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專題8.3 一元線性回歸模型及其應用（重難點題型精講）
1．一元線性回歸模型
把式子為Y關于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱
為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數，a稱為截距參數，b稱為斜率參數；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.
2．線性經驗回歸方程與最小二乘法
設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數據為(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，顯然||越小，表示樣本數據點離直線y=bx+a的豎直距離越小.
通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和Q=來刻畫各樣本觀測數據與直線
y=bx+a的“整體接近程度”.
當a，b的取值為時，Q達到最小.將=x+稱為Y關于x的經驗回歸方
程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計.
經驗回歸直線一定過點(,).
3．殘差分析
對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減
去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析.
4．刻畫回歸效果的方式
(1)殘差圖法
作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱
為殘差圖.在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.
(2)殘差平方和法
殘差平方和為，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.
(3)利用刻畫擬合效果
=.
越大，模型的擬合效果越好，越小，模型的擬合效果越差.
(1)對于變量x和變量y，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數據為(,)，(,)，，(,)，利用
相關系數r來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，相關系數r的計算公式：
（其中，，，和，，，的均值分別為和）.
①當r>0時，稱成對樣本數據正相關.這時，當其中一個數據的值變小時，另一個數據的值通常也變小；
當其中一個數據的值變大時，另一個數據的值通常也變大.
②當r<0時，稱成對樣本數據負相關.這時，當其中一個數據的值變小時，另一個數據的值通常會變大；
當其中一個數據的值變大時，另一個數據的值通常會變小.
【題型1 一元線性回歸模型】
【方法點撥】
根據一元線性回歸模型的定義，結合具體題目條件，進行求解即可.
【例1】（2022·高二單元測試）根據如下樣本數據，得到線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則當X每增加1個單位時，Y平均（ ）
X 3 4 5 6 7
Y 4.0 -0.5 0.5
A．增加1.4個單位 B．減少1.4個單位 C．增加7.9個單位 D．減少7.9個單位
【解題思路】根據已知條件解出m和n,得到線性回歸方程，即可得到答案.
【解答過程】樣本點的中心為，則，故，且，
解得，，則，可知當X每增加1個單位時，
Y平均減少1.4個單位．
故選：B．
【變式1-1】（2022春·黑龍江大慶·高二期末）給出下列說法中錯誤的是（ ）
A．回歸直線恒過樣本點的中心
B．兩個變量相關性越強，則相關系數就越接近1
C．某7個數的平均數為4，方差為2，現加入一個新數據4，此時這8個數的方差不變
D．在回歸直線方程中，當變量x增加一個單位時，平均減少0.5個單位
【解題思路】A中，根據回歸直線方程的特征，可判定是否正確；B中，根據相關系數的意義，可判定是否正確；C中，根據方差的計算公式，可判定是否正確；D中，根據回歸系數的含義，可判定是否正確.
【解答過程】對于A中，回歸直線恒過樣本點的中心，所以正確；
對于B中，根據相關系數的意義，可得兩個變量相關性越強，
則相關系數就越接近1，所以是正確的；
對于C中，根據平均數的計算公式可得，
根據方差的計算公式，所以是不正確的；
對于D中，根據回歸系數的含義，可得在回歸直線方程中，
當解釋變量增加一個單位時，
預報變量平均減少0.5個單位，所以是正確的.
故選：C.
【變式1-2】（2022春·河南南陽·高二期中）已知變量x和y的回歸直線方程為，變量y與z負相關．下列結論中正確的是（ ）
A．x與y正相關，x與z正相關 B．x與y正相關，x與z負相關
C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關
【解題思路】根據變量x和y的回歸直線方程判斷.
【解答過程】解：因為變量x和y的回歸直線方程為，且，
所以變量x與y正相關，
又變量y與z負相關，
所以x與z負相關，
故選：B.
【變式1-3】（2022春·陜西渭南·高一期末）根據如下樣本數據：
得到線性回歸方程為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據與負相關且樣本點集中在第一象限可判斷出結果.
【解答過程】由樣本數據知：與負相關，；
又樣本點位于第一象限，在軸截距為正，.
故選：B.
【題型2 殘差的計算】
【方法點撥】
根據題目條件，得出經驗回歸方程，再進行殘差的計算.
