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專題03 橢圓13種常見考法歸類（1）
專題03 橢圓13種常見考法歸類（1）
思維導(dǎo)圖
核心考點聚焦
考點一、求橢圓的標準方程
考點二、點與橢圓的位置關(guān)系
考點三、橢圓的定義及其應(yīng)用
（一）根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)的范圍
（二）橢圓的焦點三角形問題
考點四、求橢圓的離心率
（一）求橢圓的離心率
（二）求橢圓的離心率的取值范圍
（三）由橢圓的離心率求參數(shù)（范圍）
考點五、與橢圓有關(guān)的軌跡問題
考點六、直線與橢圓的位置關(guān)系
考點七、弦長及中點弦問題
（一）弦長問題
（二）中點弦問題
考點八、求橢圓的參數(shù)或范圍問題
考點九、求橢圓的最值問題
考點十、橢圓的定點、定值問題
考點十一、橢圓中的向量問題
考點十二、橢圓的實際應(yīng)用問題
考點十三、與橢圓有關(guān)的綜合問題
知識點1 橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個問題
（1）定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．
（2）常數(shù)（2a）必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓．
①若，M的軌跡為線段；
②若，M的軌跡無圖形
知識點2 橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0）
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1（－a，0），A2（a，0），_ B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0）
軸長 長軸長＝，短軸長＝
焦點 F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0） F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c）
焦距 |F1F2|＝
對稱性 對稱軸x軸和y軸，對稱中心（0，0）
離心率 e＝ （0知識點3 橢圓的焦點三角形
橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．
以橢圓＋＝1（a>b>0）上一點P（x0，y0）（y0≠0）和焦點F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
（1）橢圓的定義：|PF1|＋|PF2|＝2a．
（2）余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ．
（3）面積公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值，為bc．
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形內(nèi)切圓的半徑）
（4）焦點三角形的周長為2（a＋c）．
（5）在橢圓C：＋＝1（a>b>0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意的一點，當點P在短軸端點時，最大．
知識點4　點與橢圓的位置關(guān)系
點P（x0，y0）與橢圓＋＝1（a>b>0）的位置關(guān)系：
點P在橢圓上 ＋＝1；點P在橢圓內(nèi)部 ＋<1；點P在橢圓外部 ＋>1．
知識點5　直線與橢圓的位置關(guān)系
直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1（a>b>0）的位置關(guān)系，判斷方法：
聯(lián)立消y得一元二次方程．
當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；
當Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；
當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．
知識點6　直線與橢圓相交的弦長公式
1．定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．
2．求弦長的方法
（1）交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．
（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：
如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則弦長公式為：
|AB|＝·＝·．
注：（1）已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標為，則的斜率為，運用點差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，
兩式相減得：，
即 ，故
（2）弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：
1、確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面
（1）“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；
（2）“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．
2、橢圓定義的應(yīng)用技巧
（1）橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a（2a>|F1F2|），則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a．
（2）直線過左焦點與橢圓相交于A、B兩點，則的周長為4a，即（直線過右焦點亦同）．
（3）涉及焦點三角形面積時，可把|PF1|·|PF2|看作一個整體，運用|PF1|2＋|PF2|2＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨求解．
3、解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法
（1）直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p（M）}直接翻譯成x，y的形式，即F（x，y）＝0，然后進行等價變換，化簡為f（x，y）＝0．
（2）定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．
（3）相關(guān)點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點法．
4、利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程的思路
利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：
（1）確定焦點位置；
（2）設(shè)出相應(yīng)橢圓的標準方程（對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標準方程）；
（3）根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程（組）求參數(shù)．列方程（組）時常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝等．
5、點P（x0，y0）與橢圓＋＝1（a>b>0）的位置關(guān)系：
點P在橢圓上 ＋＝1；點P在橢圓內(nèi)部 ＋<1；點P在橢圓外部 ＋>1．
6、求橢圓離心率及范圍的兩種方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
（2）方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．
7、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系
通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則Δ>0 直線與橢圓相交；Δ＝0 直線與橢圓相切；Δ<0 直線與橢圓相離．
8、解決橢圓中點弦問題的兩種方法
（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決；
（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓＋＝1（a>b>0）上的兩個不同的點，M（x0，y0）是線段AB的中點，
則
由①－②，得 （x－x）＋ （y－y）＝0，變形得＝－·＝－·，即kAB＝－．
9、求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法
（1）定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．
（2）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進而求解．
（3）函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．
10、解決和橢圓有關(guān)的實際問題的思路（數(shù)學(xué)抽象）
（1）通過數(shù)學(xué)抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
（2）確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．
（3）用解得的結(jié)果說明原來的實際問題．
考點剖析
考點一、求橢圓的標準方程
1．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為B．若，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．若橢圓過點，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直線經(jīng)過橢圓的頂點和焦點，則橢圓的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
4．過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．已知橢圓C:,四點,,,中恰有三點在橢圓上,則橢圓C的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是橢圓的焦點，過且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，且，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
考點二、點與橢圓的位置關(guān)系
7．若點在橢圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上
C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關(guān)系
8．若點在橢圓的外部，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
9．已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為 .
