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專題4.11 數(shù)學(xué)歸納法（重難點題型精講）
1．歸納法
由一系列有限的特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想
的一種方法.
歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.
2．數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：
第一步(歸納莫基)，證明當n取第一個值()時命題成立；
第二步(歸納遞推)，以當n=k(k≥,k)時命題成立為條件，推出當n=k+1時命題也成立.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.
上述證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.
3．數(shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍
【題型1 數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】
【方法點撥】
結(jié)合所給條件，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，進行求解即可.
【例1】（2022·上海·高二專題練習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時等式成立，則還需利用假設(shè)再證（　　）
A．時不等式成立 B．時不等式成立
C．時不等式成立 D．時不等式成立
【解題思路】利用已知及其數(shù)學(xué)歸納法的定義即可得出．
【解答過程】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，
因為n只能取偶數(shù)，
所以還需要證明成立．
故選：B．
【變式1-1】（2022·吉林·模擬預(yù)測（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明時，在第一步歸納奠基時，要驗證的等式是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求，第一步歸納奠基時，驗證時的等式，結(jié)合所要證明的等式，即可得答案.
【解答過程】將代入等式，觀察左邊最后一項為 ，
則第一步歸納奠基時，要驗證的等式即為 ，
故選：D.
【變式1-2】（2022·上海·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 ，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】按照數(shù)學(xué)歸納法類比題干條件逐項展開即可.
【解答過程】當時,左邊等于;
當時,左邊等于
，
即左邊等于；
所以左邊增乘的項為，
故選：B.
【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習(xí)）在用數(shù)學(xué)歸納法求證：，（為正整數(shù)）的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，分別得到和時，左邊對應(yīng)的式子，兩式作商，即可得出結(jié)果.
【解答過程】當時，左邊，
當時，左邊，
則.
故選：D.
【題型2 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】
【方法點撥】
數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問題，其關(guān)鍵在于第二步，它有一個基本格式，我們不妨設(shè)命
題為P(n)：f(n)=g(n).其第二步相當于做一道條件等式的證明題.
【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（,）．
【解題思路】先驗證時，等式成立，再假設(shè)時，，由此需推出時，等式也成立，由此可得結(jié)論成立.
【解答過程】證明：①當 時，，，等式成立；
②假設(shè) 時，，
則時，
，
即時，等式成立，
綜合①②可知，（，）．
【變式2-1】（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)）．
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可完成證明
【解答過程】證明：①當時，左邊，右邊，等式成立．
②假設(shè)當時，等式成立，
即，
那么當時，
．
故當時，等式也成立．
綜上可知等式對任意正整數(shù)n都成立．
【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.
【解答過程】證明：（1）當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.
（2）假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2(k＋1) [2(k＋1)－3]＋3，
即當n＝k＋1時，等式也成立.
由（1）（2）知，等式對任何n∈N*都成立.
【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，其中.
【解題思路】首先假設(shè)首項成立，再假設(shè)時，等式成立，在利用歸納推理證明時也成立，即可證明.
【解答過程】（1）當時，左邊，
右邊，
所以左邊=右邊，等式成立.
（2）假設(shè)當時，等式成立，
即，
那么當時，
.等式成立
綜上，對任何，等式都成立.
【題型3 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】
【方法點撥】
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，一般有三種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行
證明；二是比較兩個式子的大小，先利用n的幾個特殊值猜想大小再給出證明；三是已知不等式成立，尋
求變量的取值范圍.
2.在證明由n=k到n=k+1成立時，一定要用歸納假設(shè)n=k時得到的中間過渡式，由過渡式到目標式的證
明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.
【例3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).
【解題思路】按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟直接證明即可.
【解答過程】(1)當n＝1時，左邊右邊，
即當n＝1時，原不等式成立，
(2)假設(shè)當n=k(k∈N*)時，原不等式成立，
即1+++…+≤+ k，
則當n=k+1時，
1+++…++++…+<+k+=+(k+1)，
即當n=k+1時，不等式成立，
綜合(1)和(2)得，原不等式對所有的n∈N*都成立.
【變式3-1】（2021·全國·高二專題練習(xí)）求證：.
