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專題5.3 導數的運算（重難點題型精講）
1．基本初等函數的導數公式
2．導數的運算法則
3．復合函數的導數
(1)復合函數的定義
一般地，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函
數y=f(u)和u=g(x)的復合函數，記作y=f(g(x)).
(2)復合函數的求導法則
復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為 =，即y對x的導數等于y
對u的導數與u對x的導數的乘積.
【題型1 求函數的導數的方法】
【方法點撥】
1.總原則：先化簡解析式，再求導.
2.具體方法：(1)連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導.(2)根式形式：先化為分數指數冪的形式，
再求導.(3)復雜分式：將分子湊成與分母相關的形式，化為簡單分式的和、差，再求導.
【例1】（2022·陜西·高二階段練習（文））下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2021·廣西·高二期中（文））下列各式正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022·陜西·高二期末（理））已知函數的導函數為，且滿足，則（ ）
A． B． C．4 D．
【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習（理））已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 復合函數的求導方法】
【方法點撥】
(1)分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數；
(2)分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數；
(3)相乘：把上述求導的結果相乘；
(4)變量回代：把中間變量回代.
【例2】（2022·河北邢臺·高三階段練習）下列求導運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022·河南南陽·高二期末（理））下列求導正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·廣東廣州·高二期末）下列求導運算結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 求曲線的切線】
【方法點撥】
求切線方程時，一定要檢驗已知點是否在曲線上，還要注意對“在”和“過”的理解.
(1)若“在”，則該點為切點.
(2)若“過”，則該點不一定是切點；若“過”曲線外的一點，則該點一定不是切點.
【例3】（2022·陜西·西安市高二期末（理））曲線在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·遼寧葫蘆島·高三階段練習）函數的圖象在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲線在（其中為自然對數的底數）處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·陜西·高二階段練習（文））已知函數，則曲線在處的切線斜率為（ ）
A．0 B． C． D．
【題型4 已知切線方程求參數】
【方法點撥】
當曲線的切線方程是已知條件時，常合理選擇以下三個條件的表達式解題：
(1)切點在切線上；(2)切點在曲線上；(3)切點在橫坐標處的導數等于切線的斜率.
【例4】（2022·寧夏·高三階段練習（文））函數在處的切線與直線平行，則實數（ ）
A． B．1 C． D．
【變式4-1】（2022·貴州遵義·高三階段練習（理））若函數在處切線方程為，則實數（ ）
A． B． C．2 D．0
【變式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函數的圖象在點處的切線方程是，則等于（　?。?br/>A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【變式4-3】（2022·湖北·高三階段練習）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A． B． C．26 D．28
【題型5 函數圖象的應用】
【方法點撥】
結合具體條件，根據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系，進行轉化求解即可.
【例5】（2022·江西·高三開學考試（理））已知，為的導函數，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）已知二次函數，設，若函數的導函數的圖像如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則f的值為(　　)
A．2 B． C．－ D．－
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）函數的導函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 與導數有關的新定義問題】
【方法點撥】
與導數有關的新定義問題，一般先理解所給定義與已有的函數、運算的關聯性，再通過所給新定義轉化為
所學過的知識與方法去轉化問題，進而解決問題.
【例6】（2022·河北·高二階段練習）給出以下新定義：若函數在D上可導，即存在，且導函數在D上也可導，則稱在D上存在二階導函數，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數．以下四個函數在定義域上是凸函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定義滿足方程的實數解叫做函數的“自足點”，則下列函數存在“自足點”的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習）定義在區間上的函數，其圖象是連續不斷的，若，使得，則稱為函數在區間以上的“中值點”．則下列函數：①；②；③；④中，在區間上至少有兩個“中值點”的函數是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．專題5.3 導數的運算（重難點題型精講）
1．基本初等函數的導數公式
2．導數的運算法則
3．復合函數的導數
(1)復合函數的定義
一般地，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函
數y=f(u)和u=g(x)的復合函數，記作y=f(g(x)).
(2)復合函數的求導法則
復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為 =，即y對x的導數等于y
對u的導數與u對x的導數的乘積.
【題型1 求函數的導數的方法】
【方法點撥】
1.總原則：先化簡解析式，再求導.
2.具體方法：(1)連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導.(2)根式形式：先化為分數指數冪的形式，
再求導.(3)復雜分式：將分子湊成與分母相關的形式，化為簡單分式的和、差，再求導.
【例1】（2022·陜西·高二階段練習（文））下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據基本初等函數的求導公式即可解得答案.
