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專題5.1 導數的概念及其意義（重難點題型精講）
1．瞬時速度
(1)平均速度
設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.
(2)瞬時速度
①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限
是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.
2．拋物線切線的斜率
(1)拋物線割線的斜率
設二次函數y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.
(2)拋物線切線的斜率
一般地，在二次函數y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數k，我們就說當x趨
近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.
3．函數的平均變化率
函數平均變化率的定義
對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x
的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.
4．函數在某點處的導數的幾何意義
(1)切線的定義
在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.
(2)函數在某點處的導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=處的導數f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y-f()=f'()(x-).
5．導函數的定義
從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到，當x=時，f'()是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f'(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y'，即f'(x)=y'=.
【題型1 瞬時速度、平均速度】
【方法點撥】
根據瞬時速度、平均速度的定義進行求解即可.
【例1】（2022·全國·高二專題練習）已知物體做直線運動對應的函數為，其中S表示路程，t表示時間．則＝10表示的意義是（　　）
A．經過4s后物體向前走了10m
B．物體在前4秒內的平均速度為10 m/s
C．物體在第4秒內向前走了10m
D．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s
【解題思路】根據導數的物理意義可知，函數的導數即是t時刻的瞬時速度．求解即可．
【解答過程】∵物體做直線運動的方程為，
根據導數的物理意義可知，函數的導數是t時刻的瞬時速度，
∴表示的意義是物體在第4s時的瞬時速度為10m/s．
故選：D．
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則該物體在s時的瞬時速度為（ ）
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
【解題思路】根據瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.
【解答過程】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于3，即該物體在s時的瞬時速度為3m/s．
故選：D.
【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
【解題思路】先對函數求導，然后把代入即可求解．
【解答過程】解：因為，
所以，
令，得瞬時速度為．
故選：D.
【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習（理））一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系為，設其在內的平均速度為，在時的瞬時速度為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】直接運用導數的運算法則，計算即可
【解答過程】，，
所以，所以．
故選：A.
【題型2 平均變化率】
【方法點撥】
根據題目條件，結合函數的平均變化率的定義，即可得解.
【例2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據平均變化率的定義直接求解.
【解答過程】因為函數，
所以該函數在區間上的平均變化率為
，
故選：A.
【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習）函數在區間上的平均變化率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【解題思路】根據平均變化率的定義計算即可
【解答過程】由題，函數在區間上的平均變化率為
故選：D.
【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習（理））若函數，當時，平均變化率為2，則m等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【解題思路】直接利用平均變化率的公式求解.
【解答過程】由題得，
所以
故選：D.
【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論錯誤的是（ ）
A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；
B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；
C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；
D．在，兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．
【解題思路】根據圖象以及導數的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.
【解答過程】A選項，根據圖象可知，在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，A選項結論正確.
B選項，根據圖象以及導數的知識可知，在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同，
B選項結論正確.
C選項，根據圖象可知，在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，
C選項結論正確.
D選項，根據圖象可知，在這個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率為大于
在這個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率
D選項結論錯誤.
故選：D.
【題型3 利用導數的定義解題】
【方法點撥】
利用導數的定義，轉化求解即可.
【例3】（2022·新疆·高二階段練習（理））已知函數在處的導數為2，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解題思路】根據極限與導數的關系直接求解.
【解答過程】根據極限與導數的關系可知，
故選:D.
【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知是定義在R上的可導函數，若，則=（ ）
A． B． C．1 D．
【解題思路】根據極限與導數的定義計算．
【解答過程】
故選：A．
【變式3-2】（2022·湖北襄陽·高二期末）若函數在處的導數為1，則（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【解題思路】利用導數的定義和幾何意義即可得出．
【解答過程】解：若函數在處的導數為1，
．
則 ．
故選：B．
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知函數的定義域為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用導數的定義可求得的值.
【解答過程】由導數的定義可得.
故選：D.
【題型4 導數的幾何意義】
【方法點撥】
根據導數的幾何意義，求解曲線在某點處的斜率或切線方程.
【例4】（2023·上海·高三專題練習），在處切線方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據已知條件，結合導數的幾何意義，求出再結合直線的點斜式公式，即可求解．
【解答過程】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在處切線方程為，即．
故選：B．
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數的圖像在點處的切線方程是，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【解題思路】根據切線方程的斜率為切點處的導數值,且切點在以及切線上即可求解.
【解答過程】由點處的切線方程是可得：,
時，,故,
,
故選：B.
【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習（文））設函數在點處的切線方程為，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【解題思路】根據曲線某點處的導數等于切線的斜率，得，再根據可求解.
【解答過程】函數在點處的切線方程為，
則.
故選:C.
【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】依題意可知切點坐標，由切線方程得到，利用導數的概念解出即可.
【解答過程】依題意可知切點，
函數的圖象在點處的切線方程是，
，即
又
即
故選：D.
【題型5 函數圖象與導函數的關系】
【方法點撥】
結合具體條件，根據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系，進行轉化求解即可.
【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知是的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由導數的幾何意義可知，原函數先增長“迅速”，后增長“緩慢”.
【解答過程】由題中的圖象可以看出，在內，，
且在內，單調遞增，
在內，單調遞減，
所以函數在內單調遞增，
且其圖象在內越來越陡峭，在內越來越平緩．
故選：D．
【變式5-1】若函數的導函數在區間上是增函數，則函數在區間上的圖象可能是
A． B．
C． D．
【解題思路】根據函數圖象與導函數之間的關系，進行求解即可.
