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專題05 拋物線8種常見考法歸類（1）
專題05 拋物線8種常見考法歸類（1）
思維導圖
核心考點聚焦
考點一、求拋物線的標準方程
考點二、拋物線定義的應用
(一)利用拋物線的定義求距離或點的坐標
(二)與拋物線定義有關的最大(小)值問題
考點三、拋物線的軌跡問題
考點四、直線與拋物線的位置關系
考點五、直線與拋物線的弦長、焦點弦、中點弦問題
(一)弦長問題
(二)焦點弦問題
(三)中點弦問題
考點六、拋物線中的參數范圍及最值問題
考點七、拋物線的定值、定點、定直線問題
(一)定值問題
(二)定點問題
(三)定直線問題
考點八、拋物線的實際應用
知識點1 拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l不經過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？
不一定是，若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．
②定義的實質可歸納為“一動三定”
一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
知識點2　拋物線的方程及簡單幾何性質
類型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖象
性質 焦點 F F F F
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
對稱軸 x軸 y軸
頂點 O(0，0)
離心率 e＝1
開口方向 向右 向左 向上 向下
知識點3 直線與拋物線的位置關系
設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
（1）若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當Δ<0時，直線與拋物線相離，沒有公共點．
（2）若k＝0，直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．
注：（1）直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件．
（2）研究直線與拋物線的關系時要注意直線斜率不存在的情況．
（3）求弦長問題的方法
①一般弦長：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|.
②焦點弦長：設過焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
知識點4 焦點弦問題
過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，那么線段AB叫做焦點弦，
如圖：設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
注：（1）x1·x2＝.
（2）y1·y2＝－p2.
（3）|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直線AB的傾斜角)．
（4）＋＝為定值(F是拋物線的焦點)．
1、求拋物線的標準方程的方法
定義法 根據定義求p，最后寫標準方程
待定系數法 設標準方程，列有關的方程組求系數
直接法 建立恰當的坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應方程，化簡方程
注：當拋物線的焦點位置不確定時，應分類討論，也可以設y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．　　　　
2、用待定系數法求拋物線標準方程的步驟
3、拋物線定義的兩種應用
（1）實現距離轉化．根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現點點距離與點線距離的相互轉化，從而簡化某些問題．
（2）解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題．　　　
4、直線與拋物線的位置關系
將直線方程與拋物線方程聯立，轉化為一元二次方程，可通過直線與拋物線的位置關系轉化為對判別式Δ或者對向量數量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數的關系運算求解.
5、求拋物線實際應用的五個步驟
6、求軌跡問題的兩種方法
（1）直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．
（2）定義法： 若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數法列方程(組)求解曲線方程．
考點剖析
考點一、求拋物線的標準方程
1．若拋物線：的焦點坐標為，則拋物線的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．若拋物線的頂點是原點，準線為直線，則此拋物線的方程為 .
3．以坐標軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標準方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．以橢圓的左焦點為焦點的拋物線的標準方程是（ ）
A． B． C． D．
5．點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．已知拋物線（）上一點M的縱坐標為，該點到準線的距離為6，則該拋物線的標準方程為（ ）
A． B．或
C． D．或
考點二、拋物線定義的應用
(一) 利用拋物線的定義求距離或點的坐標
7．若拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，則點到原點的距離為（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知拋物線的焦點為F，點P為E上一點，Q為PF的中點，若，則Q點的縱坐標為（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
9．已知F為拋物線的焦點，點A在拋物線C上，O為原點，若為等腰三角形，則點A的橫坐標可能為（ ）
A．2 B． C． D．
（二）與拋物線定義有關的最大(小)值問題
10．已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．已知拋物線和點，F是拋物線的焦點，P是拋物線上一點，則的最小值是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為弦的中點，P為C上一點，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．5
13．已知直線和直線，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
14．設點P是拋物線:上的動點,點M是圓:上的動點,d是點P到直線的距離,則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．已知拋物線：的準線為，點的坐標為，點在拋物線上，點到直線的距離為，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
16．已知F為拋物線的焦點，P為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
考點三、拋物線的軌跡問題
17．若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
19．若動點滿足，則點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
20．已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（ ）
A．當時，點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓
B．當時，點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線
C．當時，點的軌跡為拋物線
D．當時，點的軌跡為一條直線
21．設圓C與圓外切，與直線相切，則圓C的圓心的軌跡為（ ）
A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓
22．已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．
考點四、直線與拋物線的位置關系
23．過點作直線與拋物線相交，恰好有一個交點，則符合條件的直線的條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．直線與拋物線的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
25．已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個公共點，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
26．拋物線上一點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
27．在平面直角坐標系中，拋物線上一點的橫坐標為4，且點到的距離為5，
(1)求拋物線的方程；
(2)若斜率為1的直線交拋物線于、兩點（位于對稱軸異側），且，求直線的方程.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．D
【分析】由已知條件可得，求出，從而可求出拋物線的方程.