【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數據如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7
高度y/cm 1 4 6 9 11 12 13
由表格中數據可得y關于x的經驗回歸方程為，則第7天的殘差為（ ）
A．1.12 B．2.12 C． D．
【解題思路】依題意求出、，根據回歸直線方程必過樣本中心點求出，即可得到回歸直線方程，再根據殘差公式計算可得；
【解答過程】解：通過表格計算得，，，
因為經驗回歸直線過點，所以，
所以關于的經驗回歸方程為．
所以回歸模型第天的殘差．
故選：C．
【變式2-1】（2023春·河南開封·高三開學考試）某部門統計了某地區今年前7個月在線外賣的規模如下表：
月份代號x 1 2 3 4 5 6 7
在線外賣規模y（百萬元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6兩個月的在線外賣規模數據模糊，但這7個月的平均值為23．若利用回歸直線方程來擬合預測，且7月相應于點的殘差為，則（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
【解題思路】根據給定條件，求出，再借助回歸直線的特征及殘差列出方程組即可求解作答.
【解答過程】依題意，，而，于是得，
而當時，，即，聯立解得，
所以.
故選：B.
【變式2-2】（2022春·河南許昌·高二期末）為研究變量x，y的相關關系，收集得到下面五個樣本點（x，y）：
x 5.5 6.5 7 7.5 8.5
y 9 8 6 4 3
若由最小二乘法求得y關于x的回歸直線方程為，則據此計算殘差為1.1的樣本點是（ ）A．（5.5，9） B．（6.5，8） C．（7，6） D．（7.5，4）
【解題思路】先求出回歸方程的樣本中心點，從而可求得，再根據殘差的定義可判斷.
【解答過程】由題意可知，，，
所以回歸方程的樣本中心點為，
因此有，
所以，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
故選：B.
【變式2-3】（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習）在對具有線性相關的兩個變量和進行統計分析時，得到如下數據：
4 8 10 12
1 2 3 5 6
由表中數據求得關于的回歸方程為，則，，這三個樣本數據中，殘差的絕對值最小的是（ ）
A． B． C． D．和
【解題思路】根據樣本中心點一定在線性回歸方程上，求出，分別計算出三個樣本數據的殘差的絕對值，比較得到結果.
【解答過程】，，
因為樣本中心點一定在上，代入解得：
，
當時，，；
當時，，，
當時，，，
因為，
所以殘差的絕對值最小的是
故選：B.
【題型3 刻畫回歸效果的方式】
【方法點撥】
根據刻畫回歸效果的三種方式，結合具體題目條件，選取適當的方式來刻畫模型的擬合效果，即可得解.
【例3】（2022秋·寧夏銀川·高三開學考試）下列說法正確的個數是（ ）
(1)在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越差
(2)某地氣象局預報：6月9日本地降水概率為90%，結果這天沒下雨，這表明天氣預報并不科學
(3)回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好
(4)在回歸直線方程，當解釋變量每增加1個單位時，預報變量多增加0.1個單位
A．2 B．3 C．4 D．1
【解題思路】根據殘差分析的性質判斷(1)，(3)選項，由概率的意義判斷(2)選項，根據回歸直線方程的意義判斷(4).
【解答過程】解：對(1)，在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越好，故錯誤;
對(2)，概率只說明事件發生的可能性，某次事件不一定發生，所以并不能說明天氣預報不科學，故錯誤;
對(3)，在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故正確;
對(4)，在回歸直線方程，當解釋變量每增加1個單位時，預報變量增加0.1個單位，故正確.
故選:A.
【變式3-1】（2022春·山東菏澤·高二期末）關于線性回歸的描述，下列命題錯誤的是（ ）
A．回歸直線一定經過樣本點的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好
C．決定系數越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，決定系數越小
【解題思路】根據線性回歸的性質判斷即可
【解答過程】對A，回歸直線一定經過樣本點的中心正確；
對B，殘差平方和越小，擬合效果越好正確；
對C，決定系數越接近1，擬合效果越好正確；
對D，殘差平方和越小，擬合效果越好，決定系數越接近1，故D錯誤；
故選：D.
【變式3-2】（2022秋·廣東廣州·高三階段練習）對兩個變量和進行回歸分析，得到一組樣本數據，，…，則下列說法不正確的是（ ）
A．若變量和之間的相關系數為，則變量和之間具有較強的線性相關關系
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
C．用決定系數來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好
D．在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區域的寬度越窄，則回歸方程的預報精確度越高
【解題思路】變量和之間的相關系數為越大，則變量和之間具有較強的線性相關關系可判斷A；
殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好可判斷B；用決定系數來刻畫回歸效果，越大說明擬合效果越好可判斷 C；在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區域的寬度越窄，則回歸方程的預報精確度越高可判斷D.
