資源簡介

2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試福建省數(shù)學(xué)考試說明
(理科課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版)
目 錄
Ⅰ．命題指導(dǎo)思想 2
Ⅱ．考試形式與試卷結(jié)構(gòu) 5
一、考試形式 5
二、試卷結(jié)構(gòu) 5
三、關(guān)于考試形式與試卷結(jié)構(gòu)的說明 5
Ⅲ．考試目標(biāo)與要求 7
一、知識要求 7
二、能力要求 8
三、數(shù)學(xué)思想方法 29
四、個(gè)性品質(zhì)要求 41
Ⅳ．考試內(nèi)容 41
一、考試內(nèi)容及要求 41
二、若干問題的說明 55
Ⅴ．參考試卷 69

Ⅰ．命題指導(dǎo)思想
普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試，是由合格的高中畢業(yè)生和具有同等學(xué)力的考生參加的選拔性考試． 2009年福建省高考數(shù)學(xué)（理科）的命題應(yīng)以教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》、《2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版·理科數(shù)學(xué)）》、《福建省普通高中新課程教學(xué)要求（數(shù)學(xué)）》為指導(dǎo)，以《2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試福建省數(shù)學(xué)考試說明》(理科課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版)為依據(jù)，并結(jié)合我省普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際進(jìn)行．命題應(yīng)有利于高校科學(xué)公正地選拔人才，有利于推進(jìn)普通高中新課程，實(shí)施素質(zhì)教育．命題應(yīng)體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的理念，體現(xiàn)對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等目標(biāo)的要求，堅(jiān)持能力立意，注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，著重考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能．命題應(yīng)遵循以下命題原則：
一、貫徹新課程理念，促進(jìn)素質(zhì)教育的有效實(shí)施
命題要立足于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，體現(xiàn)普通高中新課程的理念，準(zhǔn)確理解和把握新課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)涵與要求，考查對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度和運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，關(guān)注科學(xué)技術(shù)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，注重時(shí)代性和實(shí)踐性，有利于高校科學(xué)公正地選拔人才；有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)素質(zhì)教育的實(shí)施；有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，發(fā)揮高考命題對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的正確導(dǎo)向作用，扎實(shí)推進(jìn)我省普通高中新課程的順利實(shí)施．
二、強(qiáng)化基礎(chǔ)知識，注重試卷的整體設(shè)計(jì)
考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，是數(shù)學(xué)高考的重要目標(biāo)之一．對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，要求既全面，又突出重點(diǎn)．對于支撐數(shù)學(xué)知識體系的主干知識——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體．對數(shù)學(xué)知識的考查要求全面，但不刻意追求知識點(diǎn)的百分比、知識內(nèi)容的覆蓋面，而是強(qiáng)調(diào)試題的綜合性，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合．
高考命題應(yīng)從學(xué)科整體意義的高度去考慮問題，強(qiáng)調(diào)知識之間的交叉、滲透和綜合，體現(xiàn)綜合性，以檢驗(yàn)考生是否具備一個(gè)有序的網(wǎng)絡(luò)化的知識體系，并能從中提取相關(guān)的信息，有效、靈活地解決問題．命題應(yīng)繼承和發(fā)揚(yáng)我省自行命題的成果和經(jīng)驗(yàn)，在保持整體穩(wěn)定的前提下，適度創(chuàng)新，注重試題的多樣性和選擇性．命題應(yīng)科學(xué)設(shè)置探究性和開放性試題，體現(xiàn)對不同層次的考生的選拔．命題應(yīng)合理分配必考、選考內(nèi)容的比例，既考查考生的共同基礎(chǔ)，又滿足不同考生的選擇需求．對選考內(nèi)容的命題應(yīng)做到各選考專題的試題分值相等，難度基本等值．試卷應(yīng)具有較高的信度、效度和必要的區(qū)分度以及適當(dāng)?shù)碾y度．
鑒于我省新課程教材使用的多樣性，命題務(wù)必充分體現(xiàn)公平性，試題必須適用于不同版本的教材．試題可以是取材于教材或課外參考資料中經(jīng)過實(shí)質(zhì)性改造后的問題，但切忌照搬任何教材或課外參考資料的原題或未經(jīng)實(shí)質(zhì)性改造過的題目．所設(shè)置的試題，特別是區(qū)分學(xué)生學(xué)習(xí)能力的把關(guān)試題應(yīng)當(dāng)關(guān)注解法的多樣性，充分尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的差異，力求使得不同思維方式、思維層次的學(xué)生都能得到科學(xué)的評價(jià)．整份試卷的設(shè)計(jì)應(yīng)合理，注重整體效應(yīng)．
三、淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法
數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中．因此，對于數(shù)學(xué)思想和方法的考查必然要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合進(jìn)行，通過對數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想、方法的理解和掌握程度．考查時(shí)，要從學(xué)科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度．
一般認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想是指滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)知識與方法中具有普遍適應(yīng)性的本質(zhì)思想．中學(xué)數(shù)學(xué)涉及的數(shù)學(xué)思想主要有：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想，有限與無限思想，或然與必然思想等．?dāng)?shù)學(xué)基本方法主要有：待定系數(shù)法、換元法、配方法、割補(bǔ)法等．?dāng)?shù)學(xué)邏輯方法或思維方法主要有：分析與綜合、歸納與演繹、比較與類比、具體與抽象等．它們是理解、思考、分析與解決數(shù)學(xué)問題的普通方法，對數(shù)學(xué)思想和方法的考查要結(jié)合數(shù)學(xué)知識多層次進(jìn)行．
四、強(qiáng)調(diào)能力立意，突出分析和解決問題能力
“以能力立意命題”是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和考試目標(biāo)所決定的．高考數(shù)學(xué)科考試的重點(diǎn)是考查運(yùn)用知識分析問題和解決問題的能力，因此命題中應(yīng)盡量避免編制刻板、繁難和偏怪的試題，避免編制死記硬背的內(nèi)容和繁瑣計(jì)算的試題，力圖通過數(shù)學(xué)科的考試，不僅考查考生數(shù)學(xué)知識的積累是否達(dá)到進(jìn)入高等學(xué)校學(xué)習(xí)的基本水平，而且要以數(shù)學(xué)知識為載體，測量考生將知識遷移到不同情境的能力，從而檢測考生已有的和潛在的學(xué)習(xí)能力．命題應(yīng)突出能力立意，對知識的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住問題的實(shí)質(zhì)，對試題提供的信息進(jìn)行合理地分檢、組合、加工，尋找解決問題的辦法．
高考對能力的考查，應(yīng)以抽象概括能力、推理論證能力為重點(diǎn)，全面考查各種能力，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性，切合考生實(shí)際．運(yùn)算求解能力是推理論證能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，它包括數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算；包括精算、近似計(jì)算與估算．對考生運(yùn)算求解能力的考查主要是以含字母的式的運(yùn)算為主，同時(shí)要兼顧對算理和推理論證能力的考查．空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，圖形的處理與圖形的變換都要注意與推理相結(jié)合．?dāng)?shù)據(jù)處理能力主要是指能對收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行整理、歸納、分析、解決問題．分析問題和解決問題的能力是上述幾種基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)，對數(shù)學(xué)能力的考查要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想和方法為基礎(chǔ)，加強(qiáng)思維品質(zhì)的考查．
五、強(qiáng)化應(yīng)用意識，關(guān)注應(yīng)用能力
加強(qiáng)應(yīng)用意識的培養(yǎng)與考查是時(shí)代的需要，是教育改革的需要，同時(shí)也是數(shù)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的．應(yīng)用性問題主要是考查數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用．應(yīng)用題的設(shè)計(jì)應(yīng)貼近生活，聯(lián)系實(shí)際，具有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義．
應(yīng)用問題考查的重點(diǎn)是客觀事物的數(shù)學(xué)化，這個(gè)過程主要是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決．命題時(shí)要堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，要把握好提出問題所涉及的數(shù)學(xué)知識和方法的深度和廣度，要切合我省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，讓數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的難度更加符合考生的水平，引導(dǎo)考生自覺地置身于現(xiàn)實(shí)社會(huì)的大環(huán)境，關(guān)心自己身邊的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識．
六、提倡開放探索，關(guān)注創(chuàng)新意識
高考作為選拔性考試，應(yīng)該偏重于能力測驗(yàn)，特別是能力傾向測驗(yàn)，適當(dāng)考查考生在未來的學(xué)習(xí)或工作中是否具有創(chuàng)新意識．因此，高考中可適當(dāng)設(shè)置開放性、探索性試題，考查創(chuàng)新意識和探究精神．考查創(chuàng)新意識的問題應(yīng)立足于中學(xué)數(shù)學(xué)，以中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識為基本素材，考查學(xué)生創(chuàng)造性地應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力．
考查創(chuàng)新意識的創(chuàng)新性試題可重點(diǎn)體現(xiàn)在情景、設(shè)問等方面．在設(shè)計(jì)考查創(chuàng)新意識的試題時(shí)，一方面，要積極探索，大膽實(shí)踐；另一方面，應(yīng)進(jìn)一步研究試題的穩(wěn)定性與創(chuàng)新性的關(guān)系，處理好試題創(chuàng)新與試題難度的關(guān)系，做到“新題不難、不怪”．
七、體現(xiàn)層次要求，控制試卷難度