考點三、橢圓的定義及其應(yīng)用
（一） 根據(jù)橢圓的方程求參數(shù)的范圍
10．“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
11．設(shè)表示的是橢圓；，則p是成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
12．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（ ）
A．且 B．且
C． D．
13．若方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
14．若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A． B．橢圓的焦距為
C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則
（二） 橢圓的焦點三角形問題
15．已知橢圓的左，右兩焦點為和，P為橢圓上一點，且，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．64
16．已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
17．已知橢圓的方程為，若點在第二象限，且，則的面積（ ）．
A． B． C． D．
18．已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為，則（ ）
A．9 B．3 C．4 D．8
19．設(shè)、為橢圓的左、右焦點，動點P在橢圓上，當面積最大時，的值等于（ ）
A． B． C．0 D．1
20．已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（ ）
A．1 B． C． D．2
考點四、求橢圓的離心率
（一） 求橢圓的離心率
21．設(shè)，是橢圓的兩個焦點，為直線上一點， 是底角為的等腰三角形，則的離心率為 .
22．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，P是C上的點，，，則C的離心率為（ ）．
A． B． C． D．
23．已知橢圓的左 在頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
24．已知橢圓的下焦點，M點在橢圓C上，線段MF與圓相切于點N，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
25．已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
（二） 求橢圓的離心率的取值范圍
26．已知橢圓的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線交橢圓E于A，B兩點.若，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
27．已知橢圓的左右焦點為，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
28．已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（三） 由橢圓的離心率求參數(shù)（范圍）
29．已知橢圓的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
30．設(shè)是橢圓的離心率，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
31．設(shè)橢圓的離心率為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
32．設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
考點五、與橢圓有關(guān)的軌跡問題
33．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
34．在中，已知，若，且滿足，則頂點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
35．已知圓，圓，動圓M與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
36．已知為圓的一個動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
37．已知圓：，從這個圓上任意一點向軸作垂線段（在軸上），在直線上且 ，則動點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)題意和橢圓的幾何性質(zhì)，得到，進而求得的值，即可求解.
【詳解】由橢圓的幾何性質(zhì)，因為，可得，
所以，，則，所以橢圓的方程為.
故選：A.
2．A
【分析】把已知兩點坐標代入求出后即得．
【詳解】由已知，解得，所以橢圓方程為．
故選：A.
3．B
【分析】根據(jù)橢圓的標準方程以及焦點與頂點的定義，利用直線的方程求出點的坐標，進而求出，可得答案.
【詳解】由，令，解得；令，，
由，則該橢圓的一個焦點為，一個頂點為，故，，則，即橢圓的標準方程為.
故選：B.
4．B
【分析】根據(jù)題意可設(shè)橢圓的方程為，由題中條件得出,
再將點代入橢圓方程，同時根據(jù)可求解出參數(shù)，進而得出答案.
【詳解】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意知
又橢圓過點，所以，且
計算得
所以橢圓的方程為，選項B正確.
故選：B.
5．D
【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上,代入橢圓方程求出即可.
【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上.