【解答過程】變量和之間的相關系數為越大，則變量和之間具有較強的線性相關關系，故A正確；
殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故B正確；
用決定系數來刻畫回歸效果，越大說明擬合效果越好，故C錯誤；
在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區域的寬度越窄，則回歸方程的預報精確度越高，故D正確.
故選：C.
【變式3-3】（2022春·甘肅天水·高二階段練習）關于線性回歸的描述，有下列命題：
①回歸直線一定經過樣本中心點；
②相關系數的絕對值越大，擬合效果越好；
③相關指數越接近1擬合效果越好；
④殘差平方和越小，擬合效果越好.
其中正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】根據回歸直線方程的性質，相關系數、相關系數及殘差平方和的意義判斷各項的正誤即可.
【解答過程】對于①，回歸直線一定經過樣本中心點，故正確；
對于②，相關系數的絕對值越接近于1，相關性越強，故錯誤；
對于③，相關指數越接近1擬合效果越好，故正確；
對于④，殘差平方和越小，擬合效果越好，故正確.
故選：C.
【題型4 代入法求線性經驗回歸方程】
【方法點撥】
經驗回歸直線一定經過樣本點的中心(,)，求出樣本點的中心后代入線性回歸方程求解相應字母.
【例4】（2023秋·四川廣安·高二階段練習）已知兩個變量和之間存在線性相關關系，某興趣小組收集了一組，的樣本數據如下表所示：
1 2 3 4 5
0.5 0.6 1 1.4 1.5
根據表中數據利用最小二乘法得到的回歸方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出，，由回歸直線必過樣本中心，將點（，）依次代入各項檢驗是否成立可得結果.
【解答過程】∵，
∴回歸直線必過樣本中心（3,1），
而A、B、D項中的回歸直線方程不過點（3,1），C項的回歸直線方程過點（3,1），
故選：C.
【變式4-1】（2022秋·陜西榆林·高二期中）已知，的取值如下表所示：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若與線性相關，且，則（ ）
A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6
【解題思路】利用平均數可得樣本的中心點為，將中心點對應的值代入題目中的等式即可求出的值.
【解答過程】由表格，得，
，
線性回歸直線過樣本中心點，
所以，所以.
故選：D.
【變式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如表：
廣告費用x（萬元） 3 4 5 6
銷售額y（萬元） 25 30 40 45
根據如表可得回歸方程中的為7．根據此模型預測廣告費用為10萬元時銷售額為（ ）萬元A．63.6 B．75.5 C．73.5 D．72.0
【解題思路】線性回歸方程．根據回歸方程必過樣本中心點，求出回歸系數，再將代入，即可得到預報銷售額．
【解答過程】解：由題意，，，
由回歸方程中的為7可得，，解得，
所以，回歸方程為，
所以時，元．
故選：C．
【變式4-3】（2023秋·四川宜賓·高二期末）某小區流感大爆發，當地醫療機構使用中西醫結合的方法取得了不錯的成效，每周治愈的患者人數如表所示，由表格可得y關于x的線性經驗回歸方程為，則測此回歸模型第4周的治愈人數為（ ）
周數（x） 1 2 3 4 5
治愈人數（y） 5 15 35 ？ 140
A． B． C． D．
【解題思路】設第4周的治愈人數為，表示出樣本中心點，代入到回歸方程中，進而可求出答案.
【解答過程】根據題意，設第4周的治愈人數為，
則有，，
所以樣本中心點為，代入到回歸方程中，
得，
故選：B.
【題型5 經驗回歸模型的應用】
【方法點撥】
(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應變量；
(2)畫出解釋變量和響應變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)；
(3)確定經驗回歸方程的類型(如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性經驗回歸方程)；
(4)按一定規則(如最小二乘法)估計經驗回歸方程中的參數；
(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規律性等)，若存在異
常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.
【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如表．
商店名稱 A B C D E
銷售額x（千萬元） 3 5 6 7 9
利潤額y（千萬元） 2 3 3 4 5
(1)若銷售額和利潤額具有相關關系，用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程．
（參考公式，）
(2)若該公司計劃再開一個店想達到預期利潤為8百萬，請預估銷售額需要達到多少
【解題思路】（1）根據已知條件，結合最小二乘法和回歸直線方程的公式，即可求解.
（2）將代入回歸直線方程中，即可求解.
