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專題02 圓的方程11種常見考法歸類（1）
專題02 圓的方程11種常見考法歸類（1）
思維導圖
核心考點聚焦
考點一、求圓的方程
考點二、點和圓的位置關系
考點三、直線和圓的位置關系
考點四、圓的弦長問題
考點五、圓的切線問題
考點六、判斷圓與圓的位置關系
考點七、由圓的位置關系確定參數范圍
考點八、圓的公共弦
考點九、圓的公切線
考點十、圓的軌跡問題
考點十一、與圓有關的最值問題
知識點1 圓的標準方程
1．圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
2．圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．如圖所示．
3．圓的標準方程：圓心為A（a，b），半徑長為r的圓的標準方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．
知識點2 點與圓的位置關系
（1）根據點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d＞r 點在圓外；d＝r 點在圓上；d＜r 點在圓內．
（2）根據點M（x0，y0）的坐標與圓的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的關系判斷：
（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2 點在圓外；
（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 點在圓上；
（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 點在圓內．
知識點3 圓的一般方程
1．圓的一般方程的概念
當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
注：將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓．當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點.
2．圓的一般方程對應的圓心和半徑
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圓的圓心為，半徑長為 .
注：圓的一般方程表現出明顯的代數結構形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需要代數運算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D，E，F為常數）具有以下特點：
（1）x2，y2項的系數均為1；
（2）沒有xy項；
（3）D2＋E2－4F＞0.
3．常見圓的方程的設法
標準方程的設法 一般方程的設法
圓心在原點 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
過原點 （x－a）2＋（y－b）2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圓心在x軸上 （x－a）2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圓心在y軸上 x2＋（y－b）2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
與x軸相切 （x－a）2＋（y－b）2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
與y軸相切 （x－a）2＋（y－b）2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則
5. 以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑端點的圓的方程為（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.
知識點4 直線與圓的三種位置關系
位置關系 交點個數 圖示
相交 有兩個公共點
相切 只有一個公共點
相離 沒有公共點
注：直線與圓的位置關系及判斷
位置關系 相交 相切 相離
判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d＝ d＜r d＝r d＞r
代數法： 由 消元得到一元二次方程的判別式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
知識點5 直線與圓相交
1．解決圓的弦長問題的方法
幾何法 （常用） 如圖所示，設直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關系式：|AB|＝2
代數法 若斜率為k的直線與圓相交于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點，則|AB|＝·＝·|yA－yB|（其中k≠0）．特別地，當k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB| 注：直線：；圓 聯立消去“”得到關于“”的一元二次函數，結合韋達定理可得到
2．當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距所構成的直角三角形（如圖中的Rt△ADC），在解題時要注意把它和點到直線的距離公式結合起來使用．
知識點6 直線與圓相切
1．求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程．若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意切線斜率不存在的情況．（注：過圓內一點，不能作圓的切線）
2．求過圓上的一點（x0，y0）的切線方程的方法
先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結合圖形可直接寫出切線方程為y＝y0；若k＝0，則結合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關系知切線的斜率為－，由點斜式可寫出切線方程．
3．求過圓外一點（x0，y0）的圓的切線方程的方法
幾何法 當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k（x－x0），即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程
代數法 當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出
4.圓的切線方程常用結論
（1）過圓x2＋y2＝r2上一點P（x0，y0）的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
（2）過圓（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一點P（x0，y0）的圓的切線方程為（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
（3）過圓x2＋y2＝r2外一點M（x0，y0）作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
5.切線長公式
記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為，利用勾股定理求；
知識點7 圓上點到直線的最大（小）距離
設圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
知識點8 圓與圓的位置關系
1．種類：圓與圓的位置關系有五種，分別為外離、外切、相交、內切、內含．
2．判定方法
（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2的關系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
（2）代數法：設兩圓的一般方程為
