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專題4.7 等比數列的概念（重難點題型精講）
1．等比數列的概念
2．等比中項
如果在a與b中間插入一個數G(G≠0)，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.
若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.
3．等比數列的通項公式
若等比數列{}的首項為，公比為q，則這個等比數列的通項公式是=(,q≠0).
4．等比數列的通項公式與指數函數的關系
等比數列{}的通項公式=可以改寫為=，當q>0且q≠1時，等比數列{}的圖象是
指數型函數y=的圖象上一些孤立的點.
5．等比數列的單調性
已知等比數列{}的首項為，公比為q，則
(1)當或時，等比數列{}為遞增數列；
(2)當或時，等比數列{}為遞減數列；
(3)當q=1時，等比數列{}為常數列(這個常數列中各項均不等于0)；
(4)當q<0時，等比數列{}為擺動數列(它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但是奇數項與偶
數項異號).
6．等比數列的性質
設{}為等比數列，公比為q，則
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數列，則成等比數列.
(3)數列{}(為不等于零的常數)仍是公比為q的等比數列；
數列{}是公比為的等比數列；
數列{}是公比為的等比數列；
若數列{}是公比為q'的等比數列，則數列{}是公比為q·q'的等比數列.
(4)在數列{}中，每隔k(k)項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為
.
(5)在數列{}中，連續相鄰k項的和(或積)構成公比為(或)的等比數列.
(6)若數列{}是各項都為正數的等比數列，則數列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數列.
【題型1 等比數列的基本量的求解】
【方法點撥】
根據所給條件，求解等比數列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三階段練習（文））在等比數列中，，，則公比q的值為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【變式1-1】（2022·陜西·高二階段練習）已知等比數列中，，，則公比（ ）
A． B． C． D．4
【變式1-2】（2022·甘肅·高三階段練習（理））在等比數列中，，，則（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
【變式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比數列中，，，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【題型2 等比中項】
【方法點撥】
根據題目條件，結合等比中項的定義，即可得解.
【例2】（2022·黑龍江·高二期中）在等比數列中，，，則與的等比中項是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·寧夏·高一期末）若等比數列的首項為4，公比為2，則數列中第2項與第4項的等比中項為（ ）
A．32 B． C． D．
【變式2-2】（2022·廣東·高二期中）若數列是等比數列，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．5
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）數列為等比數列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（ ）條件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【題型3 等比數列的通項公式】
【方法點撥】
結合所給數列的遞推關系，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正項等比數列滿足，，則其通項公式（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·陜西·高二階段練習（文））在各項為正的遞增等比數列 中， ，則 （ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知在等比數列中，，前三項和，則數列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．或
【變式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比數列中，，則的通項公式為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【題型4 等比數列的單調性】
【方法點撥】
判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數列{}的單調性.
【例4】（2022·陜西·高二期中（理））數列是等比數列，首項為，公比為q，則是“數列遞減”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-1】（2022·遼寧·高二期中）設等比數列的首項為，公比為，則為遞增數列的充要條件是（ ）
A．， B．，
C． D．
【變式4-2】（2022·河南·高二階段練習（理））已知等比數列的公比為q．若為遞增數列且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數列，下列選項能判斷為遞增數列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【題型5 等比數列的判定與證明】
【方法點撥】
只有定義法、遞推法(等比中項法) 可用于證明等比數列，通項公式法與前n項和公式法只能用于小題
中等比數列的判定；在用定義法與遞推法(等比中項法)證明等比數列時要注意≠0.
【例5】（2022·湖南省高二期中）在數列中，，．
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，證明為等比數列，并求的通項公式.
【變式5-2】（2022·福建省高三階段練習）已知數列滿足，，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若，求數列中的最小項.
【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習）在數列中，已知各項都為正數的數列滿足.
(1)證明數列為等比數列；
(2)若，，求的通項公式.
【題型6 等比數列性質的應用】
【方法點撥】
對于等比數列的運算問題，可觀察已知項和待求項的序號之間的關系，利用等比數列的性質進行求解，這
樣可以減少運算量，提高運算速度.
【例6】（2021·廣西·高二階段練習）在等比數列中，已知，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）己知在等比數列中，，則等于（ ）
A． B． C．2 D．
【變式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比數列的公比q為整數，且，，則（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
【變式6-3】（2020·北京高二期中）等比數列{an}中，a1 a2 a3＝﹣26，a17 a18 a19＝﹣254，則a9 a10 a11的值為（　　）
A．﹣210 B．±210 C．﹣230 D．±230專題4.7 等比數列的概念（重難點題型精講）
1．等比數列的概念
2．等比中項
如果在a與b中間插入一個數G(G≠0)，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.
若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.
3．等比數列的通項公式
若等比數列{}的首項為，公比為q，則這個等比數列的通項公式是=(,q≠0).
4．等比數列的通項公式與指數函數的關系
等比數列{}的通項公式=可以改寫為=，當q>0且q≠1時，等比數列{}的圖象是
指數型函數y=的圖象上一些孤立的點.
