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專題5.4 導數的運算（重難點題型檢測）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）（2021·寧夏·高二期中（文））設函數，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】根據冪函數的求導公式求導即可.
【解答過程】∵，
∴，
解得.
故選：B.
2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求導錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據求導公式直接求導可得.
【解答過程】，A正確；
，B正確；
，C正確；
，D錯誤.
故選：D.
3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲線在處的切線方程為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】先對函數求導，根據導數的幾何意義求出切線斜率，然后利用點斜式可寫出直線方程.
【解答過程】，則，根據導數的幾何意義，切線的斜率為：，又，即切線過點，根據點斜式方程，切線為：，即.
故選：D.
4．（3分）（2022·四川省模擬預測（文））已知曲線在點處的切線方程為, 則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據導數的幾何意義,求出導函數,令結合切線的斜率求出,再將點坐標代入切線方程求出即可得到結果.
【解答過程】根據導數的運算公式
,
當時,,
,即.
滿足方程,
即,
.
故選:A.
5．（3分）（2022·河南·高三開學考試（文））已知，為的導函數，則的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先對求導，再利用奇偶性排除B、D，然后通過取特殊值排除C即可.
【解答過程】因為，則，
又因為，所以為奇函數，由此可排除B、D；
，說明的圖像在區間上函數值存在負數，由此C不滿足，故A正確.
故選：A.
6．（3分）（2023·山東濰坊·高三期中）函數與的圖像有且只有一個公共點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【解題思路】直線過定點，利用導數求切線斜率并結合圖象分析判斷.
【解答過程】∵過定點，且在上，
又∵，則，
∴在處的切線斜率為，
結合圖象可得：
當時，與的圖像有且只有一個公共點，則符合題意；
當時，與的圖像有兩個公共點，則不符合題意；
當時，與的圖像有且只有一個公共點，則符合題意；
當時，與的圖像有兩個公共點，則不符合題意；
綜上所述：實數的取值范圍為或.
故選：C.
7．（3分）（2022·北京·高三階段練習）已知函數的圖像在處的切線與在處的切線相互垂直，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出，根據導數的幾何意義得到，根據余弦函數的最值可得且，或且，分兩種情況求出，然后求出其最小值即可.
【解答過程】因為，所以，
依題意可得，
所以,
所以且，或且，
當且時，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以當或時，取得最小值.
當且時，
，，，，
所以，，，
所以，，，
所以當或時，取得最小值.
綜上所述：的最小值是.
故選：B.
8．（3分）（2021·全國·高二課時練習）函數的導函數為，若對于定義域為任意，有恒成立，則稱為恒均變函數.給出下列函數：
①；②；③；④
其中為恒均變函數的序號是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④
【解題思路】針對每一個函數，分別計算出與，檢驗兩者是否恒相等，即可得解.
【解答過程】對于①，，，滿足，故①為恒均變函數；
對于②，
，，滿足，
故②為恒均變函數；
對于③，當，時，，即此時，故③不為恒均變函數；
對于④，當，時，，
，
即此時，故④不為恒均變函數.
故選：B.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022·廣東·高三開學考試）下列函數的求導正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】對每一選項的函數分別求導即得解.
【解答過程】解：A. ，所以該選項錯誤；
B. ，所以該選項正確；
C. ，所以該選項正確；
D. ，所以該選項錯誤.
故選：BC.
10．（4分）若曲線（e為自然對數的底數）有兩條過坐標原點的切線，則a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【解題思路】設切點為，求導得出斜率，利用點斜式得到切線方程，因為切線過坐標原點，可得到，有兩條切線轉化為有兩個不等的實根，即可求出a的取值范圍，進而得到正確選項.
【解答過程】設切點為，，
所以切線的斜率，
則此曲線在P處的切線方程為 ，
又此切線過坐標原點，所以，
由此推出有兩個不等的實根，所以，解得或，
故選：AD．
11．（4分）（2022·廣東·高三階段練習）設定義在上的函數與的導數分別為與，若，，且，則（ ）
A． B．的圖像關于點對稱
C．的圖像關于直線對稱 D．的周期為4
【解題思路】根據函數的對稱性及周期性的條件判斷即可．
【解答過程】解：，
令，得，故A錯誤；
，，
，
∵，，
，
令，得，
，
關于直線x＝2對稱，
，
∴ 函數的圖像關于點對稱，故B、C正確；
，
，
，
，
，
即，
，
的周期，故D正確．
故選：BCD．
12．（4分）（2022·全國·高二課時練習）定義在區間上的連續函數的導函數為，若使得，則稱為區間上的“中值點”.下列在區間上“中值點”多于一個的函數是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】考查新定義題型，通過對題中新定義的理解，逐一驗證選項是否符合定義要求即可.