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（D＋E－4F1>0），
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（D＋E－4F2>0），
聯立方程得則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
方程組解的個數 2組 1組 0組
兩圓的公共點個數 2個 1個 0個
兩圓的位置關系 相交 內切或外切 外離或內含
注：（1）圓和圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內含；
（2）圓和圓相交，兩圓有兩個公共點；
（3）圓和圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內切和外切．
（4）圓與圓的位置關系不能簡單仿照直線與圓的位置關系的判斷方法將兩個方程聯立起來消元后用判別式判斷，因為當方程組有一組解時，兩圓只有一個交點，兩圓可能外切，也可能內切；當方程組無解時，兩圓沒有交點，兩圓可能外離，也可能內含．
知識點9圓與圓位置關系的應用
設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．
（1）當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．
（2）兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．
（3）求公共弦長時，幾何法比代數法簡單易求．
兩圓公共弦長的求法
兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解．
知識點10 圓與圓的公切線
1、公切線的條數
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．
兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內切 兩圓內含
有2條外公切線和2條內公切線，共4條 有2條外公切線和1條內公切線，共3條； 只有2條外公切線 只有1條外公切線 無公切線
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
知識點11 圓系方程
（1）以為圓心的同心圓圓系方程：；
（2）與圓同心圓的圓系方程為；
（3）過直線與圓交點的圓系方程為
（4）過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
1、求圓的標準方程的方法
確定圓的標準方程就是設法確定圓心C（a，b）及半徑r，其求解的方法：一是待定系數法，建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質直接求得圓心坐標和半徑．常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質作轉化較為簡捷．　　　　
2、待定系數法求圓的標準方程的一般步驟
3、判斷點與圓的位置關系的方法
（1）確定圓的方程：化為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
（2）將點的坐標代入代數式（x－a）2＋（y－b）2，比較代數式的值與r2的大小關系．
（3）下結論：若（x－a）2＋（y－b）2＝r2，表示點在圓上；若（x－a）2＋（y－b）2＞r2，表示點在圓外；若（x－a）2＋（y－b）2＜r2，表示點在圓內．
此外，也可以利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關系來判斷．當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d4、圓的一般方程辨析
判斷二元二次方程與圓的關系時，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．此時有兩種途徑：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形，看方程等號右端是否為大于零的常數．
5、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
條件 圖形
D2＋E2－4F<0 不表示任何圖形
D2＋E2－4F＝0 表示一個點
D2＋E2－4F>0 表示以為圓心，以為半徑的圓
6、利用待定系數法求圓的方程的解題策略
（1）如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程，一般采用圓的標準方程，再用待定系數法求出a，b，r.
（2）如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數法求出常數D，E，F.
7、求與圓有關的軌跡問題的方程
（1）直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．
（2）定義法：根據圓、直線等定義列方程．
（3）代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
用代入法求軌跡方程的一般方法
　　
8、判斷直線與圓位置關系的方法
（1）幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷．
（2）代數法：根據直線與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷．　
9、過圓上一點（x0，y0）的圓的切線方程的求法
先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y0或x＝x0.
10、過圓外一點（x0，y0）的切線方程的求法
設切線方程為y－y0＝k（x－x0），由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯立方程組的方法求解．
11、求切線長（最值）的兩種方法
（1）（代數法）直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統一成一個，轉化成函數求最值；
（2）（幾何法）把切線長最值問題轉化成圓心到直線的距離問題．　　
12、求弦長的兩種方法
（1）由半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋2＝r2求解，這是常用解法．
（2）聯立直線與圓的方程，消元得到關于x（或y）的一元二次方程，利用根與系數的關系得到兩交點橫坐標（或縱坐標）之間的關系，代入兩點間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．　　
13、坐標方法解決平面幾何問題的“三步曲”
14、判斷兩圓的位置關系的兩種方法
（1）幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進行比較，進而判斷出兩圓的位置關系，這是在解析幾何中主要使用的方法．
（2）代數法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據方程組解的個數進而判斷兩圓位置關系．
15、公共弦長的求法
（1）代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
（2）幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．　　　　
注：求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經過兩圓的圓心的直線方程
考點剖析
考點一、求圓的方程
1．設，，則以線段為直徑的圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．若的三個頂點坐標分別為，，，則外接圓的圓心坐標為（ ）
A． B． C． D．
3．已知圓C的圓心在直線上，且過點和，則圓C的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．若曲線表示圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圓經過點，兩點，且圓心在直線：上.
