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專題02 直線與圓的綜合應(yīng)用問題（九大考點(diǎn)）-【寒假自學(xué)課】2024年高二數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教A版2019）
專題02 直線與圓的綜合應(yīng)用問題
思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷
考點(diǎn)二：弦長與面積問題
考點(diǎn)三：切線問題、切線長問題
考點(diǎn)四：切點(diǎn)弦問題
考點(diǎn)五：圓上的點(diǎn)到直線距離個數(shù)問題
考點(diǎn)六：圓中的最值（范圍）問題
考點(diǎn)七：圓與圓的位置關(guān)系
考點(diǎn)八：兩圓的公共弦問題
考點(diǎn)九：兩圓的公切線問題
一、直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
二、直線與圓的位置關(guān)系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三、兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征 無實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 兩組實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 無實(shí)數(shù)解
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為
（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷
（2023·天津?yàn)I海新·高二天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）
1．直線：與圓：的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）
2．直線l：與圓C：的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能
（2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）
3．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓C的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
（2023·高二課時練習(xí)）
4．若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)二：弦長與面積問題
（2023·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）
5．直線被圓截得的弦長為 .
（2023·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）
6．當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時，實(shí)數(shù) ．
（2023·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）
7．設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，則實(shí)數(shù)m的值是 ．
（2023·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）
8．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是圓上的兩個動點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值為 ．
（2023·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）
9．已知直線與圓相切，且被圓截得的弦長為，則 ； ．
（2023·天津武清·高二統(tǒng)考期中）
10．已知直線與 交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足的面積為的實(shí)數(shù)m的一個值 .
（2023·北京昌平·高二統(tǒng)考期末）
11．已知圓，直線l過點(diǎn)且與圓O交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，直線l的方程為 ．
考點(diǎn)三：切線問題、切線長問題
（2023·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）
12．已知直線是圓的對稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則 .
（2023·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考期中）
13．寫出過點(diǎn)且與圓相切的直線方程 .
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考階段練習(xí)）
14．已知圓，自點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程 ．
（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)校考階段練習(xí)）
15．由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，則切線長（此點(diǎn)到切點(diǎn)的線段長）的最小值為 ．
（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）
16．過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線的方程為 ．
（2023·全國·高三專題練習(xí)）
17．從直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則弦長度的最小值為 ．
（2023·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
18．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為 .
（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）
19．過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是 ．
考點(diǎn)五：圓上的點(diǎn)到直線距離個數(shù)問題
（2023·山東青島·高二青島二中校考期中）
20．已知圓，直線：，若圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離都等于1，則的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
（2023·四川·高二校聯(lián)考期末）
21．若圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）
22．若圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個，則（ ）
A． B．
C． D．
23．已知圓：（），直線：．若對任意實(shí)數(shù)，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有4個，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)六：圓中的最值（范圍）問題
（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）
24．已知實(shí)數(shù)，滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．的最大值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
（2023·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）
25．已知，圓，為圓上動點(diǎn)，下列正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．最大時，
（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）
26．已知實(shí)數(shù)、滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最大值為
（2023·廣東佛山·高二佛山一中校考階段練習(xí)）
27．若動點(diǎn)在方程所表示的曲線上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形 B．曲線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為
C．的范圍為 D．動點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的范圍是
（2023·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）
28．若實(shí)數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（ ）
A．的范圍是 B．的范圍是
C．的最大值為1 D．的范圍是
考點(diǎn)七：圓與圓的位置關(guān)系
（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）
29．已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．外切 B．內(nèi)切 C．外離 D．相交
（2023·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）
30．已知，則兩圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相切 B．外離 C．內(nèi)含 D．相交
（2023·四川成都·高二校考階段練習(xí)）
31．已知兩圓和相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）
32．已知圓：與圓：外切，則的值為（ ）
A．1 B．5 C．9 D．21
考點(diǎn)八：兩圓的公共弦問題
（2023·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）
33．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．則 ．
（2023·山東淄博·高二校考期中）
34．圓與圓的公共弦長為
（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期中）
35．圓與圓的公共弦所在的直線的方程為 ，弦長為 ．
（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）
36．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為 .
考點(diǎn)九：兩圓的公切線問題
（2023·安徽·高二校聯(lián)考期中）
37．已知圓，圓，其中．若圓，僅有2條公切線，則a的值可能是 （給出滿足條件的一個值即可）．
（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期中）
38．圓：與圓：的公切線條數(shù)為 .