【解答過程】（1）由表中的數據可得，，，
，，
故利潤額y對銷售額x的回歸直線方程為．
（2）∵該公司計劃再開一個店想達到預期利潤為8百萬，即0.8千萬，
∴，解得，故預計銷售額需要達到8百萬．
【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）目前手機已經成為人們生活中的必需品，國內市場已經進入成熟期，下表是2016—2021年某市手機總體出貨量（單位：萬部）統計表．
年份 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代碼 1 2 3 4 5 6
手機總體出貨量/萬部 5.6 4.9 4.1 3.9 3.2 3.5
(1)已知該市手機總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回歸模型擬合，求y關于x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；
(2)預測2022年該市手機總體出貨量．
附：線性回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為，．
【解題思路】（1）根據題中所給數據，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）將代入（1）中回歸方程，即可得解.
【解答過程】（1）由題中統計表得，
，
所以 ，
，
則，
，
所以y關于x的線性回歸方程為；
（2）由題意得2022年對應的年份代碼，
代入，得，
所以預測2022年該市手機總體出貨量為2.63萬部．
【變式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工廠統計2022年銷售網點數量與售賣出的產品件數的數據如下表：
銷售網點數x（單位：個） 17 19 20 21 23
售賣出的產品件數y（單位：萬件） 21 22 25 27 30
假定該工廠銷售網點的個數與售賣出的產品件數呈線性相關關系，
(1)求2022年售賣出的產品件數y（單位：萬件）關于銷售網點數x（單位：個）的線性回歸方程；
(2)根據（1）中求出的線性回歸方程，預測2022年該工廠建立40個銷售網點時售賣出的產品件數.
參考公式：，.
【解題思路】（1）由參考公式可算出銷售網點數x（單位：個）的線性回歸方程；
（2）將代入由（1）算得的回歸方程可得答案.
【解答過程】（1）由題，可得，
，
，
.
則，.
故回歸方程為：.
（2）將代入回歸方程，則.
故2022年該工廠建立40個銷售網點時售賣出的產品件數約萬件.
【變式5-3】（2023·山東·模擬預測）我國技術給直播行業帶來了很多發展空間，加上受疫情影響，直播這種成本較低的獲客渠道備受商家青睞，某商場統計了2022年1~5月某商品的線上月銷售量y（單位：千件）與售價x（單位：元/件）的情況如下表示．
月份 1 2 3 4 5
售價x（元/件） 60 56 58 57 54
月銷售量y（千件） 5 9 7 10 9
(1)求相關系數，并說明是否可以用線性回歸模型擬合與的關系（當時，可以認為兩個變量有很強的線性相關性；否則，沒有很強的線性相關性）（精確到0.01）；
(2)建立關于的線性回歸方程，并估計當售價為元/件時，該商品的線上月銷售量估計為多少千件？
(3)若每件商品的購進價格為元/件，如果不考慮其他費用，由（2）中結論，當商品售價為多少時，可使得該商品的月利潤最大？（該結果保留整數）
參考公式：對于一組數據，相關系數，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：．參考數據：．
【解題思路】（1）根據數據計算，從而分別代入計算出，，，由公式計算相關系數并判斷相關性；
（2）代入公式求解，，從而寫出回歸方程，再代入，計算；
（3）設每月的利潤為元，寫出關于的函數解析式，根據二次函數的性質，求解對稱軸即可.
【解答過程】（1）由已知數據可得，
，
，
，
所以相關系數，
因為，所以與有很強的線性相關性，可以用線性回歸模型擬合．
（2）由于，
，
所以關于的線性回歸方程為，
當時，，
故當售價為元/件時，該商品的線上月銷售量估計為千件．
（3）設每月的利潤為元，則，
當時，Z取得最大值．
即當商品售價為元/件時，可使得該商品的月利潤最大．
【題型6 非線性經驗回歸方程的求法】
【方法點撥】
(1)作散點圖確定曲線模型：曲線所對應的函數種類繁多，這就要求我們充分想象，大膽猜測擬合函數類型，
粗略估計使用哪個函數擬合.
(2)非線性轉化為線性：先通過適當變換化非線性關系為線性關系，然后按照線性檢驗回歸方程的求解步驟
進行求解.
(3)分析模型的擬合效果，得出結論.
【例6】（2023·陜西西安·統考一模）為了研究某種細菌隨天數x變化的繁殖個數y，收集數據如下：
天數x 1 2 3 4 5 6
繁殖個數y 3 6 13 25 45 100
(1)判斷（為常數）與（為常數，且）哪一個適宜作為繁殖個數y關于天數x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對于非線性回歸方程（為常數，且），令，可以得到繁殖個數的對數z關于天數x具有線性關系及一些統計量的值，
3.50 32 2.85 17.5 307 12.12
（ⅰ）證明：對于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個數的對數z關于天數x具有線性關系（即為常數）；
（ⅱ）根據（ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程（系數保留2位小數）．
附：對于一組數據其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為．
【解題思路】（1）根據給定數據作出散點圖，再借助散點圖即可判斷作答.