【解答過程】，A項錯誤；因為是個常數，所以，B項錯誤；
，C項錯誤； ，D項正確.
故選：D.
【變式1-1】（2021·廣西·高二期中（文））下列各式正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
【解題思路】由基本函數求導公式，依次對四個選項求導驗證，只有C正確，故答案為C.
【解答過程】根據基本函數求導公式，
，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（2022·陜西·高二期末（理））已知函數的導函數為，且滿足，則（ ）
A． B． C．4 D．
【解題思路】將求導，將1代入導數得的值，再將代入導數就可計算出的值.
【解答過程】因為 ，
所以 ，
所以 ，所以
，所以 .
故選：C.
【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習（理））已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據基本初等函數求導公式，可得答案.
【解答過程】由題意，，
故選：A.
【題型2 復合函數的求導方法】
【方法點撥】
(1)分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數；
(2)分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數；
(3)相乘：把上述求導的結果相乘；
(4)變量回代：把中間變量回代.
【例2】（2022·河北邢臺·高三階段練習）下列求導運算正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【解題思路】根據導函數四則運算法則和簡單復合函數求導法則計算出結果.
【解答過程】對于A，，故A不正確；
對于B，，B錯誤.
對于C，，C正確
對于D，，D錯誤.
故選：C.
【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據基本初等函數的求導公式及導數的運算法則即可求解.
【解答過程】解：，選項A錯誤；，選項B正確；，選項C錯誤；，選項D錯誤.
故選：B.
【變式2-2】（2022·河南南陽·高二期末（理））下列求導正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據導數的運算法則和導數基本公式對選項一一判斷即可得出答案.
【解答過程】對于A，，故A不正確；
對于B，，故B不正確；
對于C，，故C不正確；
對于D，，故D正確.
故選：D.
【變式2-3】（2022·廣東廣州·高二期末）下列求導運算結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由導數的求導法則及復合函數的導數依次判斷即可.
【解答過程】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，，D錯誤.
故選：C.
【題型3 求曲線的切線】
【方法點撥】
求切線方程時，一定要檢驗已知點是否在曲線上，還要注意對“在”和“過”的理解.
(1)若“在”，則該點為切點.
(2)若“過”，則該點不一定是切點；若“過”曲線外的一點，則該點一定不是切點.
【例3】（2022·陜西·西安市高二期末（理））曲線在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出函數的導數，求得切線的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切線的方程．
【解答過程】的導數為，在點處的切線斜率為，
即有在點處的切線方程為，即.
故選：C.
【變式3-1】（2022·遼寧葫蘆島·高三階段練習）函數的圖象在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求導，再求出和的值，最后利用點斜式求出切線方程即可.
【解答過程】因為，所以.因為，，所以所求切線方程為，即.
故選：B.
【變式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲線在（其中為自然對數的底數）處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求導，切線斜率等于切點處的導函數值，點斜式求解即可.
【解答過程】由題知，，
所以，，
當時，，，
所以切點為，
所以切線方程為，即.
故選：A.
【變式3-3】（2022·陜西·高二階段練習（文））已知函數，則曲線在處的切線斜率為（ ）
A．0 B． C． D．
【解題思路】由導數的幾何意義求解即可
【解答過程】由，
可知，
所以，
故選：D．
【題型4 已知切線方程求參數】
【方法點撥】
當曲線的切線方程是已知條件時，常合理選擇以下三個條件的表達式解題：
(1)切點在切線上；(2)切點在曲線上；(3)切點在橫坐標處的導數等于切線的斜率.
【例4】（2022·寧夏·高三階段練習（文））函數在處的切線與直線平行，則實數（ ）
A． B．1 C． D．
【解題思路】函數在切點處的導數即為切線的斜率，利用直線的平行得到斜率相等，即為關于的方程，可求出的值.
【解答過程】函數的導函數為 ，
函數在處的切線的導數即為切線的斜率為，
且切線與直線平行，
則有 ，可得 .
故選：B.
【變式4-1】（2022·貴州遵義·高三階段練習（理））若函數在處切線方程為，則實數（ ）
A． B． C．2 D．0
【解題思路】求導，利用導數的幾何意義得到，求出，得到切點坐標，代入切線方程中，求出.
【解答過程】，則，解得：，
所以，，
所以切點坐標為，將其代入中，
故，解得：.
故選：B.
【變式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函數的圖象在點處的切線方程是，則等于（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【解題思路】求出函數的導數，求得切線的斜率，由切線的方程求得切線的斜率和切點，解方程可得a，b，即可得到所求結論.