（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）
39．圓與圓有條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
（2023·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）
40．已知圓，直線的方程，圓關(guān)于直線對稱的圓為，則所表示的一系列圓的公切線方程為 .
過關(guān)檢測
一、單選題
（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
41．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或 B．1或
C．或3 D．或
（2023·吉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）
42．已知直線與圓：交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．2 B． C． D．4
（2023·廣東東莞·高二東莞一中校考期中）
43．圓與圓的公共弦所在直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為（ ）
A． B． C． D．1
（2023·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）
44．已知是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2023·廣東深圳·高二校考期中）
45．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南邵陽·高二校考階段練習(xí)）
46．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，則下列說法不正確的是（ ）
A．點(diǎn)到直線的最大距離為 B．若直線被圓所截得的弦長最大，則
C．若直線為圓的切線，則的取值范圍為 D．若點(diǎn)也在圓上，則到直線的距離的最大值為
（2023·江蘇·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
47．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離為3，點(diǎn)到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）
48．已知，，直線：與直線：相交于點(diǎn)，則的面積最大值為（ ）
A．10 B．14 C．18 D．20
二、多選題
（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）
49．已知圓，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)在圓內(nèi)
B．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1
C．圓和圓的公切線長為2
D．圓和圓的公共弦所在的直線方程為
（2023·廣東廣州·高二校考階段練習(xí)）
50．已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線l必過點(diǎn)
B．直線l與圓E必相交
C．圓與圓E有3條公切線
D．當(dāng)時，直線l被圓E截得的弦長為
（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
51．已知直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．直線過定點(diǎn)
B．
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，最小值為
（2023·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）
52．設(shè)圓，直線， 則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．的半徑為 B．可能與相切
C．恒過定點(diǎn) D．當(dāng)時， 被截得的弦長為
三、填空題
（2023·天津·高二天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校校考階段練習(xí)）
53．已知直線被圓截得的弦長為，則 ．
（2023·江蘇蘇州·高二張家港市暨陽高級中學(xué)校考階段練習(xí)）
54．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若圓上存在動點(diǎn)滿足，則的取值范圍為 .
（2023·四川·高二校考期中）
55．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（2）若為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為 .
（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期中）
56．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為 ；的最小值為 ．
四、解答題
（2023·江蘇泰州·高二校聯(lián)考期中）
57．已知兩直線，
(1)求直線和的交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若過點(diǎn)作圓的切線有兩條，求的取值范圍；
(3)若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的值.
（2023·新疆和田·高二校考期中）
58．已知圓方程為，直線方程為，則
(1)求圓圓心坐標(biāo)及半徑；
(2)判斷直線與圓位置關(guān)系，若相交，求弦長.
（2023·浙江杭州·高二杭師大附中校考期中）
59．已知圓過點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與軸相切．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．
（2023·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
60．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)，且的歐拉線的方程為，若外接圓圓心記為.
(1)求圓的方程；
(2)過點(diǎn)引圓的切線，求切線的長.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離判斷即可.
【詳解】圓：的圓心，半徑，
故圓心到直線的距離，
所以直線與圓相交，
故選：A
2．A
【分析】利用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得答案.
【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，直線l的方程為，
圓心到直線l的距離為，
所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.
故選：A.
3．C
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓，直線與圓位置關(guān)系計(jì)算即可判斷.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，
所以，
設(shè)圓心到直線的距離為,
則，
圓的半徑,
因?yàn)椋灾本€與圓的位置關(guān)系為相離.
故選：.
4．D
【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為，再由直線恒過定點(diǎn)，結(jié)合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.
【詳解】由曲線，可得，
又由直線，可化為，直線恒過定點(diǎn)，
作出曲線與直線的圖象，如圖所示，
結(jié)合圖象，可得，所以，
當(dāng)直線與曲線相切時，可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
5．
【分析】求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得直線截圓所得弦長.
【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以，直線被圓截得的弦長為.
故答案為：.
6．
【分析】根據(jù)直線的方程，求得直線所過的定點(diǎn)，直線被圓截得的弦長最短時有，則，解出方程即可.
