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專題4.3 等差數列的概念（重難點題型精講）
1．等差數列的概念
(1)等差數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫
做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，常用字母d表示.
(2)對等差數列概念的理解
①“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.
②由概念可知，如果- ()恒等于一個常數，那么數列{}就是等差數列.
③如果一個數列，不是從第2項起，而是從第3項或以后起，每一項與它的前一項的差是同一常數，
那么這個數列不是等差數列.
④若數列從第2項起，每一項與它的前一項的差盡管都等于常數，但這些常數不都相等，那么這個數
列不是等差數列.
⑤對于公差d，需要強調的是它是從第2項起，每一項與其前一項的差，不要把被減數與減數弄顛倒.
2．等差中項
由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，則有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數成等差數列.
3．等差數列的通項公式
(1)等差數列的通項公式
等差數列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.
(2)等差數列通項公式的變形
已知等差數列{}中的任意兩項， (n,m,m≠n)，則
-=(n-m)d
4．等差數列與一次函數的關系
由等差數列的通項公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，當d=0時，=為常數列，當d≠0時，=
+(n-1)d是關于n的一次函數，一次項系數就是等差數列的公差，因此等差數列{}的圖象是直線y=dx+(-d)上一群均勻分布的孤立的點.
5．等差數列的單調性
由等差數列的通項公式和一次函數的關系可知等差數列的單調性受公差d影響.
①當d>0時，數列為遞增數列，如圖①所示；
②當d<0時，數列為遞減數列，如圖②所示；
③當d=0時，數列為常數列，如圖③所示.
因此，無論公差為何值，等差數列都不會是擺動數列.
6．等差數列的性質
設{}為等差數列，公差為d，則
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.
(2)數列{+b}(,b是常數)是公差為d的等差數列.
(3)若{}是公差為d'的等差數列，{}與{}的項數一致，則數列{+ (,為常數)是公差為
d+d'的等差數列.
(4)下標成等差數列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數列.
(5)在等差數列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.
【題型1 等差數列的基本量的求解】
【方法點撥】
根據所給條件，求解等差數列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·河南商丘·高三階段練習（文））已知為等差數列，若，，則的公差為（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】根據等差數列對應的點都在一條直線上這個性質求公差．
【解答過程】設的公差為d，則.
故選：C.
【變式1-1】（2022·河南安陽·高二期中）已知等差數列中，，，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】利用等差數列的通項公式得到關于的方程組，從而求得的公差.
【解答過程】因為是等差數列，
所以，解得，
所以的公差為.
故選：B.
【變式1-2】（2022·浙江臺州·模擬預測）已知數列滿足：，，.若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【解題思路】令，則，再根據等差數列的定義即可得到，即可求出答案.
【解答過程】令，則，
故，為常數，
故數列是等差數列，
，
，
，
故選：A.
【變式1-3】（2022·甘肅·高二階段練習）首項為的等差數列，從第10項開始為正數，則公差d的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用等差數列通項公式列式求解作答.
【解答過程】依題意，令該等差數列為，則有，
因數列從第10項開始為正數，因此，即，解得：，
所以公差d的取值范圍是.
故選：D.
【題型2 等差中項】
【方法點撥】
根據題目條件，結合等差中項的定義，即可得解.
【例2】（2022·陜西·高二階段練習）已知，，則的等差中項為（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【解題思路】利用等差中項的性質進行求解即可
【解答過程】設的等差中項為，
所以，
因為，，所以，
故選：A.
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知，，則a，b的等差中項為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用等差中項的定義求解.
【解答過程】由等差中項的定義得：
則a，b的的等差中項為：
，
．
故選：A．
【變式2-2】（2022·四川省高二階段練習（文））等差數列的前三項依次為x，，，則x的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據等差中項的性質得到方程，解得即可；
【解答過程】解：依題意，解得；
故選：D.
【變式2-3】（2022·浙江·高三專題練習）設、是實數，則“”是“為和的等差中項”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分也非必要條件
【解題思路】利用等差中項的定義判斷可得結論.
【解答過程】為和的等差中項，
因此，“”是“為和的等差中項”的充要條件.
故選：C.
