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專題4.9 等比數列的前n項和公式（重難點題型精講）
1．等比數列的前n項和公式
若等比數列{}的首項為，公比為q，則等比數列{}的前n項和公式為
=.
2．等比數列前n項和公式與指數函數的關系
(1)當q=1時，=是關于n的正比例函數，點(n,)是直線y=x上的一群孤立的點.
(2)當q≠1時，=.記A=，則=+A是一個指數式與一個常
數的和.當q>0且q≠1時，y=是指數函數，此時，點(n,)是指數型函數y=+A圖象上的一群孤立的點.
3．等比數列前n項和的性質
已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：
(1).
(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.
(3)若{}共有2n(n)項，則=q；
若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.
4．數列求和的常用方法
(1)公式法求和
①直接用等差、等比數列的求和公式.
②掌握一些常見的數列的前n項和公式.
(2)倒序相加法求和
如果一個數列{}中，與首、末兩項“等距離”的兩項,的和相等，那么求這個數列的前n項和可用倒序
相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的.
(3)錯位相減法求和
錯位相減法求和適用于型數列，其中、分別是等差數列和等比數列.
(4)裂項相消法求和
利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后
面剩兩項，再就是通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂項前后保持相等.
【題型1 求等比數列的通項公式】
【方法點撥】
根據所給條件，利用等比數列的前n項和，求解等比數列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比數列中，，前三項之和，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．或
【變式1-1】（2022·安徽銅陵·高一期末）各項均為正數的等比數列，其前項和為.若，，則數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·湖南·高三階段練習）設正項等比數列的前項和為，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習）等比數列中,若公比,且前3項之和等于21，則該數列的通項公式
A． B． C． D．
【題型2 等比數列前n項和的性質】
【方法點撥】
根據題目條件，結合等比數列前n項和的性質，進行轉化求解，即可得解.
【例2】等比數列{}的前n項和為，若，則=（　　）
A．488 B．508 C．511 D．567
【變式2-1】（2022·全國·高二）已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知是等比數列的前項和，若存在，滿足，則數列的公比為（ ）
A． B．2 C． D．3
【題型3 求等比數列的前n項和】
【方法點撥】
根據條件，求出等比數列的基本量，得到首項和公比，利用等比數列的前n項和公式，進行求解即可.
【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比數列中，，且，那么的值是（ ）.
A．15 B．31 C．63 D．64
【變式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比數列的前項和為，若，公比，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·河北高三階段練習）設正項等比數列的前n項和為，若，則（ ）
A．510 B．511 C．1022 D．1023
【變式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比數列{}為遞增數列，是它的前項和，若＝，且與的等差中項為，則＝（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 等比數列的應用】
【方法點撥】
對于等比數列有關的數學文化、實際問題，讀懂其中蘊含的數學語言，建立合適的等比數列，利用等比數
列的通項公式、求和公式進行求解.
【例4】（2022·河南濮陽·高二期末（理））5G是第五代移動通信技術的簡稱，其意義在于萬物互聯，即所有人和物都將存在于有機的數字生態系統中，它把以人為中心的通信擴展到同時以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產方式帶來巨大的變化．目前我國最高的5G基站海拔6500米．從全國范圍看，中國5G發展進入了全面加速階段，基站建設進度超過預期．現有8個工程隊共承建10萬個基站，從第二個工程隊開始，每個工程隊所建的基站數都比前一個工程隊少，則第一個工程隊承建的基站數（單位：萬）約為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·四川省高三階段練習（文））中國古代數學著作《算法統綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（ ）
A．該人第五天走的路程為14里
B．該人第三天走的路程為42里
C．該人前三天共走的路程為330里
D．該人最后三天共走的路程為42里
【變式4-2】（2022·陜西·模擬預測（文））我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數，請公仔細算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
【變式4-3】（2022·山東青島·高二期中）集合論是德國數學家康托爾于十九世紀末創立的，希爾伯特贊譽其為“數學思想的驚人產物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數目越來越多，長度越來越小，在極限情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（ ）
（參考數據：，）
A．9 B．8 C．7 D．6
【題型5 等差、等比數列的綜合應用】
根據具體條件，借助等差、等比數列的通項公式、性質、求和公式等進行轉化求解即可.
【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差數列 和等比數列 滿足 ， ， .
(1)求 的通項公式；
(2)求和： .
【變式5-1】（2022·河北·高三階段練習）已知在等比數列中，，且,,成等差數列，數列滿足,，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【變式5-2】（2022·山西·高三期中）記等差數列的前項和為，公差為，等比數列的公比為，已知，，.
(1)求，的通項公式；
(2)將，中相同的項剔除后，兩個數列中余下的項按從小到大的順序排列，構成數列，求的前100項和.