（2）（ⅰ）由（1）選定的回歸方程類型，取對數即可得關于x的直線方程作答；（ⅱ）由（ⅰ）的結果，利用最小二乘法求解作答.
【解答過程】（1）作出繁殖個數y關于天數x變化的散點圖，如圖，
觀察散點圖知，樣本點分布在一條指數型曲線周圍，
所以更適宜作為繁殖個數y關于天數x變化的回歸方程類型.
（2）（ⅰ）由（1）知，（為常數，且），又，
因此，令，即有為常數，
所以繁殖個數的對數z關于天數x具有線性關系.
（ⅱ），，由（ⅰ）知，
，
，因此，
所以y關于x的回歸方程為.
【變式6-1】（2023·云南·高三階段練習）近年來，云南省保山市龍陵縣緊緊圍繞打造“中國石斛之鄉”的發展定位，大力發展石斛產業，該產業帶動龍陵縣近四分之一人口脫貧致富．2022年8月，龍陵紫皮石斛獲國家地理標志運用促進工程重點項目，并被評為優秀等次．在政府的大力扶持下，龍陵紫皮石斛產量逐年增長，2017年底到2022年底龍陵縣石斛產量統計如下及散點圖如圖．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代碼x 1 2 3 4 5 6
紫皮石斛產量y（噸） 3200 3400 3600 4200 7500 9000
(1)根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為常數）哪一個更適合作為龍陵縣紫皮石斛產量y關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)經計算得下表中數據，根據（1）中結果，求出y關于x的回歸方程；
3.5 5150 8.46 17.5 20950 3.85
其中．
(3)龍陵縣計劃到2025年底實現紫皮石斛年產量達1.5萬噸，根據（2）所求得的回歸方程，預測該目標是否能完成？（參考數據：）
附：，．
【解題思路】（1）根據判斷即可；
（2）根據表中數據和參考數據，利用公式求解即可；
（3）根據（2）中所得的回歸方程即可預測到2025年底該目標值，從而即可判斷．
【解答過程】（1）由散點圖可知，更適合作為龍陵縣紫皮石斛產量y關于年份代碼x的回歸方程類型．
（2）對兩邊取自然對數，得．
令，所以．
因為，
所以．
所以，
所以．
所以龍陵縣紫皮石斛產量y關于年份代碼x的回歸方程為．
（3）當時，，
故預測該目標可以完成．
【變式6-2】（2023·江西撫州·高三開學考試）數據顯示中國車載音樂已步入快速發展期，隨著車載音樂的商業化模式進一步完善，市場將持續擴大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場規模（單位：十億元），其中年份2018—2022對應的代碼分別為1—5．
年份代碼x 1 2 3 4 5
車載音樂市場規模y 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表數據知，可用指數函數模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1）；
(2)綜合考慮2023年及2024年的經濟環境及疫情等因素，某預測公司根據上述數據求得y關于x的回歸方程后，通過修正，把作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，請根據2022年中國車載音樂市場規模及修正后的年平均增長率預測2024年的中國車載音樂市場規模．
參考數據：
1.94 33.82 1.7 1.6
其中，．
參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
【解題思路】（1）由得，由回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式求得，從而求得y關于x的回歸方程.
（2）兩年的年平均增長率為0.3，故2024年的中國車載音樂市場規模為
【解答過程】（1）因為，所以兩邊同時取常用對數，得，設，所以，設，
因為，所以
，
所以
所以
所以
（2）由題意知2023年與2024年這兩年的年平均增長率，
2022年中國車載音樂市場規模為1.7，
故預測2024年的中國車載音樂市場規模（十億元）.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）某企業為改進生產，現 某產品及成本相關數據進行統計．現收集了該產品的成本費y（單位：萬元/噸）及同批次產品生產數量x（單位：噸）的20組數據．現分別用兩種模型①，②進行擬合，據收集到的數據，計算得到如下值：
14.5 0.08 665 0.04 -450 4
表中，．
若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．
(1)利用和比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；
(2)根據（1）中所選擇的模型，求y關于x的回歸方程；并求同批次產品生產數量為25（噸）時y的預報值．
附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．
【解題思路】（1）根據已知，根據的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；
（2）與可用線性回歸來擬合，有，求出系數，得到回歸方程，即可得到成本費與同批次產品生產數量的回歸方程為，代入，即可求出結果.
【解答過程】（1）應該選擇模型②.
由題意可知，，則模型②中樣本數據的殘差平方和比模型①中樣本數據的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.