(1)求圓的標準方程；
(2)若過點且傾斜角為的直線與圓相交于，兩點，求四邊形的面積.
考點二、點和圓的位置關系
6．若點在圓的內部，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．已知四點共圓，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
8．過點總可以向圓作兩條切線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．已知點和，圓，當圓C與線段沒有公共點時，則實數m的取值范圍為 ．
考點三、直線和圓的位置關系
10．圓與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
11．直線繞原點按順時針方向旋轉后所得的直線與圓的位置關系是（ ）
A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心
C．直線與圓相切 D．直線與圓無公共點
12．已知圓與直線相切，則（ ）
A． B．-1
C．或 D．-1或3
13．若“直線與圓相交”，“”，則是的（ ）
A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
14．已知直線平分圓：，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
15．設為實數,若圓上恰有三個點到直線的距離都等于1,則的值是（ ）
A． B． C． D．
考點四、圓的弦長問題
16．已知直線與圓相交于兩點，則= ．
17．圓被直線所截得的弦長為（ ）
A． B． C． D．
18．已知直線l經過點，且被圓截得的弦長為4，則直線l的方程是 （ ）
A． B．或
C． D．或
19．已知直線關于直線對稱的直線被圓截得的弦長為，則實數的值為（ ）
A．4 B． C．8 D．
20．直線被圓所截得的最短弦長等于（ ）
A． B． C． D．
考點五、圓的切線問題
21．過點作圓的切線，則切線的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
22．一條光線從點射出，經x軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在的直線方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
23．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為 ．
24．過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B；
(1)求直線AB的方程；
(2)若M為圓上的一點，求面積的最大值．
25．若曲線y＝與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C．(1，＋∞) D．(1，3]
考點六、判斷圓與圓的位置關系
26．已知圓與圓，則圓與圓的位置關系為（ ）
A．相交 B．外切 C．外離 D．內含
27．已知圓（a，b為常數）與．若圓心與關于直線對稱，則圓與的位置關系為（ ）
A．內含 B．相交 C．相切 D．外離
28．已知圓截直線所得的弦長為．則圓M與圓的位置關系是（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．相離
考點七、由圓的位置關系確定參數范圍
29．已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個公共點，則得實數等于（ ）．
A．7 B．3 C．3或7 D．5
30．圓與圓外切，則實數 ．
31．圓與圓內切，則實數的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
考點八、圓的公共弦
32．圓與圓的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
33．圓：和圓：的公共弦AB的垂直平分線的方程為（ ）
A． B． C． D．
34．已知圓 與圓的公共弦所在直線恒過定點且點在直線上， 則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
考點九、圓的公切線
35．已知圓C1：和圓C2：，則這兩個圓的公切線的條數為（　　）
A．1或3 B．4 C．0 D．2
36．若圓與圓有且僅有一條公切線，則實數（ ）
A．-1 B．1 C．±1 D．0
37．若圓與圓有3條公切線，則正數（ ）
A．3 B．3 C．5 D．3或3
考點十、圓的軌跡問題
38．已知是圓上的動點，是圓的切線，，則點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
39．圓與x軸相切于點A．點B在圓C上運動，則AB的中點M的軌跡方程為 （當點B運動到與A重合時，規定點M與點A重合）；點N是直線上一點，則的最小值為 ．
40．已知點，，動點滿足．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)直線 經過點且與曲線只有一個公共點，求直線 的方程．
41．已知圓.
