資源簡介

第1課時(shí)　數(shù)列的概念與簡單表示法
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(表格、圖象、解析法)．
(2)了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　數(shù)列的概念
1．?dāng)?shù)列的定義：按照________排成的一列數(shù)叫作數(shù)列 .
2．?dāng)?shù)列的項(xiàng) ：數(shù)列中的________叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)叫作數(shù)列的________或叫作數(shù)列的________，排在第二位的數(shù)叫作數(shù)列的第2項(xiàng)，…，排在第n位的數(shù)叫作數(shù)列的________．
要點(diǎn)二　數(shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn) 名稱 含義
按項(xiàng)的個(gè)數(shù) 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列
無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列
要點(diǎn)三　函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系
數(shù)列{an}可以看成正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，f(3)，….
要點(diǎn)四　數(shù)列的表示方法
1．?dāng)?shù)列的表示方法：解析式法、列表法、圖象法．
2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用關(guān)于n的一個(gè)式子表示，那么這個(gè)公式就稱為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 .數(shù)列的通項(xiàng)公式就是數(shù)列的解析表達(dá)式．
批注 　(1)如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列順序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；
(2)定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．
批注 　數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)．
批注 　(1)并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式；
(2)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的．
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1){0，1，2，3，4}是有窮數(shù)列．(　　)
(2)數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，2，4，3是同一數(shù)列．(　　)
(3)所有自然數(shù)能構(gòu)成數(shù)列．(　　)
(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1.(　　)
2．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是(　　)
A．同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同
B．?dāng)?shù)列－1，0，1與數(shù)列1，0，－1是同一個(gè)數(shù)列
C．?dāng)?shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}
D．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)
3．?dāng)?shù)列1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　　)
A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
4．已知數(shù)列，…，，…則5是這個(gè)數(shù)列的(　　)
A．第12項(xiàng) B．第13項(xiàng)
C．第14項(xiàng) D．第25項(xiàng)
5．?dāng)?shù)列1，2，，…中的第26項(xiàng)為________．
　題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　數(shù)列的概念和分類
例1　(1)下列說法正確的是(　　)
A．?dāng)?shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4
B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3
C．?dāng)?shù)列3，6，8可以表示為{3，6，8}
D．a(chǎn)，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能構(gòu)成數(shù)列
(2)已知下列數(shù)列：
①1，2，22，23，…，260；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③－2，2，－2，2，…；
④3，3，3，3，…；
⑤0，，…，；
⑥1，0，－1，…，sin ，….
其中有窮數(shù)列是________；無窮數(shù)列是________．
方法歸納
數(shù)列的判斷技巧及分類方法
(1)數(shù)列的判斷方法
①集合中的數(shù)是無序的，元素又是互異的；而數(shù)列中的數(shù)是嚴(yán)格按照順序排列的，項(xiàng)與項(xiàng)可以是相同的；
②組成數(shù)列的數(shù)相同，而且排列次序也相同，滿足這兩個(gè)條件才是相同的數(shù)列．
(2)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可分為：
①項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列是有窮數(shù)列；
②項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列是無窮數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練1　下列說法正確的是(　　)
A．?dāng)?shù)列－1，0，1，2與數(shù)列2，1，0，－1是相同的數(shù)列
B．?dāng)?shù)列1，2，3，4，5是有窮數(shù)列，而數(shù)列1，2，3，4，…，n是無窮數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的第k項(xiàng)為1＋
D．?dāng)?shù)列{2n}的項(xiàng)數(shù)是2n
題型2　觀察法寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式
例2　寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)是下列各數(shù)：
(1)－1，，－；
(2)，3，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
方法歸納
觀察法寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略
鞏固訓(xùn)練2　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
(1)，－，－；
(2)，2，，8，；
(3)2，0，2，0.
題型3　數(shù)列通項(xiàng)公式的簡單應(yīng)用
例3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
(2)在區(qū)間內(nèi)是否存在數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，請(qǐng)說明理由．
方法歸納
1．利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法
數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．
2．判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．
鞏固訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n2－n，n∈N＋.
(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；
(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，3是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)．
易錯(cuò)辨析　忽視數(shù)列中n∈N＋致錯(cuò)
例4　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4，則an的最小值為________．
解析：∵an＝n2－5n＋4＝－，
可知對(duì)稱軸方程為n＝，
又n∈N＋，故n＝2或3時(shí)，
an有最小值，且a2＝a3＝－2.
答案：－2
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
在求出an＝－時(shí)，忘記n∈N＋了，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤答案：－. 數(shù)列的定義域是正整數(shù)集合時(shí)，是特殊的函數(shù)，所以解題時(shí)一定不要忘記n∈N＋這一條件．
詳解答案
第1章　數(shù)列
1．1　數(shù)列的概念
第1課時(shí)　數(shù)列的概念與簡單表示法
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
1．一定順序
2．每一個(gè)數(shù)　首項(xiàng)　第1項(xiàng)　第n項(xiàng)
要點(diǎn)二
有限　無限
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A是錯(cuò)誤的，例如無窮個(gè)3構(gòu)成的常數(shù)列3，3，3，…的各項(xiàng)都是3；B是錯(cuò)誤的，數(shù)列－1，0，1與數(shù)列1，0，－1中項(xiàng)的順序不同，即表示不同的數(shù)列；C是錯(cuò)誤的，{1，3，5，7}是一個(gè)集合；根據(jù)數(shù)列的概念，D是正確的．
答案：D
3．解析：由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項(xiàng)公式為an＝.
答案：B
4．解析：由題意得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝，
當(dāng)an＝5，即＝5時(shí)，解得n＝12，
所以5是這個(gè)數(shù)列的第12項(xiàng)．
答案：A
5．解析：因?yàn)閍1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
答案：2
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，可知數(shù)列4，7，3，4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)，即4，故A正確；同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤；數(shù)列和數(shù)的順序有關(guān)，集合中元素具有無序性，故C錯(cuò)誤；當(dāng)a，b都代表數(shù)時(shí)，能構(gòu)成數(shù)列，當(dāng)a，b中至少有一個(gè)不代表數(shù)時(shí)，不能構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)閿?shù)列是按確定的順序排列的一列數(shù)，故D錯(cuò)誤．
答案：(1)A　(2)①⑤　②③④⑥
鞏固訓(xùn)練1　解析：數(shù)列中的數(shù)是有序的，數(shù)相同但次序不同的數(shù)列是不同的數(shù)列，A不正確；數(shù)列的項(xiàng)數(shù)若是有限的為有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)若是無限的為無窮數(shù)列，B中兩數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分別為5，n，B不正確；數(shù)列{2n}的項(xiàng)數(shù)為n，D不正確；數(shù)列的通項(xiàng)為，所以第k項(xiàng)為＝1＋，C正確．
答案：C
例2　解析：(1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正負(fù)相間用(－1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整，其一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·.
(2)數(shù)列可化為，即，…，每個(gè)根號(hào)里面可分解成兩數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3，后一個(gè)因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝＝.
(3)原數(shù)列可變形為，…，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝1－.
(4)數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5，所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an＝.此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫為an＝4＋(－1)n.
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋.
(2)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，…，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋.
(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是2，偶數(shù)項(xiàng)是0，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
例3　解析：(1)a10＝＝.
