資源簡介

2．4.1　空間直線的方向向量和平面的法向量
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　直線的方向向量
1．一般地，如果非零向量v與直線l________，就稱v為l的方向向量 .
2．已知空間直線l上一個________以及這條直線的一個方向向量，就可以確定這條空間直線的位置．
批注 　一條直線有無窮多個方向向量，這些方向向量是互相平行的．
要點二　平面的法向量
1．如果非零向量n所在直線與平面α________，則稱n為平面α的法向量 .
2．給定一點A和一個向量n，那么，過點A，且以向量n為法向量的平面是完全________的．
批注 　一個平面的法向量不是唯一的，一個平面的所有法向量共線．
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)直線上任意兩個不同的點A，B表示的向量都可作為該直線的方向向量．(　　)
(2)若向量n1，n2為平面α的法向量，則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行．(　　)
(3)若都是直線l的方向向量，則∥，所以AB∥CD.(　　)
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　)
A．(1，2，3)　 B．(1，3，2)
C．(2，1，3)　　 D．(3，2，1)
3．設平面α內兩向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，則下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5)　 B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1)　　 D．(1，－1，－1)
4．已知直線l1的一個方向向量為(－5，3，2)，另一個方向向量為(x，y，8)，則x＝________，y＝________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　直線的方向向量及其求法
例1　如圖，已知長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空間直角坐標系，分別求直線DA1與AC的方向向量．
方法歸納
求直線l的一個方向向量，只需在直線l上找兩點A，B，則即為直線l的一個方向向量．
鞏固訓練1　如圖，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝2，AA1＝，M是CC1的中點．
求直線BA1、AM的一個方向向量的坐標．
　平面的法向量及其求法
例2　正方體ABCD A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、 A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)平面BDD1B1的一個法向量；
(2)平面BDEF的一個法向量．
方法歸納
在空間直角坐標系下，求平面法向量的一般步驟
鞏固訓練2　如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．
(1)求平面BCC1B1的一個法向量；
(2)求平面A1BC的一個法向量．
2．4.1　空間直線的方向向量和平面的法向量
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
1．平行　
2．定點A
要點二
1．垂直
2．確定
[基礎自測]
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．
答案：A
3．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0，
(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0，
∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量．
答案：B
4．解析：∵直線的方向向量平行，
∴＝＝，
∴x＝－20，y＝12.
答案：－20　12
題型探究·課堂解透
例1　
解析：以點D為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，
則D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)，
故＝(4，0，5)，＝(－4，3，0)，
所以直線DA1與AC的方向向量分別為(4，0，5)，(－4，3，0)．
鞏固訓練1　
解析：以點B為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示：
所以B(0，0，0)、C(1，0，0)、A(0，，0)、A1(0，)、M(1，0，)
所以＝(0，)，＝(1，－)．
例2　解析：設正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，則D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，
(1)設平面BDD1B1的一個法向量為n＝(x1，y1，z1)，
∵＝＝(0，0，2)，
則，即，
令x1＝1，則y1＝－1，z1＝0，
∴平面BDD1B1的一個法向量為n＝(1，－1，0)，
(2)＝(2，2，0)，＝(1，0，2)，
設平面BDEF的一個法向量為m＝(x2，y2，z2)．
∴，
令x2＝2，得y2＝－2，z2＝－1，
∴平面BDEF的一個法向量為m＝(2，－2，－1)．
鞏固訓練2　解析：易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)．
(1)＝＝(0，0，2)，設平面BCC1B1的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則，
即，取x1＝y1＝1，z1＝0 ，則n＝(1，1，0)，
所以平面BCC1B1的一個法向量為n＝(1，1，0)；
(2)＝＝(－1，0，2)，
設平面A1BC的法向量為m＝(x2，y2，z2)，
則 ，
即，取x2＝y2＝2，z2＝1，
則m＝(2，2，1)，
所以平面A1BC的一個法向量為m＝(2，2，1)．第1課時　向量與垂直
教 材 要 點
要點一　向量法判斷線線垂直
設直線l1的方向向量為v1＝(x1，y1，z1)，直線l2的方向向量為v2＝(x2，y2，z2)，則l1⊥l2 v1·v2＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 .