【題型3 等差數列的通項公式】
【方法點撥】
結合所給數列的遞推公式，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.
【例3】（2022·甘肅·高二階段練習）已知數列為等差數列，，那么數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設數列的首項為，公差為，列方程組求出即得解.
【解答過程】解：設數列的首項為，公差為，
由題得，所以.
所以數列的通項為.
故選：A.
【變式3-1】（2022·陜西寶雞·高二期中）已知等差數列的前三項為，則此數列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據等差數列的前三項為，由，求得a即可.
【解答過程】因為等差數列的前三項為，
所以，
解得，
所以，
所以，
故選：C.
【變式3-2】（2022·全國·高一課時練習）在等差數列中，若，則數列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．無法確定
【解題思路】利用等差數列的通項公式，列式求得數列的基本量，進而求得其通項公式.
【解答過程】設等差數列的公差為，則，
因為，所以，解得，
所以的通項公式為.
故選：A.
【變式3-3】（2022·河南·二模（理））已知等差數列各項均為正數，，，則數列的通項公式為
A． B．
C． D．
【解題思路】利用等差數列的性質及通項公式求得首項與公差，即可得到數列的通項公式.
【解答過程】設等差數列的公差為d，
由可得：，即，
又，
∴，又
∴是方程的兩根，又等差數列各項均為正數，
∴，∴d=2
故數列的通項公式為
故選A.
【題型4 等差數列的單調性】
【方法點撥】
判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大?。蛔魃瘫容^法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數列{}的單調性.
【例4】（2022·北京·高三階段練習）已知等差數列單調遞增且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】設出公差，根據單調遞增，得到，結合等差數列的性質得到，變形為，解不等式求出答案.
【解答過程】因為為等差數列，設公差為，
因為數列單調遞增，所以，
所以，
則，解得：，
故選：C.
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點，是等差數列圖象上的兩點，則數列為（ ）
A．遞增數列 B．遞減數列 C．常數列 D．無法確定
【解題思路】利用等差數列的圖象所在直線的斜率判斷.
【解答過程】等差數列的圖象所在直線的斜率，
則直線呈下降趨勢，故數列單調遞減.
故選：B.
【變式4-2】（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】設等差數列的公差為，則，利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.
【解答過程】設等差數列的公差為，則，記為不超過的最大整數.
若為單調遞增數列，則，
若，則當時，；若，則，
由可得，取，則當時，，
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”；
若存在正整數，當時，，取且，，
假設，令可得，且，
當時，，與題設矛盾，假設不成立，則，即數列是遞增數列.
所以，“是遞增數列”“存在正整數，當時，”.
所以，“是遞增數列”是“存在正整數，當時，”的充分必要條件.
故選：C.
【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習）下面是關于公差d>0的等差數列{}的四個結論：p1：數列{}是遞增數列；p2：數列{n}是遞增數列；p3：數列是遞增數列；p4：數列{＋3nd}是遞增數列.其中正確的為（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【解題思路】公差的等差數列是遞增數列；數列不一定是遞增數列；數列不一定是遞減數列；數列是遞增數列.
【解答過程】解：設等差數列首項a1，d>0，則＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴數列{}遞增，故p1正確；
n＝dn2＋(a1－d)n，當n<時，不遞增，故p2錯誤；
＝d＋，當時，不遞增，故p3錯誤；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(＋3nd)＝an＋1－＋3d＝4d>0，所以{＋3nd}遞增，故p4正確，
故選：D.
【題型5 等差數列的判定與證明】
【方法點撥】
判斷一個數列是等差數列的方法：(1)定義法：-=d(常數)(n){}是等差數列.
(2)遞推法(等差中項法)：=+(n){}是等差數列.
(3)通項公式法：=pn+q(p,q為常數,n){}是等差數列.
【例5】（2022·江蘇·高二階段練習）已知數列滿足，且.
(1)求；
(2)證明：數列是等差數列.
【解題思路】（1）利用賦值法，由遞推關系式依次求得；
（2）將推遞關系式進行變形，得到，從而得證.
【解答過程】（1）因為，
所以.