(1)求過點且與圓相切的直線方程；
(2)已知點．則在圓上是否存在點，使得？若存在，求點的個數，若不存在，說明理由．
考點十一、與圓有關的最值問題
42．已知點，點M是圓上的動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
43．實數x，y滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
44．已知圓，則圓上的點到坐標原點的距離的最小值為（ ）
A．-1 B． C．+1 D．6
45．已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
46．若為圓上任意兩點，為直線上一個動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
47．設P為圓上一動點，Q為直線上一動點，O為坐標原點，則的最小值為 ．
考點十二、圓的定點、定值問題
48．已知圓，P是圓C上動點，Q為圓C與x軸負半軸交點，E是中點．
(1)求點E的軌跡方程；
(2)過點的直線與點E的軌跡交于A，B兩點（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
49．已知直線與圓交于兩點．
(1)當最大時，求直線的方程；
(2)若，證明：為定值．
50．已知線段的端點的坐標是，端點的運動軌跡是曲線，線段的中點的軌跡方程是．
(1)求曲線的方程；
(2)已知斜率為的直線與曲線相交于異于原點的兩點直線的斜率分別為，，且．若，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由題知圓心為，半徑為，再求方程即可.
【詳解】解：由題知線段中點為，，
所以，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，其方程為
故選：B
2．A
【分析】是直角三角形,故線段的中點即為外接圓的圓心，利用中點坐標公式求解.
【詳解】由題得是直角三角形，且 .
所以的外接圓的圓心就是線段的中點，
由中點坐標公式得.
故選：A
3．A
【分析】利用待定系數法設圓C的方程為，將點的坐標代入方程列出方程組，解出即可得結果.
【詳解】設圓C的圓心坐標為，半徑為，則圓C的方程為，
由點和點在圓C上，
可得①，②，
由①②可得，
故圓C的標準方程為.
故選：A.
4．C
【分析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.
【詳解】或.
故選：C.
5．(1)
(2)
【分析】（1）求得圓心半徑代入即可得到圓的標準方程；
（2）先判定四邊形為梯形，再以梯形面積公式去求四邊形的面積即可.
【詳解】（1）設圓心坐標為，由
則
解得，故， 半徑，
∴圓的標準方程為.
（2）由過點且傾斜角為，可得的斜率
則的方程為：
經過點，兩點的直線斜率為，
則直線AB的方程為，則
又圓心在直線上，所以為圓的直徑
則，又
則四邊形為梯形，
梯形的高即為與之間的距離
故
6．A
【分析】利用點與圓的位置關系可得出關于實數的不等式，解之即可.
【詳解】由題意可得，解得.
故選：A.
7．D
【分析】先由三點求出圓的方程，再把代入方程即可求解
【詳解】設過四點的圓的方程為，
將代入可得：
，解得，
所以圓的方程為，
將代入圓的方程得，
解得，
故選：D
8．C
【分析】過圓外的點總可以作兩條切線，代入點得，求解即可.
【詳解】過圓外的點總可以作兩條切線，故或.
故選：C
9．
【分析】當點和都在圓的內部時，結合點與圓的位置關系得出實數m的取值范圍，再由圓心到直線的距離大于半徑得出實數m的取值范圍.
【詳解】當點和都在圓的內部時，，解得或
直線的方程為，即
圓心到直線的距離為，當圓心到直線的距離大于半徑時，，且.
綜上，實數m的取值范圍為.
故答案為：
10．A
【分析】運用幾何法 與 的關系判斷圓與直線位置關系即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，
所以圓心到直線的距離，
所以直線與圓的位置關系為相交.
故選：A.
11．A
【分析】根據給定條件，求出直線l的方程，再根據圓心與直線l的關系判斷作答.
【詳解】直線過原點，斜率為，傾斜角為，
依題意，直線l的傾斜角為，斜率為，而l過原點，因此直線l的方程為：，
而圓的圓心為，半徑為，于是得圓心在直線l上，
所以直線l與圓相交，過圓心.
故選：A
12．D
【分析】圓與直線相切，則圓心到直線的距離等于半徑
【詳解】由已知得，，由與直線相切得，解得或3.
故選：D
13．B
【分析】利用點到直線的距離小于半徑可得的范圍，再根據充分不必要條件定義判斷可得答案.
【詳解】直線與圓相交，可得1，解得，
且，
∴“直線與圓相交”是“”的充分而不必要條件.
故選：B.
14．B
【分析】由題意知直線過圓的圓心得到，求的最大值可轉化為的最小值的倒數，利用基本不等式的妙用求最值即可.
【詳解】圓：，圓心，
直線平分圓：，
直線過圓心，即，
，
當且僅當，即，的最大值為.