【變式5-3】（2022·黑龍江·高三階段練習）設等差數列的前n項和為，已知，，各項均為正數的等比數列滿足，．
(1)求數列與的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求．
【題型6 數列的求和】
【方法點撥】
對于具體的數列求和問題，選擇合適的數列求和方法，進行求解.
【例6】已知數列的首項，且滿足.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【變式6-1】數列的前n項和滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列為等差數列，且，，求數列的前n項．
【變式6-2】（2022·安徽·高三階段練習）已知數列的前項和為．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
【變式6-3】（2022·江蘇·高二期中）已知數列中，，，.設.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)設數列的前項的和為，求.
(3)設，設數列的前項和，求證：.專題4.9 等比數列的前n項和公式（重難點題型精講）
1．等比數列的前n項和公式
若等比數列{}的首項為，公比為q，則等比數列{}的前n項和公式為
=.
2．等比數列前n項和公式與指數函數的關系
(1)當q=1時，=是關于n的正比例函數，點(n,)是直線y=x上的一群孤立的點.
(2)當q≠1時，=.記A=，則=+A是一個指數式與一個常
數的和.當q>0且q≠1時，y=是指數函數，此時，點(n,)是指數型函數y=+A圖象上的一群孤立的點.
3．等比數列前n項和的性質
已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：
(1).
(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.
(3)若{}共有2n(n)項，則=q；
若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.
4．數列求和的常用方法
(1)公式法求和
①直接用等差、等比數列的求和公式.
②掌握一些常見的數列的前n項和公式.
(2)倒序相加法求和
如果一個數列{}中，與首、末兩項“等距離”的兩項,的和相等，那么求這個數列的前n項和可用倒序
相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的.
(3)錯位相減法求和
錯位相減法求和適用于型數列，其中、分別是等差數列和等比數列.
(4)裂項相消法求和
利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后
面剩兩項，再就是通項裂項后，有時需要調整前面的系數，使裂項前后保持相等.
【題型1 求等比數列的通項公式】
【方法點撥】
根據所給條件，利用等比數列的前n項和，求解等比數列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比數列中，，前三項之和，則的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．或
【解題思路】設公比為，求出首項的公比后可得通項公式．
【解答過程】設公比為，則，解得或，
所以或．
故選：D．
【變式1-1】（2022·安徽銅陵·高一期末）各項均為正數的等比數列，其前項和為.若，，則數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設公比為的等比數列，運用等比數列的通項公式，列方程，解方程即可得到首項和公比，即可得到數列的通項公式.
【解答過程】由各項均為正數，公比為的等比數列，
，，
可得，，
解得，，
則，.
故選：D.
【變式1-2】（2022·湖南·高三階段練習）設正項等比數列的前項和為，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解題思路】根據第一個等量關系得到關于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二個等量關系得到關于首項的方程，解方程得到首項，從而得到的值.注意正項等比數列的公比大于0.
【解答過程】設正項等比數列的公比為q（q>0），
則由得，
即，即，
即，
解得（舍去）.
由得，即，
將代入得，
解得，
則.
故選：A.
【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習）等比數列中,若公比,且前3項之和等于21，則該數列的通項公式
A． B． C． D．
【解題思路】依題意列方程直接求解，然后由通項公式可得.
【解答過程】由條件得解得，
則
故選：A.
【題型2 等比數列前n項和的性質】
【方法點撥】
根據題目條件，結合等比數列前n項和的性質，進行轉化求解，即可得解.
【例2】等比數列{}的前n項和為，若，則=（　　）
A．488 B．508 C．511 D．567
【解題思路】根據等比數列的性質知，，也是等比數列，計算出新數列的公比即可求解.
【解答過程】根據等比數列的性質知，，成等比，因為，所以，則.
故選：C.
【變式2-1】（2022·全國·高二）已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【解題思路】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.
【解答過程】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為
則，
又，則，解得，
故數列的所有項之和是.
故選：D.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【解題思路】根據題意，設，由等比數列的前項和公式可得的值，進而求得結論．
【解答過程】根據題意，數列為等比數列，設，
又由數列的奇數項之和為21，偶數項之和為10，
則，
故；
故選：.
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知是等比數列的前項和，若存在，滿足，則數列的公比為（ ）
A． B．2 C． D．3
【解題思路】根據，解關于 的方程，注意還是的討論，代入公式即可求解.
【解答過程】設數列的公比為，
若，則，與題中條件矛盾，
故
.
故選：B.
【題型3 求等比數列的前n項和】
【方法點撥】
根據條件，求出等比數列的基本量，得到首項和公比，利用等比數列的前n項和公式，進行求解即可.
【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比數列中，，且，那么的值是（ ）.
A．15 B．31 C．63 D．64
【解題思路】設等比數列的公比為，根據已知求出的值即得解.