【詳解】將直線，化為，
令，解得，所以直線過定點(diǎn)，
又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，
由，則點(diǎn)在圓內(nèi)，
故當(dāng)時，圓心到直線的距離取得最大值，此時直線被圓截得的弦長最短，
則，解得．
故答案為：．
7．
【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得半徑與圓心，由點(diǎn)線距離公式用表示弦心距，利用勾股定理表示半弦長，由弦長為建立方程，求解即可.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
由題意弦的長為，
則，則，解得．
故答案為：.
8．
【分析】設(shè)，，的中點(diǎn)，由題意求解的軌跡方程，得到的最大值，寫出三角形的面積，結(jié)合基本不等式求解．
【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)，
點(diǎn)，為圓上的兩動點(diǎn)，且，
，①，
，②，
③
由③得，即④，
把②中兩個等式兩邊平方得：，，
即⑤，
把④代入⑤，可得，即在以為圓心，以為半徑的圓上．
則的最大值為．
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，的坐標(biāo)為時取等號．
故答案為：
9．
【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求出，即可求出直線的方程，再由弦長求出圓心到直線的距離，即可求出.
【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓心到直線的距離，解得或（舍去），
則直線的方程為：，
又被圓截得的弦長為，
所以圓心到直線的距離，
解得或（舍去）.
故答案為：；
10．（任意一個也對）
【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線距離，根據(jù)垂徑定理得到弦長，根據(jù)面積得到方程，求出或，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)m的值.
【詳解】的圓心為，半徑為，
則圓心到的距離為，
則，
故，解得或，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得，
故或
故答案為：（任意一個也對）
11．
【分析】分當(dāng)直線l的斜率不存在和當(dāng)直線l的斜率存在時分別討論求出弦的長，得出面積的表達(dá)式，得出最大值，從而得出答案.
【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，
則由，得，所以
,
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為
原點(diǎn)到直線l的距離為：
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號.
由，解得
由
故直線l的方程為：，即
故答案為：
12．
【分析】利用圓的一般方程求出圓心和半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)和勾股定理即可求解.
【詳解】由，得，
所以圓的圓心為，半徑為3.
因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，
所以經(jīng)過點(diǎn).
由，得，
所以的坐標(biāo)為.
因?yàn)閳A的半徑為3，
所以.
故答案為：.
13．或
【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】易知圓的圓心，半徑，
易知該切線斜率存在，不妨設(shè)切線方程為，
則圓心到切線的距離為或，
則切線方程為：或.
故答案為：或.
14．或
【分析】討論切線的斜率是否存在.當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為，得到直線方程，根據(jù)圓心到直線的距離，得到關(guān)于方程，解出的值，代入直線方程即可.
【詳解】由已知圓心為，半徑.，
又，所以點(diǎn)在圓外，
當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為.
此時，圓心到直線的距離，
所以直線是圓的切線；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
整理可得，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，
即，解得，
所以切線方程為：即，
綜上所述所求的切線方程為：或，
故答案為：或
15．
【分析】數(shù)形結(jié)合的方法.設(shè)為直線上一點(diǎn)，為切線長，直角中，，故最小時，切線長也最小.根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可求的最小值，再由勾股定理可得的最小值.
【詳解】解：∵圓的圓心為，半徑
∴圓心C到直線的距離為

當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動時，P與圓心C在直線上的射影重合時，
切線長達(dá)到最小值．設(shè)切點(diǎn)為A，得中，
即切線長（此點(diǎn)到切點(diǎn)的線段長）的最小值為．
故答案為：.
16．
【分析】數(shù)形結(jié)合，利用，即可解題.
【詳解】
由圖可知，其中一條切線為軸，切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
因?yàn)?，
則，
所以直線的方程為．
故答案為：.
17．
【詳解】設(shè)，易知的極線方程為，即可得弦必過，易得圓上，過的最短的弦長為．
18．##
【分析】設(shè)，利用與圓的關(guān)系，得到，，進(jìn)而得到點(diǎn)均在以為直徑的圓上，進(jìn)而得到圓的方程，則直線為兩圓的公共弦，進(jìn)而可求出直線以及該直線所過的定點(diǎn)，即可求得的最小值
【詳解】設(shè)，則有①，
又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則，，
則點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，
則圓的方程為，
化簡得；
直線即為兩圓的公共弦，所以對于和，
兩式相減可得直線的方程為，
由①可得，，整理得，
由得
故直線過定點(diǎn)，
因?yàn)椋f明在圓內(nèi)，
當(dāng)時，此時最小，為
故答案為：
19．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)切點(diǎn)在圓上，得到兩條切線方程，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)P在兩條切線上，最后求得答案.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以以為切點(diǎn)的切線方程分別為：，而點(diǎn)在兩條切線上，所以，即點(diǎn)P滿足直線.
