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勾股定理的十六種證明方法
【證法1】此主題相關圖片如下：做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)
整理得到：a^2+b^2=c^2。
【證法2】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 ab/2. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形. 它的面積等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于(a+b)^2. ∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)， ∴ a^2+b^2=c^2。此主題相關圖片如下：
【證法3】以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c^2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于(b-a)^2.
∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2， ∴ a^2+b^2=c^2。此主題相關圖片如下：
【證法4】 以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于ab/2. 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形， 它的面積等于c^2/2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于(a+b)^2/2
(a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2,
∴ a^2+b^2=c^2。此主題相關圖片如下：
【證法5】 做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個邊長為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 a^2+b^2=S+2*ab/2 c^2=S+2*ab/2
∴ a^2+b^2=c^2。此主題相關圖片如下：
【證法6】 做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP∥BC，交AC于點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.此主題相關圖片如下：
【證法7】 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等于a^2/2， ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 =a^2. 同理可證，矩形MLEB的面積 =b^2. ∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ a^2+b^2=c^2。此主題相關圖片如下：
【證法8】 如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 AC^2=AD*AB. 同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 BC^2=BD*AB.
∴ AC^2+BC^2=(AD+BD)*AB=AB^2，即 a^2+b^2=c^2。此主題相關圖片如下：
【證法9】
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一個矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = b―a.?? ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一個邊長為a的正方形.?? ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為此主題相關圖片如下：
【證法10】 設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. ∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7=S2. 過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8=S5. 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵??∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4=S6. 此主題相關圖片如下：
【證法11】在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90o，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得 此主題相關圖片如下：
【證法12】在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點A作AD∥CB，過點B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接于一個圓. 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有 此主題相關圖片如下：
【證法13】在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF） = CE+CD= r + r = 2r, 此主題相關圖片如下：
【證法14】
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.此主題相關圖片如下：
【證法15】此主題相關圖片如下：設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD.??把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 （a+b）^2=a^2+2ab+b^2；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面此主題相關圖片如下：

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