(2)解不等式<<得鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)在通項(xiàng)公式中依次取n＝1，2，3，可得{an}的前3項(xiàng)分別為1，6，15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是數(shù)列{an}中的第5項(xiàng)．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．第2課時(shí)　數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的單調(diào)性
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
會(huì)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)，掌握數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　數(shù)列的遞推公式
如果數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an＋1與它的________之間的關(guān)系可用一個(gè)公式an＋1＝f(an)，n≥1來表示，那么這個(gè)公式叫作數(shù)列{an}的遞推公式 ；a1稱為數(shù)列{an}的初始條件．
要點(diǎn)二　數(shù)列的單調(diào)性
類別 定義
遞增數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即an＋1____an
遞減數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即an＋1____an
擺動(dòng)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)________它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
常數(shù)列 各項(xiàng)都________的數(shù)列
批注 　用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列，必須給出：(1)“基礎(chǔ)”——數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；(2)遞推關(guān)系——數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an＋1與它的前一項(xiàng)an之間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示．
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng)．(　　)
(2)有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)．(　　)
(3)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法．(　　)
(4)所有的數(shù)列都有遞推公式．(　　)
2．?dāng)?shù)列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝(　　)
A．－3 B．－11
C．－5 D．19
3．若數(shù)列{an}滿足an＝2n，則數(shù)列{an}是(　　)
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列
4．(多選)數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是(　　)
A．a(chǎn)n＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
B．a(chǎn)n＝2an－1(n≥2，n∈N＋)
C．a(chǎn)1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋)
D．a(chǎn)1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N＋)
5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，則－3是此數(shù)列的第________項(xiàng)．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
　　　　　　　　　　　　　　　　　
題型1　根據(jù)遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)
例1　(1)設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋＝1(n≥2且n∈N＋) ，則a2 022＝(　　)
A．－1 B． C．2 D．
(2)[2022·湖南雅禮中學(xué)高二期中]如圖①至圖④，作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，然后在剩下的每一個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，以此類推，如果我們用著色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形則稱為謝爾賓斯基三角形，該概念由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．下列4個(gè)圖形中，若著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則a6＝________．
方法歸納
根據(jù)遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)的兩種類型
鞏固訓(xùn)練1　(1)[2022·重慶巴蜀中學(xué)高二期中]已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n∈N＋)，則a20＝________．
(2)將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱數(shù)列5，9，14，20，…為“梯形數(shù)”．結(jié)合圖形的構(gòu)成可猜想a2 021－a2 020＝________．
題型2　數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系
例2　(1)對(duì)于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通項(xiàng)an；
(2)若數(shù)列{an}中各項(xiàng)均不為零，則有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通項(xiàng)an.
方法歸納
由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的兩種方法
鞏固訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋) ，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(　　)
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
題型3　數(shù)列單調(diào)性的判斷
例3　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，判斷該數(shù)列的單調(diào)性．
方法歸納
判斷數(shù)列單調(diào)性的四種方法
鞏固訓(xùn)練3　下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是(　　)
A．{1－3n} B．{3n－2n＋2}
C．{2n－n} D．{(－3)n}
題型4　求數(shù)列的最大(最小)項(xiàng)
例4　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)·，試問該數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號(hào)；若沒有，請(qǐng)說明理由．
方法歸納
求數(shù)列中的最大項(xiàng)時(shí)，可結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性由an－1≤an且an≥an＋1來求，即解不等式組
得n的取值范圍，再由n∈N＋得到n的值．
鞏固訓(xùn)練4　若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n＋4)·，其最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，求k的值．
易錯(cuò)辨析　用函數(shù)思想解題時(shí)忽略數(shù)列的特征而致錯(cuò)例5　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋tn，若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則t的取值范圍是________．
解析：方法一　由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N＋，所以t>－3，
故t的取值范圍是(－3，＋∞)．
方法二　an＝n2＋tn＝－，
由于n∈N＋，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，結(jié)合二次函數(shù)的圖像得－<，解得t>－3，
故t的取值范圍是(－3，＋∞)．
答案：(－3，＋∞)
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
在方法二中，若忽略了數(shù)列的特征，即n的取值的離散性，常會(huì)得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)的錯(cuò)誤結(jié)果．事實(shí)上，由拋物線的對(duì)稱性知，函數(shù)f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不單調(diào)照樣可以使得數(shù)列{an}單調(diào)，當(dāng)對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)時(shí)，a1第2課時(shí)　數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的單調(diào)性
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
前一項(xiàng)an　
要點(diǎn)二
大于　>　小于　<　大于　相等
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19.
答案：D
3．解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．
答案：A
4．解析：A，B中沒有說明第一項(xiàng)，無法遞推．
答案：CD
5．解析：∵an＝
＝＝－3
＝，
∴n＝9.
答案：9
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由已知得：an＝1－，可求a2＝，a3＝－1，a4＝2，
∴數(shù)列{an}的周期為3，
a2 022＝a3＝－1，選項(xiàng)A正確．
(2)依題意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，
所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.
答案：(1)A　(2)364
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)由已知，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，因此數(shù)列{an}是周期數(shù)列，周期為6，
a20＝a2＝2.
(2)由題意可知，a1＝5，a2＝9，a3＝14，a4＝20，…，所以，a2－a1＝9－5＝4＝2＋2，a3－a2＝14－9＝5＝3＋2，
a4－a3＝20－14＝6＝4＋2，…
由此我們可以推斷：當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝n＋2，
故a2 021－a2 020＝2 021＋2＝2 023.
答案：(1)2　(2)2 023
例2　解析：(1)n≥2時(shí)，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)個(gè)2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也適合上式，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－1.
(2)n≥2時(shí)，an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也適合上式，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝.
鞏固訓(xùn)練2　解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，
即＝，則＝＝＝，…，＝，n≥2，
由累乘法可得＝n，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.
答案：A
例3　解析：方法一(作差法)　因?yàn)閍n＋1－an＝＝＝>0，
所以an＋1>an對(duì)任意的n(n∈N＋)都成立，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．
方法二(作商法)　因?yàn)閍n＝>0，
所以＝＝＝>1，
所以an＋1>an對(duì)任意的n(n∈N＋)都成立．故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．
方法三(函數(shù)性質(zhì)法)　an＝＝＝2－.
由于函數(shù)y＝2－在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
因此數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練3　解析：對(duì)于A，令an＝1－3n，則a1＝－2，a2＝－5，不合題意；
對(duì)于B，令an＝3n－2n＋2，則a1＝－5，a2＝－7，不合題意；
對(duì)于C，令an＝2n－n，則an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，符合題意．
對(duì)于D，令an＝(－3)n，則a1＝－3，a3＝－27，不合題意．
答案：C
例4　解析：∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·.
∴當(dāng)n<9時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；
當(dāng)n＝9時(shí)，a10－a9＝0，即a10＝a9；
當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
∴數(shù)列{an}中最大項(xiàng)為a9或a10，
其值為10×，其項(xiàng)數(shù)為9或10.
鞏固訓(xùn)練4　解析：由題意得
所以由k∈N＋可得k＝4.1．2　等差數(shù)列
1．2.1　等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)通過生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念．
(2)能在具體問題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系．
(3)會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能應(yīng)用公式解決簡單的等差數(shù)列問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　等差數(shù)列的概念
1．文字語言：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù) ，那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)________叫作等差數(shù)列的________，公差通常用字母________表示．
2．符號(hào)語言：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N＋)．
要點(diǎn)二　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)公式為an＝ .
要點(diǎn)三　等差中項(xiàng)
在兩個(gè)數(shù)a，b之間插入數(shù)M，使a，M，b成等差數(shù)列，則M稱為a與b的等差中項(xiàng) ，即M＝________．
要點(diǎn)四　等差數(shù)列的常用性質(zhì)
1．通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
2．在等差數(shù)列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則________．
①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)時(shí)，am＋an＝2ak.
②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
批注 　一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差即使等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)”，即該常數(shù)與n無關(guān)．
批注 　由通項(xiàng)公式可知，要確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式只需確定其首項(xiàng)和公差即可．
批注 　在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項(xiàng)an －1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，則an是an －1與an＋1的等差中項(xiàng)．反之，若an －1＋an＋1＝2an對(duì)任意的n≥2，n∈N＋均成立，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
批注 　熟練運(yùn)用性質(zhì)解題，往往能起到事半功倍的效果．
基 礎(chǔ) 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)
(2)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝1(n>1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(　　)
(3)若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．(　　)
(4)一個(gè)無窮等差數(shù)列{an}中取出所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，公差仍然與原數(shù)列相等．(　　)
2．(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的有(　　)
A.1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16
C．，1， D．－3，－2，－1，1，2
3．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差d為(　　)
A．2 B．3
C．－2 D．－3
4．已知實(shí)數(shù)m是1和5的等差中項(xiàng)，則m＝(　　)
A． B．±
C．3 D．±3
5．等差數(shù)列10，7，4，…的第10項(xiàng)是________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性　
題型1　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
角度1　基本量的運(yùn)算
例1　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若an＝13，求n的值．
方法歸納
(1)從方程的觀點(diǎn)看等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四個(gè)量，已知其中的三個(gè)量，可以求得另一個(gè)量，即“知三求一”．
(2)已知數(shù)列的其中兩項(xiàng)求公差d，或已知一項(xiàng)、公差和其中一項(xiàng)的序號(hào)，求序號(hào)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)時(shí)，通常應(yīng)用變形公式an＝am＋(n－m)d.
