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專題4.1 數列的概念（重難點題型精講）
1．數列的概念
數列的定義
一般地，把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.數列中的每一個數叫做這個數列的項，數列的第一
個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用表示第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.
2．數列的分類
3．數列的通項公式
如果數列{}的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這
個數列的通項公式.
4．數列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的遞推公式.
(2)對數列遞推公式的理解
①與“不一定所有數列都有通項公式”一樣，并不是所有的數列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.
如果用符合要求的正整數依次去替換n，就可以求出數列的各項.
③用遞推公式求出一個數列，必須給出：
基礎——數列{}的第1項(或前幾項)；
遞推關系——數列{}的任意一項與它的前一項 ()(或前幾項)間的關系，并且這個關系可
以用等式來表示.
5．數列表示方法及其比較
6．數列的前n項和
數列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{}的前n項和，記作，即=+++.
如果數列{}的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做
這個數列的前n項和公式.
=.
7．數列的性質
(1)單調性
如果對所有的，都有>，那么稱數列{}為遞增數列；如果對所有的，都有<
，那么稱數列{}為遞減數列.
(2)周期性
如果對所有的，都有= (k為正整數)，那么稱{}是以k為周期的周期數列.
(3)有界性
如果對所有的，都有，那么稱{}為有界數列，否則稱{}為無界數列.
【題型1 根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式】
【方法點撥】
根據數列的前幾項寫出其一個通項公式的方法：首先從下面4個角度觀察數列的前幾項：(1)各項的符號特
征；(2)各項能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相鄰項的變化規律.其次尋找各項與對應的項的序號
之間的規律.
【例1】（2022·甘肅·高二期中）數列的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2022·重慶高二階段練習）數列的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022·浙江·高二開學考試）已知數列的前4項為：1，，，，則數列的通項公式能為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）數列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 判斷數列的項】
【方法點撥】
根據題目條件，結合數列的通項公式，判斷所給的數是否滿足數列的通項公式，求出該數所對應的項數n，即可得解.
【例2】（2022·福建·高二階段練習）若一數列為1，，，，…，則是這個數列的（ ）．
A．不在此數列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項
【變式2-1】（2022·廣東佛山·高二期末）已知數列的通項公式為．則12是該數列的第（ ）項．
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2-2】（2022·四川省高一階段練習（理））已知數列的通項公式為那么是它的（ ）
A．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第10項
【變式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知數列的通項公式為，則下列不是數列的項的是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【題型3 根據數列的遞推公式求數列的項、通項公式】
【方法點撥】
結合所給數列的遞推公式，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.
【例3】（2022·陜西·高一期末（理））已知數列滿足，，則數列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2022·甘肅·二模（文））數列滿足，且，則（ ）
A．4043 B．4044 C．2021 D．2022
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則數列第2022項為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 數列的單調性的判斷】
【方法點撥】
判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數列{}的單調性.
【例4】（2022·浙江·高二期中）在數列中， ， ，則（　　）
A．數列單調遞減 B．數列單調遞增
C．數列先遞減后遞增 D．數列先遞增后遞減
【變式4-1】（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習）下列數列中，為遞減數列的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·天津·高三期中）數列的通項公式為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知數列滿足：（），且數列是遞增數列，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【題型5 數列的周期性】
【方法點撥】
結合具體條件，分析數列的前幾項，得出數列的周期，進行轉化求解即可.
【例5】（2022·福建·高二期中）在數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．3
【變式5-1】（2022·江蘇·高二期中）若數列滿足，，，則的值為（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．2
【變式5-2】（2022·河南·高二階段練習）已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習（文））已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型6 求數列的最大項、最小項】
【方法點撥】
利用數列的單調性或構造函數，利用函數的單調性，進行轉化求解即可.
【例6】（2022·山西·高三期中）已知數列滿足，，則數列（ ）
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）已知數列的通項公式為，則中的最大項為（ ）
A．第6項 B．第12項 C．第24項 D．第36項
【變式6-2】（2022·福建省高二階段練習）已知數列滿足，則數列的最大項為（ ）．
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知，則數列的前50項中，最小項和最大項分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，專題4.1 數列的概念（重難點題型精講）
1．數列的概念
數列的定義
一般地，把按照確定的順序排列的一列數稱為數列.數列中的每一個數叫做這個數列的項，數列的第一
個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用表示第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.
2．數列的分類
3．數列的通項公式
如果數列{}的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這
個數列的通項公式.
4．數列的遞推公式
(1)遞推公式的概念
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子就叫做這個數列的遞推公式.
(2)對數列遞推公式的理解
①與“不一定所有數列都有通項公式”一樣，并不是所有的數列都有遞推公式.
