資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
數(shù)列的概念 學(xué)案
【目錄】
【新知講解】
知識點1.對數(shù)列概念的理解
知識點2.數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
知識點3.數(shù)列的遞推公式及簡單應(yīng)用
知識點4.數(shù)列的前n項和公式及簡單應(yīng)用
【方法練】
【創(chuàng)新練】
【成果練】
【知識導(dǎo)圖】
【新知講解】
知識點1.對數(shù)列概念的理解
數(shù)列及其有關(guān)概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．
2. 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．
思考　數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？
答案　 不是．順序不一樣．
　數(shù)列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列
無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列
函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．
數(shù)列的單調(diào)性
遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列
常數(shù)列 各項都相等的數(shù)列
例一、單選題
1．（2023上·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列則是這個數(shù)列的（　　）
A．第20項 B．第21項
C．第22項 D．第23項
【答案】D
【分析】由即可得.
【詳解】，故為第23項.
故選：D.
例二、多選題
2．（2023下·高二課時練習(xí)）（多選題）下列說法不正確的是（ ）
A．數(shù)列可以表示為
B．數(shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列
C．數(shù)列的第項為1＋
D．數(shù)列可記為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)數(shù)列的概念求得正確答案.
【詳解】A選項，數(shù)列和數(shù)列，
前者是有限項，后者是無限項，所以兩個數(shù)列不一樣，A選項錯誤.
B選項，數(shù)列與數(shù)列的項的順序不相同，
所以不是相同數(shù)列，B選項錯誤.
C選項，，所以數(shù)列的第項為1＋，C選項正確.
D選項，數(shù)列可記為，所以D選項錯誤.
故選：ABD
3．（2023上·全國·高二假期作業(yè)）（多選）有下面四個結(jié)論，不正確的是（ ）
A．數(shù)列可以看作一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)
B．數(shù)列的項數(shù)一定是無限的
C．數(shù)列的通項公式的形式是唯一的
D．數(shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項公式
【答案】BCD
【詳解】結(jié)合數(shù)列的定義與函數(shù)的概念可知，A正確；有窮數(shù)列的項數(shù)就是有限的，B錯誤；數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一，C錯誤；數(shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通項公式，D錯誤．故選BCD．]
例三、填空題
4．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）數(shù)列的定義
（1）按照一定 排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.
（2）項數(shù)有限的數(shù)列叫作 ，項數(shù)無限的數(shù)列叫作 .
（3）數(shù)列的一般形式可以寫成：，簡記為 ，其中稱為數(shù)列的第1項或首項，稱為第2項，，稱為第項.
【答案】 次序 有窮數(shù)列 無窮數(shù)列
【分析】根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念即可得結(jié)果.
【詳解】略
例四、解答題
5．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在1984年到2016年的9屆夏季奧運會上，我國獲得的金牌數(shù)依次排成數(shù)列：15，5，16，16，28，32，51，38，26．試畫出該數(shù)列的圖象．
【答案】答案見解析
【分析】畫出平面直角坐標系，依次畫出對應(yīng)的點，得到答案.
【詳解】該數(shù)列的圖象如下：
知識點2.數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
通項公式
1．如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．
2．通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．
思考　既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？
答案　還可以用列表法、圖象法．
方法感悟　(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．
(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．
例一、單選題
1．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列1，，，…的通項公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入即可結(jié)合選項逐一排除.
【詳解】當時，對于B中，
當時，對于C中，對于D中，
四個選項中只有同時滿足，，.
故選：A
2．（2023上·山東青島·高二青島二中校考階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.
【詳解】依題意，數(shù)列滿足，，
，所以
，也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，
由，解得，
所以的最大值為.
故選：B
例二、多選題
3．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校校考階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項是（ ）
A．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第4項
【答案】BC
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】依題意，，
函數(shù)的開口向上，對稱軸為，
由于，所以當或時，取得最小值.