鞏固訓(xùn)練1　(1)[2022·湖南益陽高二期末]已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a3＝3，則a6＝(　　)
A．3 B．9
C．18 D．24
(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a3＝，a7＝－，則a15＝________．
角度2　判斷數(shù)列中的項(xiàng)
例2　100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由．
方法歸納
判斷數(shù)列中的項(xiàng)的步驟
鞏固訓(xùn)練2　等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若不是，說明原因；若是，是第幾項(xiàng)？
題型2　等差中項(xiàng)及其應(yīng)用
例3　(1)在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列；
(2)若m和2n的等差中項(xiàng)為4，2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)．
方法歸納
三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b＝(或2b＝a＋c)，可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或解決有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題．如若證{an}為等差數(shù)列，可證2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
鞏固訓(xùn)練3　設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則有(　　)
A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)＝3b
C．a(chǎn)＝3b或a＝－b D．a(chǎn)＝b＝0
題型3　等差數(shù)列的判定與證明
例4　已知數(shù)列{an}滿足a1＝4且an＝4－(n>1)，記bn＝.
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
方法歸納
證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的2種常用方法
鞏固訓(xùn)練4　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)設(shè)bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
題型4　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
例5　(1)在等差數(shù)列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，則a9等于(　　)
A．14　　　B．12 C．10　　　D．8
(2)[2022·湖南懷化高二期末]在等差數(shù)列{an}中，a2，a4是方程x2－3x－4＝0的兩根，則a3的值為(　　)
A．2　　　 B．3 C．±2　　　D．
方法歸納
利用等差數(shù)列的性質(zhì)“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，則ak＋al＝am＋an”來求等差數(shù)列的某一項(xiàng)，可以簡化解題過程，減少計(jì)算量．
鞏固訓(xùn)練5　(1)[2022·湖南長郡中學(xué)高二期中]數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2＋a4＝4，則a3＝(　　)
A．1　　 　B．2 C．3　　　D．4
(2)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，則k＝________．
易錯(cuò)辨析　混淆等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題中n的取值致錯(cuò)例6　兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？
解析：設(shè)已知兩個(gè)數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11，
又等差數(shù)列5，8，11，…的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2，
等差數(shù)列3，7，11，…的通項(xiàng)公式為bn＝4n－1.
∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差d＝12.
∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.
得n≤25，可見已知兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng)．
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
混淆了兩個(gè)等差數(shù)列中n的取值，誤認(rèn)為3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致錯(cuò)． 解題時(shí)一定要理解好兩個(gè)通項(xiàng)公式的n值的含義，否則會(huì)造成不必要的丟分．
1．2　等差數(shù)列
1．2.1　等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
1．常數(shù)　公差　d
要點(diǎn)三
要點(diǎn)四
2．a(chǎn)k＋al＝am＋an
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由等差數(shù)列的定義可知ABC是等差數(shù)列，D不是等差數(shù)列．
答案：ABC
3．解析：由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
答案：C
4．解析：由題知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
答案：C
5．解析：設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為{an}，則a1＝10，d＝7－10＝－3，
所以a10＝a1＋9d＝10－27＝－17.
答案：－17
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由題意可知解得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因?yàn)閧an}是公差為2的等差數(shù)列，a3＝3，
所以a6＝a3＋3×2＝9.
(2)方法一(方程組法)　由
得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
方法二(利用am＝an＋(m－n)d求解)　由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
答案：(1)B　(2)－
例2　解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng)．
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍5＝10，a12＝31，
由an＝a1＋(n－1)d得，
解得
即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，
則a20＝3×20－5＝55.
(2)令3n－5＝85，得n＝30，
所以85是該數(shù)列{an}的第30項(xiàng)．
例3　解析：(1)∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，
∴b是－1與7的等差中項(xiàng)．∴b＝＝3.
又a是－1與b的等差中項(xiàng)，∴a＝＝1.
又c是b與7的等差中項(xiàng)，∴c＝＝5.
∴該數(shù)列為－1，1，3，5，7.
(2)由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中項(xiàng)為＝3.
鞏固訓(xùn)練3　解析：依題意2x＝a＋b，2x2＝a2－b2，消去x可得2·＝a2－b2，
整理得a2－2ab－3b2＝0，所以a＝3b或a＝－b.
答案：C
例4　解析：(1)證明：∵bn＋1－bn＝
＝
＝
＝＝
又b1＝＝，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n，
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
鞏固訓(xùn)練4　解析：(1)證明：因?yàn)閍n＋1＝2an＋2n，
所以＝＝＋1，
所以＝1，n∈N＋.
又bn＝，所以bn＋1－bn＝1.
所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)b1＝a1＝1，公差為1.
(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，經(jīng)檢驗(yàn)，n＝1時(shí)a1＝1也滿足上式．
例5　解析：(1)因?yàn)?d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1，
又因?yàn)閍3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6，
所以a9＝a7＋2d＝8.
(2)a2、a4是方程x2－3x－4＝0的兩根，所以a2＋a4＝3，
又{an}是等差數(shù)列，所以a2＋a4＝2a3，所以a3＝.
答案：(1)D　(2)D
鞏固訓(xùn)練5　解析：(1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，則a2＋a4＝2a3＝4，所以a3＝2.
(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.
答案：(1)B　(2)181．2.2　等差數(shù)列與一次函數(shù)
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的關(guān)系解決等差數(shù)列的問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}，其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d，將其中的正整數(shù)自變量n換成實(shí)數(shù)自變量x，得到y(tǒng)＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)，當(dāng)d≠0時(shí)，是________(其中一次項(xiàng)系數(shù)為等差數(shù)列的公差d)；當(dāng)d＝0時(shí)，y＝a1(a1為常數(shù))，這兩種情形的函數(shù)圖象都是________．等差數(shù)列的圖象由這條直線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)n的孤立點(diǎn)________組成．
要點(diǎn)二　等差數(shù)列的單調(diào)性
等差數(shù)列{an}的公差為d，
(1)當(dāng)d>0時(shí)，直線y＝dx＋(a1－d)從左至右上升，等差數(shù)列{an}________；
(2)當(dāng)d<0時(shí)，直線從左至右下降，等差數(shù)列{an}________；
(3)當(dāng)d＝0時(shí)，y＝a1為水平方向的直線，數(shù)列為________．
批注 　相同點(diǎn)都是關(guān)于自變量的一次整式．不同點(diǎn)是定義域的不同，數(shù)列中n∈N＋.