5．等比數列的單調性
已知等比數列{}的首項為，公比為q，則
(1)當或時，等比數列{}為遞增數列；
(2)當或時，等比數列{}為遞減數列；
(3)當q=1時，等比數列{}為常數列(這個常數列中各項均不等于0)；
(4)當q<0時，等比數列{}為擺動數列(它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但是奇數項與偶
數項異號).
6．等比數列的性質
設{}為等比數列，公比為q，則
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數列，則成等比數列.
(3)數列{}(為不等于零的常數)仍是公比為q的等比數列；
數列{}是公比為的等比數列；
數列{}是公比為的等比數列；
若數列{}是公比為q'的等比數列，則數列{}是公比為q·q'的等比數列.
(4)在數列{}中，每隔k(k)項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為
.
(5)在數列{}中，連續相鄰k項的和(或積)構成公比為(或)的等比數列.
(6)若數列{}是各項都為正數的等比數列，則數列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數列.
【題型1 等比數列的基本量的求解】
【方法點撥】
根據所給條件，求解等比數列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三階段練習（文））在等比數列中，，，則公比q的值為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【解題思路】根據等比數列定義兩式相除即可得出公比q.
【解答過程】，，得，∴．
故選：A．
【變式1-1】（2022·陜西·高二階段練習）已知等比數列中，，，則公比（ ）
A． B． C． D．4
【解題思路】用基本量表示題干信息，計算即可.
【解答過程】由題意，設等比數列的首項為，公比為，
由，，
可得，故，解得.
故選：B.
【變式1-2】（2022·甘肅·高三階段練習（理））在等比數列中，，，則（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
【解題思路】根據等比數列的定義，結合等比中項，建立方程組，可得答案.
【解答過程】設的公比為q，由，則，解得（舍去），故，所以，.
故選：A.
【變式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比數列中，，，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解題思路】利用可得到等比數列的公比的平方，再利用即可得出.
【解答過程】在等比數列中，由得
，
所以，，
所以.
故選：D.
【題型2 等比中項】
【方法點撥】
根據題目條件，結合等比中項的定義，即可得解.
【例2】（2022·黑龍江·高二期中）在等比數列中，，，則與的等比中項是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先通過等比數列的通項公式計算，進而可得其等比中項.
【解答過程】由已知
所以與的等比中項是，
故選：A.
【變式2-1】（2022·寧夏·高一期末）若等比數列的首項為4，公比為2，則數列中第2項與第4項的等比中項為（ ）
A．32 B． C． D．
【解題思路】根據等比數列的首項和公比可得數列中第2項與第4項，再根據等比中項的定義求解即可
【解答過程】由題，該等比數列為，設第2項與第4項的等比中項為，
則，故，
故選：D.
【變式2-2】（2022·廣東·高二期中）若數列是等比數列，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．5
【解題思路】由等比中項的性質列方程求得.
【解答過程】由已知得，∴，
故選:C.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）數列為等比數列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（ ）條件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【解題思路】根據等比中項的定義結合等比數列的定義判斷可得出結論.
【解答過程】因為數列為等比數列，且，，若，則，
則是、的等比中項，即；
若是、的等比中項，設的公比為，則，
因為，故，即.
因此，是的充要條件.
故選：A.
【題型3 等比數列的通項公式】
【方法點撥】
結合所給數列的遞推關系，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正項等比數列滿足，，則其通項公式（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用等比數列的通項公式先求得公比，從而求得.
【解答過程】因為是正項等比數列，所以，
又因為，，所以，故，
所以.
故選：B.
【變式3-1】（2022·陜西·高二階段練習（文））在各項為正的遞增等比數列 中， ，則 （ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先根據等比數列的通項公式求，再利用公比表示，代入方程，即可求得公比，再表示通項公式.
【解答過程】數列 為各項為正的遞增數列，設公比為 ，且 ，
，

，
，
，
即 ，
解得:

.
故選：B.
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知在等比數列中，，前三項和，則數列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】由和聯立解出首項和公比，通過等比數列的通項公式得到答案.
【解答過程】設等比數列的公比為，由題意得
，解得或，
所以或.
故選：D.
【變式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比數列中，，則的通項公式為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解題思路】由已知，結合等比數列的通項公式可得求公比，進而寫出的通項公式.
【解答過程】令公比為，由題設有，
所以，解得或，經檢驗符合題設.
所以，可得或.
故選：C.
【題型4 等比數列的單調性】
【方法點撥】
判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數列{}的單調性.
【例4】（2022·陜西·高二期中（理））數列是等比數列，首項為，公比為q，則是“數列遞減”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】由，解得或，根據等比數列的單調性的判定方法，結合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.
【解答過程】由已知，解得或，，
此時數列不一定是遞減數列，
所以是“數列遞減”的非充分條件；
若數列為遞減數列，可得或，所以，
所以是“數列遞減”的必要條件.
