資源簡介

2．1.1　建立空間直角坐標系
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　空間直角坐標系
空間直角坐標系 在空間任取一點O，以O為原點，作三條________的有向直線Ox，Oy，Oz，在這三條直線上選取共同的長度單位，分別建立坐標軸，依次稱為x軸、y軸、z軸，從而組成了一個空間直角坐標系O xyz ．
坐標平面 在空間直角坐標系O xyz中，由兩條坐標軸確定的平面叫坐標平面，分別稱為________平面，________平面，________平面．
右手系 伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后讓四指沿握拳方向旋轉90°指向________正方向，此時大拇指的指向即為________正方向．
批注 　畫空間直角坐標系O xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
要點二　空間直角坐標系中的坐標
有了空間直角坐標系，空間中的點P與有序實數組(x，y，z)之間就建立了一一對應的關系．有序實數組(x，y，z)稱為點P的坐標，記作P(x，y，z)，其中x稱為點P的橫坐標，y稱為點P的縱坐標，z稱為點P的豎坐標．
點的坐標 原點的坐標為O(0，0，0)，x軸上的點的坐標為________，y軸上的點的坐標為________，z軸上的點的坐標為________．
平面上點的坐標 xOy平面內的點的坐標為________，yOz平面內的點的坐標為________，xOz平面內的點的坐標為________．
批注 　坐標軸上的點的特征：x軸上的點縱坐標和豎坐標都為0；y軸上的點橫坐標和豎坐標都為0；z軸上的點橫坐標和縱坐標都為0.
批注 　坐標平面上的點的特征：xOy平面上的點豎坐標為0；yOz平面上的點橫坐標為0；xOz平面上的點縱坐標為0.
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)空間直角坐標系中的任意一點的坐標是唯一的．(　　)
(2)空間直角坐標系中x軸上點的橫坐標x＝0，豎坐標z＝0.(　　)
(3)空間直角坐標系中xOz平面上點的坐標滿足z＝0.(　　)
2．點(2，0，3)在空間直角坐標系中的(　　)
A．y軸上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限內
3．在空間直角坐標系O xyz，點A(1，－2，5)關于平面yOz對稱的點B為(　　)
A．(1，－2，－5) B．(－1，－2，5)
C．(－1，－2，－5) D．(1，2，－5)
4．在空間直角坐標系中，自點P(－4，－2，3)引x軸的垂線，則垂足的坐標為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　在空間坐標系下確定點的位置
例1　在空間直角坐標系O xyz中，畫出下列各點：
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，
A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．
方法歸納
在空間坐標系下確定點的位置的方法
(1)先確定點(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標確定點(x0，y0，z0)在空間直角坐標系中的位置；
(2)以原點O為一個頂點，構造棱長分別為|x0|，|y0|，|z0|的長方體(三條棱的位置要與x0，y0，z0的符號一致)，則長方體中與O相對的頂點即為所求的點．
鞏固訓練1　在空間直角坐標系中，標出點M(2，－6，4)．
　在空間坐標系下求點的坐標
例2　設正四棱錐S P1P2P3P4的所有棱長均為a，建立適當的坐標系．求點S，P1，P2，P3和P4的坐標．
方法歸納
在空間坐標系下求點的坐標
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．
鞏固訓練2　在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝CD，試建立適當的坐標系，寫出E，F，G的坐標．
　在空間坐標系下求對稱點的坐標
例3　在空間直角坐標系中，已知點P(－2，1，4)．
(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；
(2)求點P關于xOy平面對稱的點的坐標；
(3)求點P關于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．
方法歸納
求空間對稱點的2個策略
鞏固訓練3　求點(－2，1，4)關于y軸，z軸，yOz面，xOz面的對稱點的坐標．
2．1.1　建立空間直角坐標系
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
兩兩垂直　xOy　yOz　xOz　x軸　y軸　z軸
要點二
(x，0，0)　(0，y，0)　(0，0，z)　(x，y，0)　(0，y，z)　(x，0，z)
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：點(2，0，3)的y軸坐標為0，所以該點在xOz平面上．