（2）因為，
所以，
則，
故，
又，所以，
所以數列是首項為，公差為的等差數列.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）在數列中，，.
(1)求，；
(2)證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
【解題思路】（1）利用賦值法得到關于的方程，解之即可；
（2）利用倒數法得到，從而證得為等差數列，進而求得的通項公式.
【解答過程】（1）因為，
所以當時，，則，即，解得，
當時，，則，即，解得，
所以，.
（2）因為，
所以，且，
所以數列是以3為首項，2為公差的等差數列，
故，則.
【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習（文））已知數列滿足，，且．
(1)證明：為等差數列；
(2)求數列的通項公式．
【解題思路】（1）依題意可得，將兩邊同時平方，整理即可得到，即可得證；
（2）由（1）可得，再解方程求出，即可得到，再檢驗即可.
【解答過程】（1）解：因為，
所以，則，即，
所以，
又，所以，
所以是以為首項，為公差的等差數列.
（2）解：由（1）可得，
所以，
解得
因為且，即數列為遞增數列，所以，
所以，
若，則，不符合題意，
故.
【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習）若數列的各項均為正數，對任意n∈N*，，為常數，且．
(1)求的值；
(2)求證：數列為等差數列．
【解題思路】（1）由已知得，，兩式作差即可求得的值；
（2）由，，兩式相減可得數列為常數列，進一步得，所以數列為等差數列．
【解答過程】（1）
因為對任意n∈N*，，
令n＝1，得①
令n＝2，得②
②－①得，即，
所以．
（2）
證明：，，
兩式相減得，
∴，即，
所以數列為常數列，所以＝＝2，
所以，
所以數列為等差數列．
【題型6 利用等差數列的性質解題】
【方法點撥】
對于等差數列的運算問題，可觀察已知項和待求項的序號之間的關系，利用等差數列的性質進行求解，這
樣可以減少運算量，提高運算速度.
【例6】（2022·江蘇·高二期中）已知數列為等差數列，，則（ ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【解題思路】根據等差數列的性質得到，計算得到答案.
【解答過程】，故，.
故選：B.
【變式6-1】（2022·福建莆田·高二期中）公差不為的等差數列中，，則的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由等差數列下標和性質可得，由此可得所有可能的取值，進而確定所有可能的結果.
【解答過程】由等差數列性質知：若，則，
又，，或或或或或或或或或，
可能的值為或或或或.
故選：C.
【變式6-2】（2022·浙江寧波·一模）已知數列與均為等差數列，且，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解題思路】根據等差數列的性質即可求解.
【解答過程】因為，，
所以，
即 ，
根據等差數列的性質可知，
所以.
故選:B.
【變式6-3】（2022·廣東肇慶·高三階段練習）已知是各項均為正數的等差數列，且，則的最大值為（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【解題思路】根據等差數列的性質，化簡原式，得到，用基本不等式求最值.
【解答過程】∵，∴，
由已知，得，
∴，當且僅當時等號成立.
故選：C.專題4.3 等差數列的概念（重難點題型精講）
1．等差數列的概念
(1)等差數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫
做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，常用字母d表示.
(2)對等差數列概念的理解
①“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.
②由概念可知，如果- ()恒等于一個常數，那么數列{}就是等差數列.
③如果一個數列，不是從第2項起，而是從第3項或以后起，每一項與它的前一項的差是同一常數，
那么這個數列不是等差數列.
④若數列從第2項起，每一項與它的前一項的差盡管都等于常數，但這些常數不都相等，那么這個數
列不是等差數列.
⑤對于公差d，需要強調的是它是從第2項起，每一項與其前一項的差，不要把被減數與減數弄顛倒.
2．等差中項
由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，則有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數成等差數列.
3．等差數列的通項公式
(1)等差數列的通項公式
等差數列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.
(2)等差數列通項公式的變形
已知等差數列{}中的任意兩項， (n,m,m≠n)，則
-=(n-m)d
4．等差數列與一次函數的關系
由等差數列的通項公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，當d=0時，=為常數列，當d≠0時，=
+(n-1)d是關于n的一次函數，一次項系數就是等差數列的公差，因此等差數列{}的圖象是直線y=dx+(-d)上一群均勻分布的孤立的點.