故答案為：.
20．C
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離滿足，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算，解不等式即可.
【詳解】由圓的方程：，可得圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2．
若圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離等于1，
則圓心到直線的距離滿足，
則，
解得．
故選：C．
21．A
【分析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.
【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，
故要滿足題意，只需，解得.
故選：A.
22．A
【分析】先把圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)圓的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，解方程即可.
【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.
由圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個，
知圓心到直線的距離，
解得.
故選：A.
23．D
【分析】設(shè)直線過定點(diǎn)，根據(jù)圓到直線的距離最大為求解即可．
【詳解】解：設(shè)直線過定點(diǎn)，
不論取何值，到直線最遠(yuǎn)的距離始終為，
，
解得．
故選：D．
24．BC
【分析】A項(xiàng)：由表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方，可得其最大值，即可判斷A項(xiàng)；
B項(xiàng)：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，設(shè)，由圓心到直線的距離求出的范圍，從而可判斷B項(xiàng)；
C、D項(xiàng)：由表示圓上任意一點(diǎn)到直線：的距離的倍，結(jié)合圓上任意一點(diǎn)到直線的距離最大值為，，（為圓心到直線的距離），即可求解判斷.
【詳解】因?yàn)椋海啚椋海裕簣A的圓心，半徑為.
對于A項(xiàng)：表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方，如圖所示：
所以：的最大值為：，故A項(xiàng)錯誤；
對于B項(xiàng)：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，如圖所示：
設(shè)，由圓心到直線的距離：，即：解得：，
所以的最大值為，故B項(xiàng)正確；
對于C、D項(xiàng)：表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，如圖所示：
又圓心到直線的距離，所以：圓上任意一點(diǎn)到直的距離的最小值為：，最大值為：，
所以：的最小值為：，最大值為：，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯誤.
故選：BC.
25．ABC
【分析】利用數(shù)形結(jié)合法，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線時，取得最大值，可判定A正確；取的中點(diǎn)為，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判定B正確；利用直線與圓相切時，求得的最小值，可判定C正確；根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合圓切線長公式，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，因?yàn)椋傻茫?br/>如圖所示，可得
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，所以的最大值為，所以A正確.
對于B中，設(shè)的中點(diǎn)為，則，
所以，所以B正確；
對于C中，令，當(dāng)直線與圓相切時，取值最值，
由圓心到直線的距離，解得，
所以的最小值為，所以C正確；
對于D中，當(dāng)與圓相切時，取得最大值，
因?yàn)椋瑘A的圓心為，可得，
此時，所以D錯誤.
故選：ABC.
26．ABD
【分析】設(shè)，可得，利用直線與圓有公共點(diǎn)，求出的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)；利用距離的幾何意義求出的最大值，可判斷C選項(xiàng)；設(shè)，利用直線與圓有公共點(diǎn)，求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，
圓的圓心為，半徑為，
對于A選項(xiàng)，設(shè)，可得，
則直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，，整理可得，解得，AB都對；
對于C選項(xiàng)，代數(shù)式的幾何意義為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)時，取最大值，即，
故的最大值為，C錯；
對于D選項(xiàng)，設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，，解得，
所以，的最大值為，D對.
故選：ABD.
27．ABD
【分析】畫出曲線，即可判斷選項(xiàng)AB正確；設(shè)利用數(shù)形結(jié)合分析解答；利用數(shù)形結(jié)合分析得選項(xiàng)D正確.
【詳解】解：因?yàn)椋遥?br/>所以，
當(dāng)時，即或，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)，將等式兩邊平方整理得，
所以曲線的圖象如下所示：
由圖可知曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，曲線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為，所以選項(xiàng)AB正確；
設(shè)，它表示斜率為縱截距為的直線系，如圖，
當(dāng)直線系和曲線相切時，；
當(dāng)直線系經(jīng)過時，；當(dāng)直線系經(jīng)過時，；
所以的范圍為，所以選項(xiàng)C錯誤；
當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，直線的斜率最大為，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，直線的斜率最小為，所以選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一，是能準(zhǔn)確作出曲線的圖形，其二，是能正確數(shù)形結(jié)合分析求解.