②遞推公式是給出數列的一種方法.事實上，遞推公式和通項公式一樣，都是關于項的序號n的恒等式.
如果用符合要求的正整數依次去替換n，就可以求出數列的各項.
③用遞推公式求出一個數列，必須給出：
基礎——數列{}的第1項(或前幾項)；
遞推關系——數列{}的任意一項與它的前一項 ()(或前幾項)間的關系，并且這個關系可
以用等式來表示.
5．數列表示方法及其比較
6．數列的前n項和
數列{}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{}的前n項和，記作，即=+++.
如果數列{}的前n項和與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做
這個數列的前n項和公式.
=.
7．數列的性質
(1)單調性
如果對所有的，都有>，那么稱數列{}為遞增數列；如果對所有的，都有<
，那么稱數列{}為遞減數列.
(2)周期性
如果對所有的，都有= (k為正整數)，那么稱{}是以k為周期的周期數列.
(3)有界性
如果對所有的，都有，那么稱{}為有界數列，否則稱{}為無界數列.
【題型1 根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式】
【方法點撥】
根據數列的前幾項寫出其一個通項公式的方法：首先從下面4個角度觀察數列的前幾項：(1)各項的符號特
征；(2)各項能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相鄰項的變化規律.其次尋找各項與對應的項的序號
之間的規律.
【例1】（2022·甘肅·高二期中）數列的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據分子、分母和正負號的變化即可得出通項公式.
【解答過程】解：由題意，
在數列中，
分母是以2為首項，2為公比的等比數列
分子是以3為首項，2為公差的等差數列，
∵數列的奇數項為正數，偶數項為負數，
∴比例系數為
∴數列的一個通項公式為：
，
故選：C.
【變式1-1】（2022·重慶高二階段練習）數列的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】令，代入各選項直接得出答案.
【解答過程】由題意得，令，
A選項：，不合題意；
B選項：，不合題意；
C選項：，不合題意；
D選項：，符合題意
故選：D.
【變式1-2】（2022·浙江·高二開學考試）已知數列的前4項為：1，，，，則數列的通項公式能為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】分母與項數關系是是，分子都是1，正負號相間出現，依此可得通項公式.
【解答過程】正負相間用表示，∴．
故選：D.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）數列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據0.3，0.33，0.333，0.3333，…與9，99，999，9999，…的關系，結合9，99，999，9999，…的通項公式求解即可.
【解答過程】數列9，99，999，9999，…的一個通項公式是，則數列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一個通項公式是，則數列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個通項公式是．
故選：C．
【題型2 判斷數列的項】
【方法點撥】
根據題目條件，結合數列的通項公式，判斷所給的數是否滿足數列的通項公式，求出該數所對應的項數n，即可得解.
【例2】（2022·福建·高二階段練習）若一數列為1，，，，…，則是這個數列的（ ）．
A．不在此數列中 B．第13項 C．第14項 D．第15項
【解題思路】根據給定的4項，寫出數列的一個通項公式即可計算作答.
【解答過程】因，因此符合題意的一個通項公式為，
由解得：，
所以是這個數列的第15項.
故選：D.
【變式2-1】（2022·廣東佛山·高二期末）已知數列的通項公式為．則12是該數列的第（ ）項．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】利用通項公式直接求解.
【解答過程】令，解得：（舍去）.
故選：B.
【變式2-2】（2022·四川省高一階段練習（理））已知數列的通項公式為那么是它的（ ）
A．第1項 B．第2項 C．第3項 D．第10項
【解題思路】由已知條件，根據通項公式求出即可得答案.
【解答過程】因為數列的通項公式為，
令，解得，
所以9是數列的第3項，
故選：C.
【變式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知數列的通項公式為，則下列不是數列的項的是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解題思路】根據數列的通項公式，判斷是否存在使得成立，可得答案.
【解答過程】由于數列的通項公式為，
故令，則 ，與 不符，故2不是數列的項；
令，令，令，
即4，8，16是數列的項，
故選:A.
【題型3 根據數列的遞推公式求數列的項、通項公式】
【方法點撥】
結合所給數列的遞推公式，分析數列之間的規律關系，轉化求解即可.
【例3】（2022·陜西·高一期末（理））已知數列滿足，，則數列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由題意可得數列為首項為3的常數列，從而可得出答案.
【解答過程】由題意得，即
所以數列是以首項為的常數列，
則，得.
故選：A.
【變式3-1】（2022·甘肅·二模（文））數列滿足，且，則（ ）
A．4043 B．4044 C．2021 D．2022
【解題思路】由，可得，即為常數列，進而可得，從而即可求解.
