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第一節(jié) 集合【講】（1）
一.課標(biāo)要求，準(zhǔn)確定位
1．了解集合的含義．理解元素與集合的屬于關(guān)系，能用自然語言、圖形語言、符號(hào)語言刻畫集合．
2．理解集合間的包含與相等關(guān)系，能識(shí)別給定集合的子集，了解全集與空集的含義．
3．理解集合間的交、并、補(bǔ)的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集，能求給定子集的補(bǔ)集．
4．能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及基本運(yùn)算．體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用．
二．考情匯總，名師解讀
集合的概念及運(yùn)算一直是高考熱點(diǎn)，同時(shí)近兩年新課標(biāo)高考試題加強(qiáng)了對(duì)以集合為工具與其他知識(shí)相結(jié)合的考查，一般為基礎(chǔ)題，解題時(shí)要充分利用Venn圖、數(shù)軸的直觀性迅速得解.
【二級(jí)結(jié)論】
1．任何一個(gè)集合是它本身的子集．
2．若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有（2n－1）個(gè)，非空真子集有（2n－2）個(gè)．
3．子集的傳遞性：A B，B C A C.
4．A B A＝A A＝B UA UB A∩（ UB）＝ .
5．A∪（ UA）＝U；A∩（ UA）＝ ； U（ UA）＝A；（ UA）∩（ UB）＝ U（A；（ UA）∪（ UB）＝ U（A
6.用集合運(yùn)算表示區(qū)域：
核心考點(diǎn)1 元素與集合
1．用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：
（1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4） {0}；（5）{0，1} R．
2．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；
(2)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合；
(3)函數(shù)的定義域；
(4)二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合．
核心考點(diǎn)2 集合間的基本關(guān)系
3．集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
4．已知集合，集合．若，則實(shí)數(shù) ．
5．寫出集合的所有子集．
核心考點(diǎn)3 集合的基本運(yùn)算
6．設(shè)集合是小于的正整數(shù)，，，求，，．
7．已知集合，求．
考向一 集合元素的個(gè)數(shù)
8．已知集合，則B中元素個(gè)數(shù)為
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知集合A＝，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
（2020·全國Ⅲ卷）
10．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．已知集合，集合中至少有3個(gè)元素，則
A． B． C． D．
考向二 元素與集合的關(guān)系
12．若集合中只有一個(gè)元素，則　　
A． B． C．0 D．0或
13．設(shè)a,b∈R，集合，則=( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
14．設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為 .
【類題通法】與集合中元素有關(guān)問題的求解策略
考向一　判斷集合間的關(guān)系
15．用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空，使之成為正確的集合關(guān)系式：
① A；
②A∩ A；
③A ＝ ；
④（A∩B） （A B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
16．集合，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
考向二　利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍
17．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
18．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【變式1】
19．函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【變式2】
20．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
考向三 判斷滿足條件的集合的個(gè)數(shù)
21．集合的子集的個(gè)數(shù)為 ．
【變式1】
22．滿足的集合A的個(gè)數(shù)是 .
【變式2】
23．同時(shí)滿足（1）；（2）若，則的非空集合M有 個(gè)．
24．已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，則A∩B子集的個(gè)數(shù)為(　　)
A．10 B．16 C．8 D．7
【類題通法】判斷集合間關(guān)系的常用方法
考向一 交、并、補(bǔ)運(yùn)算
25．已知集合，，則 ；
26．已知全集，，則 ；
27．已知全集 ，則如圖所示的陰影部分所表示的集合為
A． B．或 C． D．
28．設(shè)全集，集合，求：
(1)；
(2)．
【類題通法】求集合交集、并集或補(bǔ)集的步驟
考向二 利用集合運(yùn)算求參數(shù)
29．已知，，若，則
A．3 B．2 C．3或2 D．3或1
30．已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
31．設(shè)全集集合，集合若，則應(yīng)該滿足的條件是
A． B．≥ C． D．≤
【類題通法】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合間的關(guān)系，逐個(gè)判定，即可求解.
【詳解】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合間的關(guān)系，可得：
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）.
故答案為：，，，，.
2．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)列舉法可得答案；
（2）根據(jù)列舉法可得答案；
（3）根據(jù)描述法可得答案；
（4）根據(jù)描述法可得答案；
【詳解】（1）由，得或，
所以由方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為.
（2）由，得，
所以一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合為.
（3）由函數(shù)有意義，得，即，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
（4）二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合為.
3．.
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，即可求解.
【詳解】由集合，根據(jù)集合元素的互異性，可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
4．
【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互異性，得到正確答案.
【詳解】集合，集合．
①若，解得：或.
當(dāng)時(shí)，與元素的互異性相矛盾，舍去.
當(dāng)時(shí)，符合題意.
②若，解得：.舍去.
故.
故答案為：-1.
5．
【分析】根據(jù)集合的子集的定義列舉出即可．
【詳解】集合的所有子集有：
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的子集的定義，掌握子集的定義是解題的關(guān)鍵，本題是一道基礎(chǔ)題．
6．，，.
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)的概念可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得，，，
所以，，.
7．，，或.
【分析】根據(jù)集合交集、并集和補(bǔ)集的概念與運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由集合，
可得，，
由補(bǔ)集的概念與運(yùn)算，可得或.