故選：BC
4．（2024上·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列，滿足，，則下列函數(shù)使得，有相等的項的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)各個選項的條件求得，的通項公式，依照題意分析即可.
【詳解】對于A，若，
則
，
所以，此時，符合題意，故A正確；
對于B，若，
則
，
所以，
此時，不可能有相等的項，故B錯誤；
對于C，若，
則，
，
所以，
此時，符合題意，故C正確；
對于D，若，
則，
，
所以，此時，不可能有相等的項，故D錯誤，
故選：AC.
例三、填空題
5．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，（且）．若對任意的，都有成立，的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值問題，即可求解.
【詳解】，已知對任意的，都有成立，
，函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞減，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，得，
因此實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
知識點3.數(shù)列的遞推公式及簡單應(yīng)用
數(shù)列的遞推公式
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．
思考　僅由數(shù)列{an}的關(guān)系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能確定這個數(shù)列嗎？
答案　不能．知道了首項和遞推公式，才能確定這個數(shù)列．
方法感悟：　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式，求出數(shù)列的前幾項，歸納出通項公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：遞推公式對應(yīng)的有以下幾類：
①an＋1－an＝常數(shù)，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p為非零常數(shù))，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數(shù))，適當變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決．
常見誤區(qū)：累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式；由Sn求an時忽略驗證n=1時的情況.
例一、單選題
1．（2023·廣西·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，則（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【答案】B
【分析】由遞推關(guān)系式得到結(jié)果.
【詳解】由可得，
，即，
，即，
，即，
，即，
所以，
故選：B
2．（2023上·新疆烏魯木齊·高三兵團二中校考階段練習(xí)）若是不等于的實數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)是.現(xiàn)已知，的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，以此類推，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列出遞推公式，依次求數(shù)列的各項，觀察總結(jié)規(guī)律.
【詳解】由題意：數(shù)列中，，，故：，，，
可知：數(shù)列周期為3，所以.
故選：A
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校考階段練習(xí)）任取一個正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，若，則的取值可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】從進行推導(dǎo)，得到或，繼續(xù)推導(dǎo)，得到答案.
【詳解】，若為偶數(shù)，則，解得，滿足要求，
若為奇數(shù)，則，解得，不合要求，
若為偶數(shù)，則，解得，滿足要求，
若為奇數(shù)，則，解得，不合要求，
若為偶數(shù)，則，解得，滿足要求，
若為奇數(shù)，則，解得，滿足要求，
①若，若為偶數(shù)，則，解得，
若為奇數(shù)，則，解得，不合要求，舍去；
則或，
或，
同理可得，若則，或21，
若，則，或3；
②若，則，，則或8，
或16，
綜上：，3，16，20，21，128.
故選：B.
知識點4.數(shù)列的前n項和公式及簡單應(yīng)用
　數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系
1．把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．a(chǎn)n＝
方法感悟　由Sn求通項公式an的步驟
(1)當n＝1時，a1＝S1.
(2)當n≥2時，根據(jù)Sn寫出Sn－1，化簡an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也滿足當n≥2時，an＝Sn－Sn－1的通項公式，那么數(shù)列{an}的通項公式為an＝Sn－Sn－1；
否則數(shù)列{an}的通項公式要分段表示為an＝
例一、單選題
1．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前項和，則“是遞增數(shù)列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.
【詳解】當是遞增數(shù)列，則，則，
但是的符號不確定，故充分性不成立；
當時，則，故是遞增數(shù)列，即必要性成立；
綜上，“是遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
2．（2024上·江蘇·高二期末）設(shè)數(shù)列的前項和為 ，，，，則數(shù)列的前項和為 （　　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造為常數(shù)列，求出，再利用裂項相消法求和即可.
【詳解】，且，
，即 ，，
故數(shù)列為常數(shù)列，且，
，則，
故數(shù)列的前項和.
故選：D.
3．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，并且，則等于（ ）
A．32 B．16 C．992 D．
【答案】A
【分析】利用即可求解.