批注 　若證線線垂直，則證直線的方向向量垂直．
要點二　向量法判斷線面垂直
設直線l的方向向量為v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，則l⊥α v∥n v＝λn (λ∈R) .
批注 　若證線面垂直，則證直線的方向向量與平面的法向量平行．
要點三　向量法判斷面面垂直
設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
批注 　若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若兩直線方向向量的數量積為0，則這兩條直線一定垂直相交．(　　)
(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數量積為0.(　　)
(3)兩個平面垂直，則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直．(　　)
2．若直線l1，l2的方向向量分別為m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，則這兩條直線(　　)
A．平行 B．垂直
C．異面垂直 D．垂直相交
3．直線l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，則有(　　)
A．l∥αB．l α或l∥α
C．l與α斜交 D．l⊥α
4．已知平面α的一個法向量n＝(2，－2，5)，平面α⊥β，則平面β的一個法向量是________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　向量法證明線線垂直
例1　如圖，已知正三棱柱ABC A1B1C1
的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝CC1.
求證：AB1⊥MN.
方法歸納
證明兩直線垂直的一般步驟
鞏固訓練1　已知正方體ABCD A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點，求證：A1E⊥BD.
　向量法證明線面垂直
例2　如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.
方法歸納
利用坐標法證明線面垂直的2種方法及步驟
鞏固訓練2　已知三棱柱ABC A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，E、F分別是棱C1C、BC的中點，求證：B1F⊥平面AEF.
　向量法證明面面垂直
例3　在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.
方法歸納
利用空間向量證明面面垂直的2種方法
鞏固訓練3　三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC的中點．
證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
第1課時　向量與垂直
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：因為m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，
所以m⊥n，所以l1⊥l2.
答案：B
3．解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，
∴a＝－n，則a∥n，所以l⊥α.
答案：D
4．解析：設平面β的一個法向量為m＝(x，y，z)，因為平面α⊥β，所以n·m＝0，即2x－2y＋5z＝0，取x＝1，y＝1時，z＝0，故平面β的一個法向量為m＝(1，1，0)．
答案：(1，1，0)(答案不唯一)
題型探究·課堂解透
例1　證明：
設AB中點為O，作OO1∥AA1，以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O xyz.
由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，)，B1(，0，1)．
∵M為BC中點，∴M(，0)．
∴＝＝(1，0，1)，
＝－＋0＋＝0.
，∴AB1⊥MN.
鞏固訓練1　
證明：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
設正方體的棱長為a，則D(0，0，0)，A1(a，0，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)．
設E(0，a，e)(0≤e≤a)．
＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
例2　
證明：由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D xyz，如圖，
設DC＝PD＝1，
則P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，)．
所以＝(1，1，－1)，＝(0，)，
＝(1，，－)，
設F(x，y，z)，則＝(x，y，z－1)，
＝(x，y－，z－)．
因為⊥，所以x＋(y－)－(z－)＝0，
即x＋y －z＝0.　①
又因為∥，可設＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.　②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝(，－)．
方法一　因為·＝(1，1，－1)·(0，)＝0＋＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因為PB⊥EF，又EF＝E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二　設n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，
則有即
所以
取z2＝1，則n2＝(－1，－1，1)．所以＝－n2.
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
鞏固訓練2　
解析：∵三棱柱ABC A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°，
∴以A為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵AB＝AC＝AA1＝1，E、F分別是棱C1C、BC的中點，
∴A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E(0，1，)，F(，0)，
＝(－，－1)，＝(0，1，)，＝(，0)，
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
∵AE＝A，AE 平面AEF，AF 平面AEF，
∴B1F⊥平面AEF.