（2）由已知，成本費與可用線性回歸來擬合，有.
由已知可得，，
所以，
則關于的線性回歸方程為.
成本費與同批次產品生產數量的回歸方程為，
當（噸）時，（萬元/噸）.
所以，同批次產品生產數量為25（噸）時y的預報值為6萬元/噸.專題8.3 一元線性回歸模型及其應用（重難點題型精講）
1．一元線性回歸模型
把式子為Y關于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱
為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數，a稱為截距參數，b稱為斜率參數；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.
2．線性經驗回歸方程與最小二乘法
設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數據為(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，顯然||越小，表示樣本數據點離直線y=bx+a的豎直距離越小.
通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和Q=來刻畫各樣本觀測數據與直線
y=bx+a的“整體接近程度”.
當a，b的取值為時，Q達到最小.將=x+稱為Y關于x的經驗回歸方
程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計.
經驗回歸直線一定過點(,).
3．殘差分析
對于響應變量Y，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減
去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析.
4．刻畫回歸效果的方式
(1)殘差圖法
作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱
為殘差圖.在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.
(2)殘差平方和法
殘差平方和為，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.
(3)利用刻畫擬合效果
=.
越大，模型的擬合效果越好，越小，模型的擬合效果越差.
(1)對于變量x和變量y，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數據為(,)，(,)，，(,)，利用
相關系數r來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，相關系數r的計算公式：
（其中，，，和，，，的均值分別為和）.
①當r>0時，稱成對樣本數據正相關.這時，當其中一個數據的值變小時，另一個數據的值通常也變小；
當其中一個數據的值變大時，另一個數據的值通常也變大.
②當r<0時，稱成對樣本數據負相關.這時，當其中一個數據的值變小時，另一個數據的值通常會變大；
當其中一個數據的值變大時，另一個數據的值通常會變小.
【題型1 一元線性回歸模型】
【方法點撥】
根據一元線性回歸模型的定義，結合具體題目條件，進行求解即可.
【例1】（2022·高二單元測試）根據如下樣本數據，得到線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則當X每增加1個單位時，Y平均（ ）
X 3 4 5 6 7
Y 4.0 -0.5 0.5
A．增加1.4個單位 B．減少1.4個單位 C．增加7.9個單位 D．減少7.9個單位
【變式1-1】（2022春·黑龍江大慶·高二期末）給出下列說法中錯誤的是（ ）
A．回歸直線恒過樣本點的中心
B．兩個變量相關性越強，則相關系數就越接近1
C．某7個數的平均數為4，方差為2，現加入一個新數據4，此時這8個數的方差不變
D．在回歸直線方程中，當變量x增加一個單位時，平均減少0.5個單位
【變式1-2】（2022春·河南南陽·高二期中）已知變量x和y的回歸直線方程為，變量y與z負相關．下列結論中正確的是（ ）
A．x與y正相關，x與z正相關 B．x與y正相關，x與z負相關
C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關
【變式1-3】（2022春·陜西渭南·高一期末）根據如下樣本數據：
得到線性回歸方程為，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 殘差的計算】
【方法點撥】
根據題目條件，得出經驗回歸方程，再進行殘差的計算.
【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數據如下表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7
高度y/cm 1 4 6 9 11 12 13
由表格中數據可得y關于x的經驗回歸方程為，則第7天的殘差為（ ）
A．1.12 B．2.12 C． D．
【變式2-1】（2023春·河南開封·高三開學考試）某部門統計了某地區今年前7個月在線外賣的規模如下表：
月份代號x 1 2 3 4 5 6 7
在線外賣規模y（百萬元） 11 13 18 ★ 28 ★ 35
其中4、6兩個月的在線外賣規模數據模糊，但這7個月的平均值為23．若利用回歸直線方程來擬合預測，且7月相應于點的殘差為，則（ ）
A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0
【變式2-2】（2022春·河南許昌·高二期末）為研究變量x，y的相關關系，收集得到下面五個樣本點（x，y）：
x 5.5 6.5 7 7.5 8.5
y 9 8 6 4 3
若由最小二乘法求得y關于x的回歸直線方程為，則據此計算殘差為1.1的樣本點是（ ）A．（5.5，9） B．（6.5，8） C．（7，6） D．（7.5，4）
【變式2-3】（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習）在對具有線性相關的兩個變量和進行統計分析時，得到如下數據：
4 8 10 12
1 2 3 5 6
由表中數據求得關于的回歸方程為，則，，這三個樣本數據中，殘差的絕對值最小的是（ ）
A． B． C． D．和
【題型3 刻畫回歸效果的方式】
【方法點撥】
根據刻畫回歸效果的三種方式，結合具體題目條件，選取適當的方式來刻畫模型的擬合效果，即可得解.