批注 　等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d的制約．
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．(　　)
(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n＋5，則數(shù)列{an}的公差與函數(shù)y＝3x＋5的圖象的斜率相等.(　　)
(3)等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{|an|}也是遞增數(shù)列．(　　)
2．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若{an}為遞增數(shù)列，則(　　)
A．d>0 B．d<0
C．a(chǎn)1d>0 D．a(chǎn)1d<0
3．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3＋k·n，且a1＝1，則該等差數(shù)列的公差為(　　)
A．2　　　　B．－2 C．3　　　　D．－3
4．已知數(shù)列{an}，對(duì)任意的n∈N＋，點(diǎn)Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，則{an}為(　　)
A．公差為2的等差數(shù)列
B．公差為1的等差數(shù)列
C．公差為－2的等差數(shù)列
D．非等差數(shù)列
5．已知等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，a2，a4是方程x2－14x＋40＝0的兩個(gè)根，則a20＝________．
　　題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)特征
例1　已知(1，3)，(3，－1)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn)，若5是p，q的等差中項(xiàng)，求ap＋aq的值．
方法歸納
利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，列方程組求解．
鞏固訓(xùn)練1　在等差數(shù)列{an}中，am＝n，an＝m，則am＋n(　　)
A．0 B．m
C．n D．m＋n
題型2　等差數(shù)列的圖象與一次函數(shù)的圖象
例2　已知(1，1)，(3，5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn)．
(1)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)畫出這個(gè)數(shù)列的圖象；
(3)判斷這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性．
方法歸納
數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此也可以用圖象來表示，以位置序號(hào)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以(n，an)為坐標(biāo)描點(diǎn)畫圖，就可以得到數(shù)列的圖象．因?yàn)樗亩x域是正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其圖象是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．
鞏固訓(xùn)練2　[2022·山東萊州一中二月考]在數(shù)列{an}中，a1＝3，對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)()在直線x－y－＝0上，那么a5＝(　　)
A．5 B．5
C．50 D．75
題型3　等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性
例3　已知{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
方法歸納
數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別：二者定義不同．函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，設(shè)D I，對(duì)任意x1，x2∈I，當(dāng)x1f(x2)，則f(x)在I上單調(diào)遞減，若f(x1)聯(lián)系：若函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)，則數(shù)列f(n)也單調(diào)．反之不正確，例如f(x)＝，數(shù)列f(n)單調(diào)遞增，但函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上不是單調(diào)遞增．
鞏固訓(xùn)練3　在數(shù)列{an}中，an＝－3n＋18，則an的最大值為(　　)
A．15 B．0
C．6 D．不存在
易錯(cuò)辨析　忽視等差數(shù)列中的隱含條件致誤
例4　已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，它從第10項(xiàng)開始比1大，那么公差d的取值范圍是(　　)
A．d>B．d<
C．解析：由題意可得a1＝，且，
即，解得答案：D
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
(1)錯(cuò)選A，只看到了a10>1而忽視了a9≤1，是審題不仔細(xì)而致誤； (2)錯(cuò)選C，誤認(rèn)為a9<1，是由不會(huì)讀題，馬虎造成錯(cuò)誤． 認(rèn)真審題，充分挖掘題目中的隱含條件．
1．2.2　等差數(shù)列與一次函數(shù)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
一次函數(shù)　直線　(n，an)
要點(diǎn)二
(1)遞增　(2)遞減　(3)常數(shù)列
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則an＋1－an＝d>0.
答案：A
3．解析：由已知可知3＋k＝1，所以k＝－2，an＝3－2n，即公差d＝－2.
答案：B
4．解析：由題意知：an＝2n＋1，則an＋1－an＝2，
∴{an}是公差為2的等差數(shù)列．
答案：A
5．解析：因?yàn)閍2，a4是方程x2－14x＋40＝0的兩個(gè)根，所以，或，
又因數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以，故2d＝a4－a2＝6，d＝3，a1＝1，故an＝3n－2，a20＝58.
答案：58
題型探究·課堂解透
例1　解析：設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝xn＋y，代入兩點(diǎn)的坐標(biāo)得解得x＝－2，y＝5，即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中項(xiàng)，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2(－10＋5)＝－10.
鞏固訓(xùn)練1　解析：方法一　構(gòu)造等差數(shù)列{an}使得a1＝2，a2＝1，這里m＝1，n＝2，于是am＋n＝a3＝0，排除B、C、D.
方法二　因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且m≠n，所以d≠0，即通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖象是一條直線，則(n，m)，(m，n)，(m＋n，am＋n)三點(diǎn)共線，所以利用每兩點(diǎn)形成直線斜率相等，即＝，得am＋n＝0.
答案：A
例2　解析：(1)d＝＝2，∴an－1＝2(n－1)．即an＝2n－1.
(2)圖象是直線y＝2x－1上一些等間隔的點(diǎn)．圖略．
(3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝2x－1是增函數(shù)，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練2　解析：∵點(diǎn)()在直線x－y－＝0上，即＝，
又＝，∴{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴＝＋(n－1)×＝n，即an＝3n2，
所以a5＝3×52＝75.
答案：D
例3　解析：方法一　構(gòu)造一次函數(shù)，因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N＋，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)(*)．設(shè)f(n)＝－(2n＋1)，則只需求出f(n)的最大值即可，因?yàn)閚≥1，顯然f(n)有最大值f(1)＝－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
方法二　構(gòu)造二次函數(shù)，設(shè)f(n)＝an＝n2＋λn，其圖象的對(duì)稱軸為直線n＝－，要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足f(1)－3.
鞏固訓(xùn)練3　解析：an＝－3n＋18對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝－3x＋18，易知它是R上的遞減函數(shù)，因此可知數(shù)列是遞減數(shù)列，首項(xiàng)最大，所以(an)max＝a1＝15.
答案：A1．2.3　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．(2)理解數(shù)列的an與Sn的關(guān)系．(3)掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用．(4)會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　數(shù)列的前n項(xiàng)和的概念
一般地，稱a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
要點(diǎn)二　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
1．Sn＝.
2．Sn＝na1＋d .
要點(diǎn)三　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則{an}中連續(xù)的n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構(gòu)成等差數(shù)列．
2．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))．
批注 　已知a1和an及項(xiàng)數(shù)n，使用此公式．
批注 　已知首項(xiàng)a1和公差d及項(xiàng)數(shù)n，使用此公式．
批注 　熟練運(yùn)用性質(zhì)解題，往往能起到事半功倍的效果．
　基 礎(chǔ) 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加．(　　)
(2)知道等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差與前n項(xiàng)和可求項(xiàng)數(shù)n.(　　)
(3)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kn(k∈R)，則{an}為常數(shù)列．(　　)
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則S2，S4，S6成等差數(shù)列．(　　)
2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，則S9等于(　　)
A.45　　　B．52 C．108　　 D．54
3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝4，S4＝22，則a5＝(　　)
A．10　　　B．13 C．15　　　D．18
4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則S12＝(　　)
A．28　　　B．32 C．36　　　D．40
5．某劇場有20排座位，若后一排比前一排多2個(gè)座位，這個(gè)劇場共有820個(gè)座位，則這個(gè)劇場最后一排有________個(gè)座位．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
　
題型1　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本計(jì)算
例1　在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
方法歸納
等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題
鞏固訓(xùn)練1　(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a11＋7＝2a12，則S25＝(　　)
A． B．145
C． D．175
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝，d＝－，Sm＝－15，則am＝________．
題型2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用
例2　某地去年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天新感染者人數(shù)增加40.從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到有效控制，每天的新感染者人數(shù)比前一天的新感染者人數(shù)減少10.
(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)；
(2)該地區(qū)9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
方法歸納
(1)解答與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．
(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：
①抓住實(shí)際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．
②深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.
鞏固訓(xùn)練2　[2022·湖南部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]跑步是一項(xiàng)有氧運(yùn)動(dòng)，通過跑步，我們能提高肌力，同時(shí)提高體內(nèi)的基礎(chǔ)代謝水平，加速脂肪的燃燒，養(yǎng)成易瘦體質(zhì)．小林最近給自己制定了一個(gè)200千米的跑步健身計(jì)劃，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，則他要完成該計(jì)劃至少需要(　　)
A．16天 B．17天
C．18天 D．19天
題型3　等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
例3　(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m；
(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知＝，求的值．
方法歸納
等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算的三種方法
鞏固訓(xùn)練3　(1)[2022·重慶十一中月考]設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 021，其前n項(xiàng)和為Sn，若＝2，則S2 021等于(　　)
A．2 021 B．－2 021
C．－2 020 D．2 020
易錯(cuò)辨析　混淆等差數(shù)列的性質(zhì)致誤
例4　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和記為Sn，S10＝10，S30＝70，則S40＝________．
解析：由題意知，得
所以S40＝40×＝120.
答案：120
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
將等差數(shù)列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列誤認(rèn)為Sm，S2m，S3m成等差數(shù)列． 本題可用等差數(shù)列的性質(zhì)：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列求解；還可以由S10＝10，S30＝70聯(lián)立方程組解得a1和d，再求S40.
1．2.3　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：S9＝＝＝54.
答案：D
3．解析：由題意得解得所以a5＝a1＋4d＝13.
答案：B
4．解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，
解得：S12＝36.
答案：C
5．解析：由題意知，劇場各排座位從前到后構(gòu)成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列{an}，且n＝20，Sn＝820，d＝2，
由Sn＝na1＋d，即820＝20a1＋×2，解得a1＝22，
所以a20＝a1＋(20－1)d＝22＋19×2＝60.