例3　證明：以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
設A(0，0，a)，則易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(0，a，)，
故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．
設平面ABC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1，0)為平面ABC的一個法向量．
設n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．
∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
鞏固訓練3　
證明：如圖，建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因為D為BC的中點，所以D點坐標為(1，1，0)，
所以＝(0，0，)，＝(1，1，0)，＝＝(0，－1，)，
設平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，此時n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
此時n2＝(1，1，)．
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，
所以n1⊥n2，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.第2課時　向量與平行
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　向量法判斷線線平行
設直線l1的方向向量為v1＝(x1，y1，z1)，直線l2的方向向量為v2＝(x2，y2，z2)，則l1∥l2 ________ ________．
批注 　注意l1與l2是兩條不重合的直線．
要點二　向量法判斷線面平行
設直線l的方向向量為v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，
則l∥α __________ __________ ________．
批注 　必須說明直線不在平面內！
要點三　向量法判斷面面平行
設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β ________ ________ __________．
批注 　必須說明兩個平面不重合！
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行．(　　)
(2)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行．(　　)
(3)兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行；兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直．(　　)
2．若直線l1，l2的方向向量分別為v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，則l1，l2的位置關系是(　　)
A．垂直 B．重合
C．平行 D．平行或重合
3．已知直線l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，則直線l與平面α的位置關系是(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．以上選項都不對
4．已知兩個不同的平面α，β的法向量分別是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，則平面α，β的位置關系是________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
題型 1　向量法證明線線平行
例1　在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，點P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點．求證：PQ∥RS.
方法歸納
利用向量法證明線線平行的2種方法
鞏固訓練1　如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F分別為DD1和BB1的中點．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．
題型 2　向量法證明線面平行
例2　在四棱錐P ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．證明：PA∥平面EDB.
方法歸納
利用空間向量證明線面平行的3種方法
鞏固訓練2　在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點，求證：AB∥平面DEG.
題型 3　向量法證明面面平行
例3　如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．求證：平面EGF∥平面ABD.
方法歸納
利用空間向量證明面面平行的方法
鞏固訓練3　已知正方體ABCD A′B′C′D′，求證：平面AB′D′∥平面BDC′.
第2課時　向量與平行
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點一
v1∥v2　
要點二
v⊥n　v·n＝0　xa＋yb＋zc＝0
要點三
n1∥n2　n2＝kn1　
[基礎自測]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：因為v1＝(1，2，3)，v2＝，
所以v1＝－2v2，
即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1與l2重合．
答案：D
3．解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，
則a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，
故直線l與平面α的位置關系是l∥α或l α.
答案：D
4．解析：∵n1＝(1，2，2)，n2＝(3，6，6)，
∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.
答案：α∥β
題型探究·課堂解透
例1　
證明：方法一　以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz.
則P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，
∴＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
方法二　＝＝，＝＋＝＋，
∴＝∥，即RS∥PQ.
鞏固訓練1　
證明：以點D為坐標原點，分別以為正交基建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，
∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝，
∥，
∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四邊形AEC1F是平行四邊形．
例2　
證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，
設PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點G，連接EG，
依題意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E(0，)．
方法一　設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
又＝(0，)，＝(a，，－)，
則有即
即令z＝1，則所以n＝(1，－1，1)，
又＝(a，0，－a)，
所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故點G的坐標為(，0)，所以＝(，0，－)．
又＝(a，0，－a)，
所以＝2，這表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假設存在實數λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a，0，－a)＝λ(0，)＋μ(a，，－)，
則有解得
所以＝－，
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
鞏固訓練2　證明：∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．
以點E為坐標原點，EB，EF，EA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
設平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
例3　解析：
如圖所示，由條件知BA，BC，BB1兩兩互相垂直，以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
由條件知B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，設BA＝a，則A(a，0，0)，G(，1，4)．
所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，
＝(0，2，－2)，＝(，1，1)，＝(0，1，1)．
方法一　因為·＝0，
·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.
因為BA＝B，所以B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，
·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
方法二　設平面EGF的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則
即
令y1＝1，則n1＝(0，1，－1)．
設平面ABD的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
則即
即
令y2＝1，則n2＝(0，1，－1)．
所以n1＝n2，
所以平面EGF∥平面ABD.
鞏固訓練3　
證明：方法一　設正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz，則A(1，0，0)，B′(1，1，1)，D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)．
設平面AB′D′的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則
即
令y1＝1，可得平面AB′D′的一個法向量為n1＝(－1，1，－1)．
設平面BDC′的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，
由得
令y2＝1，可得平面BDC′的一個法向量為n2＝(－1，1，－1)．
則n1＝n2，所以n1∥n2，故平面AB′D′∥平面BDC′.
方法二　同方法一知＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(0，1，1)，
所以＝＝，
即AD′∥BC′，AB′∥DC′，
又BC′，DC′ 平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.