【解答過程】對于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.
對于B，，，，又，對于 ，使得，則恒成立，所以B符合.
對于C，，，，又，對于 ，使得，則，根據指數函數單調性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.
對于D，，，，又，對于 ，使得，則，，所以D符合.
故選：ABD.
三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
13．（4分）（2022·陜西·高三階段練習（理））已知函數的導函數為，若，則 .
【解題思路】求導，得到，代入，求出，得到導函數解析式，再代入求出答案.
【解答過程】，
故，
即，解得：，
則，
故.
故答案為：.
14．（4分）已知直線與曲線相切，則實數的值為 ．
【解題思路】首先求出函數的導函數，設切點為，即可得到方程組，解得即可；
【解答過程】∵，∴，設切點為，則，解得．
故答案為: .
15．（4分）（2022·河南鄭州·高三階段練習（理））已知是函數y＝f（x）的導函數，定義為的導函數，若方程＝0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y＝f（x）的拐點，經研究發現，所有的三次函數f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐點，且都有對稱中心，其拐點就是對稱中心，設f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，則f（）+f（）+……+f（）＝ 4037 ．
【解題思路】對f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，求導得＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），再對求導得＝6x﹣6，并令＝6x﹣6＝0，求得對稱中心，再利用對稱性求解.
【解答過程】∵f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，
∴＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x﹣1），＝6x﹣6，
由＝6x﹣6＝0可得x＝1，而f（1）＝1，
根據已知定義可知，f（x）的對稱中心（1，1），
從而有f（2﹣x）+f（x）＝2，
所以f（）+f（）+……+f（）＝24037．
故答案為：4037.
16．（4分）（2022·全國·高二單元測試）丹麥數學家琴生是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上的“嚴格凸函數”，稱區間為函數的“嚴格凸區間”.則下列正確命題的序號為 ①② .①函數在上為“嚴格凸函數”；②函數的“嚴格凸區間”為；③函數在為“嚴格凸函數”，則的取值范圍為.
【解題思路】根據題干中給出的定義逐項檢驗后可得正確的選項.
【解答過程】的導函數，，
故在上恒成立，
所以函數在上為“嚴格凸函數”，所以①正確；
的導函數，，
由可得，解得，
所以函數的“嚴格凸區間”為，所以②正確；
的導函數，，
因為為上的“嚴格凸函數”，故在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
故，所以③不正確.
所以正確命題為：①②.
故答案為：①②.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2023·全國·高三專題練習）下列函數的導函數
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解題思路】直接根據求導公式及導數的運算法則即可求出（1）（3）（4）的導數；利用二倍角公式化簡（2）中的函數解析式，再利用求導公式及導數的運算法則進行求導.
【解答過程】（1）因為，所以；
（2）因為，所以；
（3）因為，所以；
（4）因為，所以.
18．（6分）（2022·陜西·高二階段練習）已知二次函數，其圖象過點，且.
(1)求、的值；
(2)設函數，求曲線在處的切線方程.
【解題思路】（1）利用導數和已知條件可得出關于實數、的方程組，可求得實數、的值；
（2）求出切點坐標和切線斜率，利用導數的幾何意義可求得所求切線的方程.
【解答過程】（1）
解：因為，則，
所以，，解得.
（2）
解：因為的定義域為，且，
所以，，，故切點坐標為，
所以，函數在處的切線方程為.
19．（8分）（2022·全國·高二課時練習）已知函數.
（1）求導函數；
（2）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值.
【解題思路】(1)利用基本初等函數的導數公式以及導數的運算法則直接求導；
(2)利用切點與切線及曲線的關系，再借助導數的幾何意義即可計算得解.
【解答過程】（1）由，
得 ；
（2）因為切點既在曲線上，又在切線上，
于是將代入切線方程，得，又，則，解得，
而切線的斜率為，即，又，則，解得，
所以，.
20．（8分）如圖，函數的圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為.
(1)求和的值；
(2)已知，點是該函數圖象上一點，點是的中點，當，時，求的值.
【解題思路】（1）結合導數以及求得的值.
（2）求得點的坐標并代入解析式，從而求得.
【解答過程】（1），
由于，所以.
.
所以.
（2）因為點，是的中點，，
所以點的坐標為．
又因為點在的圖象上，
所以．
因為，所以，
從而得或．
即或．
21．（8分）（2022·山西·高三階段練習）對于三次函數，定義：設是函數的導函數的導數，若有實數解，則稱點為函數的“拐點”.現已知.請解答下列問題：
(1)求函數的“拐點”A的坐標；
(2)求證：的圖像關于“拐點”A對稱，并求的值.