答案：C
3．解析：關于平面yOz對稱的點：橫坐標互為相反數，縱坐標和豎坐標相同．
答案：B
4．解析：∵點P(－4，－2，3)，∴自點P引x軸的垂線，垂足坐標為(－4，0，0)．
答案：(－4，0，0)
題型探究·課堂解透
例1　解析：點A為原點．點B為x軸上坐標為2的點．點C的豎坐標為0，因此點C就是xOy平面內橫坐標為2、縱坐標為3的點．點D是y軸上坐標為3的點．點A′是z軸上坐標為2的點．點B′是zOx平面內橫坐標為2、豎坐標也為2的點．要作出點C′(2，3，2)，只需過x軸上坐標為2的點B作垂直于x軸的平面α，過y軸上坐標為3的點D作垂直于y軸的平面β，根據幾何知識可以得出：這兩個平面的交線就是經過點C(2，3，0)且與z軸平行的直線l.再過z軸上坐標為2的點A′作垂直于z軸的平面γ，
那么直線l與平面γ的交點也是三個平面α，β，γ，的交點，就是點C′.點D′是yOz平面內縱坐標為3、豎坐標為2的點．
在同一空間直角坐標系中，畫出以上各點，它們剛好是長方體ABCD A′B′C′D′的八個頂點(如圖)．
鞏固訓練1　解析：方法一　先確定點M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因為點M的豎坐標為4，
則|MM′|＝4，且點M和z軸的正半軸在xOy平面的同側，這樣就可確定點M的位置了(如圖所示)．
方法二　以O為一個頂點，構造三條棱長分別為2，6，4的長方體，使此長方體在點O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負半軸、z軸正半軸上，則長方體中與頂點O相對的頂點即為所求的點(圖略)．
例2　解析：
以正四棱錐的底面中心作為坐標原點，棱P1P2，P1P4分別垂直于Oy軸和Ox軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵|P1P2|＝a，P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(，0)，P2(－，0)．
又P3與P1關于原點O對稱，P4與P2關于原點O對稱，
∴P3(－，－，0)，P4(，－，0)．
又∵|OP1|＝a，∴在Rt△SOP1中，
|SO|＝＝ ＝a.
∴S(0，0，a)．
鞏固訓練2　解析：
建立如圖所示的空間直角坐標系．
點E在z軸上，它的橫坐標、縱坐標均為0，
而E為DD1的中點，
故其坐標為(0，0，)．
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分別為M，N，
由平面幾何知識知FM＝，FN＝，
故F點坐標為(，0)．
因為CG＝CD，G，C均在y軸上，
故G點坐標為(0，，0)．
例3　解析：(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P1(－2，－1，－4)．
(2)由點P關于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P2(－2，1，－4)．
(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，
由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐標為(6，－3，－12)．
鞏固訓練3　解析：點P關于y軸的對稱點坐標為P1(2，1，－4)；
點P關于z軸的對稱點坐標為P2(2，－1，4)；
點P關于平面yOz的對稱點為P3(2，1，4)；
點P關于平面xOz的對稱點為P4(－2，－1，4)．2．1.2　空間兩點間的距離
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點　空間兩點間的距離
空間任意兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)兩點，則A、B兩點間的距離為|AB|＝____________．
特別地，原點O到空間中任意一點P(x，y，z)的距離為|OP|＝____________．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)空間兩點間的距離公式與兩點順序有關．(　　)
(2)空間兩點間的距離公式不適合同一平面內的兩點．(　　)
(3)將空間兩點間距離公式中兩點的坐標對應互換，結果會改變．(　　)
2．空間直角坐標系中，點A(－3，4，0)和點B(2，－1，6)的距離是(　　)
A．2 B．2C．9 D．
3．已知空間直角坐標系O xyz中的點A(1，－2，3)關于yOz平面的對稱點為B，則|AB|為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．以上都不對
4．已知點A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z軸上有一點P，使|PA|＝|PB|，則點P的坐標是________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　求空間兩點間的距離
例1　如圖，在棱長分別為2，4，3的長方體ABCD A1B1C1D1中，利用空間兩點間的距離公式，求對角線AD1，AB1和AC1的長．