5．等差數列的單調性
由等差數列的通項公式和一次函數的關系可知等差數列的單調性受公差d影響.
①當d>0時，數列為遞增數列，如圖①所示；
②當d<0時，數列為遞減數列，如圖②所示；
③當d=0時，數列為常數列，如圖③所示.
因此，無論公差為何值，等差數列都不會是擺動數列.
6．等差數列的性質
設{}為等差數列，公差為d，則
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.
(2)數列{+b}(,b是常數)是公差為d的等差數列.
(3)若{}是公差為d'的等差數列，{}與{}的項數一致，則數列{+ (,為常數)是公差為
d+d'的等差數列.
(4)下標成等差數列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數列.
(5)在等差數列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.
【題型1 等差數列的基本量的求解】
【方法點撥】
根據所給條件，求解等差數列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·河南商丘·高三階段練習（文））已知為等差數列，若，，則的公差為（ ）
A．1 B． C． D．
【變式1-1】（2022·河南安陽·高二期中）已知等差數列中，，，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-2】（2022·浙江臺州·模擬預測）已知數列滿足：，，.若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【變式1-3】（2022·甘肅·高二階段練習）首項為的等差數列，從第10項開始為正數，則公差d的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【題型2 等差中項】
【方法點撥】
根據題目條件，結合等差中項的定義，即可得解.
【例2】（2022·陜西·高二階段練習）已知，，則的等差中項為（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）已知，，則a，b的等差中項為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022·四川省高二階段練習（文））等差數列的前三項依次為x，，，則x的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·浙江·高三專題練習）設、是實數，則“”是“為和的等差中項”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分也非必要條件
【題型3 等差數列的通項公式】
【方法點撥】
結合所給數列的遞推公式，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.
【例3】（2022·甘肅·高二階段練習）已知數列為等差數列，，那么數列的通項公式為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·陜西寶雞·高二期中）已知等差數列的前三項為，則此數列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高一課時練習）在等差數列中，若，則數列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．無法確定
【變式3-3】（2022·河南·二模（理））已知等差數列各項均為正數，，，則數列的通項公式為
A． B．
C． D．
【題型4 等差數列的單調性】
【方法點撥】
判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大??；作商比較法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數列{}的單調性.
【例4】（2022·北京·高三階段練習）已知等差數列單調遞增且滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習）已知點，是等差數列圖象上的兩點，則數列為（ ）
A．遞增數列 B．遞減數列 C．常數列 D．無法確定
【變式4-2】（2022·北京·高考真題）設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習）下面是關于公差d>0的等差數列{}的四個結論：p1：數列{}是遞增數列；p2：數列{n}是遞增數列；p3：數列是遞增數列；p4：數列{＋3nd}是遞增數列.其中正確的為（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
【題型5 等差數列的判定與證明】
【方法點撥】
判斷一個數列是等差數列的方法：(1)定義法：-=d(常數)(n){}是等差數列.
(2)遞推法(等差中項法)：=+(n){}是等差數列.
(3)通項公式法：=pn+q(p,q為常數,n){}是等差數列.
【例5】（2022·江蘇·高二階段練習）已知數列滿足，且.
(1)求；
(2)證明：數列是等差數列.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）在數列中，，.
(1)求，；
(2)證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習（文））已知數列滿足，，且．
(1)證明：為等差數列；
(2)求數列的通項公式．
【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習）若數列的各項均為正數，對任意n∈N*，，為常數，且．
(1)求的值；
(2)求證：數列為等差數列．
【題型6 利用等差數列的性質解題】
【方法點撥】
對于等差數列的運算問題，可觀察已知項和待求項的序號之間的關系，利用等差數列的性質進行求解，這
樣可以減少運算量，提高運算速度.
【例6】（2022·江蘇·高二期中）已知數列為等差數列，，則（ ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【變式6-1】（2022·福建莆田·高二期中）公差不為的等差數列中，，則的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2022·浙江寧波·一模）已知數列與均為等差數列，且，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式6-3】（2022·廣東肇慶·高三階段練習）已知是各項均為正數的等差數列，且，則的最大值為（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50

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