【解答過程】設等比數列的公比為，
由題得.
所以.
故選：B.
【變式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比數列的前項和為，若，公比，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據等比中項的性質可得，解方程即可得數列中的項，進而可得首項與公比，求得.
【解答過程】由等比中項的性質得，
又，
解得或，
當時，或（舍），
當時，（舍），
所以，，
此時，
所以，
故選：D.
【變式3-2】（2022·河北高三階段練習）設正項等比數列的前n項和為，若，則（ ）
A．510 B．511 C．1022 D．1023
【解題思路】設正項等比數列的公比為，由等比數列的通項公式和前項和公式代入化簡可得，即可求出，進而求出，再由前項和公式代入即可得出答案.
【解答過程】設正項等比數列的公比為，
則由得，
即，即，即，
解得（舍去）．
由得，
所以.
故選：A．
【變式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比數列{}為遞增數列，是它的前項和，若＝，且與的等差中項為，則＝（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據等比數列的通項公式和等差中項的應用求出等比數列的首項和公比，結合等比數列前n項求和公式計算即可.
【解答過程】設該等比數列的通項公式為()，
由題意知，即，
解得，
所以.
故選：B.
【題型4 等比數列的應用】
【方法點撥】
對于等比數列有關的數學文化、實際問題，讀懂其中蘊含的數學語言，建立合適的等比數列，利用等比數
列的通項公式、求和公式進行求解.
【例4】（2022·河南濮陽·高二期末（理））5G是第五代移動通信技術的簡稱，其意義在于萬物互聯，即所有人和物都將存在于有機的數字生態系統中，它把以人為中心的通信擴展到同時以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產方式帶來巨大的變化．目前我國最高的5G基站海拔6500米．從全國范圍看，中國5G發展進入了全面加速階段，基站建設進度超過預期．現有8個工程隊共承建10萬個基站，從第二個工程隊開始，每個工程隊所建的基站數都比前一個工程隊少，則第一個工程隊承建的基站數（單位：萬）約為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】8個工程隊所建的基站數依次成等比數列，比為，第一個工程隊承建的基站數為（萬），由等比數列前項和公式列式求解．
【解答過程】由題意，8個工程隊所建的基站數依次成等比數列，比為，記第一個工程隊承建的基站數為（萬），則，．
故選：B．
【變式4-1】（2022·四川省高三階段練習（文））中國古代數學著作《算法統綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（ ）
A．該人第五天走的路程為14里
B．該人第三天走的路程為42里
C．該人前三天共走的路程為330里
D．該人最后三天共走的路程為42里
【解題思路】由題意可知該人每天走的路程構成了公比為的等比數列,由題意求出首項，可得其通項公式，即可求出，判斷A,B;求出可判斷C,D.
【解答過程】由題意可知該人每天走的路程構成了公比為的等比數列，
設數列前n項和為，則，
故 ，解得，
則，
故 ，該人第五天走的路程為12里，A錯誤；
，該人第三天走的路程為48里，B錯誤；
，該人前三天共走的路程為里，C錯誤；
由（里），可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，
故選：D.
【變式4-2】（2022·陜西·模擬預測（文））我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數，請公仔細算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
【解題思路】根據題意可知，此人每天走的路程構成等比數列，公比為，再根據等比數列的前項和公式即可解出，再求出即可．
【解答過程】設第天走的路程為，，所以此人每天走的路程可構成等比數列，依題可知，公比為，所以，解得，．
所以（里）
故選：D．
【變式4-3】（2022·山東青島·高二期中）集合論是德國數學家康托爾于十九世紀末創立的，希爾伯特贊譽其為“數學思想的驚人產物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數目越來越多，長度越來越小，在極限情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（ ）
（參考數據：，）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解題思路】通過歸納法歸納出每次舍棄的線段的長度，然后由等比數列的前項和公式求得前次舍棄的線段的和，然后列不等式求解．
【解答過程】第一次操作去掉的線段長度為，第二次操作去掉的線段長度和為，第三次操作去掉的線段長度和為，…，第操作去掉的線段長度和為，
由此得，
所以，，
，，
所以的最小值是9.
故選：A．
【題型5 等差、等比數列的綜合應用】
根據具體條件，借助等差、等比數列的通項公式、性質、求和公式等進行轉化求解即可.
【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差數列 和等比數列 滿足 ， ， .
(1)求 的通項公式；
(2)求和： .
【解題思路】（1）設等差數列的公差為，利用，求出，再由等差數列的通項公式計算可得答案；
（2）設等比數列的公比為，則奇數項構成公比為的等比數列，利用求出、，可得是公比為，首項為的等比數列，再由等比數列的前項和公式計算可得答案.