方法歸納
求空間兩點間的距離的方法
鞏固訓練1　已知A(3，2，1)，B(1，0，5)，求線段AB的中點M到原點的距離．
　利用距離公式求空間點的坐標
例2　設點P在x軸上，它到點P1(0，，3)的距離等于它到點P2(0，1，－1)的距離的2倍，求點P的坐標．
方法歸納
由空間兩點之間的距離求點的坐標的方法
鞏固訓練2　在空間直角坐標系O xyz中，若y軸上點M到兩點P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距離相等，則點M的坐標為(　　)
A．(0，1，0) B．(0，－1，0)
C．(0，0，3) D．(0，0，－3)
　空間兩點間距離公式的應用
例3　已知空間直角坐標系O xyz中一點M(2，－1，3)，N是xOy平面內直線l：2x＋y－1＝0上的一個動點，求M，N兩點的最短距離．
方法歸納
利用空間兩點間距離公式解題的類型
鞏固訓練3　已知三點A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，則(　　)
A．△ABC是等腰三角形
B．△ABC是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．三點構不成三角形
2．1.2　空間兩點間的距離
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點
　
[基礎自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：|AB|＝＝.
答案：D
3．解析：空間直角坐標系O xyz中的點A(1，－2，3)關于yOz平面的對稱點為B(－1，－2，3)，所以|AB|＝2.
答案：A
4．解析：設點P(0，0，z)．則由|PA|＝|PB|，
得
＝，解得z＝6，即點P的坐標是(0，0，6)．
答案：(0，0，6)
題型探究·課堂解透
例1　解析：
以D為坐標原點，DA，DC和DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，
∴|AD1|＝＝，
|AB1|＝＝5，
|AC1|＝＝.
鞏固訓練1　解析：依題意，得點M的坐標為()，即M(2，1，3)，
所以|MO|＝＝.
即點M到原點的距離為.
例2　解析：因為P在x軸上，所以設P點坐標為(x，0，0)，
因為|PP1|＝2|PP2|，
所以＝
2，
解x＝±1，所以P點坐標為(1，0，0)或(－1，0，0)．
鞏固訓練2　解析：由M在y軸上，不妨設M為(0，y，0)，
由|PM|＝|QM|得＝，解得 y＝－1，
∴M(0，－1，0)．
答案：B
例3　解析：N是xOy平面內直線l：2x＋y－1＝0上的一個動點，所以可設點N(m，－2m＋1，0)，
由空間兩點之間的距離公式，得
|MN|＝
＝，
令 t＝5m2－12m＋17＝5(m－)2＋，
當m＝時，t的最小值為，
所以當m＝時，|MN|的最小值為 ＝，即M，N兩點的最短距離為.
鞏固訓練3　解析：因為|AB|2＝49，|BC|2＝98，|CA|2＝49，所以|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，且|AB|＝|CA|，所以這三點構成等腰直角三角形．
答案：C2．2　空間向量及其運算
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　空間向量
1．空間向量的概念
定義 把空間中既有________又有________的量稱為空間向量 ．
長度 向量的________叫作向量的長度或________．
表示法 ①幾何表示法：空間向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作，其模記為|a|或||.
批注 　空間向量在空間中是可以任意平移的．
2.幾類特殊向量
相等向量 方向________且長度________的向量．
相反向量 方向________、長度________的向量．
零向量 長度為零的向量．
單位向量 長度為________的向量．
共線向量
(平行向量) 對于空間任意兩個向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ為實數，則b與a共線或平行，記作________．
批注 　類比平面向量記憶．
要點二　空間向量的加減與數乘運算
運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法a＋b (1)交換律： a＋b＝________； (2)結合律： (a＋b)＋c＝________
減法a－b a－b＝a＋(－b)
數乘λa (1)|λa|＝________； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向________；當λ＜0時，λa的方向與a的方向________；當λ＝0時，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb. (λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.