故選：B
15．D
【分析】根據圓上三個點到直線的距離等于1,可得圓心到直線的距離為2-1=1,利用點到直線的距離公式解出即可.
【詳解】解:由題知圓的方程為,
所以圓心為,半徑為,
因為圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1,
所以只需要圓心到直線的距離為即可,
直線方程為:,
所以圓心到直線的距離為:,
解得,
故當時,
圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1．
故選:D
16．2
【分析】求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式，求得弦長.
【詳解】根據圓的方程：，圓心坐標，半徑，
∴圓心到直線距離，
所以，
故答案為：.
17．C
【分析】將圓化為標準方程，得到圓心坐標及半徑，求出圓心到直線的距離，利用幾何法求出圓的弦長即可.
【詳解】圓標準方程是，圓心坐標為，圓半徑為2，
圓心到直線的距離是，
所以弦長為．
故選：C.
18．B
【分析】考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，驗證后得到滿足要求，當斜率存在時，設出直線方程，利用點到直線距離公式列出方程，求出，得到答案.
【詳解】圓的標準方程為：，
由題意圓心到直線l的距離
（1）當直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線的距離，符合題意，
（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，解得，則直線方程為，
綜上，直線 l的方程為或．
故選：B．
19．B
【分析】根據對稱關系求出直線的方程，再根據弦長公式即可求解.
【詳解】因為直線與直線的交點為,所以直線經過點,
取直線上一點關于對稱的點為在直線上,
所以,所以的直線方程為,
圓心到直線的距離為,
圓的半徑,所以,
解得,
故選:B.
20．C
【分析】首先求出直線過定點坐標，當圓被直線截得的弦最短時，圓心到弦的距離最大，此時圓心與定點的連線垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出結果即可．
【詳解】解：圓的圓心為，半徑，
又直線，直線恒過定點，
當圓被直線截得的弦最短時，圓心與定點的連線垂直于弦，
此時弦心距為．
所截得的最短弦長：．
故選：C．
21．C
【分析】設切線為，即，由與圓相切，得，即可解決.
【詳解】由題知，圓，圓心為，半徑為1，
因為在圓外，
所以設切線為，即，
因為與圓相切，
所以，解得或，
所以切線的方程為，或，
故選：C
22．A
【分析】求出點關于x軸的對稱點為，則反射光線經過，當反射光線所在直線與軸垂直時，不與圓相切，故反射光線所在直線的斜率存在，設為，反射光線所在直線的方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑可得答案.
【詳解】點關于x軸的對稱點為，所以反射光線經過，
當反射光線所在直線與軸垂直時，即，
圓到直線的距離為，
因為，所以直線與圓相離，故反射光線所在直線的斜率存在，設為，
則反射光線所在直線的方程為，即，
因為反射光線與圓相切，所以，解得或，
所以反射光線所在直線的方程為，或，
整理得或.
故選：A.
23．
【分析】先求出為圓心，為半徑的圓的方程，再利用兩圓的公共弦所在直線方程求解.
【詳解】圓，所以圓心為，半徑，
,
所以切線長，
以為圓心，為半徑的圓的方程為：，
直線為圓與圓的公共弦，
所以由得.
故答案為: .
24．(1)
(2)
【分析】（1）求出以為直徑的圓的方程，結合已知圓的方程，將兩圓方程相減可求得兩圓公共弦所在直線方程；
（2）求出圓上的點M到直線AB的距離的最大值，求出，利用三角形面積公式求得答案.
【詳解】（1）圓的圓心坐標為，半徑為1，
則的中點坐標為，，
以為圓心，為直徑的圓的方程為，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直線的方程為；
（2）圓心 到直線的距離為
故圓上的點M到直線的距離的最大值為 ，
而 ,
故面積的最大值為 .
25．A
【分析】畫出圖象，轉化為直線與半圓的交點問題，數形結合來進行求解.
【詳解】根據題意畫出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線y＝的圖象為以(0，0)為圓心，2為半徑的半圓，直線l恒過A(2，4)，由圖當直線l與半圓相切時，圓心到直線l的距離d＝r，即＝2，解得k＝；當直線l過B點時，直線l的斜率k＝，則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍為.