高考在考試目的、考試性質(zhì)、考試內(nèi)容和考試要求方面均不同于數(shù)學(xué)競賽和普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會(huì)考．高考是要選拔部分合格高中畢業(yè)生升入高等院校深造，命題時(shí)應(yīng)以知識為基礎(chǔ)，多層次、多角度考查各種能力，試卷難度要適中，既要使一般考生都能得到基本分，又要使優(yōu)秀學(xué)生的水平得以充分顯現(xiàn)．根據(jù)我省高考的實(shí)際情況，整卷難度值應(yīng)控制在0.6左右．試卷中各個(gè)試題的難度值一般控制在0.2～0.8之間，整份試卷中各種難度的試題分?jǐn)?shù)的分布也應(yīng)該適當(dāng)．每種題型中都應(yīng)編擬一些較易試題，使大部分考生都能得到一定的基本分；每種題型中也應(yīng)編擬一些有一定難度的試題，以實(shí)現(xiàn)選拔的目的．
Ⅱ．考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
一、考試形式
考試采用閉卷、筆試形式．考試時(shí)間為120分鐘，全卷滿分150分，考試不使用計(jì)算器．
二、試卷結(jié)構(gòu)
考試內(nèi)容包括必考內(nèi)容和選考內(nèi)容兩部分．
必考內(nèi)容為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的必修課程和選修課程系列2的內(nèi)容．選考內(nèi)容為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的選修課程系列4的4-2《矩陣與變換》、4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》、4-5《不等式選講》等三個(gè)專題的內(nèi)容．
試卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷為10個(gè)選擇題，全部為必考內(nèi)容；第Ⅱ卷為非選擇題，分為必考和選考兩部分，必考部分由5個(gè)填空題和5個(gè)解答題組成；選考部分安排在第21題，作為解答題出現(xiàn)，由選修課程系列4的4-2《矩陣與變換》、4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》、4-5《不等式選講》等三個(gè)專題各命制1小題，考生從3小題中任選2小題作答，如果多做，則按所做的前兩小題記分．
選擇題共10題，每題5分，共計(jì)50分；填空題共5題，每題4分，共計(jì)20分；解答題共6題，其中必考題5題，選考1題（包含3小題，每小題7分，考生從中任選2小題作答，滿分14分），共計(jì)80分．
選擇題為四選一型的單項(xiàng)選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過程或推證過程；解答題包括計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題等，解答題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推證過程．
試卷應(yīng)由容易題、中等題和難題組成，難度值在0.7以上的試題為容易題，難度值在0.4~0.7的試題為中等題，難度值在0.4以下的試題為難題，易、中、難試題的比例約為4：4：2，全卷難度值控制在0.6左右．
三、關(guān)于考試形式與試卷結(jié)構(gòu)的說明
1.注重試卷整體設(shè)計(jì)，發(fā)揮結(jié)構(gòu)效應(yīng)
為發(fā)揮學(xué)科特點(diǎn)，體現(xiàn)高考的選拔功能，發(fā)揮整份試卷的區(qū)分作用，命題應(yīng)注重試卷的整體設(shè)計(jì)．試卷的好壞取決于整張?jiān)嚲懋a(chǎn)生的效應(yīng)，而不僅僅是個(gè)別試題產(chǎn)生的效應(yīng)，因此設(shè)計(jì)一份好的試卷不僅要編制好的試題，而且要注意試卷的整體結(jié)構(gòu)，發(fā)揮整體效應(yīng)．
試卷應(yīng)兼顧數(shù)學(xué)知識和能力等方面，要有合理的知識結(jié)構(gòu)和能力層次結(jié)構(gòu)．知識結(jié)構(gòu)是指試卷中包含學(xué)科各部分知識的比例，在編制雙向細(xì)目表時(shí)，應(yīng)根據(jù)各部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)數(shù)和高考對考生知識結(jié)構(gòu)的要求，綜合平衡試卷中各部分知識內(nèi)容的分值比例．試卷對能力要求的層次和比例，反映著考查的性質(zhì)和要求．在高考中，應(yīng)既考查數(shù)學(xué)能力，又考查一般認(rèn)識能力，如觀察力、注意力、記憶力等．由于新課程高考考試目標(biāo)還包括基本數(shù)學(xué)方法以及按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)，繪制圖表等基本技能的內(nèi)容，因此還應(yīng)注意結(jié)合各項(xiàng)知識考查數(shù)學(xué)方法與技能．將數(shù)學(xué)知識和能力有機(jī)結(jié)合，并融入具體試題，以便有效地全面檢測考生的素質(zhì)和潛能．同時(shí)應(yīng)使試題編排合理，體現(xiàn)人性化和選拔功能的和諧統(tǒng)一．
2.合理確定試題梯度，體現(xiàn)試卷較好的區(qū)分度
根據(jù)我省高中發(fā)展和高校招生的實(shí)際情況，確定本學(xué)科試卷難度值為0.6左右．為使考生產(chǎn)生良好的心理效應(yīng)，應(yīng)充分發(fā)揮各種題型的功能．試卷中必考內(nèi)容的難度按兩級坡度設(shè)計(jì)，整卷是一個(gè)大坡度，而每種題型由易到難又是一個(gè)坡度．各種題型中起點(diǎn)試題的難度都應(yīng)比較低，特別是在選擇題部分，起點(diǎn)題水平應(yīng)相當(dāng)于普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會(huì)考的水平，其目的是測量全體考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，為教學(xué)評價(jià)提供參考．選擇題最后幾題的備選項(xiàng)應(yīng)有較大的迷惑性，以此來區(qū)分考生對基礎(chǔ)知識掌握的深度和熟練運(yùn)用的程度．解答題變一題把關(guān)為多題把關(guān)，解答題中必考部分的最后兩題應(yīng)分別考查不同的內(nèi)容并設(shè)置一定的關(guān)卡，區(qū)分考生綜合和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．由于選修課程系列4中的《矩陣與變換》、《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》、《不等式選講》是我省第一次作為選考內(nèi)容進(jìn)入高考試卷，應(yīng)注意與實(shí)際教學(xué)相適應(yīng)，控制好難度．難度定位為中等偏易．同時(shí)各選考專題的試題的分值應(yīng)相等，并力求做到難度基本等值，體現(xiàn)考試的公平性．
在命題中應(yīng)適當(dāng)控制新穎試題的比例，要充分估計(jì)考生對試題的適應(yīng)程度，有效地控制整卷難度，避免因?yàn)榭忌鷮π路f試題的不適應(yīng)而導(dǎo)致發(fā)揮失常．同時(shí)還應(yīng)控制試題的綜合程度，適當(dāng)降低起點(diǎn)試題的難度．試題的表述應(yīng)注意運(yùn)用考生熟悉的語言和表述方式，同時(shí)采用文字語言、圖表、數(shù)學(xué)符號等多種數(shù)學(xué)語言，簡明直觀，有利于考生的閱讀理解；試題背景應(yīng)貼近考生的生活實(shí)際，讓考生處于一個(gè)較為平和、熟悉的環(huán)境中，增強(qiáng)解題信心．要控制計(jì)算量，避免繁瑣運(yùn)算，一些貌似有較長運(yùn)算過程的試題要有不同的解題思維層次，以保證考生有較多的時(shí)間和精力思考問題．
3.發(fā)揮各種題型的功能，充分體現(xiàn)新課程理念
今年的高考是我省實(shí)施普通高中新課程的首次高考，試題應(yīng)體現(xiàn)新課程理念，在命題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意教材的多樣性，講究取材，以確保試題的公平性．應(yīng)適當(dāng)顧及新增課程內(nèi)容在試卷中的比例，重視“探究”與“思考”問題，讓新課程中“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式和注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”等基本理念得到有效落實(shí)．
從考查目標(biāo)來看，高考強(qiáng)調(diào)在考查知識的基礎(chǔ)上考查能力，因此需要一定數(shù)量的選擇題和填空題以考查基礎(chǔ)知識和基本技能，提高知識考查的覆蓋面，考查考生敏銳地捕捉題設(shè)信息，迅捷地尋找合理的解題途徑的解決問題能力，同時(shí)也增加考試的信度和效度．
解答題包括計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題等，能比較全面地反映考生學(xué)科智力水平，展示其分析數(shù)學(xué)問題、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行邏輯思維的過程，適合對發(fā)散、綜合以及推理運(yùn)算、文字表達(dá)等高層次能力的考查．
4.合理控制卷面字?jǐn)?shù)和計(jì)算量
卷面字?jǐn)?shù)指卷面印刷符號數(shù)量和考生答卷書寫字符的總和．為使考生能盡快、無誤地獲取信息，題目敘述應(yīng)簡單明了，字母、符號、標(biāo)點(diǎn)等都應(yīng)正確運(yùn)用并發(fā)揮其作用，在文字語言不能簡明敘述或不能清楚表達(dá)時(shí)，應(yīng)注意各種符號和圖形的運(yùn)用，減少生活語言對數(shù)學(xué)語言的干擾，合理控制卷面字?jǐn)?shù)．高考應(yīng)以考查能力、檢測素養(yǎng)為主，試題應(yīng)盡量避免繁、難的運(yùn)算，控制各題的計(jì)算量，排除由于計(jì)算過多過繁造成耗時(shí)較多，或由計(jì)算錯(cuò)誤而造成全題失分的現(xiàn)象，以便更好地考查考生的各種能力．
數(shù)學(xué)試卷全卷的計(jì)算量一直是高考命題研究的重要問題，而計(jì)算量的大小是和全卷的工作量的大小密切相關(guān)的．實(shí)際上，控制全卷工作量的大小主要是由高考的性質(zhì)決定的，一般來說應(yīng)以50％的考生在110分鐘內(nèi)能完成全卷的解答為標(biāo)準(zhǔn)．這里所謂完成，不含復(fù)核時(shí)間，由于數(shù)學(xué)試題往往存在一題多解、計(jì)算量相差懸殊的現(xiàn)象，同一道試題不同的解題思路會(huì)反映出不同的能力層次，考生實(shí)際計(jì)算量的大小往往反映出考生能力水平的差異．計(jì)算量的估計(jì)應(yīng)以一般通用解法為準(zhǔn)．
Ⅲ．考試目標(biāo)與要求
一、知識要求
知識是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4的4-2《矩陣與變換》、4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》、4-5《不等式選講》中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法，還包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能.
對知識的要求由低到高分為三個(gè)層次，依次是了解、理解、掌握，且高一級的層次要求包括低一級的層次要求．
1．了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認(rèn)識，知道這一知識內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會(huì)）在有關(guān)的問題中識別和認(rèn)識它．
這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：了解，知道、識別，模仿，會(huì)求、會(huì)解等.
2．理解：要求對所列知識內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識，知道知識間的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R作正確的描述說明并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能夠利用所學(xué)的知識內(nèi)容對有關(guān)問題進(jìn)行比較、判斷、討論，具備利用所學(xué)知識解決簡單問題的能力.
這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：理解，描述，說明，表達(dá)，推測、想像，比較、判別，初步應(yīng)用等.
3．掌握：要求能夠?qū)λ兄R內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)證明，能夠利用所學(xué)知識對問題進(jìn)行分析、研究、討論，并且加以解決.
這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：掌握、導(dǎo)出、分析，推導(dǎo)、證明，研究、討論、運(yùn)用、解決問題等.
二、能力要求
高考的目的和性質(zhì)決定了它不僅要對考生的學(xué)科知識和具體技能進(jìn)行考核，而且要對考生所學(xué)習(xí)的知識的內(nèi)在聯(lián)系、基本規(guī)律及方法的理解程度和應(yīng)用程度進(jìn)行考查.數(shù)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想.試題包括立意、情境和設(shè)問三個(gè)方面．以能力立意命題，就是首先確定試題在能力方面的考查目的，然后根據(jù)能力考查的要求，選擇適宜的考查內(nèi)容，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問方式．根據(jù)以能力立意命題的指導(dǎo)思想，命題應(yīng)把具有發(fā)展能力價(jià)值、富有發(fā)展?jié)摿Α⒃偕詮?qiáng)的能力、方法和知識作為切入點(diǎn)，從測量學(xué)生的發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力著手進(jìn)行，突出能力考查，發(fā)揮數(shù)學(xué)科考試的區(qū)分選拔功能和對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的積極的導(dǎo)向作用.