批注 　當兩個以上的空間向量相加時，可將三角形法則推廣到多邊形法則：n個向量首尾順次相接，則封閉折線的起點指向終點的有向線段表示的向量就是它們的和，即++++=
批注 　注意實數與向量的乘積的特殊情況：當λ＝0時，λ＝；當λ≠0時，若＝，則λ＝．
要點三　空間向量的數量積
1.空間向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角 ，記作________，其取值范圍為[0，π].
批注 　關鍵是起點相同！
2．空間向量的數量積
定義a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 為a與b的數量積．
批注 　
(1)兩個向量的數量積是數量，而不是向量．
(2)零向量與任意向量的數量積等于零．
3．性質
a·b＝0 ________，a·a＝________，|a|＝________，cos 〈a，b〉＝________．
4．運算律
λ(a·b)＝________，a·b＝________(交換律)，a·(b＋c)＝________(分配律)．
批注 　特別提醒：不滿足結合律(·)·＝·(·)．
5．投影向量
如圖，將空間任意兩個向量a，b平移到同一個平面內，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.過點B作BB1⊥OA，垂足為點B1，則________為在方向上的投影向量，投影向量的模________＝|||cos α|稱為投影長，稱________為在方向上的投影，其正負表示與方向相同還是相反．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)空間兩個向量的加減運算與平面內兩向量的加減法運算完全一致．(　　)
(2)對于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.(　　)
2．下列說法正確的是(　　)
A．任一空間向量與它的相反向量都不相等
B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓
C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量
D．不相等的兩個空間向量的?？赡芟嗟?br/>3．在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是(　　)．
A．與 B．與
C．與 D．與
4．已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則＝________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　空間向量的線性運算
例1　(1)(多選)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，下列各式運算結果為的是(　　)
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
①；②．
方法歸納
空間向量線性運算的3個技巧
鞏固訓練1　
如圖所示，在平行六面體中，O為AC的中點．
(1)化簡：－；
(2)設E是棱DD1上的點，且＝，若＝，試求實數x，y，z的值．
　共線向量的應用
例2　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在對角線上，且A1F＝，求證：E，F，B三點共線.
方法歸納
證明空間三點共線的三種思路
鞏固訓練2　如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且＝＝.求證：四邊形EFGH是梯形．
　空間向量數量積的運算
例3　如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
方法歸納
計算空間向量數量積的2種方法
鞏固訓練3　如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的邊長為1，求：
；
；
．
　空間向量數量積的應用
例4　已知平行六面體ABCD A′B′C′D′的各棱長均為1，且∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝.
(1)求證：AA′⊥BD；
(2)求對角線AC′的長．
方法歸納
利用向量數量積判斷或證明垂直問題的策略
鞏固訓練4　如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱CC1，BC，CD的中點，求證：A1G⊥平面DEF.
2．2　空間向量及其運算
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
1．大小　方向　大小　?！∮邢蚓€段
2．相同　相等　相反　相等　1　b∥a
要點二
b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反
要點三
1．〈a，b〉
3．a⊥b　|a|2　　
4．(λa)·b　b·a　a·b＋a·c
5．　||　||cos α
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：對A，零向量的相反向量是本身，故A錯；
對B，終點構成一個球面，故B錯；
對C，向量不能比較大小，故C錯；
對D，相反向量是不相等向量，但它們的模長相等，故D正確．
答案：D
3．解析：對于A，因為＝，所以與的夾角為45°，故A正確；
對于B，因為＝，所以與的夾角為135°，故B不正確；
對于C，因為＝，所以與的夾角為90°，故C不正確；
對于D，因為＝，所以與的夾角為180°，故D不正確．
答案：A
4．解析：＝＝＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)A中－－＝－＝；
B中＝＝；
C中＝＝＝；
D中＝＝．
(2)①∵點P是C1D1的中點，
∴＝＋＝＋＝a＋c＋b.