【解題思路】根據(jù)給定條件借助數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟直接證明即可.
【解答過程】(1)當n=2時，左邊=，右邊=，顯然左邊>右邊，即原不等式成立，
(2)假設(shè)當n=k(k≥2，k∈N*)時，原不等式成立，即，
則當n=k+1時，
左邊=
=右邊，
因此，當n=k+1時，原不等式成立，
綜合(1)和(2)知，對一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
【變式3-2】證明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法可證明，先假設(shè)n＝k時成立，再證明n＝k＋1時成立即可.
【解答過程】當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．
假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即，
當n＝k＋1時，
，
所以當n＝k＋1時，不等式成立．
綜上，原不等式對任意n∈N*都成立．
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）證明：不等式，恒成立.
【解題思路】用數(shù)學(xué)歸納法證明，由時成立，再假設(shè) 時，不等式成立，然后論證時成立即可.
【解答過程】當時，成立，
假設(shè)時，不等式成立，
那么時，
，
，，，，
，
即時，該不等式也成立，
綜上：不等式，恒成立.
【題型4 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題】
【方法點撥】
用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出從n=k到n=k+1時圖形的變化.
【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）求證：n棱柱中過側(cè)棱的對角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個數(shù)是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
【解題思路】用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
【解答過程】證明:（1）當n＝4時，四棱柱有2個對角面，
此時f(4)＝×4×(4－3)＝2，命題成立.
（2）假設(shè)當n＝k(k≥4，k∈N*)時，命題成立.
即k棱柱中過側(cè)棱的對角面有f(k)＝k(k－3)個.
現(xiàn)在考慮n＝k＋1時的情形.
對于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1－B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1與其余和它不相鄰的(k－2)條棱共增加了(k－2)個對角面，而面A1B1BkAk變成了對角面.因此對角面的個數(shù)為f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立.
由（1）和（2），可知原結(jié)論成立.
【變式4-1】（2022·江蘇·高二課時練面內(nèi)有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù).
【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可證明結(jié)論．
【解答過程】證明：（1）當時，兩條直線的交點只有一個，又，
當時，命題成立．
（2）假設(shè)，且時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何條直線交點個數(shù)，
那么，當時，任取一條直線，除以外其他條直線交點個數(shù)為，與其他條直線交點個數(shù)為，從而條直線共有個交點，
即，
這表明，當時，命題成立．
由（1）、（2）可知，對命題都成立．
【變式4-2】（2022·全國·高二課時練面內(nèi)有個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這個圓把平面分成了個區(qū)域．
【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.
【解答過程】當時，1個圓將平面分為2個區(qū)域，，顯然命題成立，
假設(shè)當時，個圓將平面分為個區(qū)域，
當時，第個圓與前k個圓交于2k個點，這2k個點把這個圓分為2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成兩部分，
因此，這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2k個部分，
即，
即當時，命題成立，
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得：平面內(nèi)有個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，這個圓把平面分成了個區(qū)域.
【變式4-3】在平面直角坐標系中，函數(shù)f（x）＝1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數(shù)f（x）＝1﹣x2的圖象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k個矩形的面積，Sn表示這n個矩形的面積總和．
（1）求ak的表達式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，并求出Sn的表達式；
【解題思路】（1）第k個矩形的高為，然后直接求出第k個矩形的面積；
（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，然后由求出Sn．
【解答過程】解：（1）由題意第k個矩形的高是，
∴；
（2）（i）當n＝1時，，命題成立，
（ii）設(shè)n＝k時命題成立，即，
則n＝k+1時，
，
∴n＝k+1時命題成立，
綜上，n∈N*時，命題為真，即，
∴
．
【題型5 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】
【方法點撥】
用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是把n=k+1時的被除數(shù)分解成n=k時的式子及含有除數(shù)的式子的形式.
【例5】（2022·上海·高二專題練習(xí)）證明：當時，能被64整除．
【解題思路】運用數(shù)學(xué)歸納法進行證明即可.
