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專題01 平面向量的概念（四大考點(diǎn)）-【寒假自學(xué)課】（人教A版2019）
專題01 平面向量的概念
思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一、向量的基本概念
考點(diǎn)二、向量的表示方法
考點(diǎn)三、利用向量相等或共線進(jìn)行證明
考點(diǎn)四、向量知識(shí)在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移.
（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素.
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小.
知識(shí)點(diǎn)二：向量的表示法
1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）.如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性.應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段.由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.
知識(shí)點(diǎn)三：向量的有關(guān)概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）向量的模.
（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小.
2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的.
3、單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）在畫單位向量時(shí)，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；
（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同.
4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長度相等.
向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）.
規(guī)定：與任一向量共線.
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.
2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
3、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量.
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：向量的基本概念
例1.
（2024·山西陽泉·高一陽泉市第十一中學(xué)校校考）
1．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量沒有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸 y軸都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
例2.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
2．給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積.其中不是向量的有（ ）
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
例3.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
3．下列各式中不表示向量的是（　　）
A． B． C． D．，，且
變式1.
（2024·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）
4．下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
考點(diǎn)二：向量的表示方法
例4.
（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）
5．用有向線段表示下列物體運(yùn)動(dòng)的速度．
(1)向正東方向勻速行駛的汽車在2h內(nèi)的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在1s末的速度（用1cm的長度表示速度2m/s）．
例5.
（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）
6．用有向線段分別表示一個(gè)方向向上、大小為20N的力，以及一個(gè)方向向下、大小為30N的力（用1cm的長度表示大小為10N的力）．
例6.
（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中有三點(diǎn)，，．請(qǐng)用有向線段分別表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．
變式2.
（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）
8．畫圖表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到達(dá)C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到達(dá)D地．
考點(diǎn)三：利用向量相等或共線進(jìn)行證明
例7.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
9．在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．
(1)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向；
(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向．
例8.
（2024·全國·高一課堂例題）
10．已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
例9.
（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）
11．如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心.

(1)圖中所示的向量中與的模相等的向量有幾個(gè)
(2)圖中所示的向量中與共線的向量有幾個(gè)
變式3.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
12．在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長為1.
(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量，使；
(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量，使，并說出向量的終點(diǎn)的軌跡是什么？
考點(diǎn)四：向量知識(shí)在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用
例10.
（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）
13．如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船航行向量的長度（單位：n mile）．

例11.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
14．某人從點(diǎn)A出發(fā)向西走4個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)B，然后改變方向朝西北方走6個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)C，最后又向東走4個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)D．試分別作出向量，和．
例12.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
15．一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量；
（2）求．
變式4.
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
16．已知飛機(jī)從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按南偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按西南方向飛行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
過關(guān)檢測
一、單選題
（2024·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
17．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動(dòng) B．是單位向量，則
C． D．若，則
（2024·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）
18．下列各命題中，正確的是（ ）
A．若，則或
B．與非零向量共線的單位向量是
C．長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是平行向量
D．若，則
（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）
19．如果將平面內(nèi)所有單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么它們的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（ ）
A．正方形 B．圓 C．線段 D．點(diǎn)
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
20．在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．，，則
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
21．設(shè)是正方形ABCD的中心，則（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
22．已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
（2024·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）
23．設(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2024·全國·高三專題練習(xí)）
24．如圖，等腰梯形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在兩腰、上，過點(diǎn)，且，則下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
二、多選題
（2024·四川眉山·高一校考）
25．給出下列命題，其中假命題為（ ）
A．兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；
B．若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
C．若與同向，且，則；
D．為實(shí)數(shù)，若，則與共線.
（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考）
26．給出下面四個(gè)命題，其中是真命題的是（ ）
A．
B．零向量與任意向量平行
C．是的充分不必要條件
D．向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上
（2024·廣西賀州·高一統(tǒng)考期末）
27．以下選項(xiàng)中，能使成立的條件有（ ）
A． B．或
C． D．與都是單位向量
三、填空題
（2024·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
28．下列四個(gè)說法：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，，則．其中錯(cuò)誤的是 （填序號(hào)）．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
29．如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
30．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等向量有 對(duì).

