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高考數學試題分類匯編：圓錐曲線 解答題
1、(廣東省廣州執信中學、中山紀念中學、深圳外國語學校三校期末聯考)設、分別是橢圓的左、右焦點. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.
解：（Ⅰ）易知
設P（x，y），則

，
，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；
當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l易知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k
直線l的方程為
由方程組
依題意
當時，設交點C，CD的中點為R，
則
又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|
綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D|
2、(江蘇省啟東中學高三綜合測試二)已知動圓過定點P（1，0），且與定直線L:x=-1相切，點C在l上.
(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由
（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.
解：(1)依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.
假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形.
（ii）解法一：設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，
，
，
∠CAB為鈍角.
.
該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.
因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是:
.
解法二： 以AB為直徑的圓的方程為:
.
當直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當C與G 點不重合，且A，
B，C三點不共線時， ∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.
因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.
.
.
A，B，C三點共 線，不構成三角形.
因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是：
3、(江蘇省啟東中學高三綜合測試三)（1）在雙曲線xy=1上任取不同三點A、B、C，證明：⊿ABC的垂心H也在該雙曲線上；
（2）若正三角形ABC的一個頂點為C(―1,―1)，另兩個頂點A、B在雙曲線xy=1另一支上，求頂點A、B的坐標。
解：（1）略；（2）A(2+,2－), B(2－,2+)或A(2－,2+), B(2+,2－)
4、(江蘇省啟東中學高三綜合測試四)已知以向量v=(1, )為方向向量的直線l過點(0, )，拋物線C：(p>0)的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線上．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若(O為原點，A、B異于原點)，試求點N的軌跡方程．
解：（Ⅰ）由題意可得直線l： ①
過原點垂直于l的直線方程為 ②
解①②得．
∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
∴，
∴拋物線C的方程為．
（Ⅱ）設，，，
由，得．
又，．
解得 ③
直線ON：，即 ④
由③、④及得，
點N的軌跡方程為．
5、(安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯考)已知線段AB過軸上一點，斜率為，兩端點A，B到軸距離之差為，
（1）求以O為頂點，軸為對稱軸，且過A，B兩點的拋物線方程；
（2）設Q為拋物線準線上任意一點，過Q作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線MN過一定點；
解：（1）設拋物線方程為，AB的方程為，
聯立消整理，得；∴，
又依題有，∴，∴拋物線方程為；
（2）設，，，∵，
∴的方程為；
∵過，∴，同理
∴為方程的兩個根；∴；
又，∴的方程為
∴，顯然直線過點
6、(江西省五校2008屆高三開學聯考)已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.
（I）求點G的軌跡C的方程；
（II）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.
解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN
GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是 ………5分
（2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形
若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
矛盾，故l的斜率存在. ………7分
設l的方程為

①

② ……………9分
把①、②代入
∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.
7、(安徽省淮南市2008屆高三第一次模擬考試)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點，離心率等于.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若=λ1，=λ2，求證λ1+λ2為定值.
解：（I）設橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.
∴橢圓C的方程為 …………………………………………………5分
（II）方法一：設A、B、M點的坐標分別為
易知F點的坐標為（2，0）.
將A點坐標代入到橢圓方程中，得
去分母整理得 …………………………………………10分
…………………………………………………………12分
方法二：設A、B、M點的坐標分別為又易知F點的坐標為（2，0）.
顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得
……………………………………7分
……………………………………8分
又
8、(安徽省巢湖市2008屆高三第二次教學質量檢測)已知點R（－3,0）,點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上 ,且滿足，.
（Ⅰ）⑴當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設為軌跡C上兩點，且，N(1,0)，求實數，使，且.
解：(Ⅰ)設點M(x,y)，由得P(0，)，Q().
由得(3，)·(，)＝0,即
又點Q在x軸的正半軸上，故點M的軌跡C的方程是.……6分
（Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y2＝4x的焦點，且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點。
當直線AB斜率不存在時，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；………7分
當直線AB斜率存在且不為0時，設，代入得
則|AB|,解得 …………………10分
代入原方程得，由于，所以,
由，得 . ……………………13分
解法二：由題設條件得


由（6）、（7）解得或，又，故.
9、(北京市朝陽區2008年高三數學一模)已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過左準線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）求證： ()；
（Ⅲ）求面積的最大值.
解：（Ⅰ）設橢圓W的方程為，由題意可知
解得，，，
所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分
（Ⅱ）解法1：因為左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線 的方程為．
得.
由直線與橢圓W交于、兩點，可知
，解得．
設點，的坐標分別為，,
則，，，．
因為，，
所以，.
又因為
，
所以． ……………………………………………………………10分
解法2：因為左準線方程為，所以點坐標為.
于是可設直線的方程為，點，的坐標分別為，,
則點的坐標為，，．
由橢圓的第二定義可得
,
所以，，三點共線，即．…………………………………10分
(Ⅲ)由題意知