②∵點N是BC的中點，
∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c.
答案：(1)AB　(2)見解析
鞏固訓練1　解析：(1)－)＝－＝－＋＝．
(2)＝＝＝，
∴x＝、y＝－、z＝－.
例2　證明：設＝a，＝＝c.
∵＝，＝，
∴＝，＝．
∴＝＝b，＝)＝)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F，B三點共線．
鞏固訓練2　證明：∵E，H分別是邊AB，AD的中點，
∴＝＝.
則＝＝＝)＝.
∵＝＝＝)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，故四邊形EFGH是梯形．
例3　解析：(1)·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||·||cos 〈〉＝cos 120°＝－.
(4)·＝·()＝··＝||||cos 〈〉－||||cos 〈〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
鞏固訓練3　解析：＝0.
＝|cos 45°＝1.
＝〉
＝＝－1.
例4　解析：
(1)證明：由題意，平行六面體ABCD A′B′C′D′的各棱長均為1，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝，
因為＝，
所以·＝·()＝··＝||·||cos ∠A′AD－||·||cos ∠A′AB＝1×1×－1×1×＝0，
所以AA′⊥BD.
(2)因為＝＝＝，
所以||2＝()2＝＋2(···)
＝12＋12＋12＋2(1×1×＋1×1×＋1×1×)＝6.
所以||＝.
鞏固訓練4　證明：設正方體的棱長為a，
∵·＝(＋)·()
＝···＋···
＝··＝a2－a2＝0，
∴A1G⊥DF.
同理可證A1G⊥DE，又DF＝D，
∴A1G⊥平面DEF.2．3.1　空間向量的分解與坐標表示
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　共面向量
1．定義：能平移到____________的向量叫作共面向量．
2．共面向量的充要條件：如果兩個向量e1，e2不共線 ，那么向量p與向量e1，e2共面的充要條件是存在有序是數組(x，y)，使得________．
批注 　兩個向量，不共線是共面向量充要條件的前提，若，共線，則不成立．
要點二　空間向量基本定理
設e1，e2，e3是空間中三個不共面向量 ，則空間中任意一個向量p可以分解成這三個向量的實數倍之和：p＝________．上述表達式中的系數x，y，z由p唯一確定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，則x＝x′，y＝y′，z＝z′.把________稱為空間的一組基，________叫作基向量 .(x，y，z)稱為向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐標．
批注 　由于可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是．
批注 　一個基是指一個向量組，一個基向量是指基中的某一個向量，二者是相關聯的不同概念．
要點三　空間向量的直角坐標表示
1．標準正交基
空間任意三個________、長度均為1的向量i，j，k不共面，可將它們組成空間的一組基，我們把這組基稱為標準正交基．
2.空間向量的坐標表示
在空間中任意取一點O為原點，分別以標準正交基{i，j，k}中三個基向量的方向為三條坐標軸的正方向，以1為單位長度，建立空間直角坐標系．將任意空間向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用從原點O出發的有向線段________表示，則有向線段的終點P對應于這個向量p.向量p＝在標準正交基{i，j，k}下的坐標________就是點P在這個直角坐標系中的坐標．
批注 　一個空間向量在空間直角坐標系中的坐標，等于表示這個空間向量的有向線段的終點的坐標減去它的起點的坐標．
3．空間向量在坐標軸上的投影
向量在坐標軸正方向上的投影分別等于該向量在____________的坐標．
批注 　相等向量在同一軸上的投影相等．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示．(　　)
(2)向量的坐標就是點A的坐標．(　　)
2．如果向量a，b與任何向量都不能構成空間的一組基，則一定有(　　)
A．a與b共線 B．a與b同向
C．a與b反向 D．a與b共面
3．已知e1，e2，e3是空間直角坐標系O xyz中與x，y，z軸的正方向相同的單位向量，若＝－e1＋e2－e3，則B點的坐標為(　　)
A．(－1，1，1)
B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1)
D．(－1，1，－1)
4．設{i，j，k}是空間向量的一個標準正交基，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標分別是________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　向量共面
例1　已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若點M滿足＝.