（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
31．某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了到達(dá)點(diǎn)，然后改變方向向西偏北走了到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了到達(dá)點(diǎn)，則的模= ．
四、解答題
（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）
32．在矩形中，，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，在以、、、、、為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，相等的非零向量共有多少對(duì)？
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
33．在如圖的方格紙上，已知向量，每個(gè)小正方形的邊長為1．
(1)試以為終點(diǎn)畫一個(gè)有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為，使．
(2)在圖中畫一個(gè)以為起點(diǎn)的有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為，且，并說出點(diǎn)的軌跡是什么？
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
34．如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形．
(1)寫出與向量相等的向量；
(2)寫出與向量共線的向量．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【詳解】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；
（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；
（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的軸、軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.
故選：A.
2．A
【分析】根據(jù)向量的概念，即可得出答案.
【詳解】看一個(gè)量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.
故選：A.
3．C
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否表示向量，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，是向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量；
對(duì)于B，，是向量的加法，結(jié)果是向量，
對(duì)于C，是向量的模，是實(shí)數(shù)，不是向量；
對(duì)于D，向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量；
故選：C．
4．B
【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
5．(1)答案見解析．
(2)答案見解析．
【分析】（1）以為起點(diǎn)，向右作長度是3cm的有向線段；
（2）以為起點(diǎn)，向下作長度為的有向線段．
【詳解】（1），
以為起點(diǎn)，向右作有向線段，它的長度是3cm，

（2），時(shí)，，
以為起點(diǎn)，向下作有向線段，長度為：

6．答案見解析．
【分析】根據(jù)有向線段的定義作圖．
【詳解】如圖，有向線段表示方向向上、大小為20N的力，有向線段表示方向向下、大小為30N的力，
7．答案見詳解
【分析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可.
【詳解】
如圖，有向線段表示A到B的位移，有向線段表示B到C的位移，有向線段表示C到A的位移.
8．(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
(3)答案見詳解
【分析】先畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，北偏東45°的角，并取出相應(yīng)的長度確定B點(diǎn)； 接下來再以點(diǎn)A為頂點(diǎn)畫出北偏西30°的角，并取出相應(yīng)的長度確定C點(diǎn)，再以點(diǎn)C為頂點(diǎn)正南方向，并取出相應(yīng)的長度確定D點(diǎn)即可.
【詳解】（1）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

（2）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

（3）根據(jù)的比例尺，即圖上，作圖如下，

9．(1)答案見解析；(2)答案見解析.
【分析】(1)根據(jù)描述找出終點(diǎn)A即可；
(2)根據(jù)描述找出終點(diǎn)B即可.
【詳解】(1)∵，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向，∴以O(shè)為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對(duì)角線OP的交點(diǎn)即為A點(diǎn)：
(2)∵，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向，∴以O(shè)為圓心，圖中OQ為半徑化圓，圓弧與OR的交點(diǎn)即為B點(diǎn)：
10．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，利用正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合共線向量、相等向量的意義判斷作答.
【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.
（2）由于與長度相等且方向相同，所以.
（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等.
11．(1)11
(2)4
【分析】（1）根據(jù)平面向量的概念即可得出結(jié)論；
（2）由共線向量的概念即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)锳BCDEF為正六邊形，所以中心O到各頂點(diǎn)的距離相等，且均等于正六邊形的邊長.
因此題圖中所示的向量中與 的模相等的向量有，，， ，，，，，，，，共11個(gè).
（2）由題知，圖中所示的向量中與 共線的向量有，、、，共4個(gè).
12．(1)圖見解析
(2)圖見解析，終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓
【分析】（1）（2）根據(jù)相等向量與向量模的幾何意義，畫出向量，即可得解；
【詳解】（1）解：根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量平行，且長度相等．
圖如下所示：
（2）解：由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量的終點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
13．2 n mile．
【分析】在直角三角形中求得向量的長度．
【詳解】由題意，
所以向量的長度為2 n mile．
14．答案見解析.
【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)為，按照要求進(jìn)行繪制即可.
【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)為，按照題意要求方向，作線段，，
則向量，和如下所示：
.
15．（1）作圖見解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)以為正東方向，過A垂直于向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫出向量即可.
（2）由題設(shè)知，易知為平行四邊形，即可求.
【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量即為所求．
（2）根據(jù)題意，向量與方向相反，故向量，又，
∴在中，，故為平行四邊形，
∴，則（海里）．
16．答案見解析.
【分析】根據(jù)方向角及飛行距離可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【詳解】以為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立直角坐標(biāo)系．
由題意知點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在x軸正半軸上，點(diǎn)在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，

為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向?yàn)闁|南方向．
17．D
【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關(guān)概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄浚梢宰杂善揭埔苿?dòng)，故A正確；
由單位向量對(duì)于可知，，故B正確；
因?yàn)椋裕蔆正確；
因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤；
故選：D
18．C
【分析】利用平面向量概念可判斷AD選項(xiàng)；利用單位向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用共線向量的定義可判斷C選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則、的方向關(guān)系無法確定，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，與非零向量共線的單位向量是，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是平行向量，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若，但向量、不能比大小，D錯(cuò).
故選：C.
19．B
【分析】由單位向量的概念即可得出結(jié)論.
【詳解】把所有單位向量的起點(diǎn)平行移動(dòng)到同一點(diǎn)，向量終點(diǎn)的集合是距離點(diǎn)為單位長的點(diǎn)，那么它們的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是圓.
故選：B.
20．D
【分析】根據(jù)平面向量的概念，舉例即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)向量的模的概念，可知B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，若，則方向不確定，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)向量的概念，可知D項(xiàng)正確.
故選：D.
21．D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及向量的概念，即可得出答案.
【詳解】
對(duì)于A項(xiàng)，，不共線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，顯然不平行，且三點(diǎn)不共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知，，，的長度相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，方向相同，方向相同.
又，，，的長度相等，所以，，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
22．A
【分析】根據(jù)向量共線和模長相等的幾何與意義結(jié)合平行四邊形、矩形、梯形的定義逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】A選項(xiàng)，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項(xiàng)，如圖