故選：A.
26．B
【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關系即可得解.
【詳解】圓化成標準方程為，圓心，半徑為，
圓，圓心，半徑為，
，圓與圓的位置關系為外切，
故選：B
27．B
【分析】根據條件求出 的圓心 ，再根據 圓心的距離即可判斷.
【詳解】依題意，所以，又，，，，
，所以兩個圓相交；
故選：B.
28．B
【分析】根據垂徑定理可得參數的值，再利用幾何法判斷兩圓的位置關系.
【詳解】由，即，
故圓心，半徑，
所以點到直線的距離，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圓心，，
所以，
且，
即圓與圓相交，
故選：B.
29．C
【分析】根據圓與圓的位置關系判斷即可得得實數得值.
【詳解】解：圓的圓心為，半徑為
圓的圓心，半徑為
所以，
因為圓與圓有且僅有一個公共點，所以圓與圓相內切或外切，
所以或，所以或或（舍）.
故選：C．
30．9
【分析】由題意分別求兩圓的圓心和半徑，根據兩圓外切可得，代入運算求解．
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則
根據題意可得：，即，∴
故答案為：9．
31．C
【分析】由圓內切得即可解決.
【詳解】由題知，
所以，
因為圓與圓內切，
所以，即，
因為，
所以，
故選：C.
32．A
【分析】兩圓的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由
公共弦長公式求出答案即可.
【詳解】聯立兩個圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長為.
故選：A.
33．D
【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得到圓心，，公共弦AB的垂直平分線即為直線，利用兩點式求出直線方程，化為一般式.
【詳解】變形為，圓心為，
變形為，圓心為，
公共弦AB的垂直平分線即為直線，
即，整理得.
故選：D
34．D
【分析】根據圓和的方程得到公共弦所在的直線方程，可得點，進而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值.
【詳解】由圓 ， 圓 : ，
得圓 與圓 的公共弦所在直線方程為: ，
由 ， 解得 ， 即 ，
又 在直線 上，
， 即 ，
所以，當且僅當時等號成立，
的最大值為 .
故選: D .
35．B
【分析】根據圓的一般方程化為標準方程，求出圓心距，由半徑之和小于圓心距知兩圓相離，即可判斷公切線的條數.
【詳解】因為圓C1：，圓C2：，
所以圓心距，
而兩圓半徑之和，故兩個圓相離，
則這兩個圓的公切線有4條.
故選：B
36．D
【分析】利用配方法，結合兩圓公切線的性質進行求解即可.
【詳解】將化為標準方程得，即圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為1.因為圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓的位置關系為內切，所以，即，解得.
故選：D
37．B
【分析】由題可知兩圓外切，然后利用兩點間的距離公式即得.
【詳解】由題可知兩圓外切，又圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為4，
，
∴，又，
∴.
故選：B.
38．A
【分析】由切線長定理可知，點到圓的圓心距離為定值，計算即可.
【詳解】因為圓，所以圓心，半徑，由勾股定理得，所以，所以的軌跡為以為圓心為半徑的圓，所以的軌跡方程是.
故選：A
39．
【分析】將點M的軌跡轉化為以AC為直徑的圓，再確定圓心及半徑即可求解，將的最小值轉化為點到圓心的距離再減去半徑可求解.
【詳解】依題意得，，因為M為AB中點，所以，
所以點M的軌跡是以AC為直徑的圓，又AC中點為，，
所以點M的軌跡方程為，圓心，
設關于直線的對稱點為，
則有，解得，所以，
所以由對稱性可知的最小值為．
故答案為：，
40．(1)；
(2)或．
【分析】（1）設，根據兩點間距離公式結合條件即得；
（2）由題可知直線與圓相切，分斜率存在和不存在討論，結合點到直線的距離公式即得.