答案：60
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，
∴
解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，a11＋7＝2a12，則a1＋10d＋7＝2(a1＋11d)，即a1＋12d＝7，即a13＝7，所以S25＝＝25a13＝25×7＝175.
(2)∵Sm＝m×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
答案：(1)D　(2)－4
例2　解析：(1)由題意知，該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)，
構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)a1＝40，公差d＝40的等差數(shù)列，
所以9月10日的新感染者人數(shù)為a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，
所以9月11日的新感染者人數(shù)為a11＝400－10＝390(人)；
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人數(shù)和為：S10＝＝2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者人數(shù)，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)b1＝390，公差d1＝－10的等差數(shù)列，
所以后20天新感染者人數(shù)和為T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)，
所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人．
鞏固訓(xùn)練2　解析：依題意可得，他從第一天開始每天跑步的路程(單位：千米)依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為8，公差為0.5，
設(shè)經(jīng)過n天后他完成健身計(jì)劃，則8n＋≥200，
整理得n2＋31n－800≥0.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋31x－800在[1，＋∞)為增函數(shù)，且f(16)<0，f(17)>0，
所以n≥17.
答案：B
例3　解析：(1)由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，
即30，70，S3m－100成等差數(shù)列，所以2×70＝30＋S3m－100，解得S3m＝210.
(2)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，且＝，
可得＝＝＝＝＝.
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)因?yàn)椋剑?br/>所以＝＝＝＝＝2.
(2)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
又＝2d＝2，解得：d＝1，又＝a1＝－2 021，
∴＝－2 021＋2 020＝－1，∴S2 021＝－2 021.
答案：(1)C　(2)B1．2.3　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)理解數(shù)列的an與Sn的關(guān)系．
(2)會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　Sn與an的關(guān)系
an＝
要點(diǎn)二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
1．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定．
2．因?yàn)镾n＝n2＋n ，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有________值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有________值；且n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值．
批注 　如果a1也滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝Sn－Sn－1；如果a1不滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式要分段表示為
an＝
批注 　用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意的是：n∈N*.
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一定是常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于n的二次函數(shù)．(　　)
(2)對(duì)于數(shù)列{an}，一定有關(guān)系式an＝Sn－Sn－1.(　　)
(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn一定同時(shí)存在最大值和最小值．(　　)
(4)若等差數(shù)列{an}的公差d>0，則該數(shù)列Sn一定有最小值，d<0，則該數(shù)列Sn一定有最大值．(　　)
2．若數(shù)列{an}中，an＝43－3n，則Sn的最大值n＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．14或15
3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n3，則a4的值為(　　)
A．15 B．27
C．37 D．64
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，則an等于(　　)
A．4n－2 B．n2
C．2n＋1 D．2n
5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n，則其最小值為________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
　
題型1　an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用
例1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－2n2＋3n＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？
方法歸納
已知Sn求an的一般步驟
鞏固訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
題型2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
例2　在等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為________．
變式探究1　將本例中“a1>0，S3＝S11”換成“an＝26－2n”，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為________．
變式探究2　將本例中“a1>0，S3＝S11”換為“a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0”，求使Sn>0成立的最大自然數(shù)n.
方法歸納
1．在等差數(shù)列中，求Sn的最值的2種常用方法
2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法
鞏固訓(xùn)練2　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2 020>0，S2 021<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn最大．
題型3　求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和
例3　已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)Sn為數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和，求Sn.
方法歸納
求數(shù)列{|an|}前n項(xiàng)和的方法
(1)一般地，數(shù)列{|an|}與數(shù)列{an}是兩個(gè)不相同的數(shù)列，只有數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)時(shí)，它們表示的才是同一數(shù)列．因此，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)先弄清n取什么值時(shí)an>0或an<0，去掉絕對(duì)值符號(hào)后再求和．
(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，則有：
①若a1>0，d<0，則存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，從而Tn＝
②若a1<0，d>0，則存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，從而
鞏固訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.
易錯(cuò)辨析　數(shù)列中的最值錯(cuò)誤
例4　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S11＝S18，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn最大．
解析：方法一　由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.
構(gòu)建不等式組即解得14≤n≤15.
故當(dāng)n＝14或n＝15時(shí)Sn最大．
方法二　由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d.
由于n∈N＋，結(jié)合Sn對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)n＝14或n＝15時(shí)Sn最大．
方法三　由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故當(dāng)n＝14或n＝15時(shí)Sn最大．
答案：14或15
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15時(shí)，前n項(xiàng)和相等且最大．有些同學(xué)容易忽視數(shù)列中為零的項(xiàng)致錯(cuò)． 在解決數(shù)列問題時(shí)，經(jīng)常遇到求最值的問題，且解決此類問題常用函數(shù)的一些方法，但一定要注意數(shù)列中的變量n為正整數(shù)，同時(shí)還要注意數(shù)列中為零的項(xiàng)．
1．2.3　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
S1　Sn－Sn－1
要點(diǎn)二
1．最大　最小
2．最小　最大　
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N＋，∴n＝14.
答案：B
3．解析：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴a4＝S4－S3＝43－33＝37.
答案：C
4．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋n－1]＝2n，
因?yàn)閍1＝2滿足an＝2n，
所以an＝2n.
答案：D
5．解析：由Sn＝n2－3n＝－，可知當(dāng)n＝1或2時(shí)，Sn的最小值為－2.
答案：－2
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練1　解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－8也適合，所以an＝2n－10.
又因?yàn)?＜ak＜8，所以5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9，故k＝8.
答案：B
例2　解析：方法一(函數(shù)法)　由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因?yàn)閍1>0，所以－<0.故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．
方法二(通項(xiàng)變號(hào)法)　由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，則有即
解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．
答案：7
變式探究1　解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.
∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大．
答案：12或13
變式探究2　解析：∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，
∴{an}表示首項(xiàng)是正數(shù)，公差d為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列．
∴a2 019>0，a2 020<0.
且|a2 019|>|a2 020|，∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0，
∴S4 038＝>0，
又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0，
∴S4 039＝＜0，
∴使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4 038.
鞏固訓(xùn)練2　解析：∵S2020>0，S2 021<0，
∴>0，<0，
∴a1＋a2 020＝a1 010＋a1 011>0，a1＋a2 021＝2a1 011<0，
∴a1 010>0，a1 011<0，
∴當(dāng)n＝1 010時(shí)，Sn最大．
答案：1 010
例3　解析：(1)在等差數(shù)列{an}中，由a1＋a4＋a7＝－6得a4＝－2，則，解得或，
而公差d>0，則，d＝＝2，于是得a1＝－8，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－10.
解析：(2)由(1)知an＝2n－10，因此，|an|＝|2n－10|＝，
當(dāng)1≤n≤5時(shí)，Sn＝－a1－a2－…－an＝－×n＝－n2＋9n，
當(dāng)n≥6時(shí)，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋(|a6|＋…＋|an|)
＝(－a1－a2－…－a5)＋(a6＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)
＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a5)＝×n＋40＝n2－9n＋40，
所以Sn＝(n∈N＋)．
鞏固訓(xùn)練3　解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝＝－3n＋104.
∵n＝1也適合上式，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0得n≤34，
即當(dāng)n≤34時(shí)，an>0；當(dāng)n≥35時(shí)，an<0.
方法一　①當(dāng)n≤34時(shí)，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n.
②當(dāng)n≥35時(shí)，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
方法二　①同方法一．
②當(dāng)n≥35時(shí)，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝
＝n2－n＋3 502，
故Tn＝1．3.1　等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．
(2)掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(3)能在具體問題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　等比數(shù)列的概念
1．文字語言：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第________項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于________常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列 ，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母________表示．
2．符號(hào)語言：＝q (q為常數(shù)，n∈N＋)
要點(diǎn)二　等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1 .