，但是四邊形不是矩形，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯(cuò)誤．
選項(xiàng)，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯(cuò)誤.
故選：A
23．B
【分析】由題知，進(jìn)而得，，再根據(jù)菱形的定義即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，即，，
所以四邊形是平行四邊形，
因?yàn)椋矗?br/>所以四邊形是菱形.
故選：B
24．D
【分析】由梯形的幾何性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯(cuò)；
因?yàn)椋瑒t，則，則，
即，即，
，則，，即為的中點(diǎn)，
所以，，C錯(cuò)，D對(duì).
故選：D.
25．ACD
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，向量共線及向量相等，逐個(gè)分析判斷即可
【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，由于起點(diǎn)不一定相同，它們的方向不一定相同，所以它們不一定是共線向量，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，當(dāng)是不共線的四點(diǎn)，若，則四邊形是平行四邊形，若四邊形是平行四邊形，則，
所以是四邊形為平行四邊形的充要條件，所以B正確，
對(duì)于C，當(dāng)與同向，且時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，為實(shí)數(shù)，若，則與不一定共線，如時(shí)，與是任意的，所以D錯(cuò)誤，
故選：ACD
26．AB
【分析】利用相反向量的定義判斷選項(xiàng)A；利用規(guī)定：零向量和任意向量平判斷選項(xiàng)B；利用相等向量的定義判斷選項(xiàng)C；利用平行四邊形可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)A，，A正確；
對(duì)B，我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，B正確；
對(duì)C，由只能確定長度相等，不等確定方向，
所以推不出，
又由可得，
所以是的必要不充分條件，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，在平行四邊形中，向量與向量是共線向量，
但點(diǎn)A，B，C，D不在同一條直線上，D錯(cuò)誤；
故選:AB.
27．BC
【分析】對(duì)于A、D：取特殊向量分別為x、y軸上的單位向量，否定結(jié)論；
對(duì)于B：由零向量與任何向量平行，即可判斷；對(duì)于C：由向量平行的判定定理即可判斷.
【詳解】對(duì)于A、D：不妨取分別為x、y軸上的單位向量，滿足“”，滿足“與都是單位向量”，但是不成立.故A、D錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由零向量與任何向量平行，可知或時(shí)，.故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?故C正確.
故選：BC
28．②③④
【分析】由零向量的定義、向量相等的條件、向量共線的條件、向量模的定義，判斷各說法是否正確.
【詳解】由零向量的定義可知，①正確；
時(shí)，不知道兩個(gè)向量的方向，不能得到或，②錯(cuò)誤；
兩個(gè)向量共線，與模是否相等無關(guān)，③錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，滿足，，但不能得到，④錯(cuò)誤.
故答案為：②③④
29．3
【分析】根據(jù)相等向量的定義及正六邊形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個(gè).
故答案為：3
30．2
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，可推得，即可得出答案.
【詳解】由題意∥AB可知，，所以，所以.
因?yàn)椋裕?br/>所以，，所以.
又M，O，N三點(diǎn)共線，
所以，，故相等向量有2對(duì).
故答案為：2.
31．
【分析】根據(jù)向量共線，且，判斷四邊形為平行四邊形，可得，即可求得答案.
【詳解】如圖示，由題意可得向量共線，且，

則四邊形為平行四邊形，故，
故答案為：
32．對(duì)
【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出相等的向量共有多少對(duì)．
【詳解】在矩形中，，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，
所以和為邊長相等的正方形，
如圖所示，
由題意得，，有3對(duì)（即、、）；
，有6對(duì)（即、、、、、）；
，有1對(duì)；
，有1對(duì)，有1對(duì)，共有對(duì)；
加上它們的方向相反的向量也有12對(duì)，
所以總共有對(duì)．
33．(1)圖見解析
(2)點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓
【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義，即可畫出向量；
（2）根據(jù)模長，畫出向量，在判斷軌跡.
【詳解】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長度相等，即，即可得到向量；

（2）如圖，畫出一個(gè)滿足條件的向量，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓.

34．(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)向量相等的概念直接求解；
（2）根據(jù)共線向量的概念直接求解即可.
【詳解】（1）∵四邊形和四邊形都是平行四邊形，
∴，，
∴.
故與向量相等的向量是，.
（2）由共線向量的條件知，與共線的向量有，，，，，，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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