，
當且僅當時“=”成立，
所以面積的最大值為．
10、(北京市崇文區2008年高三統一練習一)已知拋物線，點P（1，－1）在拋物線C上，過點P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點P的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0.
（I）求拋物線C的焦點坐標；
（II）若點M滿足，求點M的軌跡方程.
解：（I）將P（1，－1）代入拋物線C的方程得a=－1，
∴拋物線C的方程為，即
焦點坐標為F（0，－）.……………………………………4分
（II）設直線PA的方程為，
聯立方程消去y得
則
由………………7分
同理直線PB的方程為
聯立方程消去y得
則
又…………………………9分
設點M的坐標為（x，y），由

又…………………………………………11分

∴所求M的軌跡方程為：
11、(北京市東城區2008年高三綜合練習一）已知定圓圓心為A，動圓M過點B(1,0)且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C.
（I）求曲線C的方程；
（II）若點為曲線C上一點，求證：直線與曲線C有且只有一個交點.
解：（I）圓A的圓心為，
設動圓M的圓心
由|AB|=2，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，
故|MA|=r1—r2，即|MA|+|MB|=4，
所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，
設橢圓方程為，由
故曲線C的方程為 …………6分
（II）當，
消去 ①
由點為曲線C上一點，
于是方程①可以化簡為 解得，
綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為.
12、(北京市東城區2008年高三綜合練習二)已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準線的距離為l.
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M、N，點P為雙曲線上異于M、N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.
（1）解：依題意有：
可得雙曲線方程為 ………………………………………………6分
（2）解：設
所以
13、(北京市豐臺區2008年4月高三統一練習一)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求W的方程；
(Ⅱ)經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，
求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.
解：(Ⅰ) 設C（x, y）,
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點.
∴ . ∴ .
∴ W: . …………………………………………… 2分
(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.
整理，得. ①………………………… 5分
因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
，解得或.
∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分
（Ⅲ）設P（x1,y1）,Q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2),
由①得. ②
又 ③
因為，， 所以.……………………… 11分
所以與共線等價于.
將②③代入上式，解得.
所以不存在常數k，使得向量與共線.
14、(北京市海淀區2008年高三統一練習一)已知點分別是射線，上的動點，為坐標原點，且的面積為定值2．
（I）求線段中點的軌跡的方程；
（II）過點作直線，與曲線交于不同的兩點，與射線分別交于點，若點恰為線段的兩個三等分點，求此時直線的方程．
解：（I）由題可設，，，其中.
則 1分
∵的面積為定值2，
∴. 2分
，消去，得：． 4分
由于，∴，所以點的軌跡方程為（x＞0）．
5分
（II）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為．
由消去得：， 6分
設點、、、的橫坐標分別是、、、，
∴由得 8分
解之得：．
∴. 9分
由消去得：，
由消去得：，
∴. 10分
由于為的三等分點，∴. 11分
解之得. 12分
經檢驗，此時恰為的三等分點，故所求直線方程為.
15、(北京市十一學校2008屆高三數學練習題)如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線與x軸垂直時，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（II）求過點O、，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；
（Ⅲ）求的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點．
設橢圓的方程：．
解方程組 得C（-1，2），D（1，-2）．
由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，
∴，， ∴ ． …………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故橢圓的方程為 ． …………4分
（Ⅱ），
圓過點O、，
圓心M在直線上．
設則圓半徑，由于圓與橢圓的左準線相切，
∴
由得解得
所求圓的方程為…………………………8分
（Ⅲ） 由
①若垂直于軸，則，
，
…………………………………………9分
②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程為

由 得
，方程有兩個不等的實數根．
設，.
, ………………………………11分


=

，所以當直線垂于軸時，取得最大值
當直線與軸重合時，取得最小值
16、(北京市西城區2008年4月高三抽樣測試)已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.
（Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
（Ⅰ）解：
依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，
將代入， 消去整理得 ………….. 2分
設 則 ………….. 4分
由線段中點的橫坐標是， 得，
解得，適合. ………….. 5分
所以直線的方程為 ，或 . ………….. 6分
（Ⅱ）解：
假設在軸上存在點，使為常數.
① 當直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知
所以
………….. 8分
將代入，整理得