能力是指空間想像能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.
1．空間想像能力
空間想像能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想像出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進(jìn)行分解、組合；會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì).
空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想像能力.識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換.對圖形的想像主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想像能力高層次的標(biāo)志．對圖形的想像，是指能根據(jù)圖形想像出空間圖形直觀形象，包括對空間基本圖形的識記、再現(xiàn)和思考；能從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本的圖形，正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系.
立體幾何是考查空間想像能力的主要載體，立體幾何問題的解法一般有幾何法與代數(shù)法兩種，它們從不同的角度解決立體幾何問題.向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁.用空間向量處理空間問題，空間元素間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算.由于思路清晰，降低了思維的難度,因此空間向量就成為處理空間問題的重要方法．
　　 下面從識圖與畫圖的結(jié)合、概念與推理的結(jié)合、對圖形的處理等三個(gè)方面進(jìn)行討論．
（1）識圖與畫圖的結(jié)合．在立體幾何中，強(qiáng)調(diào)對空間圖形的整體認(rèn)識和把握，從實(shí)物到圖形，從三視圖、直觀圖想像空間幾何體，再從空間幾何體的整體來把握直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，因此識別圖形就相當(dāng)重要了．一方面，對基本的幾何圖形（平面或立體）要非常熟悉，能正確畫圖；另一方面，能正確識別圖形，了解三視圖和直觀圖的關(guān)系，分析幾何圖形中各元素在空間中的形狀、大小和位置關(guān)系，突破習(xí)慣看平面圖形的思維定勢．
【例1】（2007年高考海南與寧夏卷·理)
已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
本題以幾何體的三視圖為載體，考查空間想像能力.由題目給出的三視圖，通過想像，可得出幾何體是四棱錐，其底面是邊長為20 cm的正方形，高是20 cm，故求出幾何體的體積是. 選B.
能根據(jù)給出的三視圖，通過畫圖、分析，想像出空間幾何體，并找出兩者的聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵.
（2）概念與推理的結(jié)合.概念是抽象思維與邏輯思維的基本形式、基本元素.立體幾何是通過概念、公理來演繹的，對概念的理解是解題的基礎(chǔ). 因此，考生要理解概念的本質(zhì)，能夠根據(jù)概念畫出圖形，借助圖形來思考，分解出解題所需要的要素，從而進(jìn)行推理和運(yùn)算．
在考題中，一般只給出最簡單的圖形及最基本的條件．在解答時(shí)，考生需要以此為依托，根據(jù)定義和性質(zhì)畫出所需要的線、面、角等幾何要素，對照圖形，將概念、性質(zhì)靈活應(yīng)用于圖形．
【例2】(2007年高考四川卷·理)
如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是
A. BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1 D. 異面直線AD與CB1所成的角為60°
本題依托正方體，通過考查有關(guān)線面平行、垂直的判定，線線垂直與線線成角的概念，考查空間想像能力與推理論證能力． BD∥平面CB1D1 , A成立； AC1⊥BD， B成立； ∴AC1⊥平面CB1D1 ，C成立；異面直線AD與CB1所成的角轉(zhuǎn)化為BC與CB1所成的角，而BC與CB1所成的角為45°,故D錯(cuò)誤. 選D.
（3）對圖形的處理. 為了使解題過程變得直觀、簡捷，我們常常需要對圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?gòu)造與處理. 對圖形常見的處理有：分割、補(bǔ)形、展開、平移和對稱；添加輔助線、輔助面；將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題等．通過處理，使得復(fù)雜圖形簡單化、非標(biāo)準(zhǔn)圖形標(biāo)準(zhǔn)化．對空間圖形的處理能力是空間想像能力深化的標(biāo)志，是高考從深層次上考查空間想像能力的主要方面．
【例3】（2008年高考海南與寧夏卷·理）
某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a + b的最大值為
A. B. C. 4 D.
本題以三視圖為載體，考查考生對空間基本的幾何圖形（平面圖形或立體圖形）的熟悉程度，考查空間想像能力．解答本題，必須想像出圖形，借助圖形思考.為了使得思考直觀、簡捷，我們需要對圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?gòu)造，不妨構(gòu)造一個(gè)長方體，其一條對角線長為，其三個(gè)相鄰面的對角線長分別為、a和b． 設(shè)過長方體同一頂點(diǎn)的三條棱長分別是、、，則，結(jié)合基本不等式得：.選C.
本題在如何構(gòu)造圖形上是開放的，因此，構(gòu)造的圖形是否突出問題的本質(zhì)，達(dá)到直觀、簡捷，體現(xiàn)了空間想像能力的差異．
【例4】（2008年高考浙江卷·理)
如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=, AD=,EF=2.
（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為？
本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想像能力和推理論證能力．第（Ⅰ）問由矩形ABCD得，推出平面．由 BE//CF得平面．所以平面平面．從而平面．第（Ⅱ）問，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，，由，，得．進(jìn)而求得平面的一個(gè)法向量．又因?yàn)槠矫妫裕獾茫援?dāng)＝時(shí)，二面角的大小為．
用向量方法解空間幾何問題，絕不能脫離圖形，依然需要對圖形進(jìn)行觀察、思考、推理、判斷，做到“眼里有圖，腦中有圖”，能把圖形和概念聯(lián)系起來，用圖形思考問題.在思考過程中，空間想像是前提，代數(shù)運(yùn)算是關(guān)鍵．
2．抽象概括能力
抽象概括能力：對具體、生動(dòng)的實(shí)例，在抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)，從給定的大量信息中，概括出一些結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷.
抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)屬性的思維過程；概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程.抽象是一步一步逐級進(jìn)行的，具有層次性的，而且往往是將前一層次看作后一層次的“具體”. 通過抽象，揭示本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是科學(xué)研究工作必須具備的基本修養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中要培養(yǎng)的一種能力.抽象和概括是相互聯(lián)系的，沒有抽象就不可能有概括，而概括必須在抽象的基礎(chǔ)上得出某種觀點(diǎn)或某個(gè)結(jié)論. 抽象與概括又是有區(qū)別的，其主要區(qū)別在于：概括過程中的對象保持不變，但對象的范圍擴(kuò)展了，并推廣到同類的全體事物；而在抽象過程中，對象由具體的變?yōu)樾问交摹⒁话慊?
高考主要從數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)模式與數(shù)學(xué)模型兩方面對抽象概括能力進(jìn)行考查.
（1）數(shù)學(xué)語言．在逐次抽象的過程中，牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、必要的邏輯知識、數(shù)學(xué)語言是必不可少的工具. 因此，使用數(shù)學(xué)語言與符號的能力，是抽象概括能力的重要體現(xiàn).
數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)化了的自然語言，是數(shù)學(xué)特有的形式化的符號體系．語言是思維的載體，思維需要用語言或文字表達(dá)．依靠數(shù)學(xué)語言進(jìn)行思維能夠使思維在可見的形式下再現(xiàn)出來．?dāng)?shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖形語言．在高考數(shù)學(xué)試題中，主要是用文字語言和符號語言，輔之以圖形語言表述、呈現(xiàn)試題內(nèi)容．高考中考查的重點(diǎn)是文字語言，并要求考生能夠根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行三種形式的語言間的轉(zhuǎn)換．對語言的考查包括兩方面的要求：一是要求考生讀懂題目的敘述，把所給的文字和數(shù)學(xué)符號翻譯成數(shù)學(xué)關(guān)系輸入大腦，以便于大腦加工；二是要求考生有一定的語言表達(dá)能力，能清楚、準(zhǔn)確、流暢地表達(dá)自己的解題過程，并要求表達(dá)條理清晰，層次分明，沒有邏輯錯(cuò)誤，能準(zhǔn)確規(guī)范地使用各種數(shù)學(xué)名詞、術(shù)語和數(shù)學(xué)符號．
【例1】 (2007年高考湖南理)
設(shè)集合，，，
（Ⅰ）的取值范圍是 ；
（Ⅱ）若，且的最大值為9，則的值是 ．
本題以數(shù)學(xué)符號語言為載體，重點(diǎn)考查三種語言的相互轉(zhuǎn)化，考查抽象概括能力．第（Ⅰ）問要能讀懂有關(guān)集合的符號語言，理解集合A、B表示的區(qū)域.把A、B對應(yīng)的區(qū)域用圖形表示出來，即把數(shù)學(xué)符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言：先畫區(qū)域A，以及b=0時(shí)B表示的區(qū)域，把折線上下平移,通過觀察，易得時(shí)滿足.第（Ⅱ）問，令，由線性規(guī)劃知識知，直線過點(diǎn)時(shí)，的最大值為9，所以.
（2）數(shù)學(xué)模式與數(shù)學(xué)模型.不論是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，還是單純解數(shù)學(xué)題，都離不開把問題和解決問題的方法進(jìn)行比較分類，抽象概括出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式，然后利用這種結(jié)構(gòu)形式來熟練地解決同類型的實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象概括的結(jié)果.因此，抽象概括能力還包括對模式和方法的概括能力，以及從現(xiàn)實(shí)問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型的能力.
解數(shù)學(xué)問題有常用的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)在夯實(shí)＂雙基＂的同時(shí)，認(rèn)識各種思想或方法的適應(yīng)性，抽象概括出解決問題的有效的數(shù)學(xué)思想與方法，這樣，可以提高解決問題的能力.如果抽象概括能力差，對平時(shí)所學(xué)的知識就無法形成知識網(wǎng)絡(luò)，無法形成能力，無法從紛繁復(fù)雜的題目中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到正確的解題思路.因此，在考試中能否快速識別模式，進(jìn)而正確選擇解題方法，體現(xiàn)了抽象概括能力的差異.
【例2】（2008年高考江蘇卷）
設(shè)函數(shù)，若對于任意，都有≥0 成立，則實(shí)數(shù)的值為 ．
本題以不等式恒成立的問題為載體，反映了對抽象概括能力的考查.本題考慮用分離變量來解決．當(dāng)x=0時(shí)，無論a取何值，成立；恒成立.令則轉(zhuǎn)化為研究的最大值與的關(guān)系.令.當(dāng)可知取最大值4，所以；恒成立.令，則轉(zhuǎn)化為研究的最小值與的關(guān)系.由 得是增函數(shù)，所以，所以
綜上，
本題考查了一些常見的解題規(guī)律或模式, 如：“恒成立問題”一般轉(zhuǎn)化為研究的最小值與的關(guān)系問題．
從現(xiàn)實(shí)問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型，需要抽象概括能力，最典型的是解應(yīng)用題. 我們知道，應(yīng)用題一般都有模型，如“指數(shù)型函數(shù)”是重要的數(shù)學(xué)模型，在細(xì)胞分裂、生物繁殖、人口增長、勞動(dòng)生產(chǎn)率、銀行利息等問題上經(jīng)常用到．解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,即把生產(chǎn)或生活中遇到的實(shí)際問題，抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題來解決.從雜亂無章的現(xiàn)實(shí)世界中，由表及里，去偽存真，將生活問題提煉、抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題來解決，體現(xiàn)了我們常說的“分析問題和解決問題的能力”，體現(xiàn)了抽象概括能力.