【詳解】因為拋物線：的焦點坐標為，
所以，得，
所以拋物線方程為，
故選：D
2．
【分析】設出拋物線解析式，通過準線求出的值，即可求出此拋物線的方程.
【詳解】由題意，
拋物線的頂點是原點，準線為直線，
∴設拋物線的方程為，
∴，解得：，
∴此拋物線的方程為：，
故答案為：.

3．D
【分析】直線與坐標軸的交點即為焦點，根據焦點可求出，可得答案.
【詳解】直線與坐標軸的交點為，
當拋物線的焦點為時，其標準方程為；
當拋物線的焦點為時，其標準方程為.
故選：D.
4．C
【分析】利用橢圓和拋物線的幾何意義求解即可.
【詳解】由橢圓可得，
所以左焦點坐標為，
所以以為焦點的拋物線的標準方程為，
故選：C.
5．C
【分析】由拋物線的準線方程,分類討論求參數的值.
【詳解】當時，拋物線開口向上，準線方程，
點到準線的距離為，解得，
所以拋物線方程為；
當時，拋物線開口向下，準線方程，
點到準線的距離為，解得或（舍去），
所以拋物線方程為．
所以拋物線的方程為或．
故選：C
6．D
【分析】根據已知條件可得點M坐標，代入拋物線方程求解即可.
【詳解】因為拋物線的準線方程是，而點M到準線的距離為6，
所以點M的橫坐標是.
所以點M的坐標為，
又因為點M在拋物線上，
所以32=2p，解得p=8或p=4，
故該拋物線的標準方程為或.
故選：D.
7．D
【分析】設，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點到原點的距離.
【詳解】由題得焦點坐標為，則準線方程為
設，根據拋物線定義有有，∴，
∴點到原點的距離為.
故選：D.
8．B
【分析】根據梯形的中位線定理，結合拋物線的定義進行求解即可.
【詳解】過點P，Q分別作準線的垂線，垂足分別為（如圖），
設準線與縱軸的交點為，
由梯形中位線定理易知，又準線方程為，故Q點的縱坐標為5.
故選：B.
9．C
【分析】設，分別表示出，，再分類討論即可求解.
【詳解】由拋物線的解析式，可知，準線，設，
由拋物線的定義可知，
又，.
當時，即，解得，此時點與點重合，不符合題意；
當時，即，解得或（舍），此時點A的橫坐標為；
當時，即，解得，此時點A的橫坐標為.
只有選項C符合題意.
故選：C
10．C
【分析】拋物線的準線的方程為，過作于，根據拋物線的定義可知，則當三點共線時，可求得最小值，答案可得.
【詳解】解：拋物線：的焦點為，準線的方程為，
如圖，過作于，
由拋物線的定義可知，所以
則當三點共線時，最小為.
所以的最小值為.
故選：C.
11．B
【分析】根據拋物線的定義得到，將的最小值轉化為的最小值，然后根據兩點之間線段最短得到當，，三點共線時最小，最后求最小值即可.
【詳解】
如圖，為點在準線上的投影，
根據拋物線的定義可得，所以的最小值即的最小值，根據兩點之間線段最短可得，當，，三點共線時最小，所以最小值為.
故選：B.
12．B
【分析】根據給定條件，求出直線AB的方程，再與拋物線方程聯立，結合拋物線定義，借助幾何意義求解作答.
【詳解】拋物線，焦點，準線，直線AB的方程為，
由消去y并整理得：，設，，則，
弦中點Q的橫坐標，過點作準線l的垂線，垂足為點，如圖，
令交拋物線于點P，在拋物線上任取點，過作于點，連接，
即有，，
當且僅當點與P重合時取等號，
所以的最小值為.
故選：B
13．C
【分析】由是拋物線的準線，推導出點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值即為點到直線的距離和點到焦點的距離之和，利用幾何法求最值．
【詳解】是拋物線的準線，到的距離等于.
過P作于 Q，則到直線和直線的距離之和為
拋物線的焦點
過作于，和拋物線的交點就是，
∴（當且僅當F、P、Q三點共線時等號成立）
點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，
最小值．
故選：C．
14．B
【分析】根據題意畫出圖像,將轉化為拋物線上點到準線的距離再加1,也即是拋物線上點到焦點的距離加1,若求的最小值,轉化為拋物線上點到焦點距離和到圓上點的距離再加1即可,根據三角形兩邊之和大于第三邊,即當共線時,取最小值為,算出結果即可.