【詳解】當時，.
所以.
故選：A.
例二、多選題
4．（2023上·河南鶴壁·高二鶴壁高中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】當時，，此時，由此即可判斷B；由題意通過遞推關(guān)系可得，進一步可得數(shù)列的通項公式，即可判斷剩余選項.
【詳解】數(shù)列滿足，，
所以時，，此時，故B錯誤；
，，
，化為：．當時，．
．
，，故可知．
故選：AD．
例三、填空題
5．（2024上·吉林長春·高二長春市第六中學(xué)校考期末）設(shè)數(shù)列的前項和是，則 ．
【答案】.
【分析】利用,求得即可.
【詳解】結(jié)合題意：由可得：
當時，,
當時，,
所以，，不滿足，
故.
故答案為：.
【方法練】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為 ，則這個數(shù)列第5項是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
【答案】C
【分析】代入通項公式計算可得．
【詳解】.
故選：C.
2．（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）17到19世紀間，數(shù)學(xué)家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實數(shù)求近似值．例如，把方程改寫成①，將再代入等式右邊得到，繼續(xù)利用①式將再代入等式右邊得到……反復(fù)進行，取時，由此得到數(shù)列，，，，，記作，則當足夠大時，逼近實數(shù)．數(shù)列的前2024項中，滿足的的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
【答案】D
【分析】作差討論的符號與的關(guān)系，結(jié)合可得，，然后討論奇數(shù)項和偶數(shù)項的單調(diào)性，再驗證前8項哪些滿足題意，結(jié)合單調(diào)性即可解答.
【詳解】由題，，且前8項為1，2，，，，，，，
，
所以當時，；
當時，．
又，所以，.
因為，
其中，
所以，
所以，，
所以，
，
又因為，
所以不滿足的分別為，，，，，，.
故選：D．
【點睛】本題難點在于作差討論的符號與的關(guān)系，從而得到，，這對學(xué)生的思維能力有很高的要求，不易想到，但結(jié)合本題目標分析，似乎又是理所當然.
二、多選題
3．（2023上·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)通過數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項，得到該數(shù)列的一個通項公式為，根據(jù)甲同學(xué)得到的通項公式，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．該數(shù)列為遞增數(shù)列 D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)首項可得，再逐個選項判斷即可.
【詳解】對AB，由，得，故，故A正確，B錯誤；
對C，得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；
對D，，則，故D正確.
故選：ACD
4．（2022下·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】代入前幾項即可判斷出A,B，然后分奇偶可點數(shù)列的通項公式，從而判斷出C，D.
【詳解】由題意可得，
所以，所以A錯誤，B正確；
又，
故，即，
所以為等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯誤，
故選：BC.
三、填空題
5．數(shù)列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的項正負交替，且項的絕對值為1的有1個，2的有2個，…，n的有n個，則該數(shù)列第30項是 ．
【答案】-8
【分析】先計算，，第29個數(shù)為8，第30個數(shù)為-8.
【詳解】到個數(shù)共有數(shù)個
則
則第29個數(shù)為8，第30個數(shù)為-8
故答案為-8
【點睛】本題考查了數(shù)列的項，先計算是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于數(shù)列知識的靈活運用.
6．（2023上·安徽亳州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合和，即可求得數(shù)列的通項公式.
【詳解】數(shù)列的前項和為，
當時，，
當時，，
，不滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為
故答案為：
四、解答題
7．（2023下·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期中）設(shè)條直線最多把平面分成部分，其求法如下：易知一條直線最多把平面分成部分，兩條直線最多把平面分成部分，3條直線分平面，要使所得部分盡量多，則第三條直線必與前兩條直線都相交，產(chǎn)生2個交點，這2個交點都在第3條直線上，并把第三條直線分成3段，這3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分為二，故增加了3部分，即，依次類推得，累加化簡得．根據(jù)上面的想法，設(shè)個平面最多把空間分成部分，且
(1)求出
(2)寫出與之間的遞推關(guān)系式
(3)求出數(shù)列的通項公式
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件，找出規(guī)律，依次求出前3項，即可求出的值；
（2）根據(jù)規(guī)律，歸納推理，即可得到遞推關(guān)系式；
（3）利用疊加法和等差數(shù)列求和公式及連續(xù)自然數(shù)平方和公式，便可求出通項公式.