【例4】(2000年春季高考上海卷理)
　　有一批影碟機(jī)（VCD）原銷售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.曱商場用如下的方法促銷：買一臺(tái)單價(jià)為780元，買二臺(tái)每臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場一律都按原價(jià)的銷售.某單位需購買一批此類影碟機(jī)，問去哪家商場購買花費(fèi)較少？
本題以實(shí)際應(yīng)用問題為載體，在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程中，考查了抽象概括能力.要確定去哪家商場購買，關(guān)鍵是要建立兩商場影碟機(jī)的銷售價(jià)與購買臺(tái)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，并利用不等式知識確定購買方案．設(shè)某單位需購買ｎ臺(tái)影碟機(jī)，甲商場每臺(tái)單價(jià)為元，乙商場每臺(tái)單價(jià)為元．則，令，解得．于是建立出數(shù)列模型：接著比較與的大小. 當(dāng)因?yàn)闀r(shí)去甲處購買；當(dāng)時(shí)，令，得，解得，所以時(shí)去甲處購買；時(shí)去甲處或乙處購買；時(shí)去乙處購買.
綜上，時(shí)去甲處購買；時(shí)去甲處或乙處購買；時(shí)去乙處購買.
3．推理論證能力
推理論證能力：根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的初步的推理能力.
推理是思維的基本形式之一，它由前提和結(jié)論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論正確的一連串的推理過程.推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明.
（1）演繹推理．演繹推理是從定義、定理出發(fā)進(jìn)行分析、推理、論證，其重點(diǎn)是三段論推理，是進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的有力工具.它把一般前提下蘊(yùn)含的性質(zhì)揭露出來，使這些性質(zhì)間的內(nèi)在聯(lián)系更清楚，對數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展有重要的作用，因此演繹推理能力是數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要方面．高考對推理論證能力的考查主要體現(xiàn)在對演繹推理的考查上，試卷中考查演繹推理的題型，既可使用選擇題、填空題的形式，也可使用解答題的形式進(jìn)行重點(diǎn)考查．
【例1】（2007年高考上海卷理）
設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意的k，若成立，則成立．下列命題成立的是
Ａ．若成立，則對于任意，均有成立
Ｂ．若成立，則對于任意，均有成立
Ｃ．若成立，則對于任意，均有成立
Ｄ．若成立，則對于任意，均有成立
本題以新定義的命題為載體，通過對給定命題真假的判斷，考查了推理論證能力.判斷命題是否成立，要從閱讀理解題意開始．對于A,只能推出當(dāng)時(shí)，均有成立，故A錯(cuò)；同理B也錯(cuò)；對于C，只能推出時(shí)，均有， 故C錯(cuò). 選D.
本題中，已知大前提，小前提，要判斷命題是否成立，屬于典型的演繹推理.學(xué)生要在閱讀理解的基礎(chǔ)上，以給出的命題為大前提，收集信息，對信息進(jìn)行加工提煉，才能正確解題.
數(shù)學(xué)歸納法也是演繹推理的一種，典型地用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題. 數(shù)學(xué)上研究與正整數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，通常是通過觀察、實(shí)驗(yàn)，從特例中歸納出一般結(jié)論，形成猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
【例2】 (2008高考遼寧卷理)
在數(shù)列，中，a1=2，b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）略．
第（Ⅰ）問主要以等差數(shù)列、等比數(shù)列為載體，考查推理論證能力．由條件得,進(jìn)而求得:,．由此猜測．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，，故猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②，可知對一切正整數(shù)都成立．
本題從數(shù)列前幾項(xiàng)出發(fā)，分析共性，發(fā)現(xiàn)通項(xiàng)公式，而后再用數(shù)學(xué)歸納法證明，這體現(xiàn)了從特殊到一般、從具體到抽象的思維過程，既考查了歸納推理，又考查了演繹推理.
（2）合情推理. 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論、實(shí)踐和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等猜測某些結(jié)果的推理過程.歸納和類比均屬于合情推理.在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于驗(yàn)證結(jié)論的正確性.表面上看，學(xué)生在解決問題時(shí)的合情推理是不按邏輯程序去思考，但實(shí)際上是學(xué)生把自己的經(jīng)驗(yàn)與邏輯推理的方法有機(jī)地整合進(jìn)來的一種跳躍性的思維表現(xiàn)形式.
【例3】(2004年高考廣東卷)
由圖(1)有關(guān)系，則由圖(2)有關(guān)系 ．
本題以空間圖形為載體，通過比較、分析、判斷、類比，考查了推理論證能力. 利用圖(1)的結(jié)論，通過將線段、的長度分別與、的面積類比，將、的面積分別與三棱錐，的體積類比，將平面上的結(jié)論推廣至空間，就可以得到圖(2)的結(jié)論為.
在上述推理過程中，直覺和頓悟發(fā)揮了很大的作用.事實(shí)上，直覺和頓悟是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要因素.首先，直覺和頓悟在發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的研究對象和問題時(shí)具有重要作用.其次，在研究的思路同時(shí)存在幾種可能時(shí)，直覺和頓悟能幫助人們快速地從中作出抉擇；再次，當(dāng)解決問題的邏輯通道阻塞，思路發(fā)生中斷時(shí)，直覺和頓悟能夠幫助人們打破僵局，另辟全新思路.因此，合情推理的關(guān)鍵是直覺和頓悟.
數(shù)學(xué)既需要嚴(yán)密的邏輯證明，也需要合情猜想與合情推理.“猜”是直覺思維的產(chǎn)物，是發(fā)明創(chuàng)造的基礎(chǔ)，是人的素質(zhì)的標(biāo)志.科學(xué)、合理的猜測是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn). 正如數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來更象一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué).
4．運(yùn)算求解能力
運(yùn)算求解能力：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.
運(yùn)算求解能力是中學(xué)數(shù)學(xué)中要求培養(yǎng)的重要能力，運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合．運(yùn)算包括對數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等．運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力．
對運(yùn)算求解能力的考查不僅包括對數(shù)的運(yùn)算，還包括對式的運(yùn)算，兼顧對算理和推理論證的考查．對考生運(yùn)算求解能力的考查主要是以含字母的式的運(yùn)算為主，包括數(shù)字的計(jì)算、代數(shù)式和某些超越式的恒等變形、集合的運(yùn)算、解方程與不等式、三角恒等變形、數(shù)列的計(jì)算、求導(dǎo)運(yùn)算、概率計(jì)算、向量運(yùn)算和幾何圖形中的計(jì)算等．運(yùn)算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡性．
運(yùn)算求解能力是一項(xiàng)基本能力，在代數(shù)、立體幾何、平面解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等方面都有所體現(xiàn)．在高考中多數(shù)題目的解決需要運(yùn)算，運(yùn)算的作用不僅是只求出結(jié)果，有時(shí)還可以輔助證明．運(yùn)算求解能力是最基礎(chǔ)的又是應(yīng)用最廣的一種能力．高考對運(yùn)算求解能力的考查應(yīng)注重算理和符號運(yùn)算考查，合理控制計(jì)算量，注意精確計(jì)算與合理估算結(jié)合.
（1）運(yùn)算的合理性．運(yùn)算的合理性是運(yùn)算能力的核心．一般一個(gè)較復(fù)雜的運(yùn)算，往往是由多個(gè)簡單的運(yùn)算組合而成的．能正確確定運(yùn)算目標(biāo)，將各部分有機(jī)地聯(lián)系在一起，這是運(yùn)算合理性的主要標(biāo)志，是提高運(yùn)算求解能力的重要因素．運(yùn)算的合理性表現(xiàn)在運(yùn)算要符合算理，運(yùn)算過程的每一步變形都要有所依據(jù)，或依據(jù)概念，或依據(jù)公式，或依據(jù)法則，可以說運(yùn)算的每一步變形都是演繹法的體現(xiàn)．運(yùn)算過程包含著思維過程，運(yùn)算離不開思維．隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算器技術(shù)的發(fā)展和普及，只要能設(shè)計(jì)出運(yùn)算程序，計(jì)算機(jī)就能夠完成相應(yīng)的計(jì)算，而且高效、快捷、準(zhǔn)確．因此時(shí)，運(yùn)算求解能力的考查重點(diǎn)應(yīng)考查算理．
運(yùn)算的合理性首先表現(xiàn)在運(yùn)算目標(biāo)的確定上．運(yùn)算的目的是要得到化簡的數(shù)值結(jié)果或代數(shù)式等，有時(shí)還是完成推理和判斷的工具．對一些比較直接、簡單的運(yùn)算目標(biāo)一般比較容易把握，但對一些比較復(fù)雜的運(yùn)算目標(biāo)，需要經(jīng)過多步運(yùn)算才能得到最終結(jié)果，學(xué)生一般都感到困難．如在進(jìn)行三角恒等變形時(shí)，變形的目的性不明確，濫用公式，把有關(guān)的三角公式都寫上，分辨不出用公式的目的；研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不懂得先對函數(shù)求導(dǎo)，然后考察導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值，特別地，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)不懂得對參數(shù)進(jìn)行討論；在求曲線的軌跡方程時(shí)，對如何消去方程組中的參數(shù)，確定運(yùn)算目標(biāo)問題把握不準(zhǔn)等．運(yùn)算的合理性還表現(xiàn)在運(yùn)算途徑的選擇上．合理選擇運(yùn)算途徑不僅是迅速運(yùn)算的需要，也是運(yùn)算準(zhǔn)確性的保證. 運(yùn)算的步驟越多，越繁瑣，出錯(cuò)的可能性也就越大．因而，根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵．靈活地運(yùn)用公式、法則和有關(guān)的運(yùn)算律，掌握同一個(gè)問題的多種運(yùn)算方法和途徑，善于通過觀察、分析、比較，將有助于作出合理的選擇．因此，對運(yùn)算求解能力的考查中包括了對思維能力的要求以及對思維品質(zhì)(如思維的靈活性、敏捷性、深刻性)的考查．
【例1】 (2005年高考全國卷Ⅰ理)
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為
A． 2 B． C． 4 D．
本題以三角函數(shù)的知識為載體，著重考查了運(yùn)算求解能力.先化簡得，再由知tanx>0，所以，即的最小值為4．選C.