又AD′＝A，AD′，AB′ 平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′.2．4.3　向量與夾角
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　異面直線所成的角
設兩條異面直線l1與l2所成的角為θ(θ∈(0，])，它們的方向向量分別為v1，v2，則cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|＝.
批注 　異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角為(0，π)，所以計算公式中要加絕對值．
要點二　直線與平面所成的角
直線l與平面α所成的角為θ，v是直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，則sin θ＝|cos 〈v，n〉|＝.
批注 　直線與平面所成角的范圍為[0，]，而向量之間的夾角的范圍為[0，π]，所以計算公式中要加絕對值．
要點三　平面與平面所成的角
設兩個平面α1和α2所成的角為θ，平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝.
批注 　利用公式求二面角的平面角時，要注意，〉與二面角大小的關系，是相等還是互補，需要結合圖形進行判斷
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．(　　)
(2)直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角．(　　)
(3)二面角的大小就是該二面角兩個面的法向量的夾角．(　　)
2．設直線l1的方向向量為s1＝(1，1，1)，直線l2的方向向量為s2＝(－2，2，－2)，則l1，l2夾角的余弦值為(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．
3．已知兩平面的法向量分別為n1＝(0，1，0)，n2＝(0，－1，1)，則兩平面所成的銳二面角的大小為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．若直線l的方向向量為v＝(1，0，3)，平面α的一個法向量為n＝(－2，0，2)，則直線l與平面α所成角的正弦值為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　向量法求兩異面直線所成角
例1　如圖所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E，F分別是棱AB，BB1的中點，試求直線EF和BC1所成的角．
方法歸納
利用坐標法求兩異面直線所成角的步驟
鞏固訓練1　在三棱錐O ABC中，OA，OB，OC兩兩互相垂直，E為OC的中點，且2OA＝OB＝OC＝2，求直線AE與BC所成角的大小．
　向量法求直線與平面所成角
例2　在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，AA1＝3，N為BB1的中點，求直線A1N與平面A1BC所成角的正弦值．
方法歸納
利用法向量計算直線與平面的夾角θ的步驟
鞏固訓練2　如圖所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．
　向量法求兩個平面所成的夾角
例3　在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝90°，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2.
(1)求證：平面QAB∥平面PDC；
(2)求平面PBC與平面PBQ夾角的余弦值．
方法歸納
利用法向量求兩個平面夾角的步驟
鞏固訓練3　在四棱錐P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分別是棱AB，PC的中點．
(1)證明：EF∥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF與平面CDF夾角的余弦值．
2．4.3　向量與夾角
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝＝－，
∴l1，l2夾角的余弦值為.
答案：B
3．解析：cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，所以兩平面所成的銳二面角的大小為45°.
答案：B
4．解析：設v＝(1，0，3)與n＝(－2，0，2)的夾角為θ，直線l與平面α所成角為φ，
所以sin φ＝|cos θ|＝
＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　
解析：分別以直線BC，BA，B1B為x，y，z軸，建立空間直角坐標系(如圖)．
設AB＝1，則B(0，0，0)，E(0，，0)，F(0，0，)，C1(1，0，1)，
所以＝＝(1，0，1)，
于是，〉＝＝＝，
所以直線EF和BC1所成角的大小為60°.
鞏固訓練1　
解析：由已知以O為原點，以的方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
由2OA＝OB＝OC＝2，知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
所以＝(－1，0，1)，＝(0，－2，2)，
所以|cos 〈〉|＝
＝＝，
所以〈〉＝，即直線AE與BC所成角的大小為.
例2　
解析：取AB中點O，A1B1中點O1，連接OC，OO1.
∵△ABC是邊長為2的正三角形，∴OC⊥AB.
以OB，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O xyz
則C(0，，0)，A1(－1，0，3)，B(1，0，0)，N(1，0，)，
＝＝(－2，0，3)，＝(2，0，－)，
設平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
由，得，取n＝(3，，2)，
設直線A1N與平面A1BC所成的角為θ，則
sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
∴直線A1N與平面A1BC所成角的正弦值為.