將,代入橢圓方程得:
,
解得,
橢圓C的標準方程為.
故選:D.
6．C
【分析】由題意設(shè)橢圓方程為，再將代入橢圓方程求出，則有，再結(jié)合可求出，從而可得橢圓方程.
【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為，則，
當時，，則，
因為，所以，得，所以，
所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以橢圓方程為，
故選：C
7．C
【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可判斷.
【詳解】點與點關(guān)于原點對稱，
點與關(guān)于軸對稱，
點與關(guān)于軸對稱，
若點在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點都在橢圓上，
故選：C
8．B
【解析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為點在橢圓的外部，
所以，即，解得或.
故選：B.
9．
【分析】首先求出直線過定點坐標，依題意定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，即可求出參數(shù)的取值范圍，再由橢圓方程得到，即可得解.
【詳解】解：直線，令，解得，所以直線恒過定點，
直線與橢圓恒有公共點，
即點在橢圓內(nèi)或橢圓上，，即，
又，否則是圓而非橢圓，
或，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
10．B
【分析】先求出“方程表示橢圓”的充要條件，即可判斷.
【詳解】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B
11．A
【分析】根據(jù)橢圓方程的特征以及充分條件必要條件的概念可得結(jié)果.
【詳解】若表示的是橢圓，則且，即成立；
反例：當時，表示的是圓，即不成立；
即p是成立的充分不必要條件，
故選：A.
12．B
【分析】根據(jù)橢圓的標準方程可得，即得.
【詳解】因為方程表示橢圓，
所以，
解得且.
故選：B.
13．D
【分析】根據(jù)橢圓焦點在軸上,可得,解出范圍即可.
【詳解】解:由題知表示焦點在軸上的橢圓,
則有: ,
解得:或.
故選:D
14．C
【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項分析、計算即可判斷作答.
【詳解】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；
焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；
焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.
故選：C
15．A
【分析】根據(jù)題干數(shù)據(jù)先分析出為直角三角形，然后根據(jù)橢圓定義和勾股定理計算.
【詳解】
由題意得，，于是，
即為△的外心，以為直徑的圓經(jīng)過，于是，
記，根據(jù)橢圓定義和勾股定理：，
于是.
故選：A
16．C
【分析】利用橢圓的定義求解即可.
【詳解】設(shè)橢圓的另外一個焦點為，如圖，

則的周長為，
故選：C.
17．B
【分析】設(shè) 為橢圓的左焦點，為橢圓的右焦點，，，由橢圓的定義可知，在中由余弦定理可得，從而可得，再利用計算即可.
【詳解】解：設(shè) 為橢圓的左焦點，為橢圓的右焦點，，，
由橢圓的定義可知，
又因為，
在中由余弦定理可得：，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：B.
18．B
【分析】由橢圓定義與余弦定理，三角形面積公式求解
【詳解】法一：設(shè)，，則，
，∴．
又，∴，解得．
法二：由焦點三角形面積公式得
故選：B
19．B
【分析】根據(jù)焦點三角形面積公式可知，當為上下頂點時，面積最大，再利用數(shù)量積公式即可求得.
【詳解】根據(jù)對稱性，可設(shè)點，,則的面積為，則當面積最大時，即最大，此時為上頂點時，即時最大.此時.又，則、.
則，.
故選：B
20．C
【分析】根據(jù)橢圓方程求出、、的值，即可得到、、的值，從而求出的面積，再利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑.
【詳解】解：橢圓中，，，則，∴，，
∴．∵，，∴，
∵，∴，
解得．
故選：C．
21．##0.625
【分析】分別表示出、，在中由計算可得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，

由圖知，
所以，，
又因為，，
所以，
所以在中，由得，
解得：，
所以橢圓E的離心率為.
故答案為：.
22．A
【分析】先根據(jù)題意求出；再根據(jù)及橢圓的定義建立等式得出，即可得出答案.
【詳解】如圖所示，

由題意得：.
因為，把代入橢圓方程可得，解得.
取.
則在中，.
因為，
所以，
由橢圓定義可得：，整理得：，
所以，即.