【解題思路】（1）根據“拐點”的定義求出的根，然后代入函數解析式可求出“拐點” 的坐標．
（2）設出點的坐標，根據中心對稱的定義即可證明，利用對稱性可得結果.
【解答過程】（1）∵，，∴令，
得.
有，∴“拐點”A為.
（2）證明：設，是圖像上任意一點，則.
，是關于“拐點”的對稱點為.
把點坐標代入得左邊，
右邊，∴左邊＝右邊.
∴點在的圖像上.
∴關于“拐點”A對稱.
由對稱性可得
.
22．（8分）（2022·江蘇·高二專題練習）記、分別為函數、的導函數.把同時滿足和的叫做與的“Q點”.
（1）求與的“Q點”；
（2）若與存在“Q點”，求實數a的值.
【解題思路】（1）對與進行求導，由和，結合新定義，即可求出與的“”點；
（2）對與分別求導，根據新定義列式，求出a的值.
【解答過程】（1）因為，
設為函數與的一個“”點.
由且得，
解得.
所以函數與的“”點是2.
（2）因為，
設為函數與的一個“”點.
由且得，
由②得代入①得，所以.
所以.專題5.4 導數的運算（重難點題型檢測）
【人教A版2019選擇性必修第二冊】
考試時間：60分鐘；滿分：100分
姓名：___________班級：___________考號：___________
考卷信息：
本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節內容的具體情況！
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）（2021·寧夏·高二期中（文））設函數，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（3分）（2022·上海市高二期末）下列求導錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021·河南·高二期末（文））曲線在處的切線方程為（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·四川省模擬預測（文））已知曲線在點處的切線方程為, 則（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022·河南·高三開學考試（文））已知，為的導函數，則的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2023·山東濰坊·高三期中）函數與的圖像有且只有一個公共點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或或
7．（3分）（2022·北京·高三階段練習）已知函數的圖像在處的切線與在處的切線相互垂直，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2021·全國·高二課時練習）函數的導函數為，若對于定義域為任意，有恒成立，則稱為恒均變函數.給出下列函數：
①；②；③；④
其中為恒均變函數的序號是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022·廣東·高三開學考試）下列函數的求導正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）若曲線（e為自然對數的底數）有兩條過坐標原點的切線，則a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
11．（4分）（2022·廣東·高三階段練習）設定義在上的函數與的導數分別為與，若，，且，則（ ）
A． B．的圖像關于點對稱
C．的圖像關于直線對稱 D．的周期為4
12．（4分）（2022·全國·高二課時練習）定義在區間上的連續函數的導函數為，若使得，則稱為區間上的“中值點”.下列在區間上“中值點”多于一個的函數是（ ）
A． B． C． D．
三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
13．（4分）（2022·陜西·高三階段練習（理））已知函數的導函數為，若，則 .
14．（4分）已知直線與曲線相切，則實數的值為 ．
15．（4分）（2022·河南鄭州·高三階段練習（理））已知是函數y＝f（x）的導函數，定義為的導函數，若方程＝0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y＝f（x）的拐點，經研究發現，所有的三次函數f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐點，且都有對稱中心，其拐點就是對稱中心，設f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+6，則f（）+f（）+……+f（）＝ ．
16．（4分）（2022·全國·高二單元測試）丹麥數學家琴生是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上的“嚴格凸函數”，稱區間為函數的“嚴格凸區間”.則下列正確命題的序號為 .①函數在上為“嚴格凸函數”；②函數的“嚴格凸區間”為；③函數在為“嚴格凸函數”，則的取值范圍為.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2023·全國·高三專題練習）下列函數的導函數
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．（6分）（2022·陜西·高二階段練習）已知二次函數，其圖象過點，且.
(1)求、的值；
(2)設函數，求曲線在處的切線方程.
19．（8分）（2022·全國·高二課時練習）已知函數.
（1）求導函數；
（2）若曲線在點處的切線方程為，求a，b的值.
20．（8分）如圖，函數的圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為.
(1)求和的值；
(2)已知，點是該函數圖象上一點，點是的中點，當，時，求的值.
21．（8分）（2022·山西·高三階段練習）對于三次函數，定義：設是函數的導函數的導數，若有實數解，則稱點為函數的“拐點”.現已知.請解答下列問題：
(1)求函數的“拐點”A的坐標；
(2)求證：的圖像關于“拐點”A對稱，并求的值.
22．（8分）（2022·江蘇·高二專題練習）記、分別為函數、的導函數.把同時滿足和的叫做與的“Q點”.
（1）求與的“Q點”；
（2）若與存在“Q點”，求實數a的值.

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