所以“”是“數列為遞減數列”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式4-1】（2022·遼寧·高二期中）設等比數列的首項為，公比為，則為遞增數列的充要條件是（ ）
A．， B．，
C． D．
【解題思路】分析可知，分、兩種情況討論，結合遞增數列的定義求出對應的的取值范圍，即可得出結論.
【解答過程】因為，若，則數列為擺動數列，與題意不符，所以，.
①若，則對任意的，，由可得，即；
②若，則對任意的，，由可得，此時.
所以，為遞增數列的充要條件是，或， ，
當，時，，則；
當，時，，則.
因此，數列為遞增數列的充要條件是.
故選：C.
【變式4-2】（2022·河南·高二階段練習（理））已知等比數列的公比為q．若為遞增數列且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題設等比數列的性質，結合等比數列通項公式確定公比的范圍即可.
【解答過程】由題意，，又，
∴要使為遞增數列，則，
當時，為遞增數列，符合題設；
當時，為遞減數列，符合題設；
故選：C.
【變式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數列，下列選項能判斷為遞增數列的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據指數函數單調性和單調性的性質逐項分析即可．
【解答過程】對于A，，，則單調遞減，故A不符題意；
對于B，，，則會隨著n取奇數或偶數發生符號改變，數列為擺動數列，故B不符題意；
對于C，，，則為常數數列，不具有單調性，故C不符題意；
對于D，，，∵，y=在R上單調遞減，故為遞增數列，故D符合題意．
故選：D﹒
【題型5 等比數列的判定與證明】
【方法點撥】
只有定義法、遞推法(等比中項法) 可用于證明等比數列，通項公式法與前n項和公式法只能用于小題
中等比數列的判定；在用定義法與遞推法(等比中項法)證明等比數列時要注意≠0.
【例5】（2022·湖南省高二期中）在數列中，，．
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式．
【解題思路】（1）結合等比數列的定義證得結論成立.
（2）根據（1）的結論以及等比數列的通項公式求得正確答案.
【解答過程】（1）依題意，數列中，，，
所以，
所以數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得：數列是首項為，公比為的等比數列，
所以.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，證明為等比數列，并求的通項公式.
【解題思路】根據題意即可證明，從而確定為等比數列，再由等比數列的通項公式即可求解的通項公式.
【解答過程】因為，所以，
又，
所以數列是以2為首項，3為公比的等比數列，
則，
所以.
【變式5-2】（2022·福建省高三階段練習）已知數列滿足，，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若，求數列中的最小項.
【解題思路】（1）根據等比數列的定義證明；
（2）由（1）求得后可得，利用作商的方法得出，從第2項開始遞增，從而易得最小項．
【解答過程】（1）
因為，,
所以是首項為1，公比為的等比數列；
（2）
由（1）得，所以，則
當時，，；
當時，，，又，所以，
所以，即.
【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習）在數列中，已知各項都為正數的數列滿足.
(1)證明數列為等比數列；
(2)若，，求的通項公式.
【解題思路】（1）根據等比數列的定義分析即可.
（2）由（1）可得的通項公式，構造求.
【解答過程】（1）各項都為正數的數列滿足，得，即，
所以數列是公比為的等比數列；
（2）因為，，所以，
由（1）知數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，
于是，
又因為，
所以，即.
【題型6 等比數列性質的應用】
【方法點撥】
對于等比數列的運算問題，可觀察已知項和待求項的序號之間的關系，利用等比數列的性質進行求解，這
樣可以減少運算量，提高運算速度.
【例6】（2021·廣西·高二階段練習）在等比數列中，已知，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解題思路】用基本量表示出來可以求；或者考慮下標和公式.
【解答過程】在等比數列中，，解得，
則.
故選：A.
【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）己知在等比數列中，，則等于（ ）
A． B． C．2 D．
【解題思路】先根據等比數列的性質得到和，再根據可求得的大小，解題時要注意對的符號的處理．
【解答過程】由等比數列的性質可得，
∴ ．
∴，
又與和同號，
∴．
故選：C．
【變式6-2】（2022·吉林白山·高二期末）已知等比數列的公比q為整數，且，，則（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
【解題思路】由等比數列的性質有，結合已知求出基本量，再由即可得答案.
【解答過程】因為，，且q為整數，
所以，，即q=2.
所以.
故選：A.
【變式6-3】（2020·北京高二期中）等比數列{an}中，a1 a2 a3＝﹣26，a17 a18 a19＝﹣254，則a9 a10 a11的值為（　　）
A．﹣210 B．±210 C．﹣230 D．±230
【解題思路】根據等比數列的性質，即可直接得到結果.
【解答過程】因為數列是等比數列，
故可得a1 a2 a3，a9 a10 a11，a17 a18 a19也構成等比數列，
故，
故可得a9 a10 a11，
又，a1 a2 a3＝﹣26，即可得，故可得，同理，
則，也即a9 a10 a11，
故可得a9 a10 a11
故選：.

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