(1)判斷三個向量是否共面；
(2)判斷M是否在平面ABC內．
方法歸納
解決向量共面的策略
鞏固訓練1　已知空間向量a，b，c不共面，且p＝a＋b，q＝a＋c，r＝b－c，判斷向量p，q，r是否共面，并說明理由．
　空間向量基本定理的應用
例2　如圖，在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，P是CA1的中點，M是CD1的中點，N是C1D1的中點，點Q是CA1上的點，且CQ∶QA1＝4∶1.設＝a，＝＝c，以a，b，c為一組基，求，在這組基下的坐標．
方法歸納
用一組基表示向量的步驟
鞏固訓練2　在空間四邊形OABC中，已知點M、N分別是OA、BC的中點，且＝a，＝b，＝c，以a、b、c為一組基，求在這組基下的坐標．
　空間向量的直角坐標表示
例3　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)向量的坐標；
(2)向量的坐標．
方法歸納
用坐標表示空間向量的步驟
鞏固訓練3　在正方體ABCD A1B1C1D1中建立空間直角坐標系，若正方體的棱長為1，分別求，的坐標．
2．3.1　空間向量的分解與坐標表示
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
1．同一平面內
2．p＝xe1＋ye2
要點二
xe1＋ye2＋ze3　{e1，e2，e3}　e1，e2，e3
要點三
1．兩兩垂直
2.　(x，y，z)
3．相應坐標軸上
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√
2．解析：由定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，向量a，b與任何向量都不能構成空間的一個基底，則一定有a與b共線．
答案：A
3．答案：D
4．答案：(3，2，－1)、(－2，4，2)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)∵＝3，
∴＝()＋()，
∴＝＝－，
∴向量共面．
(2)由(1)知向量共面，而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內．
鞏固訓練1　解析：假設p，q，r共面，則存在實數λ，μ，使得p＝λq＋μr，
則a＋b＝λ(a＋c)＋μ(b－c)＝λa＋μb＋(λ－μ)c，
∵a，b，c不共面，∴，即，
故向量p，q，r共面．
例2　解析：連接AC，AC1.
＝＝＝a＋b－c.
＝＋＝)＝)＝(a＋b＋4c)．
＝＝＝)＝)＝)＝b＋(－a＋c)＝－a＋b＋c.
＝＝－＝－a＋a＋b＋c＝－a＋b＋c.
因此，在基{a，b，c}下的坐標分別為(1，1，－1)，(－，1，)，(－)．
鞏固訓練2　解析：
如圖所示：
＝＝＝)＝，
所以，＝＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
所以在這組基下的坐標為(－)．
例3　解析：(1)因為PA＝AD＝AB＝1，且PA，AD，AB兩兩垂直，
所以可設＝i，＝j，＝k.
因為＝＝＝)＝－(－)＝＝k＋j，
所以＝(0，)．
(2)因為＝＝－()＝＝－i＋j－k，
所以＝(－，－)．
鞏固訓練3　解析：如圖所示建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，
∴＝＝(1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1)．2．3.2　空間向量運算的坐標表示
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　向量線性運算的坐標表示
設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則
a＋b＝________________________，
a－b＝________________________，
λa＝________________________________，
a∥b(b≠0) a＝λb (λ∈R)．
批注 　空間向量線性運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致．
批注 　若∥，則＝＝成立的條件是x2y2z2≠0.