【詳解】（1）設(shè)個平面最多把空間分成部分；
1個平面最多把空間分成2個部分；即；
2個平面最多把空間分成4個部分，增加了2個部分，即；
3個平面分空間，要使所得部分盡量多，則第三個平面必與前兩個平面都相交，產(chǎn)生2條交線，這2條交線都在第3個平面上，并把第三個平面分成4部分平面區(qū)域，這4部分平面區(qū)域的每一部分區(qū)域都在部分空間的某部分空間中，它把它所在部分空間一分為二，故增加了4部分空間，即；
4個平面分空間，要使所得部分盡量多，則第4個平面必與前3個平面都相交，產(chǎn)生3條交線，這3條交線都在第4個平面上，并把第4個平面分成7部分平面區(qū)域，這7部分平面區(qū)域的每一部分區(qū)域都在部分空間的某部分空間中，它把它所在部分空間一分為二，故增加了7部分空間，即；
（2）由小問（1）知：
，
，
，
，
依次類推
，
所以；
（3）由小問（2）知：
，
，
，
，
，
疊加可得，
根據(jù)，，
化簡可得.
8．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列滿足，.
(1)求，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由已知等式可得，采用累乘法可求得當時的，利用可求得，檢驗首項后可得結(jié)論；
（2）由（1）可得的通項，由前項和公式，采用分組求和,錯位相減求和可求得.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，，，…，，，
累乘得，，所以，.
因為符合上式，所以.
當時，，所以，即.因為符合上式，所以.
因為，所以，兩邊取倒數(shù)得，即.
因為，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，
所以，故.
（2）由（1）知，所以.
令，則，兩式相減得，
，
所以，
故.
【創(chuàng)新練】
一、單選題
1．（2021·高二課時練習(xí)）下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列中的一項（ ）
A．55 B．56
C．57 D．58
【答案】B
【解析】分別讓選項中的數(shù)值等于，求出是正整數(shù)時的這一項，就是符合要求的選項．
【詳解】解：由，有或（舍去）．所以正確；
，，均無正整數(shù)解，
則、、都不正確．
故選：．
2．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列{an}的前n項之和Sn＝n2+1，則a1+a3＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根據(jù)數(shù)列{an}的前n項之和Sn＝n2+1，求出，再求解.
【詳解】已知數(shù)列{an}的前n項之和Sn＝n2+1，
所以，
所以，
所以，
所以a1+a3＝7.
故選：B
【點睛】本題主要考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
二、多選題
3．（2022上·湖南郴州·高二湖南省資興市立中學(xué)校考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個數(shù)列
B．數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項
C．在數(shù)列中第8個數(shù)是
D．數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)數(shù)列的定義即可判斷A,根據(jù)通項公式即可求解項,可判斷B,根據(jù)規(guī)律歸納數(shù)列的通項即可判斷CD.
【詳解】對于A,數(shù)列中的項與順序有關(guān)，故數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是兩個不同的數(shù)列，故A錯，
對于B,當時，，又是單調(diào)遞增的數(shù)列，故110是該數(shù)列的第10項，故B正確，
對于C,數(shù)列的一個通項公式是，故第8個數(shù)是，故C正確，
對于D,數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為,故D正確，
故選：BCD
4．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，為其前n項和，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)條件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判斷.
【詳解】因為，，，
，，…，，
所以，，
，
累加得，
∴，，
因為，，所以，
故選：ABC．
三、填空題
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，求出數(shù)列的周期即可計算作答.