要點(diǎn)三　等比中項(xiàng)
在兩個(gè)數(shù)a，b中間插入數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．
批注 　比是有順序的，不能有0項(xiàng)！
批注 　公比q是除0之外的任意實(shí)數(shù)，當(dāng)q＝1時(shí)，此時(shí)為常數(shù)列，也是等差數(shù)列．
批注 　公式中有an，a1，q，n四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，可以求得第四個(gè)量，其中a1，q為兩個(gè)基本量．
批注 　只有當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)a、b才有等比中項(xiàng)，并且有兩個(gè)等比中項(xiàng)，分別是與－；當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)沒有等比中項(xiàng)．
基礎(chǔ)自測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列為{an}，且滿足＝q(n≥2，q為不等于0的常數(shù))，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．(　　)
(2)在等比數(shù)列{an}中，若已知任意兩項(xiàng)的值，則可以求出首項(xiàng)、公比和數(shù)列任一項(xiàng)的值．(　　)
(3)G為a，b的等比中項(xiàng) G2＝ab.(　　)
(4)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．(　　)
　
2．(多選)下列數(shù)列不是等比數(shù)列的是(　　)
A．2，22，3×22，…
B．，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0，0，0，…
3．已知{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝2，則a3＝(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．4
4.－1與＋1的等比中項(xiàng)是(　　)
A．B．－
C．± D．±
5．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，則an＝________．
　題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用
例1　在等比數(shù)列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
方法歸納
等比數(shù)列中求an的2種常用方法
鞏固訓(xùn)練1　(1)在等比數(shù)列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，則a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
(2)已知{an}為等比數(shù)列，且a2＝2，a4＋a6＝，則{an}的公比q等于(　　)
A． B．
C．－ D．±
題型2　等比中項(xiàng)及其應(yīng)用
例2　已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項(xiàng)．
方法歸納
(1)首項(xiàng)a1和q是構(gòu)成等比數(shù)列的基本量，從基本量入手解決相關(guān)問題是研究等比數(shù)列的基本方法．
(2)解題時(shí)應(yīng)注意同號(hào)的兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，而異號(hào)的兩個(gè)數(shù)沒有等比中項(xiàng)．
鞏固訓(xùn)練2　如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
題型3　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
例3　某學(xué)校實(shí)驗(yàn)室有濃度為2 g/ml和0.2 g/ml的兩種K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為取濃度為2 g/ml和0.2 g/ml的兩種K溶液各300 ml分別裝入兩個(gè)容積都為500 ml的錐形瓶A，B中，先從瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再從B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上兩次混合過程完成后算完成一次操作．設(shè)在完成第n次操作后，A瓶中溶液濃度為an g/ml，B瓶中溶液濃度為bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
(1)請(qǐng)計(jì)算a1，b1，并判定數(shù)列{an－bn}是否為等比數(shù)列？若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由；
(2)若要使得A，B兩個(gè)瓶中的溶液濃度之差小于0.01 g/ml，則至少要經(jīng)過幾次？
方法歸納
解等比數(shù)列應(yīng)用題的一般步驟
鞏固訓(xùn)練3　某教育網(wǎng)站本月的用戶為500人，網(wǎng)站改造后，預(yù)計(jì)平均每月的用戶都比上一個(gè)月增加10%，那么從本月起，大約經(jīng)過幾個(gè)月可使用戶達(dá)到1萬人(精確到1)
易錯(cuò)辨析　忽略等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律致錯(cuò)
例4　在等比數(shù)列{an}中，a5＝1，a9＝81，則a7＝(　　)
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．－27
解析：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以a7＝9.
答案：B
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
沒有弄清等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律，直接由等比中項(xiàng)得a7＝±9，錯(cuò)選A. 在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同．解此類題時(shí)要小心謹(jǐn)慎，以防上當(dāng)．
1．3　等比數(shù)列
1．3.1　等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
1．2　同一個(gè)　q(q≠0)
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中，≠，A不是等比數(shù)列；B中，＝＝…，B是等比數(shù)列；C中，當(dāng)s＝1時(shí)，不是等比數(shù)列；當(dāng)s≠1時(shí)，是等比數(shù)列，所以C不是等比數(shù)列；D顯然不是等比數(shù)列．
答案：ACD
3．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則有1×q3＝2＝()3，
∴q＝，∴a3＝＝2.
答案：B
4．解析：－1與＋1的等比中項(xiàng)是±＝±.
答案：C
5．解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n.
答案：－2n或(－2)n
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)因?yàn)樗?br/>由得q3＝4，從而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
(2)方法一　由已知可得
由得q＝，從而a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二　因?yàn)閍3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)設(shè)公比為q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0，
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.
(2)∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
∴a4＋a6＝a2q2＋a2q4＝2(q2＋q4)＝，即16q4＋16q2－117＝0，
∴(4q2＋13)(4q2－9)＝0，解得q2＝，即q＝±.經(jīng)檢驗(yàn)q＝±均滿足題意．
答案：(1)B　(2)D
例2　解析：設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，
因?yàn)閍2－a5＝42，所以q≠1，
由已知，得，
所以，
因?yàn)?－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得q(1－q)＝.
所以q＝.
所以a1＝＝96.
若G是a5，a7的等比中項(xiàng)，
則應(yīng)有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9.
所以a5，a7的等比中項(xiàng)是±3.
鞏固訓(xùn)練2　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，
∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9，
∴b<0，∴b＝－3.
又b2＝ac，∴ac＝9.
答案：B
例3　解析：(1)由題意，得b1＝＝0.65 g/ml，
a1＝＝1.55 g/ml.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，
an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，
∴an－bn＝(an－1－bn－1)，
∴等比數(shù)列{an－bn}的公比為，
其首項(xiàng)a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，
∴an－bn＝0.9·.
(2)由題意可知，問題轉(zhuǎn)化為解不等式0.9·<10－2，
∴n>1＋≈7.49，
∴至少要操作8次才能達(dá)到要求．
鞏固訓(xùn)練3　解析：根據(jù)題意，設(shè)從本月起，每月的用戶數(shù)形成一個(gè)等比數(shù)列{an}，
則首項(xiàng)a1＝500，公比q＝1＋10%＝1.1，
則由an＝500×1.1n＝10 000可得，1.1n＝20，
則n＝log1.120≈31.4，所以大約經(jīng)過32個(gè)月可使用戶達(dá)到1萬人．1．3.2　等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
(2)通過指數(shù)函數(shù)理解等比數(shù)列的性質(zhì)．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系
如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1時(shí)點(diǎn)(n，an)均在函數(shù)y＝a1qx－1的圖象上．
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1＝·qn，其形式類似于指數(shù)型函數(shù)，所以{an}的單調(diào)性由a1和q共同決定 .
具體情況如下：
單調(diào)性 公比q 首項(xiàng) q>1 0a1>0 ________ ________ 常數(shù) 數(shù)列 擺動(dòng) 數(shù)列
a1<0 ________ ________
要點(diǎn)二　等比數(shù)列的常用性質(zhì)
1．在等比數(shù)列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則________．
(1)特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)時(shí)，aman＝.
