
，
，
，
為實數，
，
整理得：，
，

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