本題把函數(shù)式化為，可借助基本不等式求解．如果使用二倍角公式，可得，后續(xù)的解題計(jì)算量大，技巧性高，不是理想的選擇. 解題過程應(yīng)關(guān)注運(yùn)算的合理性，注意合理選擇運(yùn)算公式，合理確定運(yùn)算的方向，如果運(yùn)算較繁，及時(shí)調(diào)整方向就顯得十分必要.
通過以上分析可以看出，運(yùn)算的目標(biāo)，變形的方向，運(yùn)算的路徑，它們之間是密切相關(guān)的．要從運(yùn)算的目標(biāo)出發(fā)，研究變形方向，最終作出判斷，確定運(yùn)算路徑．這一系列的活動(dòng)都是運(yùn)算過程中的思維活動(dòng)，是運(yùn)算合理性的表現(xiàn)．
（2）運(yùn)算的準(zhǔn)確性．運(yùn)算的準(zhǔn)確性是運(yùn)算求解能力的基本要求，要求考生根據(jù)算理和題目的運(yùn)算要求，有根有據(jù)地一步一步地實(shí)施運(yùn)算．影響運(yùn)算準(zhǔn)確的因素是多方面的，數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式、法則和定律等是運(yùn)算的依據(jù)，只有準(zhǔn)確地理解概念，熟練地掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算定律，才能使運(yùn)算順利進(jìn)行．只要在運(yùn)算過程的某一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)運(yùn)算的錯(cuò)誤，因此，在運(yùn)算過程中使用的概念、公式、法則等都要準(zhǔn)確無誤，才能保證運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性．
【例2】 (2007年高考四川卷理)
已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于
A．3 B．4 C． D．
本題以拋物線弦長的計(jì)算為載體，在運(yùn)算的準(zhǔn)確性、熟練性上考查了運(yùn)算求解能力．本題的解決有以下兩種思路：其一，設(shè)點(diǎn)，則.①－②得：因?yàn)樗裕肁B的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB方程，求得AB=.選C. 其二，設(shè)直線AB的方程為代入，得：，所以 ，以下解法同方法一.
考查運(yùn)算求解能力是以考查運(yùn)算的準(zhǔn)確性為前提的，本題作為選擇題，只看結(jié)果不看過程，運(yùn)算過程中，無論是公式記錯(cuò)了，還是運(yùn)算錯(cuò)了，都會(huì)由一步的錯(cuò)誤引發(fā)全題解答的錯(cuò)誤. 因此，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的準(zhǔn)確性是十分必要的．
（3）運(yùn)算的熟練性．運(yùn)算的熟練性是對考生思維敏捷性的考查．思維敏捷性是在諸多思維特征中具有創(chuàng)新意義的一個(gè)重要思維特征，也是思維個(gè)性品質(zhì)的一個(gè)重要層面．在高考中考查運(yùn)算能力，一般不是增大每題的運(yùn)算量，而是通過合理控制題目數(shù)量、控制每題的運(yùn)算量，增加思考強(qiáng)度和思維深度來實(shí)現(xiàn)的．控制題目數(shù)量和每題的運(yùn)算量，可以給考生以充裕的時(shí)間去思考如何進(jìn)行計(jì)算，而不是把時(shí)間花在冗長的計(jì)算過程和運(yùn)算符號、文字的書寫上．過難、過繁的計(jì)算將消耗考生的時(shí)間和精力，影響對基本概念、方法，特別是思維能力的考查．
（4）運(yùn)算的簡捷性．運(yùn)算的簡捷性是指運(yùn)算過程中所選擇的運(yùn)算路徑短、運(yùn)算步驟少、運(yùn)算時(shí)間省．運(yùn)算的簡捷是運(yùn)算合理性的標(biāo)志，是運(yùn)算速度的要求．
高考對運(yùn)算簡捷性的考查，主要體現(xiàn)在運(yùn)算過程中概念的靈活應(yīng)用，公式的恰當(dāng)選擇，數(shù)學(xué)思想方法的合理使用等．其中數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，換元法等數(shù)學(xué)思想方法在簡化運(yùn)算中都有重要的作用．運(yùn)算的簡捷性是對考生思維深刻性、靈活性的考查．
【例3】(2005年高考全國卷Ⅲ理)
設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
本題以橢圓的離心率為載體，通過考查運(yùn)算的簡捷性，思維深刻性、靈活性，考查了運(yùn)算求解能力.本題的解決有以下三種思路：其一，如圖，設(shè)橢圓方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)P是過焦點(diǎn)F2作x軸的垂線與橢圓的交點(diǎn)，所以P(c,y)．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得．又|F1F2|=|PF2|，則，化為，解得或(舍去) ，即．選D. 其二，在等腰直角三角形PF1F2中，|F1F2|=|PF2|=2c，|PF1|=，|PF1|+|PF2|=2a， 即 ，所以 ，即．其三，由|PF2|=|F1F2|=2c，可得點(diǎn)P(c,2c)，由點(diǎn)P在橢圓上，得：，又b2=a2－c2，消去b，得，化為，可整理成關(guān)于離心率e的四次(雙二次)方程，而后解出．
通過比較不難發(fā)現(xiàn)，不同的運(yùn)算途徑，所獲得方程不同，雖然都能達(dá)到運(yùn)算的目標(biāo)，但計(jì)算的難易程度及相應(yīng)的計(jì)算量的差異較大．思路二是靈活利用橢圓的定義解題，要比其他方法簡捷得多．思路三的計(jì)算量偏大，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)，或計(jì)算到中途放棄.
5．?dāng)?shù)據(jù)處理能力
數(shù)據(jù)處理能力：會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定的實(shí)際問題.
數(shù)據(jù)是由實(shí)驗(yàn)、觀測或其它方法所收集得到，而收集的數(shù)據(jù)通常是分散的，一般缺乏系統(tǒng)和次序，它們所遵循的規(guī)律往往不能一目了然，因此，必須去粗取精，去偽存真，對數(shù)據(jù)作科學(xué)的整理和歸納，方能顯露出這一批數(shù)據(jù)所遵循的規(guī)律.
對現(xiàn)實(shí)生活的許多問題的研究，一般先獲取數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)用列表或作圖等方法進(jìn)行分析，再結(jié)合數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等自然科學(xué)的知識，采用某個(gè)數(shù)學(xué)模型來刻畫它，通過對該模型的研究，發(fā)現(xiàn)該類問題具有的屬性，并對它作出決策和判斷.
數(shù)據(jù)處理一般需要以下三步：
第一步： 將收集到的數(shù)據(jù)資料加以整理和歸納，用列表、作圖等方法，并借助于少數(shù)幾個(gè)簡單的特征數(shù)字，把這些數(shù)據(jù)的主要特點(diǎn)表現(xiàn)出來；
第二步：將整理、歸納后所得到的數(shù)據(jù)資料加以分析，發(fā)掘這些數(shù)據(jù)資料所遵循的規(guī)律；
第三步：依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.
【例1】(2008年高考海南與寧夏卷·理）
從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm），結(jié)果如下：
甲品種：
271
273
280
285
285
287
292
294
295
301
303
303
307
308
310
314
319
323
325
325
328
331
334
337
352
乙品種：
284
292
295
304
306
307
312
313
315
315
316
318
318
320
322
322
324
327
329
331
333
336
337
343
356
由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖：
甲
乙
3
1
27
7
5
5
0
28
4
5
4
2
29
2
5
8
7
3
3
1
30
4
6
7
9
4
0
31
2
3
5
5
6
8
8
8
5
5
3
32
0
2
2
4
7
9
7
4
1
33
1
3
6
7
34
3
2
35
6
根據(jù)以上莖葉圖，對甲乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論：
①
；
②
.
本題借助莖葉圖，考查數(shù)據(jù)處理能力.利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量解釋結(jié)果的實(shí)際意義，可寫出符合題目要求的結(jié)論.以下提供四個(gè)結(jié)論作為參考：
①乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）.
②甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散. （或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩(wěn)定）. 甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）.
③甲品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為318mm.
④乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）. 甲品種棉花的纖維長度除一個(gè)特殊值（352）外，也大致對稱，其分布較均勻.
【例2】(2008年高考江蘇卷）
某地區(qū)為了解70~80歲老人的日平均睡眠時(shí)間（單位：h），隨機(jī)地選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查，下表是50位老人日睡眠時(shí)間頻率分布表：
序號
（i）
分組
睡眠時(shí)間
組中值
（Gi）
頻數(shù)
（人數(shù)）
頻率
（Fi）
1
[4，5）
4.5
6
0.12
2
[5，6）
5.5
10
0.20
3
[6，7）
6.5
20
0.40
4
[7，8）
7.5
10
0.20
5
[8，9]
8.5
4
0.08
在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中，一部分計(jì)算見算法流程圖，
則輸出的S的值是　　　　．
本題借助對頻率分布表的分析，考查數(shù)據(jù)處理能力.根據(jù)頻率分布表所提供的數(shù)據(jù)，利用算法流程圖進(jìn)行處理，計(jì)算出加權(quán)平均數(shù)4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42.
【例3】(2008年福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會(huì)考卷）
某商場為經(jīng)營一批每件進(jìn)價(jià)是10元的小商品，對該商品進(jìn)行為期5天的市場試銷．下表是市場試銷中獲得的數(shù)據(jù).
銷售單價(jià)/元
65
50
45
35
15
日銷售量/件
15
60
75
105
165
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：
（Ⅰ）試銷期間，這個(gè)商場試銷該商品的平均日銷售利潤是多少？
（Ⅱ）試建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能較好地反映日銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式；
（Ⅲ）如果在今后的銷售中，該商品的日銷售量與銷售單價(jià)仍然滿足（Ⅱ）中的函數(shù)關(guān)系，試確定該商品的銷售單價(jià)，使得商場銷售該商品能獲得最大日銷售利潤，并求出這個(gè)最大的日銷售利潤.
提示：必要時(shí)可利用右邊給出的坐標(biāo)紙進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.
本題通過對圖表數(shù)據(jù)的分析，借助散點(diǎn)圖，抽象出函數(shù)模型，著重考查數(shù)據(jù)處理能力.第（Ⅰ）問利用數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)知識，易求得平均日銷售利潤是 1860元；第（Ⅱ）問通過表中提供的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y=kx+b作為刻劃日銷售量與銷售單價(jià)之間關(guān)系的函數(shù)模型，取其中的兩組數(shù)據(jù)（45，75），（65，15）可以得到一個(gè)函數(shù)模型為y=-3x+210(10≤x≤70), 將其它已知數(shù)據(jù)代入上述解析式驗(yàn)證，它們也滿足這個(gè)解析式，這說明所求的函數(shù)解析式能較好地反映銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系；第（Ⅲ）問，設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，由（Ⅱ）知，所以 P有最大值2700. 即當(dāng)該商品的單價(jià)為每件40元時(shí)，商場銷售該商品的日銷售利潤最大，為2700元.
