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專題02 平面向量的運(yùn)算（八大考點(diǎn)）-【寒假自學(xué)課】（人教A版2019）
專題03 平面向量的運(yùn)算
思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一、向量的加法運(yùn)算
考點(diǎn)二、向量的減法運(yùn)算
考點(diǎn)三、與向量的模有關(guān)的問(wèn)題
考點(diǎn)四、向量的數(shù)乘運(yùn)算
考點(diǎn)五、共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題
考點(diǎn)六、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
考點(diǎn)七、平面向量模的問(wèn)題
考點(diǎn)八、向量垂直（或夾角）問(wèn)題
知識(shí)點(diǎn)一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則
1、向量加法的概念及三角形法則
已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖
本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．
2、向量加法的平行四邊形法則
已知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線．這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．
對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
兩個(gè)向量的和是一個(gè)向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運(yùn)算，但要注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)二：向量求和的多邊形法則及加法運(yùn)算律
1、向量求和的多邊形法則的概念
已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．
特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有
2、向量加法的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）結(jié)合律：
知識(shí)點(diǎn)三：向量的減法
1、向量的減法
（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的．
相反向量：與向量方向相反且等長(zhǎng)的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）兩種方法給出的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的．
（2）對(duì)于相反向量有；若，互為相反向量，則．
（3）兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量．
2、向量減法的作圖方法
（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）．利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
（2）利用相反向量作圖，通過(guò)向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．
知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)乘向量
1、向量數(shù)乘的定義
實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：
（1）；
（2）①當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；
②當(dāng)時(shí)．的方向與的方向相反；
③當(dāng)時(shí)，．
2、向量數(shù)乘的幾何意義
由實(shí)數(shù)與向量積的定義知，實(shí)數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來(lái)的倍得到；當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=-，與互為相反向量；當(dāng)時(shí)，=．實(shí)數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．
3、向量數(shù)乘的運(yùn)算律
設(shè)為實(shí)數(shù)
結(jié)合律：；
分配律：，
知識(shí)點(diǎn)五：向量共線的條件
1、向量共線的條件
（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．
（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．
反之，已知向量與（）共線且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
2、向量共線的判定定理
是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．
3、向量共線的性質(zhì)定理
若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；
（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；
（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．
（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．
知識(shí)點(diǎn)六： 平面向量的數(shù)量積
1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．
2、如圖（1），設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作．過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別
（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定．
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積，而是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．
（3）在實(shí)數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因?yàn)槠渲杏锌赡転?．
2、投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為；當(dāng)=180時(shí)投影為．
3、投影向量是一個(gè)向量，當(dāng)對(duì)于任意的，都有．
知識(shí)點(diǎn)七：向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)與為兩個(gè)非零向量，是與同向的單位向量．
1、
2、
3、當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別的或
4、
5、
知識(shí)點(diǎn)八：向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1、交換律：
2、數(shù)乘結(jié)合律：
3、分配律：
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
1、已知實(shí)數(shù)、、，則．但是；
2、在實(shí)數(shù)中，有，但是
顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．
1、向量的三角形不等式
由向量的三角形法則，可以得到
（1）當(dāng)不共線時(shí)，；
（2）當(dāng)同向且共線時(shí)，同向，則；
（3） 當(dāng)反向且共線時(shí)，若，則同向，；若，則同向，．
2、平面向量數(shù)量積的幾何意義
數(shù)量積表示的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時(shí)向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．
事實(shí)上，當(dāng)為銳角時(shí)，由于，所以；當(dāng)為鈍角時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以，此時(shí)與重合；當(dāng)時(shí)，由于，所以；當(dāng)時(shí)，由于，所以．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一：向量的加法運(yùn)算
例1．
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
1．如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1)
(2)
例2．
（2024·新疆·高一校考期末）
2．化簡(jiǎn)下列各式:
(1)
(2)
例3．
（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
3．如圖，已知向量
(1)求作
(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值．
考點(diǎn)二：向量的減法運(yùn)算
例4．
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
4．化簡(jiǎn)：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
例5．
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
5．填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
例6．
（2024·高一單元測(cè)試）
6．任給兩個(gè)向量和，則下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
變式1．
（2024·安徽六安·高一六安一中校考）
7．化簡(jiǎn)： .
考點(diǎn)三：與向量的模有關(guān)的問(wèn)題
例7．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
8．已知向量，滿足，，則的最大值為 ．
例8．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
9．若向量滿足，則的最小值為 ，的最大值為 ．
例9．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
10．已知非零向量滿足，且，則 .
變式2．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
11．已知向量，，的模分別為3，4，5，則的最大值為 ，最小值為 ．
變式3．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