【詳解】，，顯然，否則，矛盾，
則，于是，
因此是周期為4的周期數(shù)列，所以.
故答案為：
6．（2022·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式為，則數(shù)列的第4項為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，逐項計算，即可求解.
【詳解】由題意，數(shù)列的遞推公式為，
當時，可得；
當時，可得；
當時，可得.
故答案為：.
四、解答題
7．（2023下·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，求的值.
【答案】36
【分析】法一：分別討論n為奇數(shù)與n為偶數(shù)時的遞推關(guān)系式，賦值后即可求得結(jié)果.
法二：直接賦值即可求得結(jié)果.
【詳解】法一：由可得：
當n為奇數(shù)時，
，
，
兩式相減可得：，
所以.
當n為偶數(shù)時，
，
，
兩式相加可得：，
所以，，
所以
.
法二：因為，
所以，，，
，，，，
所以.
8．（2022·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，，，則該數(shù)列是否有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若無，說明理由．
【答案】有，第4項為最大項．
【分析】利用不等式法求出數(shù)列的單調(diào)性，判斷出第4項為最大項.
【詳解】∵，，．
∴當，時，；當，時，．
綜上，可知在時嚴格增；在時嚴格減，所以存在最大項．
又
所以第4項為最大項．
【成果練】
一、單選題
1．（2021·高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，為常數(shù)列，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得出，進而可得（），兩式作差得
，然后利用累乘法求出即可.
【詳解】因為為常數(shù)列且，所以有，①
當時，，②
①②得：，即，
從而，得，
當時，上式也成立．
故選：B.
【點睛】本題考查利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項，考查累乘法求通項，合理遞推作差是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于常考題．
2．已知數(shù)列1，,,,…，則數(shù)列的第k項是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)已知中數(shù)列的前4項，分析數(shù)列的項數(shù)及起始項的變化規(guī)律，進而可得答案
【詳解】解：由已知數(shù)列的前4項：1，,,,
歸納可知該數(shù)列的第項是一個以1為首項，以為公比的等比數(shù)列第項開始的連續(xù)項和，
所以數(shù)列的第項為：
故選：D
二、多選題
3．（2024上·湖北·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（ ）
A． B．
C．數(shù)列是遞減數(shù)列 D．數(shù)列的最小值為
【答案】AD
【分析】利用與的關(guān)系式求得與，從而判斷AB；利用作商法判斷的單調(diào)性，進而求得其最小值，從而判斷CD.
【詳解】，
，則，即，
，當時，，
又滿足上式，，故A正確，B錯誤；
易知，，，
，當時，，
當時，，當時，，
數(shù)列不是遞減數(shù)列，且當時，取得最小值，故C錯誤，D正確．
故選：AD.
4．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》，在書中收錄了一個有關(guān)兔子繁殖的問題.他從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從數(shù)列的第三項開始，每個數(shù)字都等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，其前n項和為，并且滿足，，，則關(guān)于斐波那契數(shù)列，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列滿足的條件，結(jié)合累加法，逐項計算判斷即得.
【詳解】斐波那契數(shù)列中，，，，
，A錯誤；
當時，，，三個式子相加，得：，B正確；
當時，，則
，C正確；
當時，，則
，D錯誤.
故選：BC
三、填空題
5．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】/-0.4
【分析】利用，結(jié)合遞推公式，可得，即可得.
【詳解】因，，則，
，.
故答案為：.
6．（2020上·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知正項數(shù)列中，，若對于一切的都有成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據(jù)列出關(guān)于的不等式，求解出的取值范圍，從而的取值范圍可確定出.
【詳解】因為，所以，解得，滿足，
所以，即，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是通過之間的不等關(guān)系求解出的取值范圍，由此可確定出的取值范圍.
7．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】已知條件求出，裂項相消求出，由不等式恒成立，列不等式求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】數(shù)列滿足：，
時，
時，，
得，即，
時也滿足，則有.
，
，
不等式恒成立，即，解得或.