【解答過程】（1）當時，能被64整除．
（2）假設(shè)當時，能被64整除，
則當時，．
故也能被64整除．
綜合（1）（2）可知當時，能被64整除．
【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？
【解題思路】先分別用n取1,2,3,4時驗證，則可猜想：可以被6整除，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
【解答過程】
時，原式，時，原式，時，原式，時，原式，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
證明：（1）當時，，命題顯然成立；
（2）假設(shè)當時，能被6整除．
當時，，
其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，
由假設(shè)知能被6整除,
故，，6分別能被6整除，
所以當時，命題也成立．
據(jù)（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然數(shù)6,，1，2，3整除.
【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）證明：能夠被6整除．
【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.
【解答過程】解：⑴當時，，顯然能夠被6整除，命題成立；
⑵假設(shè)當時，命題成立，即能夠被6整除，
當時，
，
由假設(shè)知：能夠被6整除，
而為偶數(shù)，故能夠被6整除，
故能夠被6整除，
即當時，命題成立，
由⑴⑵可知，命題對一切正整數(shù)成立，即能夠被6整除．
【變式5-3】（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除.
【解題思路】先驗證時，能被整除；假設(shè)當時，能被整除，再證明能被整除，結(jié)合歸納原理可得出結(jié)論成立.
【解答過程】證明：（1）當時，能被整除，所以結(jié)論成立；
（2）假設(shè)當時結(jié)論成立，即能被整除．
則當時，
，
因為能被整除，能被整除，
所以，能被整除，即即時結(jié)論也成立．
由（1）（2）知命題對一切都成立．
【題型6 用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題】
【方法點撥】
在給出了已知數(shù)列的遞推關(guān)系的情況下，可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項，利用不完全歸納法得出結(jié)論，然
后利用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.正確計算是歸納的前提，常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是歸納的橋
梁，而運用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿.
【例6】（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，其中且.
(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
【解題思路】（1）根據(jù)遞推關(guān)系寫出，的值，由所得前3項猜想通項公式即可.
（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，首先判斷時通項公式是否成立，再假設(shè)時通項公式成立，進而利用關(guān)系求證是否成立即可.
【解答過程】(1)
因為且.
所以，解得，
因為，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)
①當時，等式成立；
②假設(shè)當時猜想成立，即
那么，當時，由題設(shè)，得，，
所以，，
則.
因此，，
所以.
這就證明了當時命題成立.
由①②可知：命題對任何都成立.
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，且.
（1）求、、；
（2）由（1）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解題思路】（1）由，分別令，，求解：
（2）由（1）猜想，數(shù)列的通項公式為，由時成立，再假設(shè)，成立，然后論證時成立即可.
【解答過程】（1），
當時，，解得，即有；
當時，，解得，則；
當時，，解得，則；
（2）由（1）猜想可得數(shù)列的通項公式為.
下面運用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當時，由（1）可得成立；
②假設(shè)，成立，
當時，，
即有，
則，
當時，上式顯然成立；
當時，，即，
則當時，結(jié)論也成立.
由①②可得對一切，成立.
【變式6-2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的第2，3，4項；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
【解題思路】（I）利用數(shù)列遞推式，代入計算，即可求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{an}通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．
【解答過程】解：（Ⅰ）a1＝1且an+1，
∴a2，a3，a4；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，可猜想數(shù)an，
證明如下：①當n＝1時，等式成立，
假設(shè)當n＝k時等式成立，即ak，
那么當n＝k+1時，ak+1，
所以當n＝k+1時，等式成立，
由①②，對于任何n∈N*，an．
【變式6-3】（2022·廣西·高二階段練習(xí)（理））請你從下列兩個遞推公式中，任意選擇一個填入題中橫線上，并解答題后的兩個問題：
①
②
已知數(shù)列的前項和為，且，_______.
(1)求；
(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解題思路】（1）選擇條件①，分別令，3，4，能夠求出，，．
選擇條件②，分別令，2，3，能夠求出，，．
（2）由（1）猜想數(shù)列的通項公式：，檢驗時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明當時命題也成立．
【解答過程】(1)
解：選擇條件①，
當 時，，即，
當 時，，所以，即，
當 時，，即，
故分別為3，5，7.
選擇條件②，
當 時，，
當 時，.
當 時，
故分別為3，5，7.