8．A
【解析】化簡集合，根據(jù)集合的元素特征，即可求解
【詳解】，
，中元素個(gè)數(shù)為4個(gè).
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的化簡，注意集合元素的滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.
9．C
【詳解】試題分析：，的取值有、、、，又， 值分別為、、、，故集合中的元素個(gè)數(shù)為，故選C.
考點(diǎn)：數(shù)的整除性
10．C
【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.
【詳解】由題意，中的元素滿足，且，
由，得，
所以滿足的有，
故中元素的個(gè)數(shù)為4.
故選：C.
【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一道容易題.
11．C
【詳解】試題分析：因?yàn)橹械缴儆袀€(gè)元素，即集合中一定有三個(gè)元素，所以，故選C.
考點(diǎn)：1.集合的運(yùn)算；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
12．D
【分析】分與兩種情況討論元素的個(gè)數(shù)可得答案．
【詳解】解：集合中只有一個(gè)元素，
當(dāng)時(shí)，可得，集合只有一個(gè)元素為：．
當(dāng)時(shí)：方程只有一個(gè)解：即，
可得：．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合描述法的意義，涉及集合元素的確定和個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
13．C
【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】因，則，從而得，有，于是得，
所以.
故選：C
14．
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及集合的互異性可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋矗?br/>所以或，
若，則或；
若，即，則或.
由與互異，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
綜上所述，的取值集合為.
故答案為：
15．
【分析】根據(jù)集合表示方法，集合間的包含關(guān)系，以及集合的交集、并集的運(yùn)算，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，即可求解.
【詳解】①由空集為任何集合的子集，可得；
②因?yàn)椋裕?br/>③根據(jù)空間的概念和并集的運(yùn)算，可得；
④根據(jù)集合的交集和并集的概念，可得；
⑤由和表示所有的奇數(shù)，
所以；
⑥由表示所有的偶數(shù)，表示的倍數(shù)的偶數(shù)，
所以；
⑦由，所以，
又由，所以，
所以；
⑧由，
又由，
所以.
故答案為：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
16．C
【分析】將兩個(gè)集合化簡后比較分子的關(guān)系可得兩個(gè)集合的關(guān)系.
【詳解】，
表示整數(shù)，表示奇數(shù)，故，
故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確，而中的元素有分?jǐn)?shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：C．
17．0，±1
【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，集合，滿足；當(dāng)時(shí)，，又，所以若，則有，綜上實(shí)數(shù)的值為0，±1．
考點(diǎn)：利用子集關(guān)系求參數(shù)．
18．
【分析】根據(jù)，分和，兩種情況討論求解.
【詳解】因?yàn)榧希遥?br/>當(dāng)時(shí)，則，解得，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
19．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性列式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，得.
故答案為：
20．
【分析】令，由題意函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t可得可以取遍所有的正實(shí)數(shù)，可得，解不等式即可求解．
【詳解】函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>令，
真數(shù)部分可以取遍所有的正實(shí)數(shù)，
，可得，解得或，
實(shí)數(shù)的取值范圍是；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查由二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)，解題的關(guān)鍵是要熟悉對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，注意區(qū)別與函數(shù)定義域?yàn)榈南拗茥l件的不同，屬于中檔題．
21．
【分析】直接根據(jù)公式可得結(jié)果.
【詳解】集合的子集的個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：.
22．8
【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，從而可求出集合A
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以滿足集合A的個(gè)數(shù)為8，
故答案為：8
23．7
【分析】由集合的元素所滿足的兩個(gè)性質(zhì)，找出集合的元素，從而確定集合的個(gè)數(shù)，得到答案.
【詳解】因?yàn)棰伲虎谌簦瑒t，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
同時(shí)，集合中若有，則成對(duì)出現(xiàn)，有時(shí)，也成對(duì)出現(xiàn)，
所以滿足題意點(diǎn)的集合有：，
共有7個(gè)集合滿足條件.
故答案為：7
【點(diǎn)睛】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系的判定與應(yīng)用，其中熟記元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
24．C
【詳解】因?yàn)锳＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的個(gè)數(shù)為23＝8，故選C.
點(diǎn)睛：若集合有個(gè)元素，則的子集個(gè)數(shù)為，其中包括空集和集合本身．
25．
【分析】解方程組求出交集中的元素，再根據(jù)列舉法可得答案.
【詳解】由，得，
所以.
故答案為：.
26．
【分析】化簡集合和，再根據(jù)補(bǔ)集的概念可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，
因?yàn)椋裕瑒t，
所以.
故答案為：.
27．D
【詳解】 ,所以陰影部分所表示的集合為 ,選D.
28．(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)不等式的解法求得，，結(jié)合并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解；
（2）由（1）中的集合，結(jié)合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，解得，所以，
又由不等式，解得，所以，
可得，所以或.
（2）解：由（1）知，集合，
可得或，或，
所以或.
29．A
【詳解】由題，，，且，
當(dāng) ，符合題意；
當(dāng) ，此時(shí)，不符合題意.故
故選A.
30．
【分析】首先求得集合，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)，求得的取值范圍.
【詳解】，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足，
當(dāng)，即時(shí)，由得，
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
31．B
【詳解】由得：，由，得≥，故選B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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