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
8．（2023下·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考開學(xué)考試）已知（為正整數(shù)），且數(shù)列共有100項，則此數(shù)列中最大項為第 項.
【答案】45
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷數(shù)列的最大項.
【詳解】由解析式可知，
時，
當時，數(shù)列單調(diào)遞減，且
當時，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
所以當時，數(shù)列取得最大值.
故答案為：45
四、解答題
9．（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，當時，，數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
(2)記的前項和為，求滿足的的最大取值.
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合累加法即可得答案；
（2）利用裂項相消法即可求和，再解不等式即可.
【詳解】（1）因為當時，.
所以，即，
所以.
所以
，
所以.
又滿足上式，故.
（2）由（1）知，.
所以
.
又.解得，數(shù)的最大值為7.
10．（2023下·高二課時練習(xí)）寫出下列數(shù)列的一個通項公式．
(1)
(2)
(3)0，，，，…；
(4)1，11，111，1 111，….
【答案】(1)；
(2);
(3);
(4).
【分析】（1）將給定的5項都加1即為項數(shù)的平方,即可寫出一個通項；
（2）所給5項正負相間，其絕對值為前5個正奇數(shù)，由此即可寫出一個通項；
（3）分母為項數(shù)的平方加1，觀察即可寫出一個通項；
（4）把所給4項變形，并用10的整數(shù)次冪減去1的形式表示出來，觀察即可寫出一個通項.
【詳解】（1）觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到所以它的一個通項公式是；
（2）數(shù)列各項的絕對值為是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為；
（3）因為所以數(shù)列的一個通項公式為；
（4）原數(shù)列的各項可變?yōu)椋字獢?shù)列9，99，999，9 999，…，的一個通項公式為，所以原數(shù)列的一個通項公式為．
11．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）（1）已知數(shù)列滿足，，求的通項．
（2）數(shù)列中，，（n為正整數(shù)），求．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用疊加法，結(jié)合裂項相消的知識可得通項公式；
（2）利用累乘法求解即可.
【詳解】（1）因為，所以，
所以；
綜上：.
而符合上式，故.
（2）因為，，所以，
綜上：.
12．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.
(1)求及數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和為，且滿足，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）通過構(gòu)造，利用相除得到，進而求得;
（2）對數(shù)列的前項和進行裂項相消，即可證明.
【詳解】（1）因為①
所以當時，，解得，
當時，②，
由①②得，即，又滿足上式，所以.
（2）證明：因為，
所以.
13．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下面圖形排列的規(guī)律，繼續(xù)畫下去，在括號里填上對應(yīng)的點數(shù)，并寫出點數(shù)的一個通項公式．
(1)
(2)
【答案】(1)圖形見解析，
(2)圖形見解析，
【分析】根據(jù)每一個圖形與項數(shù)n的關(guān)系進行仔細觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，列出前幾項，即可猜想出每個圖形對應(yīng)的通項公式．
【詳解】（1）
有，，，故；
（2）
，，，故.
14．（2023下·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用退一作差法求得，由求得.
（2）先判斷的單調(diào)性，由此求得的最大值.
【詳解】（1）①，
②，
①-②可得也滿足上式，③．
數(shù)列的前項之積為當時，，代入③可得，
．
（2），
，
，
，即單調(diào)遞減，
的最大值為．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
數(shù)列的概念 學(xué)案
【目錄】
【新知講解】
知識點1.對數(shù)列概念的理解
知識點2.數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
知識點3.數(shù)列的遞推公式及簡單應(yīng)用
知識點4.數(shù)列的前n項和公式及簡單應(yīng)用
【方法練】
【創(chuàng)新練】
【成果練】
【知識導(dǎo)圖】
【新知講解】
知識點1.對數(shù)列概念的理解
數(shù)列及其有關(guān)概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．
2. 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．
思考　數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？
答案　 不是．順序不一樣．
　數(shù)列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列
無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列
函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．
數(shù)列的單調(diào)性
遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列
常數(shù)列 各項都相等的數(shù)列
例一、單選題
1．（2023上·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列則是這個數(shù)列的（　　）
A．第20項 B．第21項
C．第22項 D．第23項
例二、多選題
2．（2023下·高二課時練習(xí)）（多選題）下列說法不正確的是（ ）
A．數(shù)列可以表示為
B．數(shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列
C．數(shù)列的第項為1＋
D．數(shù)列可記為
3．（2023上·全國·高二假期作業(yè)）（多選）有下面四個結(jié)論，不正確的是（ ）
A．數(shù)列可以看作一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)
B．數(shù)列的項數(shù)一定是無限的
C．數(shù)列的通項公式的形式是唯一的
D．數(shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項公式
例三、填空題
4．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）數(shù)列的定義
（1）按照一定 排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.