【例3】（2022秋·寧夏銀川·高三開學考試）下列說法正確的個數是（ ）
(1)在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄表示回歸效果越差
(2)某地氣象局預報：6月9日本地降水概率為90%，結果這天沒下雨，這表明天氣預報并不科學
(3)回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好
(4)在回歸直線方程，當解釋變量每增加1個單位時，預報變量多增加0.1個單位
A．2 B．3 C．4 D．1
【變式3-1】（2022春·山東菏澤·高二期末）關于線性回歸的描述，下列命題錯誤的是（ ）
A．回歸直線一定經過樣本點的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好
C．決定系數越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，決定系數越小
【變式3-2】（2022秋·廣東廣州·高三階段練習）對兩個變量和進行回歸分析，得到一組樣本數據，，…，則下列說法不正確的是（ ）
A．若變量和之間的相關系數為，則變量和之間具有較強的線性相關關系
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
C．用決定系數來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好
D．在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區域的寬度越窄，則回歸方程的預報精確度越高
【變式3-3】（2022春·甘肅天水·高二階段練習）關于線性回歸的描述，有下列命題：
①回歸直線一定經過樣本中心點；
②相關系數的絕對值越大，擬合效果越好；
③相關指數越接近1擬合效果越好；
④殘差平方和越小，擬合效果越好.
其中正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型4 代入法求線性經驗回歸方程】
【方法點撥】
經驗回歸直線一定經過樣本點的中心(,)，求出樣本點的中心后代入線性回歸方程求解相應字母.
【例4】（2023秋·四川廣安·高二階段練習）已知兩個變量和之間存在線性相關關系，某興趣小組收集了一組，的樣本數據如下表所示：
1 2 3 4 5
0.5 0.6 1 1.4 1.5
根據表中數據利用最小二乘法得到的回歸方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022秋·陜西榆林·高二期中）已知，的取值如下表所示：
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若與線性相關，且，則（ ）
A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6
【變式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如表：
廣告費用x（萬元） 3 4 5 6
銷售額y（萬元） 25 30 40 45
根據如表可得回歸方程中的為7．根據此模型預測廣告費用為10萬元時銷售額為（ ）萬元A．63.6 B．75.5 C．73.5 D．72.0
【變式4-3】（2023秋·四川宜賓·高二期末）某小區流感大爆發，當地醫療機構使用中西醫結合的方法取得了不錯的成效，每周治愈的患者人數如表所示，由表格可得y關于x的線性經驗回歸方程為，則測此回歸模型第4周的治愈人數為（ ）
周數（x） 1 2 3 4 5
治愈人數（y） 5 15 35 ？ 140
A． B． C． D．
【題型5 經驗回歸模型的應用】
【方法點撥】
(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應變量；
(2)畫出解釋變量和響應變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)；
(3)確定經驗回歸方程的類型(如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性經驗回歸方程)；
(4)按一定規則(如最小二乘法)估計經驗回歸方程中的參數；
(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規律性等)，若存在異
常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.
【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如表．
商店名稱 A B C D E
銷售額x（千萬元） 3 5 6 7 9
利潤額y（千萬元） 2 3 3 4 5
(1)若銷售額和利潤額具有相關關系，用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程．
（參考公式，）
(2)若該公司計劃再開一個店想達到預期利潤為8百萬，請預估銷售額需要達到多少
【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）目前手機已經成為人們生活中的必需品，國內市場已經進入成熟期，下表是2016—2021年某市手機總體出貨量（單位：萬部）統計表．
年份 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代碼 1 2 3 4 5 6
手機總體出貨量/萬部 5.6 4.9 4.1 3.9 3.2 3.5
(1)已知該市手機總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回歸模型擬合，求y關于x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；
(2)預測2022年該市手機總體出貨量．
附：線性回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為，．
【變式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工廠統計2022年銷售網點數量與售賣出的產品件數的數據如下表：
銷售網點數x（單位：個） 17 19 20 21 23
售賣出的產品件數y（單位：萬件） 21 22 25 27 30
假定該工廠銷售網點的個數與售賣出的產品件數呈線性相關關系，
(1)求2022年售賣出的產品件數y（單位：萬件）關于銷售網點數x（單位：個）的線性回歸方程；
(2)根據（1）中求出的線性回歸方程，預測2022年該工廠建立40個銷售網點時售賣出的產品件數.
參考公式：，.