【解答過程】解：因為，所以，
所以，即為常數列，又，
所以，
所以，解得，
故選：A.
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用與的關系即得.
【解答過程】①，
當時，
②，
則①－②得，，
故．
當時，，也符合.
故選：D．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則數列第2022項為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題中條件可得到偶數項得關系，再進行累加即得.
【解答過程】，
所以，
，
，
累加得，
故選：C.
【題型4 數列的單調性的判斷】
【方法點撥】
判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數列{}的單調性.
【例4】（2022·浙江·高二期中）在數列中， ， ，則（　　）
A．數列單調遞減 B．數列單調遞增
C．數列先遞減后遞增 D．數列先遞增后遞減
【解題思路】由數列遞推式求出，可判斷，將兩邊平方得，判斷與 同號,結合，可判斷，即得答案.
【解答過程】由 ，，得 ， ，且可知 ．
再由，兩邊平方得 ①，
則 ②，
②﹣①得： ，∴ ，
∵，∴與 同號,
由 ，可知， ，即 ，
可知數列單調遞減．
故選：A．
【變式4-1】（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習）下列數列中，為遞減數列的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用第項與第項的差來確定數列的單調性即可得到結果.
【解答過程】對于A，，數列為遞增數列，A錯誤；
對于B，，
當時，數列遞增；當時，數列遞減，B錯誤；
對于C，，數列為遞增數列，C錯誤；
對于D，，數列為遞減數列，D正確.
故選：D.
【變式4-2】（2022·天津·高三期中）數列的通項公式為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【解題思路】根據以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可
【解答過程】由題意得數列為遞增數列等價于對任意恒成立，
即對任意恒成立，故，
所以“”是“為遞增數列”的充分不必要條件，
故選：A.
【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知數列滿足：（），且數列是遞增數列，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】仿照分段函數的單調性求解，同時注意．
【解答過程】由題意，
解得．
故選：C．
【題型5 數列的周期性】
【方法點撥】
結合具體條件，分析數列的前幾項，得出數列的周期，進行轉化求解即可.
【例5】（2022·福建·高二期中）在數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．3
【解題思路】根據數列的遞推式，計算數列的項，可推得數列為周期性數列，利用其周期即可求得答案.
【解答過程】由題意可得，，∴，，
，,
∴該數列是周期數列，周期,
又 ，∴ ，
故選：B．
【變式5-1】（2022·江蘇·高二期中）若數列滿足，，，則的值為（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．2
【解題思路】由得，依次列舉可得數列是以6為最小正周期的數列，則.
【解答過程】由得，故有
，，
，
，
，
，
，
，
故數列是以6為最小正周期的數列，由得.
故選：C.
【變式5-2】（2022·河南·高二階段練習）已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據遞推公式可驗證知數列是周期為的周期數列，則由可求得結果.
【解答過程】，，，
，，……，
以此類推，可知數列是周期為的周期數列，
.
故選：A.
【變式5-3】（2022·貴州·高三階段練習（文））已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據已知條件及遞推關系，結合數列的周期性即可求解.
【解答過程】由可知，得
因為,
所以，，，，，
所以是以3為周期的數列，則
故選：A.
【題型6 求數列的最大項、最小項】
【方法點撥】
利用數列的單調性或構造函數，利用函數的單調性，進行轉化求解即可.
【例6】（2022·山西·高三期中）已知數列滿足，，則數列（ ）
A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
【解題思路】根據遞推公式求得，再根據的單調性，即可判斷和選擇.
【解答過程】因為，，所以當時，；
當時，，故 ，
因為函數在區間上單調遞減，
所以當，時，是遞減數列.
又，所以，且，故數列的最小項為，最大項為.
故選：A.
【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）已知數列的通項公式為，則中的最大項為（ ）
A．第6項 B．第12項 C．第24項 D．第36項
【解題思路】作商當時，；反之.解出的值即可.
【解答過程】因為令，得，解得．
所以當時，，即，
當時，，即，因此當時，最大．
故選：C.
【變式6-2】（2022·福建省高二階段練習）已知數列滿足，則數列的最大項為（ ）．
A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項
【解題思路】用不等式法求出最大項的項數.
【解答過程】假設第n項最大（），
有，
又，所以，即數列的最大項為第7項.
故選：D.
【變式6-3】（2022·全國·高二課時練習）已知，則數列的前50項中，最小項和最大項分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解題思路】先對數列的通項公式進行變形，然后判斷單調性，結合單調性可求最值.
【解答過程】，
∵，，
∴當時，數列單調遞減，且；
當時，數列單調遞減，且.
∴在數列的前50項中，最小項和最大項分別是，.
故選：D.

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