(2)
解：猜想，理由如下：
選擇條件①
時，由題知，，猜想成立，
假設(shè)時，，
則，所以
兩式相減得：
即
所以，時成立，
綜上所述，任意，有．
選擇條件②
時，由題知，，猜想成立，
假設(shè)時，
則
所以，時成立，
綜上所述，任意，有．專題4.11 數(shù)學(xué)歸納法（重難點題型精講）
1．歸納法
由一系列有限的特殊事件得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想
的一種方法.
歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.
2．數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：
第一步(歸納莫基)，證明當n取第一個值()時命題成立；
第二步(歸納遞推)，以當n=k(k≥,k)時命題成立為條件，推出當n=k+1時命題也成立.
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.
上述證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.
3．數(shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍
【題型1 數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】
【方法點撥】
結(jié)合所給條件，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，進行求解即可.
【例1】（2022·上海·高二專題練習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時等式成立，則還需利用假設(shè)再證（　　）
A．時不等式成立 B．時不等式成立
C．時不等式成立 D．時不等式成立
【變式1-1】（2022·吉林·模擬預(yù)測（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明時，在第一步歸納奠基時，要驗證的等式是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·上海·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 ，從到左端需要增乘的代數(shù)式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習(xí)）在用數(shù)學(xué)歸納法求證：，（為正整數(shù)）的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（　　）
A． B．
C． D．
【題型2 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】
【方法點撥】
數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問題，其關(guān)鍵在于第二步，它有一個基本格式，我們不妨設(shè)命
題為P(n)：f(n)=g(n).其第二步相當于做一道條件等式的證明題.
【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（,）．
【變式2-1】（2022·廣西河池·高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)）．
【變式2-2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，其中.
【題型3 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】
【方法點撥】
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，一般有三種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行
證明；二是比較兩個式子的大小，先利用n的幾個特殊值猜想大小再給出證明；三是已知不等式成立，尋
求變量的取值范圍.
2.在證明由n=k到n=k+1成立時，一定要用歸納假設(shè)n=k時得到的中間過渡式，由過渡式到目標式的證
明可以用放縮法、基本不等式法、分析法等.
【例3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).
【變式3-1】（2021·全國·高二專題練習(xí)）求證：.
【變式3-2】證明不等式1＋＋＋…＋<2 (n∈N*)．
【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）證明：不等式，恒成立.
【題型4 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題】
【方法點撥】
用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出從n=k到n=k+1時圖形的變化.
【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）求證：n棱柱中過側(cè)棱的對角面(即過棱柱的兩條不相鄰的側(cè)棱的截面)的個數(shù)是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
【變式4-1】（2022·江蘇·高二課時練面內(nèi)有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù).
【變式4-2】（2022·全國·高二課時練面內(nèi)有個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這個圓把平面分成了個區(qū)域．
【變式4-3】在平面直角坐標系中，函數(shù)f（x）＝1﹣x2在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，試做如下操作：把x軸上的區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數(shù)f（x）＝1﹣x2的圖象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k個矩形的面積，Sn表示這n個矩形的面積總和．
（1）求ak的表達式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，并求出Sn的表達式；
【題型5 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】
【方法點撥】
用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是把n=k+1時的被除數(shù)分解成n=k時的式子及含有除數(shù)的式子的形式.
【例5】（2022·上海·高二專題練習(xí)）證明：當時，能被64整除．
【變式5-1】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？
【變式5-2】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）證明：能夠被6整除．
【變式5-3】（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除.
【題型6 用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題】
【方法點撥】
在給出了已知數(shù)列的遞推關(guān)系的情況下，可根據(jù)已知寫出數(shù)列的前幾項，利用不完全歸納法得出結(jié)論，然
后利用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.正確計算是歸納的前提，常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)結(jié)論是歸納的橋
梁，而運用數(shù)學(xué)歸納法證明才是歸納的最終歸宿.
【例6】（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，其中且.
(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，且.
（1）求、、；
（2）由（1）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【變式6-2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的第2，3，4項；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
【變式6-3】（2022·廣西·高二階段練習(xí)（理））請你從下列兩個遞推公式中，任意選擇一個填入題中橫線上，并解答題后的兩個問題：
①
②
已知數(shù)列的前項和為，且，_______.
(1)求；
(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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