鞏固訓練2　
解析：以A為原點，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3)．
設平面ACD1的法向量為m＝(x，y，z)，
＝＝(0，3，3)，
則即
令x＝1，則y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一個法向量為m＝(1，－)．
設直線B1C1與平面ACD1所成的角為＝(0，1，0)，∴sin θ＝＝，
∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
例3　解析：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，可得AB∥CD,
又AB 平面DCP ，CD 平面DCP，
則有AB∥平面DCP，
四邊形ADPQ是梯形，可得QA∥PD，
又QA 平面DCP ，PD 平面DCP，
則有QA∥平面DCP，
又QA＝A，
故平面QAB∥平面PDC.
(2)依題意知DA，DC，DP兩兩垂直，故以D為原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系. 則有
C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，Q(2，0，1)
可得＝(2，2，－2) ，＝(0，2，－2)，＝(2，0，－1)，
設平面PBC的一個法向量n＝(x，y，z)，則有：
，
取y＝1，可得n＝(0，1，1)，
設平面PBQ的一個法向量m＝(x，y，z)，則有
，
取x＝1，可得m＝(1，1，2)，
設平面PBC與平面PBQ的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，
故平面PBC與平面PBQ夾角的余弦值為.
鞏固訓練3　解析：(1)證明：取CD的中點G，連接EG，FG.
因為F，G分別是棱PC，CD的中點，所以FG∥PD，
又FG 平面PAD，PD 平面PAD，所以FG∥平面PAD.
因為BC∥AD，且E，G分別是棱AB，CD的中點，所以EG∥AD，
又EG 平面PAD，AD 平面PAD，所以EG∥平面PAD.
因為EG，FG 平面EFG，且EG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.
因為EF 平面EFG，所以EF∥平面PAD.
(2)以A為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，
設AB＝2，則A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2)．
因為F是棱PC的中點，所以F(1，1，1)，
所以＝(1，0，0)，＝(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)．
設平面AEF的法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則，令y1＝1，得n＝(0，1，－1)．
設平面CDF的法向量為m＝(x2，y2，z2)，
則令x2＝1，得m＝(1，1，2)．
設平面AEF與平面CDF的夾角為θ，則cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
所以平面AEF與平面CDF夾角的余弦值為.第1課時　點到直線的距離與點到平面的距離
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　點到直線的距離
直線l的方向向量為v，點P為直線l外一點，A為直線l上任意一點，則點P到直線l的距離d＝.
批注 　是在l上的投影向量．
要點二　點到平面的距離
設平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點A是平面α內任意一點，則點P到平面α的距離d＝ ||·|cos 〈·n〉|＝________．
批注 　等于在向量方向上射影的絕對值．
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)點到直線的距離是指過該點作直線的垂線，該點與垂足間的距離．(　　)
(2)兩異面直線間的距離不能轉化為點到平面的距離．(　　)
(3)平面α外一點P到平面α的距離在平面α內任一點與點P的距離中最短．(　　)
2．(多選)已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在平面α內，若點P(－2，1，z)到α的距離為，則z＝(　　)
A.－16 B．－4
C．4 D．16
3．已知平面α的一個法向量為n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A α，B∈α，則點A到平面α的距離為(　　)
A． B．C． D．1
　題型探究·課堂解透——強化創新性　
　點到直線的距離
例1　如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABCD A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點B到直線A′C的距離．
方法歸納
向量法求點到直線距離的一般步驟
鞏固訓練1　已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求點B到直線A1C1的距離．
　點到平面的距離
例2　在三棱錐S ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分別為AB，SB的中點，如圖所示．求點B到平面CMN的距離．
方法歸納
用向量法求點面距的一般步驟
鞏固訓練2　如圖，在棱長是2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為CD的中點，求點B1到平面AD1E的距離．
第1課時　點到直線的距離與點到平面的距離
新知初探·課前預習
[教材要點]
要點二
[基礎自測]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：因為n＝(－2，－2，1)，＝(－1，－2，z)，且d＝＝＝＝，所以z＝4或－16.
答案：AC
3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，
∴＝(－1，－1，2)，又平面α的一個法向量為n＝(1，2，1)，
∴點A到平面α的距離為＝.
答案：B
題型探究·課堂解透
例1　解析：因為AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直線A′C的方向向量＝(1，2, －3)．
又＝(0，2，0)，
所以在上的投影長為＝.