（2）項數(shù)有限的數(shù)列叫作 ，項數(shù)無限的數(shù)列叫作 .
（3）數(shù)列的一般形式可以寫成：，簡記為 ，其中稱為數(shù)列的第1項或首項，稱為第2項，，稱為第項.
例四、解答題
5．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在1984年到2016年的9屆夏季奧運會上，我國獲得的金牌數(shù)依次排成數(shù)列：15，5，16，16，28，32，51，38，26．試畫出該數(shù)列的圖象．
知識點2.數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
通項公式
1．如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．
2．通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．
思考　既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？
答案　還可以用列表法、圖象法．
方法感悟　(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．
(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．
例一、單選題
1．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列1，，，…的通項公式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山東青島·高二青島二中校考階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
例二、多選題
3．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校校考階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項是（ ）
A．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第4項
4．（2024上·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列，滿足，，則下列函數(shù)使得，有相等的項的是（ ）
A． B． C． D．
例三、填空題
5．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，（且）．若對任意的，都有成立，的取值范圍是 ．
知識點3.數(shù)列的遞推公式及簡單應(yīng)用
數(shù)列的遞推公式
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．
思考　僅由數(shù)列{an}的關(guān)系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能確定這個數(shù)列嗎？
答案　不能．知道了首項和遞推公式，才能確定這個數(shù)列．
方法感悟：　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式，求出數(shù)列的前幾項，歸納出通項公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：遞推公式對應(yīng)的有以下幾類：
①an＋1－an＝常數(shù)，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p為非零常數(shù))，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數(shù))，適當變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決．
常見誤區(qū)：累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式；由Sn求an時忽略驗證n=1時的情況.
例一、單選題
1．（2023·廣西·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，則（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
2．（2023上·新疆烏魯木齊·高三兵團二中校考階段練習(xí)）若是不等于的實數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)是.現(xiàn)已知，的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，以此類推，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校考階段練習(xí)）任取一個正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，若，則的取值可能為（ ）
A． B．
C． D．
知識點4.數(shù)列的前n項和公式及簡單應(yīng)用
　數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系
1．把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．a(chǎn)n＝
方法感悟　由Sn求通項公式an的步驟
(1)當n＝1時，a1＝S1.
(2)當n≥2時，根據(jù)Sn寫出Sn－1，化簡an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也滿足當n≥2時，an＝Sn－Sn－1的通項公式，那么數(shù)列{an}的通項公式為an＝Sn－Sn－1；
否則數(shù)列{an}的通項公式要分段表示為an＝
例一、單選題
1．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前項和，則“是遞增數(shù)列”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024上·江蘇·高二期末）設(shè)數(shù)列的前項和為 ，，，，則數(shù)列的前項和為 （　　 ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，并且，則等于（ ）
A．32 B．16 C．992 D．
例二、多選題
4．（2023上·河南鶴壁·高二鶴壁高中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
例三、填空題
5．（2024上·吉林長春·高二長春市第六中學(xué)校考期末）設(shè)數(shù)列的前項和是，則 ．
【方法練】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為 ，則這個數(shù)列第5項是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
2．（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）17到19世紀間，數(shù)學(xué)家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實數(shù)求近似值．例如，把方程改寫成①，將再代入等式右邊得到，繼續(xù)利用①式將再代入等式右邊得到……反復(fù)進行，取時，由此得到數(shù)列，，，，，記作，則當足夠大時，逼近實數(shù)．數(shù)列的前2024項中，滿足的的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
二、多選題
3．（2023上·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)通過數(shù)列3，5，9，17，33，…的前5項，得到該數(shù)列的一個通項公式為，根據(jù)甲同學(xué)得到的通項公式，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．該數(shù)列為遞增數(shù)列 D．
4．（2022下·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，記，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．數(shù)列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的項正負交替，且項的絕對值為1的有1個，2的有2個，…，n的有n個，則該數(shù)列第30項是 ．
6．（2023上·安徽亳州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為 .