注意到是與無關的常數， 從而有， 此時 .. 11分
② 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，
當時， 亦有 ………….. 13分
綜上，在軸上存在定點，使為常數.
17、(北京市西城區2008年5月高三抽樣測試)已知拋物線的方程為，過點的直線與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線和的斜率之積為定值；
（Ⅰ）證明：直線和的斜率之積為定值；
（Ⅱ）求點M的軌跡方程。
解：(I)依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋p
18、(北京市宣武區2008年高三綜合練習一)在面積為9的中，，且。現建立以A點為坐標原點，以的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系，如圖所示。
(1)求AB、AC所在的直線方程；
(2)求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程；
(3)過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求的值。
解：（1）設
則由
為銳角，
，
AC所在的直線方程為y=2x
AB所在的直線方程為y= -2x…………………………………………….4分
（2）設所求雙曲線為
設，，，
由可得：
，
即
由，可得，
又， ，
，
即，代入（1）得，
雙曲線方程為…………………………………………………9分
（3）由題設可知，，
設點D為，則
又點D到AB，AC所在直線距離
，，
而=
19、(北京市宣武區2008年高三綜合練習二)已知橢圓的離心率為，且其焦點F（c，0）(c＞0)到相應準線l的距離為3，過焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點。
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設M為右頂點，則直線AM、BM與準線l分別交于P、Q兩點，（P、Q兩點不重合），求證：
解：（1）由題意有 解得
∴橢圓的標準方程為 ……………………………………5分
（2）①若直線AB與軸垂直，則直線AB的方程是
∵該橢圓的準線方程為,
∴，， ∴，
∴ ∴當直線AB與軸垂直時，命題成立。
②若直線AB與軸不垂直，則設直線AB的斜率為，
∴直線AB的方程為
又設
聯立 消y得
∴ ∴
又∵A、M、P三點共線，∴ 同理
∴，
∴
綜上所述：
20、(四川省成都市2008屆高中畢業班摸底測試)設雙曲線C：的左、右頂點分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q。
（Ⅰ）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標；
（Ⅱ）求直線A1P與直線A2Q的交點M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設，若（T為（Ⅰ）中的點）的取值范圍。
解：（Ⅰ）由題，得，設
則
由 …………①
又在雙曲線上，則 …………②
聯立①、②，解得
由題意，
∴點T的坐標為（2，0） …………3分
（Ⅱ）設直線A1P與直線A2Q的交點M的坐標為（x，y）
由A1、P、M三點共線，得
…………③ …………1分
由A2、Q、M三點共線，得
…………④ …………1分
聯立③、④，解得 …………1分
∵在雙曲線上，
∴
∴軌跡E的方程為 …………1分
（Ⅲ）容易驗證直線l的斜率不為0。
故可設直線l的方程為 中，得

設
則由根與系數的關系，得 ……⑤
……⑥ …………2分
∵ ∴有
將⑤式平方除以⑥式，得
…………1分
由
…………1分
∵
又
故
令 ∴，即
∴
而 ， ∴
∴
21、(東北區三省四市2008年第一次聯合考試)已知中心在原點，左、右頂點A1、A2在x軸上，離心率為的雙曲線C經過點P（6,6），動直線l經過△A1PA2的重心G與雙曲線C交于不同兩點M、N，Q為線段MN的中點。
（1）求雙曲線C的標準方程
（2）當直線l的斜率為何值時，。
本小題考查雙曲線標準議程中各量之間關系，以及直線與雙曲線的位置關系。
解（1）設雙曲線C的方程為
又P（6,6）在雙曲線C上，
由①、②解得
所以雙曲線C的方程為。
（2）由雙曲線C的方程可得
所以△A1PA2的重點G（2,2）
設直線l的方程為代入C的方程，整理得
整理得
解得
由③，可得
解得
由④、⑤，得
22、(東北三校2008年高三第一次聯考)設橢圓C：的左焦點為F，上頂點為A，過點A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點P，交x軸正半軸于點Q， 且
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：
相切，求橢圓C的方程.
解：⑴設Q（x0，0），由F（-c，0）
A（0，b）知
…2分
設，得………4分
因為點P在橢圓上，所以………6分
整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故橢圓的離心率e＝………8分
⑵由⑴知，
于是F（－a，0）， Q
△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a…………10分
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求橢圓方程為
23、(東北師大附中高2008屆第四次摸底考試)已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線過點.
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設直線過點，其方向向量為，令向量滿足.雙曲線的右支上是否存在唯一一點，使得. 若存在，求出對應的值和的坐標；若不存在，說明理由.
解：（1）設雙曲線的方程為，將點代入可得，
雙曲線的方程為.
（2）依題意，直線 的方程為 .設是雙曲線右支上滿足
的點，結合 ，得，
即點到直線的距離
①若，則直線與雙曲線的右支相交，此時雙曲線的右支上有兩個點到直線的距離為1，與題意矛盾；
②若，則直線在雙曲線右支的上方，故，從而
. 又因為 ，所以
.
當時，方程有唯一解 ，則；
當時，由得 ，此時方程有唯一解 ，則
綜上所述，符合條件的值有兩個：，此時；，此時.
24、(本小題滿分12分) 已知橢圓過點，且離心率e＝.
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。
由題意橢圓的離心率

∴橢圓方程為……2分
又點在橢圓上
∴橢圓的方程為……4分
（Ⅱ）設 由
消去并整理得……6分
∵直線與橢圓有兩個交點
，即……8分
又 中點的坐標為……9分
設的垂直平分線方程：
在上 即
……11分
將上式代入得
即或 的取值范圍為
25、(福建省莆田一中2007～2008學年上學期期末考試卷)在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點．
（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；
（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．
解法1：（Ⅰ）依題意，點的坐標為，可設，
直線的方程為，與聯立得消去得．
由韋達定理得，．
于是．
，
當時，．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，
的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，
則，點的坐標為．
，
，
，
．
令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得
，
又由點到直線的距離公式得．
從而，
當時，．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，
將直線方程代入得，
則．
設直線與以為直徑的圓的交點為，
則有．
令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．

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