所以點B到直線A′C的距離d＝＝＝.
鞏固訓練1　
解析：以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以直線A1C1的方向向量
＝＝(0，3，1)，
所以點B到直線A1C1的距離
d＝＝＝.
例2　解析：取AC的中點O，連接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC，∴SO⊥BO.
又∵△ABC為正三角形，O為AC的中點，∴AO⊥BO.
如圖所示，分別以OA，OB，OS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O xyz，
則B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．
設n＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，
則取z＝1，
則x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴點B到平面CMN的距離d＝＝.
鞏固訓練2　
解析：因為正方體ABCD A1B1C1D1棱長為2，
故以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．
設平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z) ，則，m⊥，
即，
又＝(0，0，2)－(2，0，0)＝(－2，0，2)，＝(0，1，0)－(2，0，0)＝(－2，1，0)，
所以，令x＝1，則y＝2，z＝1，
所以m＝(1，2，1)，又＝(2，1，2)，
所以點B1到平面AD1E的距離d＝＝＝.第2課時　兩平行線間的距離與兩平行平面間的距離
新知初探·課前預習——突出基礎性
教 材 要 點
要點一　兩平行線間的距離
兩平行線 m，n，點A是直線m上的任意一點，點P是直線n上的任意一點，直線m的方向向量為v，則兩平行線 m，n間的距離為d＝.
批注 　是在方向向量上的投影長．
要點二　兩平行平面間的距離
A，B分別是平行平面α，β上的任意一點，n是平面α，β的一個法向量，則平面α，β間的距離 為d＝.
批注 　平面α，β間的距離等于平面 上任一點A到平面的距離，也等于兩平面間任一條線段AB在平面α的法向量上的投影長．
　
基 礎 自 測
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)直線到平面的距離指直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離．(　　)
(2)兩個平面平行時，一個平面上任意一點到另一個平面的距離都相等．(　　)
2．兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是(　　)
A． B．C． D．3
3．已知直線l過定點A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)為其一個方向向量，則過點P(4，3，2)且與直線l平行的直線間距離為________．
題型探究·課堂解透——強化創新性　
　兩平行線間的距離
例1　如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，AM⊥PD于點M，O為底面ABCD的中心，求PB與OM之間的距離．
方法歸納
求兩平行線間距離的步驟
鞏固訓練1　已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為BC和CD的中點，求兩條平行線EF和B1D1間的距離．
　兩平行平面間的距離
例2　如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，求平面A1BC1與平面ACD1間的距離．
方法歸納
求平行平面之間的距離的步驟
鞏固訓練2　如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離．
第2課時　兩平行線間的距離與兩平行平面間的距離
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．(1)√　(2)√
2．解析：∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，∴兩平面間的距離＝＝＝.
答案：B
3．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝，
則點P到直線l的距離d＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：連接BD，因為PA＝AD，AM⊥PD于M，
則M為PD的中點，
又O為底面ABCD的中心，
所以PB∥OM，
如圖建立空間直角坐標系A xyz，
則B(1，0，0)，P(0，0，2)，O(，1，0)，M(0，1，1)，
∴＝(－1，0，2)，＝(－，1，0)，
∴PB與OM之間的距離為d＝＝＝.
鞏固訓練1　解析：連接EF，BD，B1D1，
∵E，F分別為BC，CD中點，
∴EF∥BD，又BD∥B1D1，
∴EF∥B1D1.
如圖建立空間直角坐標系，則D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，F(0，，0)，
＝(1，1，0)，＝(0，，－1)，
∴平行線EF與B1D1間的距離
d＝＝＝.
例2　解析：因為長方體ABCD A1B1C1D1，故A1D1∥BC且A1D1＝BC，故四邊形A1D1CB為平行四邊形，故A1B∥CD1，又A1B 平面ACD1，CD1 平面ACD1
∴A1B∥平面ACD1.同理，BC1∥平面ACD1，又A1B＝B，∴平面A1BC1∥平面ACD1.
如圖建立空間直角坐標系，
則A(3，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，A1(3，0，2)，
∴＝＝＝(0，0，2)，
設平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，
由得，
令x＝4，則y＝3，z＝6，∴n＝(4，3，6)，
所以兩平行平面ACD1與平面A1BC1間的距離為d＝＝＝.