【變式5-3】（2023·山東·模擬預測）我國技術給直播行業帶來了很多發展空間，加上受疫情影響，直播這種成本較低的獲客渠道備受商家青睞，某商場統計了2022年1~5月某商品的線上月銷售量y（單位：千件）與售價x（單位：元/件）的情況如下表示．
月份 1 2 3 4 5
售價x（元/件） 60 56 58 57 54
月銷售量y（千件） 5 9 7 10 9
(1)求相關系數，并說明是否可以用線性回歸模型擬合與的關系（當時，可以認為兩個變量有很強的線性相關性；否則，沒有很強的線性相關性）（精確到0.01）；
(2)建立關于的線性回歸方程，并估計當售價為元/件時，該商品的線上月銷售量估計為多少千件？
(3)若每件商品的購進價格為元/件，如果不考慮其他費用，由（2）中結論，當商品售價為多少時，可使得該商品的月利潤最大？（該結果保留整數）
參考公式：對于一組數據，相關系數，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：．參考數據：．
【題型6 非線性經驗回歸方程的求法】
【方法點撥】
(1)作散點圖確定曲線模型：曲線所對應的函數種類繁多，這就要求我們充分想象，大膽猜測擬合函數類型，
粗略估計使用哪個函數擬合.
(2)非線性轉化為線性：先通過適當變換化非線性關系為線性關系，然后按照線性檢驗回歸方程的求解步驟
進行求解.
(3)分析模型的擬合效果，得出結論.
【例6】（2023·陜西西安·統考一模）為了研究某種細菌隨天數x變化的繁殖個數y，收集數據如下：
天數x 1 2 3 4 5 6
繁殖個數y 3 6 13 25 45 100
(1)判斷（為常數）與（為常數，且）哪一個適宜作為繁殖個數y關于天數x變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)對于非線性回歸方程（為常數，且），令，可以得到繁殖個數的對數z關于天數x具有線性關系及一些統計量的值，
3.50 32 2.85 17.5 307 12.12
（ⅰ）證明：對于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個數的對數z關于天數x具有線性關系（即為常數）；
（ⅱ）根據（ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程（系數保留2位小數）．
附：對于一組數據其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為．
【變式6-1】（2023·云南·高三階段練習）近年來，云南省保山市龍陵縣緊緊圍繞打造“中國石斛之鄉”的發展定位，大力發展石斛產業，該產業帶動龍陵縣近四分之一人口脫貧致富．2022年8月，龍陵紫皮石斛獲國家地理標志運用促進工程重點項目，并被評為優秀等次．在政府的大力扶持下，龍陵紫皮石斛產量逐年增長，2017年底到2022年底龍陵縣石斛產量統計如下及散點圖如圖．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代碼x 1 2 3 4 5 6
紫皮石斛產量y（噸） 3200 3400 3600 4200 7500 9000
(1)根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為常數）哪一個更適合作為龍陵縣紫皮石斛產量y關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)經計算得下表中數據，根據（1）中結果，求出y關于x的回歸方程；
3.5 5150 8.46 17.5 20950 3.85
其中．
(3)龍陵縣計劃到2025年底實現紫皮石斛年產量達1.5萬噸，根據（2）所求得的回歸方程，預測該目標是否能完成？（參考數據：）
附：，．
【變式6-2】（2023·江西撫州·高三開學考試）數據顯示中國車載音樂已步入快速發展期，隨著車載音樂的商業化模式進一步完善，市場將持續擴大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場規模（單位：十億元），其中年份2018—2022對應的代碼分別為1—5．
年份代碼x 1 2 3 4 5
車載音樂市場規模y 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
(1)由上表數據知，可用指數函數模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的回歸方程（a，b的值精確到0.1）；
(2)綜合考慮2023年及2024年的經濟環境及疫情等因素，某預測公司根據上述數據求得y關于x的回歸方程后，通過修正，把作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，請根據2022年中國車載音樂市場規模及修正后的年平均增長率預測2024年的中國車載音樂市場規模．
參考數據：
1.94 33.82 1.7 1.6
其中，．
參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）某企業為改進生產，現 某產品及成本相關數據進行統計．現收集了該產品的成本費y（單位：萬元/噸）及同批次產品生產數量x（單位：噸）的20組數據．現分別用兩種模型①，②進行擬合，據收集到的數據，計算得到如下值：
14.5 0.08 665 0.04 -450 4
表中，．
若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．
(1)利用和比較模型①、②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；
(2)根據（1）中所選擇的模型，求y關于x的回歸方程；并求同批次產品生產數量為25（噸）時y的預報值．
附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．

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