要點二　向量數量積的坐標表示
設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則
a·b＝________________________，
|a|＝________________，
cos 〈a，b〉＝＝________________________，
a⊥b a·b＝0 ________________．
批注 　空間向量數量積的坐標表示可以仿照平面向量數量積的坐標表示來記憶．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．(　　)
(2)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數量積的結果為數量．(　　)
(3)空間向量a＝(0，0，－1)為單位向量．(　　)
2．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－1，2)，則a＋2b＝(　　)
A.3 B．(4，－1，1)C．(5，1，－4) D．
3．與空間向量a＝(1，2，－3)平行的一個向量的坐標是(　　)
A．(2，－1，0) B．(1，2，3)C．(－，－1，) D．(－1，－3，2)
4．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，則a·(b＋c)＝________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　空間向量的坐標運算
例1　在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)．
(1)求頂點B，C的坐標；
(2)求·；
(3)若點P在AC上，且＝，求點P的坐標．
方法歸納
空間向量坐標運算的3類問題及解題方法
鞏固訓練1　已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，則a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．
　空間向量平行、垂直的坐標表示
例2　已知a＝(1，2，－1)，b＝(－2，4，2)．
(1)若a∥c，且|c|＝2，求c的坐標；
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求實數k的值．
方法歸納
解答此類問題只需根據平行、垂直的條件建立方程(組)求解即可．
鞏固訓練2　已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)．
(1)若a∥b，求實數x，y的值；
(2)若a⊥b，且|b|＝，求實數x，y的值．
　空間向量的夾角與長度的計算
例3　已知正三棱柱ABC A1B1C1，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．
(1)求三棱柱的側棱長；
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值．
方法歸納
利用空間向量的坐標運算求夾角、距離的步驟
鞏固訓練3　在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別是DD1，DB的中點，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中點．
(1)求FH的長；
(2)求異面直線EF與C1G所成角的余弦值．
2．3.2　空間向量運算的坐標表示
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　(x1－x2，y1－y2，z1－z2)　(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
要點二
x1x2＋y1y2＋z1z2　　
　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
[基礎自測]
1．(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：a＋2b＝(2，1，－3)＋(2，－2，4)＝(4，－1，1)．
答案：B
3．解析：(－，－1，)＝－a.
答案：C
4．解析：因為b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，所以b＋c＝(2，0，3)＋(0，0，2)＝(2，0，5)，所以a·(b＋c)＝(2，－3，1)·(2，0，5)＝4＋5＝9.
答案：9
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因為＝(4，1，2)，
所以解得
所以點B的坐標為(6，－4，5)．
因為＝(3，－2，5)，
所以解得
所以點C的坐標為(9，－6，10)．
(2)因為＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
(3)設P(x2，y2，z2)，
則＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以解得
故點P的坐標為(，－)．
鞏固訓練1　解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．
∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
答案：－2　5
例2　解析：(1)因為|a|＝，a∥c，且|c|＝2，所以c＝2a或c＝－2a，
所以c＝(2，4，－2)或c＝(－2，－4，2)．
(2)因為ka＋b＝(k，2k，－k)＋(－2，4，2)＝(k－2，2k＋4，2－k)，
a－2b＝(1，2，－1)－(－4，8，4)＝(5，－6，－5)．
由(ka＋b)⊥(a－2b)，得(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－6(2k＋4)－5(2－k)＝0，解得k＝－22.
鞏固訓練2　解析：(1)由a∥b可得，存在實數λ使a＝λb，
即，解得λ＝，x＝6，y＝.
(2)若a⊥b，則6＋4x＋5y＝0?、伲?br/>由|b|＝，則9＋x2＋y2＝29?、?，
兩式聯立解得或.
例3　解析：(1)設側棱長為b，則A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝＝(－，1，b)．
因為AB1⊥BC1，所以＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.
故側棱長為.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因為|＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以，〉＝＝＝.
所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為.
鞏固訓練3　解析：
如圖，建立空間直角坐標系D xyz，
則有E(0，0，)，F(，0)，H(0，)，C1(0，1，1)，G(0，，0)，
(1)∵＝(－)，
∴||＝ ＝.
∴FH的長為.
(2)∵＝(，0)－(0，0，)＝(，－)，
＝(0，，0)－(0，1，1)＝(0，－，－1)．
∴||＝，||＝.
又·＝×0＋×(－1)＝，
∴|cos 〈，〉|＝＝.
即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.

展開更多......

收起↑