鞏固訓練2　
解析：以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)，
∴點D1到平面A1BD的距離d＝＝＝.
易證平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離，∴平面A1BD與平面B1CD1間的距離為.章末復習課
知識網絡·形成體系
考點聚焦·分類突破　
考點一　空間向量的概念及運算
1．空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數乘運算與向量共線的判斷、數量積運算、夾角公式、求模公式等．
2．通過對空間向量的概念及運算的考查，提升學生的數學運算素養．
例1　(1)如圖，空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點M在線段OA上，且OM＝2MA，點N為BC的中點，則＝(　　)
A．－a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a＋b－c
(2)正四面體ABCD的棱長為2，點E，F分別為棱BC，AD的中點，則·的值為(　　)
A．4 B．－4
C．－2 D．2
考點二　利用空間向量證明線面位置關系
1．用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明．
2．通過對用空間向量證明直線、平面的平行與垂直的考查，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．
例2　如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求證：
(1)AF∥平面BDE；
(2)CF⊥平面BDE.
考點三　利用空間向量求空間角
1．空間角的計算公式
(1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2，則l1，l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|.
(2)設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為v，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos 〈v，n〉|.
(3)設n1，n2分別是兩個平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|.
2．通過對利用向量計算空間角的考查，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．
例3　如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，CD⊥PB，PD＝AD＝AB＝BC＝2.
(1)求證：PD⊥平面ABCD；
(2)若直線PC與平面ABCD所成的角為30°，點E在線段AP上，且＝3，求平面PBD與平面BDE夾角的余弦值．
考點四　利用空間向量計算距離
1．空間距離的計算公式
(1)直線l外一點P到直線l的距離：PQ＝＝(其中A是l上的定點，是在l上的投影向量，＝a，u是l的單位方向向量)．
(2)平面α外一點P到平面α的距離：PQ＝＝＝(其中A是平面α內的定點，n是平面 α的法向量)．
2．通過對利用空間向量計算距離的考查，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．
例4　長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點，求：
(1)M到直線PQ的距離；
(2)M到平面AB1P的距離．
章末復習課
考點聚焦·分類突破
例1　
解析：(1)＝＝＝－＝－，
∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a＋b＋c.
(2)∵＝＝，
∴·＝()·＝＋·
＝×22cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2.
答案：(1)A　(2)C
例2　證明：
(1)設AC與BD交于點G.因為EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG，因為EG 平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD.
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C xyz，則C(0，0，0)，A(，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(，，1)．
所以＝(，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0，1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.
所以CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE＝E，所以CF⊥平面BDE.
例3　解析：(1)證明：取BC中點F，連接DF.
∵AD∥BF，且AD＝BF，∴四邊形ABFD為平行四邊形．
則DF＝AB＝BC，于是CD⊥BD.
又∵CD⊥PB，PB＝B，∴CD⊥平面PBD.
又∵PD 平面PBD，∴CD⊥PD.
又∵平面PCD⊥平面ABCD且交線為CD，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD即為直線PC與平面ABCD所成的角，
∴∠PCD＝30°.又∵PD＝2，∴CD＝AF＝2，BD＝2.
以DB，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D xyz，
則D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(1，－，0)，P(0，0，2)．
＝(1，－，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)．
∵＝3，∴＝＝(0，0，2)＋(1，－，－2)＝(，－)．
設平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，
由得取n＝(0，4，)．
由(1)可知，DC⊥平面PBD，
所以平面PBD的法向量＝(0，2，0)，
∴cos 〈，n〉＝＝＝.
∴平面PBD與平面BDE夾角的余弦值為.
例4　
解析：如圖，建立空間直角坐標系B xyz，
則A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．
(1)∵＝(－2，－3，2)，
＝(－4，－2，－2)，
∴在上的射影的模為＝＝，
∴M到直線PQ的距離為＝＝；
(2)設平面AB1P的法向量n＝(x，y，z)，則，n⊥，
＝(－4，0，4)，＝(－4，4，0)，
，令x＝1，解得y＝1，z＝1，
∴n＝(1，1，1)，
又＝(2，－3，－4)，
∴M到平面AB1P的距離d＝＝＝.

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