28．BD
【解析】對于選項(xiàng)A、B、C利用基本不等式進(jìn)行化簡求解即可，對于選項(xiàng)D，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷求解
【詳解】對于A，，故，化簡得，
，所以，，A錯
對于B，，又因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿足條件，故，所以，，B對
對于C，由于，所以，，
故，化簡得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，C錯
對于D， 即求該斜率的取值范圍，明顯地，當(dāng)過定點(diǎn)的直線的斜率不存在時，
即時，直線與圓相切，
當(dāng)過定點(diǎn)的直線的斜率存在時，令，
則可看作圓上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的連線的斜率，
可設(shè)過定點(diǎn)的直線為：，
該直線與圓相切，圓心到直線的距離設(shè)為，
可求得，化簡得，故，故D對
故選：BD
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用，以及直線與圓的位置關(guān)系，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題
29．D
【分析】根據(jù)方程確定出圓心和半徑，然后根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷.
【詳解】因?yàn)榈膱A心為，半徑，的圓心為，半徑，
所以，
所以，
所以與兩圓相交，
故選：D.
30．D
【分析】先將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心距，再根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，即可得解.
【詳解】因?yàn)榭苫癁?br/>則，半徑，
因?yàn)榭苫癁椋?br/>則，半徑，
則，因?yàn)椋?br/>所以兩圓相交.
故選：D.
31．C
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍.
【詳解】由圓，設(shè)圓心且半徑，
由圓，設(shè)圓心且半徑，由，
所以時，兩圓相交，則，
故選：C.
32．A
【分析】根據(jù)圓心距等于半徑和求解即可.
【詳解】因?yàn)閳A：與圓：外切，
所以，解得.
故選：A.
33．
【分析】先由兩圓方程相減求得直線的方程，再利用點(diǎn)線距離公式與弦長公式即可得解.
【詳解】因?yàn)閳A與圓，
經(jīng)檢驗(yàn)，知這兩圓相交，
兩圓方程相減可得直線方程為，
而圓的圓心為，
所以圓心到直線的距離為，
所以.
故答案為：.
34．
【分析】聯(lián)立兩圓可得公共弦方程，再利用垂徑定理可得公共弦長.
【詳解】由已知圓的圓心為，半徑
圓即的圓心為，半徑，
聯(lián)立兩圓得，即，
所以公共弦方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離，
所以弦長為，
故答案為：.
35．
【分析】根據(jù)兩圓的方程可求公共弦的方程，根據(jù)公式可求公共弦長.
【詳解】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，
化簡得公共弦所在直線方程為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
其圓心，半徑，
圓心到公共弦的距離，
所以公共弦長為．
故答案為：；.
36．
【分析】兩圓方程作差得到公共弦方程，再求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】圓與圓的公共弦方程為，
即，令，解得，
所以公共弦所在直線恒過點(diǎn).
故答案為：
37．5（答案不唯一，填寫5，6，7，8，9均可）
【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意兩圓相交，即可得到，從而求出的取值.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
所以，
因?yàn)閳A，僅有條公切線，所以圓，相交，
所以，即，所以或，
又，所以或或或或.
故答案為：5（答案不唯一，填寫5，6，7，8，9均可）
38．
【分析】根據(jù)題意，利用圓與圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓相外離，進(jìn)而得到公切線的條數(shù).
【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，
又由圓，可得圓心，半徑為，
可得，且，所以，
所以兩圓與相外離，所以圓與圓的公切線的條數(shù)為.
故答案為：.
39．
【分析】根據(jù)兩圓有條公切線可知兩圓相外離，再根據(jù)圓心距與半徑列不等式.
【詳解】圓，圓心，半徑，
圓，即，圓心，半徑，，，
又因?yàn)閮蓤A有條公切線，所以兩圓相外離，
即，
即，解得，
故答案為：.
40．或
【詳解】圓的圓心為，設(shè)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，
則解得，
圓的方程為，圓心為，半徑，
若公切線的斜率不存在，圓心到直線的距離，符合題意；
若公切線的斜率存在，設(shè)直線與圓系中的所有圓都相切，則，
即，
直線與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的值都成立，
所以有，解得，
所以所表示的一系列圓的公切線方程為.
綜上可得所表示的一系列圓的公切線方程為或.
故答案為：或
41．C
【分析】借助圓心到切線的距離等于半徑，計(jì)算即可得.