【解答過程】∵函數y=f（x）的導函數在區間[a，b]上是增函數，
∴對任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，
對于B，存在使，
對于C，對任意的a＜x1＜x2＜b，都有，
對于D，對任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，
故選A．
【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數，其導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由導函數的圖像分析原函數切線斜率，結合選項依次判斷即可.
【解答過程】由導函數圖像可知，原函數在區間的切線斜率逐漸減小，在處的切線斜率為1，在區間的切線斜率逐漸增大，
結合選項可知，A、B選項不滿足在處的切線斜率為1，排除；C選項在區間的切線斜率先減小再增大，排除；D選項滿足要求.
故選：D.
【變式5-3】（2022·河南高二階段練習（理））已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據導函數大于，原函數單調遞增；導函數小于，原函數單調遞減；即可得出正確答案.
【解答過程】由導函數得圖象可得：時，，所以在單調遞減，
排除選項A、B，
當時，先正后負，所以在先增后減，
因選項C是先減后增再減，故排除選項C，
故選：D.
【題型6 導數的幾何意義的應用】
【方法點撥】
曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線
升降的快慢.結合具體條件，利用導數的幾何意義，進行轉化求解即可.
【例6】（2022·河南·高三開學考試（文））已知函數的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】利用導數的幾何意義和直線的斜率公式，結合圖象得出答案．
【解答過程】和分別表示函數在和處的切線斜率，結合圖象可得，而，表示過和兩點的直線斜率，則
故選：D.
【變式6-1】（2022·陜西·教學研究室一模）已知函數的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】結合函數圖形及導數的幾何意義判斷即可；
【解答過程】解：由圖可知函數在點的切線斜率小于，即，
在點的切線斜率等于，即，
在點的切線斜率大于，即，
所以；
故選：B.
【變式6-2】（2022·廣東·高二期中）如圖，函數的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據圖象的變化趨勢以及導數的幾何意義，即可得到結果.
【解答過程】由圖象可知，函數在區間上為增函數，但增長的越來越慢；
函數在區間上為減函數，但遞減的越來越快；
又分別表示在處切線的斜率，
所以.
故選：B.
【變式6-3】（2022·河南·高二階段練習（理））已知函數，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據導數的幾何意義，畫出各個函數圖象在處的切線，根據切線的斜率來判斷即可．
【解答過程】依次作出，，，在的切線，如圖所示：
根據圖形中切線的斜率可知．
故選：A．專題5.1 導數的概念及其意義（重難點題型精講）
1．瞬時速度
(1)平均速度
設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.
(2)瞬時速度
①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限
是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.
2．拋物線切線的斜率
(1)拋物線割線的斜率
設二次函數y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.
(2)拋物線切線的斜率
一般地，在二次函數y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數k，我們就說當x趨
近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.
3．函數的平均變化率
函數平均變化率的定義
對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x
的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.
4．函數在某點處的導數的幾何意義
(1)切線的定義
在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.
(2)函數在某點處的導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=處的導數f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y-f()=f'()(x-).
5．導函數的定義
從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到，當x=時，f'()是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f'(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y'，即f'(x)=y'=.
【題型1 瞬時速度、平均速度】
【方法點撥】
根據瞬時速度、平均速度的定義進行求解即可.
【例1】（2022·全國·高二專題練習）已知物體做直線運動對應的函數為，其中S表示路程，t表示時間．則＝10表示的意義是（　　）
A．經過4s后物體向前走了10m
B．物體在前4秒內的平均速度為10 m/s
C．物體在第4秒內向前走了10m
D．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則該物體在s時的瞬時速度為（ ）
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習（理））一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系為，設其在內的平均速度為，在時的瞬時速度為，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 平均變化率】
【方法點撥】
根據題目條件，結合函數的平均變化率的定義，即可得解.
【例2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習）函數在區間上的平均變化率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習（理））若函數，當時，平均變化率為2，則m等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示．給出下列四個結論錯誤的是（ ）
A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；
B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；
C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；
D．在，兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．
【題型3 利用導數的定義解題】
【方法點撥】
利用導數的定義，轉化求解即可.
【例3】（2022·新疆·高二階段練習（理））已知函數在處的導數為2，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知是定義在R上的可導函數，若，則=（ ）
A． B． C．1 D．
【變式3-2】（2022·湖北襄陽·高二期末）若函數在處的導數為1，則（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知函數的定義域為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 導數的幾何意義】
【方法點撥】
根據導數的幾何意義，求解曲線在某點處的斜率或切線方程.
【例4】（2023·上海·高三專題練習），在處切線方程為（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數的圖像在點處的切線方程是，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習（文））設函數在點處的切線方程為，則（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ）
A． B． C． D．
【題型5 函數圖象與導函數的關系】
【方法點撥】
結合具體條件，根據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系，進行轉化求解即可.
【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知是的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】若函數的導函數在區間上是增函數，則函數在區間上的圖象可能是
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數，其導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-3】（2022·河南高二階段練習（理））已知函數的導函數為，若的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【題型6 導數的幾何意義的應用】
【方法點撥】
曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線
升降的快慢.結合具體條件，利用導數的幾何意義，進行轉化求解即可.
【例6】（2022·河南·高三開學考試（文））已知函數的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式6-1】（2022·陜西·教學研究室一模）已知函數的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2022·廣東·高二期中）如圖，函數的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2022·河南·高二階段練習（理））已知函數，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（ ）
A．
B．
C．
D．

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