6．應(yīng)用意識
應(yīng)用意識：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題進(jìn)而加以驗(yàn)證,并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明.應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決.
應(yīng)用意識是將客觀事物數(shù)學(xué)化的意識，是指從語言敘述的現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)思考，提煉出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用所學(xué)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法加以解決的意識．應(yīng)用的背景、范圍包括數(shù)學(xué)自身的應(yīng)用，數(shù)學(xué)在物理、化學(xué)、生物等相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用，以及在生產(chǎn)、生活中的簡單應(yīng)用.
對應(yīng)用意識的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式,要求考生能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題，并加以驗(yàn)證；能用數(shù)學(xué)語言正確地表述和說明．應(yīng)用題的命制要堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的命題原則，即設(shè)計(jì)的應(yīng)用問題要考慮考生的年齡特點(diǎn)、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、地區(qū)差別，要符合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，不宜太難．
由于應(yīng)用題給出的方式采用的是材料的陳述，而不是客體的展示，也就是說，考查時(shí)所提出的問題，通常是已進(jìn)行過初步加工，并通過語言文字、符號或圖形展現(xiàn)在考生面前，要求考生讀懂、看懂．因此，對閱讀數(shù)學(xué)材料的能力有較高的要求，包括普通語言的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)語言的文字表達(dá)能力，特別是普通生活語言的理解、抽象和轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力．
發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，力求對現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷，是時(shí)代發(fā)展的需要，是教育改革的需要，同時(shí)也是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的．隨著科技的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)學(xué)這門學(xué)科得到了越來越廣泛的應(yīng)用.無論在科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)乃至現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域，人們到處都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不可低估的重要作用.因此，數(shù)學(xué)能力將是人的素質(zhì)的極其重要的組成部分．高考作為培養(yǎng)未來人才的選拔性考試，應(yīng)當(dāng)面對社會(huì)現(xiàn)實(shí)．正是這個(gè)深層次的原因，使得高考強(qiáng)調(diào)、重視數(shù)學(xué)應(yīng)用．
　　在考查應(yīng)用意識時(shí)，應(yīng)注意如下若干問題：
①導(dǎo)向性：數(shù)學(xué)應(yīng)用不能單純滿足于課本應(yīng)用問題的變形，應(yīng)當(dāng)讓應(yīng)用問題更加貼近現(xiàn)實(shí)的生活實(shí)際，引導(dǎo)考生置身于現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活之中，關(guān)心自己身邊的數(shù)學(xué)問題，關(guān)心社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步．?dāng)?shù)學(xué)科高考應(yīng)重視考查有著深刻現(xiàn)實(shí)背景的應(yīng)用問題，選編的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，應(yīng)在思想內(nèi)容上富有時(shí)代信息，有教育價(jià)值，并注重科學(xué)性，有助于中學(xué)素質(zhì)教育．
②有效性:要密切結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際，立足本學(xué)科的重點(diǎn)內(nèi)容，突出學(xué)科本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題時(shí)的應(yīng)用價(jià)值．試題是以問題為中心，而不是以知識為中心，要有適當(dāng)?shù)碾y度和計(jì)算量，對處理問題的靈活性和機(jī)敏性有一定的考查要求，能夠考查考生分析問題解決問題的能力．
③綜合性:問題所涉及的數(shù)學(xué)知識和方法要有一定的深度和廣度，具有綜合性，解答時(shí)從分析、思考到求解，需要綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法.
④恰當(dāng)性：要注意應(yīng)用題的難度控制．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題從易到難，大致可分為以下四個(gè)不同的層次：(a) 數(shù)學(xué)模型已給出，可直接套公式計(jì)算；(b) 數(shù)學(xué)模型沒有給出，但可以利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型對應(yīng)用問題進(jìn)行定量分析；(c) 數(shù)學(xué)模型沒有給出，但問題是已經(jīng)過加工提煉、數(shù)學(xué)量已確定，已知量、未知量比較清楚的實(shí)際問題；(d)原始的實(shí)際問題．對于以上四個(gè)層次，直接套用公式計(jì)算與實(shí)際背景關(guān)系不大，達(dá)不到考查應(yīng)用的目的；而直接面對原始的實(shí)際問題則又要求過多的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)與其他方面的專門知識，以致數(shù)學(xué)的應(yīng)用反降為次要，也達(dá)不到考查應(yīng)用的目的．我們認(rèn)為應(yīng)用問題不完全等同于實(shí)際問題，在解決應(yīng)用問題或?qū)?shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程中所涉及的有關(guān)知識和方法應(yīng)該是考生已經(jīng)學(xué)過的.因此，宜以上述(b)、(c)兩個(gè)層次來設(shè)計(jì)應(yīng)用題，以避免脫離當(dāng)前的教學(xué)實(shí)際．
⑤公平性：背景公平、評分客觀.為保證考試的公平性，應(yīng)用題敘述應(yīng)簡明易懂，所涉及的實(shí)際問題情境對所有考生都應(yīng)是公平的.在編擬應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意：一方面在考場上，考生的思考時(shí)間是有限的；另一方面為了表述清楚應(yīng)用情境，便于考生理解抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系，通常應(yīng)用問題的敘述較長，考生需要較長時(shí)間理解題意．因此題目的敘述應(yīng)當(dāng)明確，避免歧義，便于考生理解．
應(yīng)用問題都有一定的實(shí)際背景，因此需要考慮的條件較多，解決問題的方法一般也是在綜合考慮各方面的限制條件后的結(jié)果，解決的方法一般不唯一．為保證評卷客觀、公正，便于操作，控制評分誤差，命題時(shí)應(yīng)適當(dāng)?shù)叵拗埔恍l件，且有明確的評分標(biāo)準(zhǔn)．
【例1】(2008年高考江蘇卷）
如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO、BO、PO，設(shè)排污管道的總長度為ykm.
（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
（i）設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y表示為θ的函數(shù)；
（ii）設(shè)OP=x(km)，將y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道總長度最短.
本題以三角函數(shù)的知識、導(dǎo)數(shù)的知識為載體，要求用兩種不同的形式進(jìn)行建模，考查考生的應(yīng)用意識．第（Ⅰ）問，（i）延長PO交AB于Q,則 PQ垂直平分AB，由∠BAO=θ(rad)，得，故，又tan，所以 即為所求.（ii）若OP=x(km)，則，所以即為所求. 第（Ⅱ）問，選擇函數(shù)模型（i），則，令得 ，易得當(dāng)時(shí)， y取最小值，此時(shí)O點(diǎn)在AB的中垂線上，且與AB的距離是 km.
【例2】(2004年高考湖北卷·理）
某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3；一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失．現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用.單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85．若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.
（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）
本題依托概率、數(shù)學(xué)期望的概念,相互獨(dú)立事件和對立事件等概率的計(jì)算，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，考查應(yīng)用意識. 若不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費(fèi)用為45+40=85（萬元）；若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費(fèi)用為30+60=90（萬元）；若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費(fèi)用為75+6=81（萬元）.
綜上可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.
概率型的應(yīng)用題，構(gòu)思新穎，不落俗套．在生活中常見的問題有投資、利潤、風(fēng)險(xiǎn)、降價(jià)等，盡管考生對問題的理解并不太困難，但解題方法卻不是熟悉的套路，不能沿用“對號入座”的解題習(xí)慣，考生必須臨場發(fā)揮，對應(yīng)用意識、綜合能力的考查是真實(shí)可靠的．
【例3】(2005年高考湖南卷·理）
自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式；
（Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
　 （Ⅲ）設(shè)a＝2，c＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的
最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.
本題借助正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的概念、數(shù)列的遞推式及數(shù)學(xué)歸納法等知識，考查考生用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，考查應(yīng)用意識. 第（I）問 從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為，. 第（II）問 若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得因?yàn)閤1>0，所以a>b. 猜測：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變. 第（Ⅲ）問若b的值使得xn>0，n∈N*，由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有xn∈(0, 2), n∈N*．
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0, 2), 則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2，所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
綜上所述，為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.
本題考查的背景是考生熟悉的，公平的．根據(jù)考生所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，把生活中遇到的一些問題，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，然后再用數(shù)學(xué)知識解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)就在自己身邊與現(xiàn)實(shí)生活中，較好地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看世界．
7．創(chuàng)新意識
創(chuàng)新意識：能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．
創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)，對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會(huì)的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識越強(qiáng).
數(shù)學(xué)教育的目的不只是讓學(xué)生掌握一些知識，也不是把每個(gè)人都培養(yǎng)成數(shù)學(xué)家，而是把數(shù)學(xué)作為探索自然現(xiàn)象、社會(huì)現(xiàn)象的基本規(guī)律的工具和語言，通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，在知識和方法的應(yīng)用中提高綜合能力和基本素質(zhì)，形成科學(xué)的世界觀和方法論．因此，高考對創(chuàng)新意識的考查，主要是要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應(yīng)用這些知識和方法解決數(shù)學(xué)中和現(xiàn)實(shí)生活中的比較新穎的問題．高考對應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查，其意義已超出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對提高考生的學(xué)習(xí)能力、工作能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有重要的意義．
具有創(chuàng)新性質(zhì)的思維活動(dòng)表現(xiàn)為：
①能從題目的條件中提取有用的信息，從題目的求解(或求證)中考慮需要的信息．
②能在記憶系統(tǒng)里儲(chǔ)存的數(shù)學(xué)信息中提取有關(guān)的信息，作為解決問題的依據(jù)，推動(dòng)①中信息的延伸．
③將①，②中獲得的信息聯(lián)系起來，進(jìn)行加工、組合，主要是通過分析和綜合，一方面從已知到未知，另一方面從未知到已知，尋找正反兩個(gè)方向的知識“銜接點(diǎn)”——一個(gè)固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系．
④將③中的思維過程整理，形成一個(gè)從條件到結(jié)論的行動(dòng)序列．
高考中對創(chuàng)新意識的考查要求考生能夠?qū)⒛芰σ剡M(jìn)行有機(jī)的組合．能力要素的有機(jī)組合首先是各種能力的綜合，但又不是所有能力要素的綜合，是解題所需的能力要素的組合．它包括觀察能力、記憶能力、理解能力、分析能力和運(yùn)用知識的能力等，以及空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力的綜合運(yùn)用．
對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查，在考試中常常通過創(chuàng)設(shè)一些比較新穎的問題情境，構(gòu)造一些具有一定深度和廣度、能體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的數(shù)學(xué)問題，著重考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容．這類問題一般都注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn).