【詳解】由圓心為，半徑為，
即，
則，
解得或.
故選：C.
42．B
【分析】利用半弦長、半徑、弦心距的關(guān)系，即可得到弦長.
【詳解】由題意得圓：，
則圓心到直線的距離為，
所以.
故選：B.
43．C
【分析】將兩個圓的方程相減，可得兩圓的公共弦的方程，求得弦所在直線與坐標(biāo)軸的截距，即可求得答案.
【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為1，
圓的圓心為，半徑為2，
則兩圓圓心距為，而，即圓與圓相交，
故將和相減得，
即圓與圓的公共弦所在直線方程為，
令，則；令，則，
故與兩坐標(biāo)軸所圍城的三角形面積為，
故選：C
44．B
【分析】利用兩圓的圓心距及圓的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋裕覂蓤A的半徑分別為，即兩圓外離，
所以的最小值為.
故選：B
45．D
【詳解】根據(jù)題意，直線，
可變形可得，
聯(lián)立，解得，則直線恒過定點(diǎn)，記為，
圓的圓心為，半徑，則，
又為圓的弦，設(shè)的中點(diǎn)為，則有，
所以，
易知，記，則，，
所以的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
即的面積的最大值為.
故選：D.
46．C
【分析】求出圓心到直線距離的最大值，從而可求得到的最大距離，進(jìn)而即可判斷A；將圓心的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可判斷B；利用圓心到直線的距離等于半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，進(jìn)而即可判斷C；分析可知當(dāng)直線與圓相切時，到的距離的最大值，進(jìn)而即可判斷D．
【詳解】對于A，由題意可知，直線過定點(diǎn)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
設(shè)圓心到直線的距離為，
當(dāng)時，；當(dāng)與直線不垂直時，，
則，所以點(diǎn)到的最大距離為，故A正確；
對于B，若被圓所截得的弦長最大，則直線過圓心，可得，所以，故B正確；
對于C，若為圓的切線，則，解得，故C錯誤；
對于D，若也在圓上，則直線與圓相切或相交，
當(dāng)直線與圓相切時，到的距離取最大值，故D正確．
故選：C．
47．C
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求以點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓和以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的公切線的條數(shù)求解.，
【詳解】到點(diǎn)距離為3的直線可看作以A為圓心3為半徑的圓的切線，
同理到點(diǎn)距離為2的直線可看作以B為圓心2為半徑的圓的切線，
故所求直線為兩圓的公切線，
又，
故兩圓外切，
所以公切線有3條，
故選：C
48．B
【分析】根據(jù)直線和的方程得到點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，然后根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，的面積最大，然后求最大值即可.
【詳解】
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過定點(diǎn)，
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過定點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br/>所以點(diǎn)為以為直徑的圓上的點(diǎn)，
，中點(diǎn)為，
則點(diǎn)的軌跡方程為，
，
所以當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，的面積最大，
，直線的方程，即，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，圓心直線的距離為，半徑為，
則，
所以的面積最大值為.
故選：B.
49．BCD
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系即可求解A,根據(jù)圓心到直線的距離即可求解B，根據(jù)相交弦的定義即可求解D，根據(jù)相交時兩圓的外公切線的求解即可判定C.
【詳解】圓的圓心和半徑分別為,圓的圓心和半徑為，
對于A，由于，故點(diǎn)在圓外，故A錯誤，
對于B，到的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，B正確，
對于D,由于,故兩圓相交，
兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程為：，故D正確，
對于C，由于兩圓相交，所以外公切線的長度為，C正確，
故選：BCD
50．BC
【分析】由直線方程確定過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓位置關(guān)系判斷A、B；根據(jù)兩圓圓心距離與半徑間的關(guān)系判斷C；應(yīng)用點(diǎn)線距離及弦長的幾何求法求弦長.
【詳解】A：由，則必過定點(diǎn)，錯；
B：將定點(diǎn)代入圓，有，
故點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線l與圓E必相交，對；
C：由題設(shè)且半徑為，而且半徑為，
所以，即兩圓外切，故兩圓有3條公切線，對；
D：由題設(shè)，則到直線的距離，
故直線l被圓E截得的弦長為，錯.
故選：BC
51．CD
【分析】根據(jù)直線系確定直線過定點(diǎn)判斷A，根據(jù)定點(diǎn)在圓在可判斷B，求出弦的最大值與最小值判斷C，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及夾角余弦最值判斷D.