【解答過程】解：函數的導數為，
可得在點處的切線斜率為，
因為在點處的切線方程是，
所以，，
解得，，
所以
故選：C.
【變式4-3】（2022·湖北·高三階段練習）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A． B． C．26 D．28
【解題思路】設直線與曲線切于點，與曲線切于點，再由切點處的導數值等于斜線的斜率，且切點處的函數值相等列式求解，即可得出答案.
【解答過程】設直線與曲線切于點，
與曲線切于點．
對于函數，則，
解得或（舍去）．
所以，即．
對于函數，
則，
整理得，所以，故．
故選：C.
【題型5 函數圖象的應用】
【方法點撥】
結合具體條件，根據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系，進行轉化求解即可.
【例5】（2022·江西·高三開學考試（理））已知，為的導函數，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】對函數求導，判斷導函數的奇偶性，排除部分答案，接著將代入導函數即可解得答案.
【解答過程】解：∵，
∴，
∴
∴
∴是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除B，D，
將代入得：，排除C．
故選：A．
【變式5-1】（2022·全國·高二課時練習）已知二次函數，設，若函數的導函數的圖像如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】求出函數，再根據給定圖象與x軸交點橫坐標即可計算判斷作答.
【解答過程】依題意，，求導得 ，
觀察的圖像得：，即，的另一個零點為，即，
所以有，.
故選：D.
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則f的值為(　　)
A．2 B． C．－ D．－
【解題思路】求出函數的導函數，利用導函數的周期π，求出ω，利用振幅求出A，利用導函數經過（，-1），求出φ，得到函數的解析式，進而求得f（）
的值.
【解答過程】依題意得 f ′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，結合函數y＝f ′(x)的圖象，則T＝＝4（-）＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.
∵f ′（）＝cos（＋φ）＝－1，且0<φ<π，∴<＋φ<，∴＋φ＝π，即φ＝，f(x)＝sin（2x+），所以f（）＝sin（π+）＝－×＝－.
故選D.
【變式5-3】（2022·全國·高二課時練習）函數的導函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求導得到，根據函數為奇函數排除B，證明時，恒成立，排除CD，得到答案.
【解答過程】，則，，
導函數為奇函數，排除B；
當時，；
當時，，
故時，恒成立，排除CD.
故選：A.
【題型6 與導數有關的新定義問題】
【方法點撥】
與導數有關的新定義問題，一般先理解所給定義與已有的函數、運算的關聯性，再通過所給新定義轉化為
所學過的知識與方法去轉化問題，進而解決問題.
【例6】（2022·河北·高二階段練習）給出以下新定義：若函數在D上可導，即存在，且導函數在D上也可導，則稱在D上存在二階導函數，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數．以下四個函數在定義域上是凸函數的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出每一個函數的二階導數，判斷是否在定義域上恒成立,從而得到答案.
【解答過程】對于A選項，，則，不是凸函數；
對于B選項，，則，不是凸函數；
對于C選項，，則在R上不恒成立，不是凸函數；
對于D選項，，則，在定義域上恒成立，是凸函數.
故選：D.
【變式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定義滿足方程的實數解叫做函數的“自足點”，則下列函數存在“自足點”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據逐個答案進行分析求解即可.
【解答過程】對于A選項，，則，由，
即，，因此，不存在“自足點”，故A不滿足易于題意；
對于B選項，，則，由，
得，又，所以無解，所以不存在“自足點”，故B不滿足題意；
對于C選項，，則，其中，所以，
又，故函數存在“自足點”，C選項滿足題意；
對于D選項，，則，
由，得，
所以，即，
因為，，
所以無解，D選項不滿足題意.
故選：C.
【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習）定義在區間上的函數，其圖象是連續不斷的，若，使得，則稱為函數在區間以上的“中值點”．則下列函數：①；②；③；④中，在區間上至少有兩個“中值點”的函數是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【解題思路】由題意函數在區間上存在一點，使得函數在此處的切線的斜率等于，兩點所在直線的斜率，判斷各項是否符合要求即可．
【解答過程】①，而顯然成立，故有無數個“中值點”，符合題設；
②，而，故有且只有一個“中值點”，不合題設；
③，而，故有且只有一個“中值點”，不合題設；
④，而，故有兩個“中值點”，符合題設；
故選:A．
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出給定的各函數的導數，再根據給定條件確定，，的值或所屬區間即可得解.
【解答過程】由得，解方程，即，得，即；
由得，解方程，即，令，顯然在單調遞增，
，則存在，使得，即；
由得，解方程，即，得，即，
所以.
故選：B.

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