【詳解】解:由題知圓:,
為拋物線焦點,為拋物線準線,
則過點向作垂線垂足為,如圖所示:
則,
根據拋物線定義可知,
,
=,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
連接與拋物線交于點,與圓交于點,如圖所示,
此時最小,為,
,
,
.
故選:B
15．A
【分析】利用拋物線定義，把問題轉化為拋物線上的點到點A和焦點F距離差的最大值求解.
【詳解】拋物線：的焦點，依題意，，則，
當且僅當點P，F，A共線，即點P為拋物線頂點時取“=”，
所以的最大值為.
故選：A
16．D
【分析】設點，由點與點距離公式計算以及的長，代入所求結合二次函數的性質可求出最大值.
【詳解】設，則，又，所以，則.令，則，，即時，取得最大值，此時.
故選：D
17．D
【分析】根據拋物線的定義求得正確答案.
【詳解】依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，
所以的軌跡為拋物線，，
所以點的軌跡方程為.
故選：D
18．D
【分析】根據拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點、準線得到方程即可.
【詳解】由題意知動點到直線的距離與定點的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D
19．D
【分析】根據題意，化簡得到，結合拋物線的定義，即可求解.
【詳解】由題意，動點滿足，
即，
即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，
又由點不在直線上，
根據拋物線的定義，可得動點的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線.
故選：D.
20．AB
【分析】設出，直接法求出軌跡方程，注意去掉不合題意的點，從而判斷軌跡為哪種曲線，判斷ABC選項，D選項，結合，得到軌跡為去掉一個點的直線，故D錯誤.
【詳解】設，
A選項，，故，變形為，且，
故點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓，A正確；
B選項，，故，變形為，且，
故點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線，B正確；
C選項，，故，變形為，且，
故點的軌跡為除去A，B兩點的拋物線，C錯誤；
D選項，，即，變形為，且，
故點的軌跡為除去點的直線，D錯誤；
故選：AB
21．A
【分析】由動圓與定圓相外切可得兩圓圓心距與半徑的關系，然后利用圓與直線相切的可得圓心到直線的距離與半徑的關系，借助等量關系可得動點滿足的條件，即可得動點的軌跡.
【詳解】解：
設的坐標為，圓的半徑為圓的圓心為，
圓與圓外切，與直線相切
，到直線的距離
，即動點到定點的距離等于到定直線的距離
由拋物線的定義知：的軌跡為拋物線.
故選：A
22．
【分析】設動點Q的坐標，點P坐標，利用，求出、代入曲線方程可得答案.
【詳解】設動點Q的坐標，點P坐標，，
因為，所以，，
可得，，
代入得，整理得，
所以動點Q的軌跡方程為．
23．D
【分析】作圖分析，根據拋物線的圖形特點結合直線與拋物線的位置關系，可得答案.
【詳解】如圖示，過點作直線與拋物線相交，恰好有一個交點，
符合條件的直線有三條，其中兩條是與拋物線相切的直線，其中包含y軸，另一條是與拋物線對稱軸平行的直線，
故選：D
24．A
【分析】直線過定點，在拋物線內部，即可得出結論．
【詳解】直線過定點，
∵，
∴在拋物線內部，
∴直線與拋物線相交，
故選：A．
25．A
【分析】由題意，聯立方程求解，根據一元二次方程的求解公式，結合充分條件與必要條件的定義，可得答案.
【詳解】由題意，聯立可得，消去整理可得：，
則恒成立，則直線與拋物線必定有兩個交點，
則顯然成立，不成立，
故選：A.
26．A
【分析】求出與平行且與相切的直線方程，從而與之間的距離即為上一點到直線距離的最小值，利用點到直線距離公式求出即可.
【詳解】設直線與相切，
聯立與得：，
由，得：，
則直線為，
故與之間的距離即為上一點到直線距離的最小值，
由兩平行線間距離公式得：.
故選：A
27．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意建立關于的等式，解出即可求得拋物線方程；
（2）設直線的方程為，聯立拋物線方程，將數量積用表示，再由建立方程，即可求解．
【詳解】（1）由題可知，點到拋物線準線的距離為5，
拋物線的準線方程為，點的橫坐標為4，
，解得，
拋物線的方程為；
（2）根據題意可設直線的方程為，

聯立，得，
設，，，，則，，
，
，
解得，此時都有，
，直線的方程為，
即．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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