【詳解】由直線，可化為，即直線過定點(diǎn)，所以A選項(xiàng)不正確；
因?yàn)橹本€與圓有總有兩個公共點(diǎn)，可得點(diǎn)在圓內(nèi)部，
所以，解得，所以B不正確；
當(dāng)時，圓的方程為，可得圓心，又，
則，可得長的最小值為，最大值即為直徑6，所以C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時，圓的方程為，
則，
當(dāng)直線過圓心，此時，可得的最小值，
所以的最小值為，故D正確.
故選：CD．
52．AC
【分析】根據(jù)圓的方程可求出半徑，即可對A判斷；利用直線過定點(diǎn)可對B、C判斷；利用直線與圓相交的弦長公式，即可判斷D.
【詳解】對A：由圓：，得圓心為，半徑為，故A正確；
對B、C：由直線，得，所以直線恒過定點(diǎn)，故C正確；
由故定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒相交，故B錯誤；
對D：當(dāng)時，直線：，即，所以圓心到直線距離為，所以被截得的弦長為，故D錯誤.
故選：AC.
53．或
【分析】先用幾何法求出圓心到直線的距離，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù)的值.
【詳解】圓的方程可化為：，所以圓的圓心是，半徑為.
又弦長為，所以圓心到直線的距離為：.
由，所以或.
故答案為：或.
54．
【分析】由求得點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)，由兩邊平方得，
即，，
，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
圓的圓心為，半徑為，
依題意，圓與圓有公共點(diǎn)，
兩圓的圓心距為，則，
解得.
故答案為：
55． 40
【分析】設(shè)點(diǎn)，用坐標(biāo)表示點(diǎn)滿足的條件得其軌跡方程，然后利用三角換元法換元代入，再由三角函數(shù)知識得最大值．
【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)滿足，
設(shè)點(diǎn)，則，化簡得：，即；
圓的方程可化為，設(shè)，
則（）
所以的最大值為40.
故答案為：40.
56． ## ##
【分析】聯(lián)立圓的方程，可得公共弦方程及其恒過的定點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式可得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可得最值.
【詳解】由，，
可得，即，
所以，解得，
所以點(diǎn)，
又，，
則，
所以當(dāng)時，取最小值為，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，兩個方程均表示圓，且兩圓相交，滿足題意.
故答案為：，.
57．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）聯(lián)立直線方程，解方程組，即得答案；
（2）根據(jù)點(diǎn)在圓外可得不等式，即求得答案；
（3）討論直線與，不能構(gòu)成三角形的情況即為或或過點(diǎn)P，由此可求得a的值.
【詳解】（1）聯(lián)立方程組，
即直線和的交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由題意知點(diǎn)在圓外，，；
（3）若直線與，不能構(gòu)成三角形，
則或或過點(diǎn)P，
當(dāng)時，則，滿足題意；
當(dāng)時，，滿足題意；
當(dāng)過點(diǎn)P時，，
故實(shí)數(shù)的值為.
58．(1)圓心坐標(biāo)為，半徑為
(2)相交，且弦長為
【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出圓的圓心坐標(biāo)與半徑長；
（2）計(jì)算出圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論，再利用勾股定理可求得弦長.
【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.
（2）圓心到直線的距離為，
所以，直線與圓相交，弦長為.
59．(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)題干假設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入題干信息即可求解.
（2）討論過點(diǎn)的直線斜率不存在時，是否與圓相交，弦長是否為；斜率存在時，利用弦長公式進(jìn)行計(jì)算，求解直線的方程即可.
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
代入題干得：，解得：
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，直線為：，此時圓心到直線的距離為所以相切，與題干不符；
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，即，
此時圓心到直線的距離為，又因?yàn)橄嘟坏南议L為，則.
所以，解得或
則直線的方程為：或
60．(1)
(2)
【分析】（1）先求得線段AB的中垂線方程，再與歐拉線方程聯(lián)立求得圓心即可；
（2）利用圓的切線長公式求解.
【詳解】（1）因，則的中點(diǎn)為，
又，則的中垂線方程為.
將其與歐拉線方程聯(lián)立有，解得
故的外心為，則外接圓半徑為，
故圓的方程為.
（2）設(shè)切點(diǎn)為，由題有，
故切線的長.
答案第1頁，共2頁
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