(2)對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
2．若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，那么}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列．
批注 　一般地，q>0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)相同；q<0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)正負(fù)交替．
批注 　熟練運(yùn)用性質(zhì)解題，往往能起到事半功倍的效果．
　基 礎(chǔ) 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)當(dāng)q>1時(shí)，{an}為遞增數(shù)列．(　　)
(2)當(dāng)q＝1時(shí)，{an}為常數(shù)列．(　　)
(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列．(　　)
(4)若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　　)
2．等比數(shù)列{an}的公比q＝－，a1＝，則數(shù)列{an}是(　　)
A.遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C.常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列
3．設(shè){an}是等比數(shù)列，下列說法一定正確的是(　　)
A.a1，a3，a9成等比數(shù)列
B.a2，a3，a6成等比數(shù)列
C.a2，a4，a8成等比數(shù)列
D.a3，a6，a9成等比數(shù)列
4．對(duì)于無窮常數(shù)列7，7，…，7…，下列說法正確的是(　　)
A.該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列
B.該數(shù)列是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列
C.該數(shù)列是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列
D.該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
5．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a5＝3，則a1a9＝________．
　　題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用
例1　(1)[2022·福建寧德高二期中]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2＝3，a7a8＝27，則a4a5＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)(多選)已知等比數(shù)列{an}中，滿足a1＝1，公比q＝－2，則(　　)
A．?dāng)?shù)列{2an＋an＋1}是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{log2|an|}是等比數(shù)列
方法歸納
有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算問題，基本方法是運(yùn)用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項(xiàng)公式求解．但有時(shí)運(yùn)算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項(xiàng)“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用．
鞏固訓(xùn)練1　(1)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3＝9，則log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝(　　)
A． B．
C．10 D．15
(2)若數(shù)列{an}是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，則{·a2n}是(　　)
A．公比為2的等比數(shù)列
B．公比為的等比數(shù)列
C．公差為2的等差數(shù)列
D．公差為的等差數(shù)列
題型2　等比數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用
例2　(1)在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q<1，那么等比數(shù)列{an}是(　　)
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．無法確定單調(diào)性
(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，且a2＝27，a3·a6·a9＝，則當(dāng)Tn最大時(shí)，n的值為(　　)
A．5或6 B．6
C．5 D．4或5
方法歸納
借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，輕而易舉地解決數(shù)列最大項(xiàng)的問題．在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)注意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
鞏固訓(xùn)練2　(1)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“0A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)在等比數(shù)列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，則數(shù)列{an}為(　　)
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．無法確定單調(diào)性
題型3　等比數(shù)列的判斷與證明
例3　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)
(1)求a1，a2；
(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
方法歸納
判斷數(shù)列是等比數(shù)列的3種常用方法
鞏固訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N＋)，試判斷：{an}是等比數(shù)列嗎？
1．3.2　等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
遞增數(shù)列　遞減數(shù)列　遞減數(shù)列　遞增數(shù)列
要點(diǎn)二
1．a(chǎn)kal＝aman
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：∵q<0，a1>0，∴所有奇數(shù)項(xiàng)為正、偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故成擺動(dòng)數(shù)列．
答案：D
3．解析：根據(jù)題意，{an}是等比數(shù)列，
依次分析選項(xiàng)：
A．1＋9≠2×3，則(a3)2≠a1×a9，則a1，a3，a9不成等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；
B．2＋6≠2×3，則(a3)2≠a2×a6，則a2，a3，a6不成等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；
C．2＋8≠2×4，則(a4)2≠a2×a8，則a2，a4，a8不成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；
D．3＋9＝2×6，則(a6)2＝a3×a9，則a2，a3，a6成等比數(shù)列，D正確．
答案：D
4．解析：由題意可知，對(duì)于無窮常數(shù)列7，7，…，7…是以7為首項(xiàng)，0為公差的等差數(shù)列；同時(shí)也是以7為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列．
答案：D
5．解析：由題意a1a9＝＝9.
答案：9
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由a1a7＝＝a1a7·a2a8＝3×27＝81，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以a4a5＝9.
(2)對(duì)于A，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，錯(cuò)誤；對(duì)于B，an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝(－1)n·3·2n－1，符合函數(shù)y＝cqx的形式，可以用定義進(jìn)一步驗(yàn)證，故{an＋1－an}是等比數(shù)列，正確；對(duì)于C，anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝＝(－2)－1·(－2)2n＝－·4n，符合函數(shù)y＝cqx的形式，可以用定義進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，正確；對(duì)于D，log2|an|＝log22n－1＝n－1，是等差數(shù)列，錯(cuò)誤．
答案：(1)C　(2)BC
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3＝9，
所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5
＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝＝log3(95)＝log3(310)＝10.
(2)數(shù)列{an}是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，則＝(n≥2)，設(shè)bn＝·a2n，則＝＝·()2＝2(n≥2)，即{·a2n}是公比為2的等比數(shù)列．
答案：(1)C　(2)A
例2　解析：(1)如等比數(shù)列{(－1)n}的公比為－1，是擺動(dòng)數(shù)列，不具有單調(diào)性；等比數(shù)列的公比為，是遞減數(shù)列；等比數(shù)列的公比為，是遞增數(shù)列．
(2)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，因?yàn)閍3·a6·a9＝，a3·a9＝(a6)2，所以a6＝，又a2＝27，q4＝＝，故q＝，所以a1＝81，Tn＝＝＝，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，Tn取最大值．
答案：(1)D　(2)D
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的首項(xiàng)a1<0而公比01.故{an}為等比數(shù)列，q為公比，則“0(2)由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.
又a1>0，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．
答案：(1)D　(2)A
例3　解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－，
當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.
(2)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列．
鞏固訓(xùn)練3　解析：設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則q>0，因?yàn)閎n＝，所以b1＝，所以bn＝·qn－1＝.方程兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得an＝·qn－1)＝a1＋(n－1)log3q.由于an＋1－an＝[a1＋nlog3q]－[a1＋(n－1)log3q]＝log3q，可知數(shù)列{an}是以log3q為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．1．3.3　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
(2)理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系．
(3)理解與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的性質(zhì)．
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)一　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，前n項(xiàng)和為Sn ，
當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝________；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
要點(diǎn)二　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
1．公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
2．等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n項(xiàng)時(shí)，＝________；項(xiàng)數(shù)為2n＋1項(xiàng)時(shí)，＝________．
批注 　(1)當(dāng)公比未知時(shí)，要對(duì)公比進(jìn)行分類討論．
(2)當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn＝較方便；
當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn＝較方便．
批注 　當(dāng)q＝－1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列．
基 礎(chǔ) 自 測
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)可直接套用公式Sn＝來求．(　　)
(2)若首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和為Sn＝na.(　　)
(3)若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列．(　　)
(4)若Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則S3，S6，S9成等比數(shù)列．(　　)
2．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，公比q＝2，則S5等于(　　)
A．93　　　B．－93 C．45　　　D．－45
3．若等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn＝3n＋a，則a等于(　　)
A．－4　　 B．－2 C．0　　　 D．－1
4．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a3＝3，S2＝6，則a5的值為(　　)
A．　　　B．3或12 C．3或　 D．12或
5．一座七層的塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點(diǎn)381盞燈，則底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是________．
題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
　
題型1　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算
例1　在等比數(shù)列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
方法歸納
等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．
鞏固訓(xùn)練1　(1)已知公比不為1的等比數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，＝5，則＝(　　)
A．2 B．4
C．5 D．25
(2)[2022·湖南婁星高二期中]已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，則S8＝________．
題型2　等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
例2　(1)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為54，前2n項(xiàng)的和為60，則前3n項(xiàng)的和為________；
(2)已知一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，則此數(shù)列的公比為________，項(xiàng)數(shù)為________．
方法歸納
解決有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的問題時(shí)，若能恰當(dāng)?shù)厥褂玫缺葦?shù)列前n項(xiàng)和的相關(guān)性質(zhì)，則可以避繁就簡．不僅可以減少解題步驟，而且可以使運(yùn)算簡便，同時(shí)還可以避免對(duì)公比q的討論．解題時(shí)把握好等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的使用條件，并結(jié)合題設(shè)條件尋找使用性質(zhì)的切入點(diǎn)，方可使“英雄”有用武之地．
鞏固訓(xùn)練2　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則＝(　　)
A．2 B．
C． D．3
(2)一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，且前3項(xiàng)之積為64，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．
題型3　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用
例3　[2022·湖南長沙一中高二期中]政府鼓勵(lì)創(chuàng)新、創(chuàng)業(yè)，銀行給予低息貸款，一位大學(xué)畢業(yè)生想自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)研，測算，有兩個(gè)方案可供選擇．
方案1：開設(shè)一個(gè)科技小微企業(yè)，需要一次性貸款40萬元，第一年獲利是貸款額的10%，以后每年獲得比上一年增加25%；
方案2：開設(shè)一家食品小店，需要一次性貸款20萬元，第一年獲利是貸款額的15%，以后每年都比上一年增加獲利1.5萬元．兩種方案使用期限都是10年，到期一次性還本付息，兩種方案均按年息2%的復(fù)利計(jì)算(參考數(shù)據(jù)：1.259＝7.45，1.2510＝9.3，1.029＝1.20，1.0210＝1.22)
(1)10年后，方案1，方案2的總獲利分別有多少萬元？
(2)10年后，哪一種方案的利潤較大？(利潤＝總獲利－貸款－貸款總利息)
方法歸納
解數(shù)列應(yīng)用題的具體方法步驟
(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：
①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題？是求an，還是求Sn？特別要注意準(zhǔn)確弄清參數(shù)是多少．
②弄清題目中主要的已知事項(xiàng)．
(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)．
(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式．
鞏固訓(xùn)練3　一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125 m嗎？
易錯(cuò)辨析　忽略對(duì)公比q的討論致誤
例4　已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________．
解析：若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意，此時(shí)a3＝a1＝2.