【詳解】（1）設，因為點，，動點滿足，
所以，
整理得，即，
所以曲線方程為；
（2）由，可知曲線為圓心為，半徑為4的圓，
所以直線 與圓相切，
當直線的斜率不存在時，直線，滿足題意；
當直線的斜率存在時，設直線，即，
則，解得，
所以直線的方程為，即，
綜上，直線的方程為或．
41．(1)或；
(2)存在，點P的個數為2,理由見解析
【分析】（1）由點到直線的距離公式列式求解，
（2）由題意列式得軌跡方程，由圓和圓的位置關系求解，
【詳解】（1）由題意圓C：，圓心，半徑，
1）當直線l的斜率不存在時，直線l：，符合題意；
2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：即，
則圓心C到直線l的距離，解得，
所以直線l的方程為即
綜上，直線l的方程為或；
（2）假設圓C上存在點P，設，則C：，
又，
即，P的軌跡是圓心為，半徑為3的圓.
因為，
所以圓C：與圓相交，
所以點P的個數為2
42．D
【分析】易知點為圓外一點，利用點到圓心的距離加半徑，即為的最大值.
【詳解】將代入，得，
所以點為圓外一點，易知圓心坐標，半徑，
所以，
則的最大值為：，
故選：D.
43．C
【分析】設，則與圓由交點,再根據圓心到直線的距離小于等于半徑列式，解不等式可得．
【詳解】設，則與圓有交點，
圓心到直線的距離，
解得．
故選:C．
44．A
【分析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標原點的距離，從而求出圓上的點到坐標原點的距離的最小值.
【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點的距離為，故圓上的點到坐標原點的距離最小值為.
故選：A
45．A
【分析】先利用點線距離公式算得圓心到直線的距離，從而利用弦長公式求得，再利用圓上動點到直線的距離的最值求法求得點P到直線的最大距離，由此可求得面積的最大值.
【詳解】因為圓，所以圓心為，半徑為，如圖，
所以圓心到直線的距離，
則，
又點P到直線的距離的最大值為，
所以面積的最大值．
故選：A.
.
46．B
【分析】由圖上易知，當不動時，為兩切線角最大，再將的最值問題轉化為的最值問題可求.
【詳解】
如圖，為兩切線，為直線上一個點，
所以當為兩切線是取等號；
又，故只需求，
,又，
故選：B
47．4
【分析】取點，可得，從而，，從而可求解．
【詳解】解：由圓，得圓心，半徑，
取點A（3，0），則，
又，∴，∴，
∴，當且僅當直線時取等號．
故答案為：．
48．(1)
(2)存在；點N為
【分析】（1）根據相關點法求出點E的軌跡方程即可；
（2）斜率不存在時顯然成立；斜率存在時，設直線的方程為，，，，將若x軸平分，轉化為，再通過聯立方程結合韋達定理將轉化為含與的等式即可求解.
【詳解】（1）設，因為P是圓C上動點，所以，
因為Q為圓C與x軸負半軸交點，所以，
設，因為E是中點，所以，即，
所以，即，
所以點E的軌跡方程為.
（2）當直線軸時，x軸平分.
當直線的斜率存在時，
設直線的方程為，，，，
由，得，
所以，．
若x軸平分，則，
∴，∴，
∴，
∴，
所以當點N為時，能使得x軸平分總成立
49．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當最大時，直線過圓心，代入圓心坐標可求直線的方程；
（2）直線與圓聯立方程組，利用韋達定理證明為定值．
【詳解】（1）當最大時，為直徑，即直線過圓心，
把圓心代入直線的方程，有，解得，直線的方程為.
（2）證明：設，，由題意知k存在，
由，得
所以 ， ，且，
因為 ，
，，
所以 ，即為定值.
50．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用中點坐標公式以及求軌跡方程的方法求解；（2）利用韋達定理結合題意求解.
【詳解】（1）設，，
由中點坐標公式得．
因為點M的軌跡方程是，
所以，
整理得曲線C的方程為．
（2）設直線l的方程為，，，，
由，得，
所以，，
所以
，
所以，且即，
即，
所以直線的方程為，即直線過定點．
因為為定值，且為直角三角形，為斜邊，
所以當點是的中點時，為定值．
因為，，所以由中點坐標公式得．
所以存在定點使得為定值．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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