當(dāng)然，高考對創(chuàng)新意識的考查必須控制在一定的范圍和層次上，以避免脫離當(dāng)前的教學(xué)實(shí)際．這主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：首先，所設(shè)計(jì)的試題應(yīng)是能使用中學(xué)數(shù)學(xué)知識和高中畢業(yè)生應(yīng)當(dāng)具備的基本常識所能解決的相關(guān)問題；其次，問題給出的方式采用的是材料的陳述，而不是客體的展示，也就是說，考查時(shí)所提出的問題，通常已進(jìn)行過初步加工，并通過語言文字、符號或圖形展現(xiàn)在考生面前，要求考生讀懂、看懂．因此，對閱讀、理解數(shù)學(xué)材料的能力有較高的要求．
【例1】(2007年高考廣東卷·理）
右圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖，公司在年初分配給A、 B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40、45、54、61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行．那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為
A．18 B．17 C．16 D．15
本題以“調(diào)配”為背景，屬于運(yùn)籌問題，情景新穎，考查創(chuàng)新意識.憑直覺思維，可以從B處調(diào)配4件到C處，調(diào)配1件到A處，再從A處調(diào)配11件到D處，調(diào)動(dòng)件次16為最小．事實(shí)上可以利用函數(shù)的最值加以證明，設(shè)的件數(shù)為(規(guī)定:當(dāng)時(shí),則B調(diào)整了件給A,下同),的件數(shù)為,的件數(shù)為,的件數(shù)為,依題意可得, , , ,從而,,,故調(diào)動(dòng)件次,畫出圖象(或根據(jù)絕對值的幾何意義)可得最小值為16.選C.
【例2】(2008年高考陜西卷·理）
為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
本題是一道閱讀量大但計(jì)算量小的信息題，考查創(chuàng)新意識.要仔細(xì)閱讀題目、理解題意，讀懂新規(guī)定“”運(yùn)算規(guī)則. 若收到信息10111是無誤，則對應(yīng)的原信息是011，由約定計(jì)算h=1, h=0, 此時(shí)傳輸信息為10110與收到信息10111矛盾 .選C.
【例3】(2007年高考上海卷·理）
我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．
如圖，點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，分別是“果圓”與，軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）若是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（Ⅲ）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦．試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由．
本題以考生熟悉的知識為載體，通過對這些知識的重新整合，構(gòu)造新的知識情境，較好地考查了考生在新的情境中利用已有知識解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)了對考生創(chuàng)新意識的考查．第（Ⅰ）問根據(jù)兩個(gè)半橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距間的數(shù)量關(guān)系，易得所求“果圓”的方程為 ，．第（Ⅱ）問由題意，得 ，即．，得． 又． ．第（Ⅲ）問設(shè)“果圓”的方程為，．記平行弦的斜率為．當(dāng)時(shí)，直線與半橢圓的交點(diǎn)是，與半橢圓的交點(diǎn)是．所以的中點(diǎn)滿足 消去t得 ．又，可知 ．綜上所述，當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．當(dāng)時(shí)，以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是．由此，在直線右下方，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上，即不在某一橢圓上； 當(dāng)時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．
三、數(shù)學(xué)思想方法　
1．函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（定義域、值域、最值、奇偶性、單調(diào)性、周期性等），使問題得到解決．函數(shù)思想貫穿高中代數(shù)的全部內(nèi)容，它的形成是建立在初中學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過高中冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的學(xué)習(xí)得以逐步提高，并在解決實(shí)際問題中得到深化，且在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何中發(fā)揮重要作用．
方程思想是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系，列方程（組），通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進(jìn)行研究，以求得問題的解決．
函數(shù)與方程是相互聯(lián)系的，在一定條件下，它們可以相互轉(zhuǎn)化，如解方程就是求函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；方程的解就是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．函數(shù)思想在于揭示問題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，運(yùn)用函數(shù)思想解題，重在對問題中的變量的動(dòng)態(tài)研究，從變量的運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系和發(fā)展角度打開思路；而方程思想則是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系．函數(shù)思想與方程思想常常是相輔相成的，函數(shù)的研究離不開方程．列方程（組）、解方程（組）和研究方程（組）的特性，都是應(yīng)用函數(shù)與方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的．
高考對函數(shù)與方程思想的考查，通常使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的簡單應(yīng)用，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力綜合的角度進(jìn)行較為深入的考查．
【例1】（2007年高考海南與寧夏卷·理）
已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，則其公差
A． B． C． D．．
本題以數(shù)列為載體，主要考查方程思想．設(shè)首項(xiàng)為，公差為，通過列方程組解得 選D．
【例2】（2008年高考江蘇卷）
滿足條件的三角形的面積的最大值是 ．
本題以三角形面積為載體，主要考查函數(shù)思想．可設(shè)BC＝，則AC＝ ，根據(jù)面積公式得=， 由余弦定理計(jì)算得，代入上式得=．由 得．
故當(dāng)時(shí)，最大值為．
解題的關(guān)鍵是把面積表示為x的函數(shù)，由三邊關(guān)系得到函數(shù)的定義域，由解析式和定義域求得最值．
此外，本題也可建立直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)C的軌跡方程，進(jìn)而求得△邊AB的高的最大值為，所以最大值為，本解法體現(xiàn)了方程思想．
【例3】（2007年高考山東卷·理）
設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．
本題以函數(shù)、不等式為載體，主要考查函數(shù)思想．第（Ⅰ）問，由的特點(diǎn)，可利用導(dǎo)數(shù)研究，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．第（Ⅱ）問，根據(jù)不同情況，對取值分析，可得極值情況，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相同的解，所以函數(shù)在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)．
第（Ⅲ）問，由不等式特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，恒有，即恒成立，從而恒成立．對任意正整數(shù)，取，則有．
第（Ⅰ）（Ⅱ）問是函數(shù)單調(diào)性和極值問題，應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)；第（Ⅲ）問貌似不等式證明問題，實(shí)質(zhì)可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的性質(zhì)解決問題，這種通過構(gòu)造函數(shù)再利用函數(shù)的單調(diào)性（或最值）證明不等式是函數(shù)與方程思想的一種體現(xiàn)．
函數(shù)思想不僅僅是使用函數(shù)的方法研究解決函數(shù)的問題，更重要的是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的方法研究解決非函數(shù)問題．因此，可以認(rèn)為函數(shù)思想的精髓是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題．
2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面．
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題思路，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程.
實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，通常有以下途徑：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；②有序數(shù)組與坐標(biāo)平面（空間）上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；③函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；④曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；⑤以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑥所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義．
運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)了知識的橫向聯(lián)系和綜合應(yīng)用，對于溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，具有指導(dǎo)意義．縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果．?dāng)?shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野.
【例1】（2008年高考山東卷·理）
設(shè)函數(shù)f(x)＝｜x+1｜+｜x－a｜的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則a的值為
A．3 B．2 C．1 D．－1
本題以函數(shù)圖象為載體，主要考查數(shù)形結(jié)合思想．由f(x)的圖象特征及該函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，易知，所以a=3．選A．
本題由圖象的直觀性得到解題靈感，見數(shù)想圖，“以形助數(shù)”，簡化計(jì)算．
【例2】（2008年高考山東卷·理）
設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是
A．[1,3] B．[2,] C．[2,9] D．[,9]
本題以線性約束條件、指數(shù)函數(shù)圖象為載體，主要考查數(shù)形結(jié)合思想．先在直角坐標(biāo)平面上畫出區(qū)域M，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，8），（2，10），（1，9），結(jié)合圖形可知．選C．
數(shù)形結(jié)合思想除了在解選擇題、填空題中能顯其優(yōu)越，對一些解答題，通過畫圖，往往能激發(fā)解題靈感．如函數(shù)的解答題，在解答書寫的過程中，一般不必畫出函數(shù)圖象，但解題思路又必須依賴于函數(shù)圖象，這是在解答題中考查數(shù)形結(jié)合思想的一種形式．
3．分類與整合思想
在解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們常常會(huì)遇到這樣一種情況；解到某一步之后，發(fā)現(xiàn)問題的發(fā)展是按照不同的方向進(jìn)行的．當(dāng)被研究的問題包含了多種情況時(shí)，就必須抓住主導(dǎo)問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究．這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想．
分類與整合思想不僅是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法，也是其他自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究的基本邏輯方法．高考把對分類與整合思想的考查放在比較重要的位置，并以解答題為主進(jìn)行考查．分類與整合思想通常以概念的劃分、集合的分類為基礎(chǔ)．對分類與整合思想的考查，主要有以下幾個(gè)方面：一是分類意識，即什么情況下需要分類；二是如何分類，即要科學(xué)地分類，分類要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；三是分類之后如何科學(xué)地研究；四是如何合理地整合.