【解答過程】（1）設等差數列的公差為，
由，，
可得：，
解得，
所以的通項公式；
（2）設等比數列的公比為，則奇數項構成公比為的等比數列，
由（1）可得，等比數列滿足，，
由于，可得（舍去），（等比數列奇數項符號相同），
所以，
則是公比為，首項為的等比數列，
.
【變式5-1】（2022·河北·高三階段練習）已知在等比數列中，，且,,成等差數列，數列滿足,，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解題思路】（1）由已知條件求得等比數列的公比和首項，即可求得其通項公式；
（2）求得的通項公式，結合（1）的結論可得，利用分組求和法，結合等比數列的前n項和公式即可求得答案.
【解答過程】（1）因為,,成等差數列，所以 ,
又因為在等比數列中，,所以，得的公比 ，
所以 ,解得 ，故.
（2）由,，，得 ，
則是等差數列，因為,所以，
則 ，
則
．
【變式5-2】（2022·山西·高三期中）記等差數列的前項和為，公差為，等比數列的公比為，已知，，.
(1)求，的通項公式；
(2)將，中相同的項剔除后，兩個數列中余下的項按從小到大的順序排列，構成數列，求的前100項和.
【解題思路】（1）根據等差數列的求和公式以及等比數列的通項公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；
（2）由題意，求得等差數列的第100項，逐項求解等比數列，利用等差數列建立方程，找出相同項，分組求和，可得答案.
【解答過程】（1）由，得，因為，所以.
結合，可得，，，解得，，
所以數列的通項公式為，
數列的通項公式為.
（2）由（1）可知，當時，.
又，所以，，，，，，，，，
令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，
所以數列的前100項中與數列中相同的項共有4項，即4，16，64，256，即為的前8項中的偶數項.
將，中相同的項剔除后，兩個數列中余下的項按從小到大的順序排列構成數列，則的前100項為數列的前100項中剔除與數列相同的4項后剩余的96項與的前8項中剔除與數列相同的4項后剩余的4項，
所以的前100項和為.
【變式5-3】（2022·黑龍江·高三階段練習）設等差數列的前n項和為，已知，，各項均為正數的等比數列滿足，．
(1)求數列與的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求．
【解題思路】（1）利用等差數列和等比數列的通項公式及性質列出方程組求解即可；
（2）利用錯位相減法求出數列的和．
【解答過程】（1）設等差數列的公差為，
則，解得，，
∴；
設等比數列的公比為，
則，解得，，，
∴，
（2）由（1）可知
∴，
則，
兩式相減得：，
∴．
【題型6 數列的求和】
【方法點撥】
對于具體的數列求和問題，選擇合適的數列求和方法，進行求解.
【例6】已知數列的首項，且滿足.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【解題思路】（1）由遞推式變形得，從而利用等比數列的定義即可得證；
（2）由（1）求得，再利用分組求和法與等比數列的前項和公式即可得解.
【解答過程】（1）因為數列的首項，且滿足，
所以，即，
又，
故數列是以為首項，為公比的等比數列；
（2）由（1）可得，則，
所以 .
【變式6-1】數列的前n項和滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列為等差數列，且，，求數列的前n項．
【解題思路】（1）根據與的關系，采用相減法求數列的通項公式即可；
（2）根據數列為等差數列，結合已知求解，利用組求和、錯位相減法即可求數列的前n項．
【解答過程】（1）解：當時，，所以，
因為①，
所以當時，②，
①-②得，
所以，
所以，
所以是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，
所以；
（2）解：由（1）知，，，
所以，，
設的公差為d，則，所以，
所以，
所以，
設數列的前n項和為，
所以③，
④，
③-④得
，
所以，
又因為數列的前n項和等于，
所以的前n項和為．
【變式6-2】（2022·安徽·高三階段練習）已知數列的前項和為．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
【解題思路】（1）變型可得，從而可得為等差數列，進而求得，根據與的關系可得；
（2）根據錯位相減法即可求解.
【解答過程】（1）因為，
則有，
兩邊同時除以得：，，
所以數列是以為首項，1為公差的等差數列，
故，則，
當時，，符合，
故.
（2），
①
②
①②得：
即，
得.
【變式6-3】（2022·江蘇·高二期中）已知數列中，，，.設.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)設數列的前項的和為，求.
(3)設，設數列的前項和，求證：.
【解題思路】（1）由，變形為，根據，代入即可證明結論.
（2）由（1）可得，利用時，，可得，利用求和公式即可得出數列的前項的和為.
（3），利用裂項求和與數列的單調性即可得出結論.
【解答過程】（1），
，
，
，，
數列是等比數列，首項為1，公比為2.
（2）由（1）可得，
時，，
時也成立.
，
，
數列是等比數列，首項為1，公比為2.
數列的前項的和為.
（3），
數列的前項和，
.

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