則橢圓的離心率 ．
故選：A．
23．C
【分析】根據(jù)橢圓方程得到以為直徑的圓的半徑和圓心坐標，再由該圓與直線相切，得到，進而可求出橢圓的離心率.
【詳解】因為橢圓C：的左 右頂點分別為，，
因此以為直徑的圓的半徑為，圓心坐標為，
又該圓與直線相切，如圖，

所以圓心到直線的距離等于半徑，即，則，
因此，即，
所以離心率為.
故選：C.
24．B
【分析】記上焦點為，圓心為，由線段成比例得出，且，于是有，然后由橢圓定義和垂直得出關(guān)于齊次等式，化簡后可求得離心率．
【詳解】如圖，記上焦點為，圓心為，則，連接，，
，，又，則，
所以，，
，則，
由橢圓定義，
又，所以，所以，
，即，，
，所以．
故選：B
25．B
【分析】橢圓的中點弦問題，利用點差法構(gòu)造弦中點坐標與的關(guān)系，計算離心率即可．
【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，
因為弦的中點坐標是，所以直線的斜率存在，
則，，直線的斜率．
由，得，
，，
故橢圓的離心率．
故選：B．
26．C
【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合幾何關(guān)系求出，并利用點到直線的距離關(guān)系求得，進而可求離心率的取值范圍.
【詳解】
如圖，設(shè)為橢圓的左焦點，連接,
由對稱性可得為中點，且為中點，
則四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
取，因為點M到直線l的距離不小于，
所以，解得，
所以，
又因為，
所以橢圓E的離心率的取值范圍是.
故選：C.
27．D
【分析】六個點，有兩個是短軸端點，因此在四個象限各一個，設(shè)是第一象限內(nèi)的點，分和，列方程組求得點橫坐標，由可得離心率范圍．
【詳解】顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內(nèi)各有一個，
設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點，
若，則，又，消去整理得：
，解得(舍去)或，
同得，所以，即，
若，則，又，消去整理得：
，解得或，
舍去．
所以，所以，即，
時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．
綜上，的范圍是．
故選：D．
28．B
【分析】設(shè)，用坐標表示出等式，點在橢圓上，適合橢圓方程，求得代入上式，求得，然后由得出的不等關(guān)系，求得的范圍．
【詳解】設(shè)，則，，
由 ，，
化為，，整理得，
，，解得．
29．D
【分析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進而可得.
【詳解】因為，則，所以.
故選：D
30．C
【分析】分類討論，，，用表示出離心率，解相應(yīng)不等式可得的范圍．
【詳解】當時，，由條件知，解得；
當時，，由條件知，解得，綜上知C正確．
故選：C．
31．B
【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合橢圓方程，討論判斷充分性，由離心率定義判斷必要性，即可得答案.
【詳解】當時，則；當時，則；
所以推不出，充分性不成立；
當時，則，必要性成立；
綜上，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
32．A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
33．A
【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.
【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.
故選：A
34．A
【分析】先利用正弦定理化角為邊，從而可得，再結(jié)合題意可得點的軌跡是以為焦點的橢圓的左半部分，即可得解.
【詳解】解：在中，因為，
所以，
又，則，
所以，即，
由于，
所以點的軌跡是以為焦點的橢圓的左半部分，
由，
所以頂點的軌跡方程是.
故選：A.
35．D
【分析】畫圖，分析出，確定圓心M的軌跡為橢圓，求出，得到軌跡方程.
【詳解】如圖，由題意得：，，其中，
所以，
由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以為焦點的橢圓，設(shè)，
則，解得：，
故動圓圓心M的軌跡方程為.
故選：D
36．C
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，找到點滿足的條件，結(jié)合橢圓的定義，直接寫出方程即可.
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：
易知，則，即，
故點的軌跡是以為焦點且長軸長為6的橢圓，
設(shè)其方程為，則，則，
故，則橢圓方程為：.
故選：C.
37．D
【分析】設(shè)，根據(jù)得，再結(jié)合圓的方程求解即可.
【詳解】設(shè) ,則由得 ,因為 所以,即.
故選：D.
答案第1頁，共2頁
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