培養(yǎng)分類意識，應(yīng)知道哪些問題需要分類，在什么情況下應(yīng)該分類，以提高思維的邏輯性和嚴(yán)密性．在考慮分類時(shí)，通常應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：
①有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念等．
②有的運(yùn)算法則和定理、公式是分類給出的，例如等比數(shù)列的求和公式就分為和兩種情況；指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為，兩種情況；求一元二次不等式的解又分為，及，，幾種情況；等等．
③圖形位置的相對變化也會(huì)引起分類，例如兩點(diǎn)在同一平面的同側(cè)、異側(cè)，二次函數(shù)圖象的對稱軸相對于定義域區(qū)間的不同位置等．
④一些題目（如排列組合的計(jì)數(shù)問題、概率問題等），要按題目的特殊要求，分成若干情況研究．
【例1】（2008年高考湖北卷·理）
將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為
A.540 B.300 C.180 D.150
本題以排列、組合知識為載體，著重考查分類與整合思想．將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館，從分到場館的人數(shù)的角度考慮，可分為兩類：3，1，1和2，2，1．總的方案總數(shù)為．選D．
【例2】（2007年高考海南與寧夏卷·理）
設(shè)函數(shù)
（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；
（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．
本題以導(dǎo)數(shù)、函數(shù)極值的知識為載體，主要考查分類與整合思想．分析函數(shù)特征，用導(dǎo)數(shù)求解．第（Ⅰ）問，由，得，從而．對的正負(fù)取值討論得到單調(diào)區(qū)間，又的定義域?yàn)椋?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而，分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．第（Ⅱ）問，的定義域?yàn)椋肿訛殛P(guān)于x的二次函數(shù)，可對其判別式分類討論：若，即，在的定義域內(nèi)，故無極值；若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，，當(dāng)時(shí)，，所以無極值；當(dāng)時(shí)，，，故在取得極值．綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為，的極值之和為
．
本題第（Ⅰ）問利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)分類，求得單調(diào)區(qū)間；第（II）問中因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)分母為正，由導(dǎo)函數(shù)特征，結(jié)合判別式分類討論即可知道極值情況．
4．化歸與轉(zhuǎn)化思想
化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種解題策略．?dāng)?shù)學(xué)題中的條件與條件、條件與結(jié)論之間存在著差異，差異即矛盾，解題過程就是有目的地不斷轉(zhuǎn)化矛盾，最終解決矛盾的過程．
化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常使用的基本思想方法，其本質(zhì)含義是：在解決一個(gè)問題時(shí)人們的眼光并不落在結(jié)論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)果，由此將問題化難為易，化繁為簡，化大為小，各個(gè)擊破，達(dá)到最終解決問題的目的．解題過程具有靈活性與多樣性的特點(diǎn)．化歸變換原則的結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含著三個(gè)基本要素，即變換的對象、目標(biāo)和方法．變換的對象就是待解決問題中需要變更的問題，變換的目標(biāo)是指所要達(dá)到的規(guī)范問題，變換的方法就是規(guī)范化的手段、措施和技術(shù)．變換的方法是實(shí)現(xiàn)變換的關(guān)鍵．一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們可以視其為一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，組成其要素之間的關(guān)系是可變的，但尋求變形的方法并不唯一．所以，應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，就沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式可以遵循，需要我們依據(jù)問題本身所提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)行選擇，做到生疏變換成熟悉、復(fù)雜變換成簡單、抽象變換成直觀、含糊變換成明朗．
高考中十分重視對化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查，要求考生熟悉數(shù)學(xué)變換的思想，在變換思想指導(dǎo)下，針對面臨的數(shù)學(xué)問題，實(shí)施或變換問題的條件，或變換問題的結(jié)論，或變換問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，或變換問題的外部表現(xiàn)形式去靈活解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．高考中重點(diǎn)考查一些常用的變換方法，如一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡的轉(zhuǎn)化，命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化等等．
【例1】（2006年高考福建卷·理）
已知∈(,)，sin=,則tan()等于
A. B.7 C.－ D.－7
本題以三角函數(shù)知識為載體，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想．由可得，對tan()進(jìn)行恒等變形化為，把代入計(jì)算得．選A．
【例2】（2008年高考江蘇卷）
設(shè)為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是 ．
本題是條件最值問題，主要考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)＝3時(shí)等號成立．
本題通過等式把三元變量轉(zhuǎn)化為二元變量，再利用基本不等式求得最小值．
【例3】（2008年高考海南與寧夏卷·理）
如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD－的對角線上，∠PDA=60°．
（Ⅰ）求DP與所成角的大小；
（Ⅱ）求DP與平面所成角的大小．
本題以正方體為載體，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系. 延長DP 交于，設(shè)DA=1，由∠PDA=60°，求得．第（Ⅰ）問計(jì)算可得，得與所成的角為．第（Ⅱ）問，平面的一個(gè)法向量是，又因?yàn)椋裕傻门c平面所成的角為．
本題通過建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量將立體幾何中的平行、垂直、夾角等問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是解決立體幾何問題的一種重要途徑．
5．特殊與一般思想
人們對一類新事物的認(rèn)識往往是從這類事物中的個(gè)體開始的．通過對某些個(gè)體的認(rèn)識與研究，逐漸積累對這類事物的了解，逐漸形成對這類事物總體的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，掌握規(guī)律，形成共識，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，這種認(rèn)識事物的過程是由特殊到一般的認(rèn)識過程．但這并不是目的，還需要用理論指導(dǎo)實(shí)踐，用所得到的特點(diǎn)和規(guī)律解決這類事物中的新問題，這種認(rèn)識事物的過程是由一般到特殊的認(rèn)識過程．于是這種由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程，就是人們認(rèn)識世界的基本過程之一．?dāng)?shù)學(xué)研究也不例外，這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的思想，就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般思想．
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開始，通過歸納總結(jié)得出結(jié)論，經(jīng)過證明后，又利用它們來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用歸納、演繹等方法分析、探索數(shù)學(xué)問題中的規(guī)律和結(jié)論，這些方法就是特殊與一般思想方法的集中體現(xiàn)，也是高考考查的重點(diǎn)之一．在高考中，會(huì)有意設(shè)計(jì)一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的試題，如曾設(shè)計(jì)過利用歸納的方法進(jìn)行猜想的試題；設(shè)計(jì)過由平面到空間、由空間到平面，通過特殊和一般進(jìn)行類比猜想的試題；選擇題中還特別著重考查特殊與一般思想，突出體現(xiàn)特殊化方法的作用．通過構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)，確定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解決一般問題、抽象問題、運(yùn)動(dòng)變化的問題、不確定的問題，等等．
【例1】(2006年高考福建卷·理）
已知︱︱=1，︱︱=,=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)
=m+n(m、n∈R)，則等于
A. B.3
C. D.
本題以向量的運(yùn)算為載體，反映了對特殊與一般思想的考查.根據(jù)已知條件，畫出圖形（如圖所示），發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C在射線OC上運(yùn)動(dòng)，而從選項(xiàng)來看，都是定值，因此可以用特殊化的方法來求解．令，則.在OBC中，=3，而，所以，.選B．
【例2】（2006年高考全國卷Ⅱ·理）
設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）求｛an｝的通項(xiàng)公式．
本題依托數(shù)列、方程等基本知識，主要考查特殊與一般的思想.第（Ⅰ）問將
代入方程x2－anx－an＝0，可得（*），將n=1和n=2代入上式可得，．、求解過程實(shí)際上是根據(jù)（*）式，通過取特殊值，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，體現(xiàn)了從一般到特殊的過程．對于第（Ⅱ）問，當(dāng)n≥2時(shí)，將an＝Sn－Sn－1代入第（Ⅰ）問的（*）式，得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0（**），由S1＝a1＝，根據(jù)（**）式可計(jì)算得S1＝，S2＝，S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．
(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．
(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由（**）式得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．　
于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1時(shí)，a1＝＝，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝，n＝1，2，3，…．
第（Ⅱ）問的解決過程中，采用第（Ⅰ）問的方法求出，由的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)歸納猜想｛Sn｝的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，這其中體現(xiàn)了從特殊到一般的過程.
【例3】（2007年高考安徽卷·理）
在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)， 它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.
①矩形；② 不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體.
本題以正方體為載體，考查了特殊與一般思想.考察正方體ABCD-A1B1C1D1， ①顯然正確；②顯然不正確；對于③，如四面體A1-ABD即是一個(gè)有三個(gè)面為等腰直角三角形，另一個(gè)面為等邊三角形的四面體，因此③正確；對于④，只要找到一個(gè)特殊情況能成立即可，如A1C1BD即是一個(gè)每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，因此④正確；對于⑤一樣可找到一個(gè)特殊情況，如D1ABD即是一個(gè)每個(gè)面都是直角三角形的四面體，綜上所述，所有正確結(jié)論的編號是①③④⑤．
為了判斷命題的真假，只要能找出一種特殊情況，也即“有可能是”，結(jié)論即是正確；反之，對一般情況都不成立，也就對“有可能是”進(jìn)行了否定．此題很好地體現(xiàn)了特殊與一般思想．
6．有限與無限思想
有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究，對有限個(gè)對象的研究往往有章法可循，并可以積累一定的經(jīng)驗(yàn)．而對無限個(gè)對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足，于是將對無限的研究轉(zhuǎn)化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經(jīng)之路．反之當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決．這種無限化有限，有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限思想．
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，雖然開始學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是有限的數(shù)學(xué)，但其中也包含有無限的成分，只不過沒有進(jìn)行深入的研究．在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)及其運(yùn)算的過程中，對自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)都是研究有限個(gè)數(shù)的運(yùn)算，但實(shí)際上各數(shù)集內(nèi)元素的個(gè)數(shù)都是無限的，以上數(shù)集都是無限集．對圖形的研究，知道直線和平面都是可以無限延伸的．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)問題、雙曲線的漸近線等，都滲透了有限與無限思想．
高考中對有限與無限思想的考查，既可單獨(dú)考查，亦可在考查其他數(shù)學(xué)思想和方法的過程中同時(shí)考查有限與無限的思想．例如，在使用由特殊到一般的歸納思想時(shí)，含有有限與無限的轉(zhuǎn)化思想；在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，解決的是無限的問題，體現(xiàn)的也是有限與無限思想，等等．
【例1】(2008年高考福建卷·理）
若實(shí)數(shù)x、y 滿足則的取值范圍是
A. (0,1) B. (0, C. (1,+∞) D. [1, +∞
本題以線性約束條件知識為載體，著重考查有限與無限思想. 由于x、y 滿足約束條
件其可行域如圖陰影部分（不包含y軸）. 可設(shè)=k，欲求的取值范圍，則轉(zhuǎn)化為求可行區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)連線OP的斜率k的取值范圍.由于點(diǎn)P可無限靠近y軸，則K趨近；若點(diǎn)P在直線y=x+1上，并沿該直線向右上方無限延伸，k逐漸減小，無限趨近于1，則k >1.選C. 可見數(shù)學(xué)中變量的變化趨勢是無限變化和有限變化之間的關(guān)系，從有限中認(rèn)識無限，從量變中認(rèn)識質(zhì)變，其問題的解決，始終蘊(yùn)涵著有限與無限思想.
【例2】(2006年福建卷·理)
已知函數(shù)f(x)=－x+8x，g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t, t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查了有限與無限思想. 第（I）問利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以寫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[t, t+1]上的最大值h(t)，h(t)=第（II）問研究函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即研究函數(shù)g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 構(gòu)造函數(shù)x2－8x+6lnx+m, 由 可知：若函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn). 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)x=1，或x=3時(shí)，；所以極大值==,極小值==m+6ln 3-15. 因?yàn)楫?dāng)x充分接近0時(shí)，<0；當(dāng)x充分大時(shí)，>0，所以要使的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須 即7 本題是從求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在某一區(qū)間的根的個(gè)數(shù)考查有限與無限的思想．尤其是研究函數(shù)的極值，在極值的定義中對極值的描述從另一個(gè)角度體現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系：“一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近除x0外的所有的點(diǎn)x，都有f(x)7．必然與或然思想
世間萬物是千姿百態(tài)、千變?nèi)f化的，人們對世界的了解、對事物的認(rèn)識是從不同側(cè)面進(jìn)行的，人們發(fā)現(xiàn)事物或現(xiàn)象可以是確定的，也可以是模糊的，或隨機(jī)的．為了了解隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，便產(chǎn)生了概率論的數(shù)學(xué)分支．概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，即重復(fù)同樣的試驗(yàn)，所得到的結(jié)果未必相同，以至于在試驗(yàn)之前不能預(yù)料試驗(yàn)的結(jié)果；二是頻率的穩(wěn)定性，即在大量重復(fù)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的頻率“穩(wěn)定”在一個(gè)常數(shù)附近．了解一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象就是知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，知道每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．知道這兩點(diǎn)就說明對這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象研究

展開更多......

收起↑