若q≠1時(shí)，則 S3＝＝＝6，
解得q＝－2，此時(shí)a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
綜上a3的值為2或8.
答案：2或8
【易錯(cuò)警示】
出錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
忽略了對(duì)公比q的討論，直接使用了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝，從而漏解致誤． 解答有關(guān)等比數(shù)列求和問題時(shí)，應(yīng)考慮公比q兩種情況q＝1或q≠1，否則容易出錯(cuò)．
1．3.3　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
要點(diǎn)一
na1
要點(diǎn)二
2．q　q
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：S5＝＝＝93.
答案：A
3．解析：∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，
a3＝S3－S2＝18.
由a1·a3＝得(3＋a)·18＝62，
∴a＝－1.
答案：D
4．解析：設(shè)公比為q，則解得q＝－或q＝1，故a5＝a3q2＝或a5＝3.
答案：C
5．解析：設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝，n＝7，由＝381，
解得a1＝192.
答案：192
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意知
解得或
從而Sn＝×5n＋1－或Sn＝
(2)方法一　由題意知
解得從而S5＝＝.
方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，
得q3＝，從而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，
所以a1＝8，從而S5＝＝.
(3)因?yàn)閍2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根．
從而或
又Sn＝＝126，所以q為2或.
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則＝＝＝1＋q2＝5，所以q2＝4，
則＝＝q2＝4.
(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a3＋a5＝21，a4＋a6＋a8＝168，
∴，
解得a1＝1，q＝2，
∴S8＝＝255.
答案：(1)B　(2)255
例2　解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前3n項(xiàng)的和為S，因?yàn)镾2n＝60，所以q≠－1，則54，60－54，S－60成等比數(shù)列，所以54×(S－60)＝(60－54)2，解得S＝60.
(2)設(shè)該等比數(shù)列為{an}，公比為q，項(xiàng)數(shù)為n，由題意得：＝＝q＝＝2，Sn＝＝2n－1＝85＋170＝255，則2n＝256，n＝8，所以數(shù)列的公比為2，項(xiàng)數(shù)為8.
答案：(1)60　(2)2　8
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)方法一　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，即1＋q3＝3，所以q3＝2.于是＝＝＝.
方法二　由＝3，得S6＝3S3.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S9＝7S3，所以＝.
(2)設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記為S奇，S偶，由題意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝·q3＝64，即a1＝12.
故所求通項(xiàng)公式an＝12·.
答案：(1)B　(2)見解析
例3　解析：(1)方案1是等比數(shù)列，方案2是等差數(shù)列，
①方案1，一次性貸款40萬元，第一年獲利是貸款額的10%，即4萬元，
獲利：4[1＋(1＋25%)＋(1＋25%)2＋…＋(1＋25%)9]＝4×＝132.8(萬元)，
方案2，一次性貸款20萬元，第一年獲利是貸款額的15%，即3萬元，
獲利：3＋(3＋1.5)＋(3＋2×1.5)＋…＋(3＋9×1.5)，
＝10×3＋×1.5＝97.50(萬元)；
(2)方案1，銀行貸款本息：40(1＋2%)10≈48.8(萬元)，
故方案1純利：132.8－48.8＝84(萬元)．
方案2，銀行貸款本息：20(1＋2%)10≈24.4(萬元)，
故方案2純利：97.50－24.4＝73.1(萬元)．
∴方案1的利潤較大．
鞏固訓(xùn)練3　解析：用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度．
由題意，得an＋1＝an.
因此，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝25，公比q＝的等比數(shù)列．
熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過125 m．1.4　數(shù)學(xué)歸納法
最新課程標(biāo)準(zhǔn)
(1)了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．
(2)能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.
新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
要點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法的概念
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0 (n0∈N＋)時(shí)命題成立；
(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法 .
批注 　n0不一定都是1，也可以是其他正整數(shù)．
批注 　主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法．
基 礎(chǔ) 自 測
　
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，只有第一步就可以．(　　)
(2)在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，第二步必須利用歸納假設(shè)．(　　)
(3)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易驗(yàn)證：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性結(jié)論：對(duì)于任意n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是數(shù)學(xué)歸納法．(　　)
(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．(　　)
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是(　　)
A．k∈NB．k>1，k∈N＋
C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)證明(　　)
A．f(2)＝1＋2 B．f(1)＝1
C．f(1)＝1＋2＋3 D．f(1)＝1＋2＋3＋4
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　)
A．1＋<2 B．1＋<2
C．1＋<3 D．1＋<3
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是________．
　　題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題
例1　用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋…＋＝＋…＋(n∈N＋)．
方法歸納
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：
(1)n＝n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu)．
(2)n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時(shí)的代數(shù)式比n＝k時(shí)的代數(shù)式增加(或減少)的項(xiàng)．
這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：
①代數(shù)式從哪一項(xiàng)(哪一個(gè)數(shù))開始，即第一項(xiàng)．
②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律．
③代數(shù)式中最后一項(xiàng)(最后一個(gè)數(shù))與n的關(guān)系．
鞏固訓(xùn)練1　求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．
題型2　歸納—猜想—證明
例2　數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N＋)，求a3，a4，猜想an的表達(dá)式，并加以證明．
方法歸納
(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．
(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式．
鞏固訓(xùn)練2　已知數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝1，其前n項(xiàng)和Bn＝(n＋1)bn，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
題型3　用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題
例3　有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分(n∈N＋)．
方法歸納
對(duì)于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸納出一個(gè)變化的過程，或者說體會(huì)出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法，利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律．
鞏固訓(xùn)練3　證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
*1.4　數(shù)學(xué)歸納法
[基礎(chǔ)自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．答案：C
3．解析：n的初始值應(yīng)為1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.
答案：D
4．解析：因?yàn)閚∈N＋，n>1，故數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)驗(yàn)證n＝2的情況，即1＋<2.
答案：B
5．解析：因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊增加了
[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．
答案：(2k＋1)＋(2k＋2)
題型探究·課堂解透
例1　證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝，命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立，
即1－＋…＋＝＋…＋，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1－＋…＋
＝＋…＋
＝＋…＋.
上式表明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．
由(1)(2)知，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立．
鞏固訓(xùn)練1　證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
綜上所述，等式對(duì)任何n∈N＋都成立．
例2　解析：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N＋)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確：
(1)當(dāng)n＝1，2時(shí)易知猜想正確．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)猜想正確，即ak＝.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝＝
＝＝＝
＝＝.
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也正確．
由(1)(2)可知，猜想對(duì)任意n∈N＋都正確．
鞏固訓(xùn)練2　解析：由已知條件b1＝1，Bn＝(n＋1)bn，得B2＝b1＋b2＝b2，
∴b2＝2.
B3＝b1＋b2＋b3＝2b3，
∴b3＝3.
B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝b4，
∴b4＝4.
由此猜想：bn＝n(n∈N＋)為數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立．
即bk＝k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
bk＋1＝Bk＋1－Bk＝(k＋1＋1)bk＋1－(k＋1)bk，
整理得bk＋1＝·bk＝k＋1，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，bk＋1＝k＋1.
由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N＋，都有bn＝n.
例3　證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時(shí)命題成立．
②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立．
即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分．
則n＝k＋1時(shí)，在k＋1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．
綜合①②可知，對(duì)一切n∈N＋，命題成立．
鞏固訓(xùn)練3　證明：①當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝×4×(4－3)＝2，四邊形有兩條對(duì)角線，命題成立．
②假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)Ak＋1，增加的對(duì)角線條數(shù)是頂點(diǎn)Ak＋1與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對(duì)角線條數(shù)為(k＋1－3)＋1＝k－1.
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3].
故n＝k＋1時(shí)，命題成立．
由①②可知，對(duì)任意n≥4，n∈N＋，命題成立．

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