四、解答題
7．（2023下·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考期中）設(shè)條直線最多把平面分成部分，其求法如下：易知一條直線最多把平面分成部分，兩條直線最多把平面分成部分，3條直線分平面，要使所得部分盡量多，則第三條直線必與前兩條直線都相交，產(chǎn)生2個交點，這2個交點都在第3條直線上，并把第三條直線分成3段，這3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分為二，故增加了3部分，即，依次類推得，累加化簡得．根據(jù)上面的想法，設(shè)個平面最多把空間分成部分，且
(1)求出
(2)寫出與之間的遞推關(guān)系式
(3)求出數(shù)列的通項公式
8．（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列滿足，.
(1)求，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【創(chuàng)新練】
一、單選題
1．（2021·高二課時練習(xí)）下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列中的一項（ ）
A．55 B．56
C．57 D．58
2．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列{an}的前n項之和Sn＝n2+1，則a1+a3＝（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多選題
3．（2022上·湖南郴州·高二湖南省資興市立中學(xué)校考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．數(shù)列，0，4與數(shù)列4，0，是同一個數(shù)列
B．數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項
C．在數(shù)列中第8個數(shù)是
D．數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為
4．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，為其前n項和，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則 ．
6．（2022·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式為，則數(shù)列的第4項為 ．
四、解答題
7．（2023下·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，求的值.
8．（2022·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，，，則該數(shù)列是否有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若無，說明理由．
【成果練】
一、單選題
1．（2021·高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，為常數(shù)列，則（ ）
A． B．
C． D．
2．已知數(shù)列1，,,,…，則數(shù)列的第k項是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024上·湖北·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，則（ ）
A． B．
C．數(shù)列是遞減數(shù)列 D．數(shù)列的最小值為
4．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》，在書中收錄了一個有關(guān)兔子繁殖的問題.他從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從數(shù)列的第三項開始，每個數(shù)字都等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，其前n項和為，并且滿足，，，則關(guān)于斐波那契數(shù)列，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
5．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 ．
6．（2020上·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知正項數(shù)列中，，若對于一切的都有成立，則的取值范圍是 .
7．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足：，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
8．（2023下·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考開學(xué)考試）已知（為正整數(shù)），且數(shù)列共有100項，則此數(shù)列中最大項為第 項.
四、解答題
9．（2024上·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，當時，，數(shù)列中，.
(1)求的通項公式；
(2)記的前項和為，求滿足的的最大取值.
10．（2023下·高二課時練習(xí)）寫出下列數(shù)列的一個通項公式．
(1)
(2)
(3)0，，，，…；
(4)1，11，111，1 111，….
11．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）（1）已知數(shù)列滿足，，求的通項．
（2）數(shù)列中，，（n為正整數(shù)），求．
12．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.
(1)求及數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和為，且滿足，證明：.
13．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下面圖形排列的規(guī)律，繼續(xù)畫下去，在括號里填上對應(yīng)的點數(shù)，并寫出點數(shù)的一個通項公式．
(1)
(2)
14．（2023下·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項之積為，且．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求的最大值．

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