12．已知非零向量，滿足，則 .
考點(diǎn)四：向量的數(shù)乘運(yùn)算
例10．
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
13．求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
例11．
（2024·全國(guó)·高一課堂例題）
14．計(jì)算：
(1)；
(2)．
例12．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
15．化簡(jiǎn)：
(1)；
(2)；
(3).
變式4．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
16．計(jì)算：
(1)；
(2)．
考點(diǎn)五：共線向量與三點(diǎn)共線問(wèn)題
例13．
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
17．判斷三點(diǎn)是否共線.
(1)已知兩個(gè)非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點(diǎn)共線.
(2)已知任意兩個(gè)非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
例14．
（2024·寧夏銀川·高一校考階段練習(xí)）
18．設(shè)，是不共線的兩個(gè)非零向量.
(1)若，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.
例15．
（2024·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考）
19．如圖，已知點(diǎn)是的重心，若過(guò)的重心，且，，，（，），試求的最小值．
變式5．
（2024·高一課時(shí)練習(xí)）
20．已知G是的重心，M是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作一條直線與邊交于點(diǎn)P 與邊交于點(diǎn)Q，設(shè)，求的值.
變式6．
（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）
21．已知向量與的夾角為，且，求：
(1)；
(2)．
考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
例16．
（2024·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）
22．如圖，在底角為的等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)．設(shè)
(1)用，表示，；
(2)若，求．
例17．
（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考）
23．已知向量，，與的夾角為.
(1)求；
(2)求.
例18．
（2024·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
24．已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為 .
考點(diǎn)七：平面向量模的問(wèn)題
例19．
（2024·河南·高一校聯(lián)考期末）
25．向量，滿足，，，則 .
例20．
（2024·江蘇南通·校聯(lián)考一模）
26．已知向量與向量滿足：，，且與的夾角為，則 ．
例21．
（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）
27．已知向量，滿足，，，則 ．
變式7
（2024·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）
28．已知向量的夾角為，，則 .
考點(diǎn)八：向量垂直（或夾角）問(wèn)題
例22．
（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無(wú)為襄安中學(xué)校考）
29．已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求向量與的夾角．
例23．
（2024·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）
30．已知，，．
(1)求；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，與垂直？
(3)求向量與的夾角的余弦值．
例24．
（2024·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）
31．已知平面向量與滿足，向量是與向量同向的單位向量，向量在向量上的投影向量為.
(1)若與垂直，求的大小；
(2)若與的夾角為，求向量與夾角的余弦值.
變式8．
（2024·廣東云浮·高一校考階段練習(xí)）
32．已知向量，滿足，，且．
(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)求與的夾角．
過(guò)關(guān)檢測(cè)
一、單選題
（2024·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）
33．對(duì)于任意空間向量，，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若且，則 B．
C．若，且，則 D．
（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）
34．設(shè)非零向量，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一校考階段練習(xí)）
35．在邊長(zhǎng)為2的等邊中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
36．在平面四邊形中，下列表達(dá)式化簡(jiǎn)結(jié)果與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）
37．已知向量與的夾角為，，則向量在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2024·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考）
38．已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
（2024·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）
39．已知平面向量，滿足，且，，則（ ）
A． B． C． D．1
（2024·天津和平·高一統(tǒng)考期末）
40．已知平面向量，且與的夾角為，則（ ）
A．12 B．16 C． D．
二、多選題
（2024·四川成都·高二成都七中校考）
41．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
（2024·河北石家莊·高一校考）
42．若向量滿足，，則（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
（2024·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）
43．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．
B．λ、μ為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線
C．若，則
D．若平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則必有
（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)校考）
44．如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA AB上的中線，且相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
三、填空題
（2024·北京·高一北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）
45．化簡(jiǎn)： .
（2024·河南·高三長(zhǎng)垣市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
46．已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則 .
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
47．已知平面向量滿足，則實(shí)數(shù)的值為 ．
（2024·山東菏澤·高一校考階段練習(xí)）
48．已知向量，滿足，， 則 ．
四、解答題
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
49．已知，，當(dāng)，滿足下列條件時(shí)，分別求的值．
(1)；
(2)；
(3)與的夾角為．
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
50．判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個(gè)非零向量和不共線）；
(3)，.
（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）
51．已知，，與的夾角為，計(jì)算下列各式：
(1)；
(2)．
（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
52．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，，，與所成角是.
(1)若，求實(shí)數(shù)x，y的值；
(2)求線段EF的長(zhǎng)度.
（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考）
53．如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，設(shè).

(1)求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值.
試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共1頁(yè)
參考答案：
1．(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四邊形法則可作出向量.
【詳解】（1）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

（2）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

2．(1)
(2)
【分析】（1）（2）應(yīng)用向量加法運(yùn)算律化簡(jiǎn)即可.
【詳解】（1）原式.
（2）原式
3．(1)作圖見(jiàn)解析
(2)3
【分析】（1）由平面向量的加法運(yùn)算作圖
（2）由向量三角不等式求解
【詳解】（1）（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，，，則
（2）由向量三角不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)等號(hào)成立
故的最大值為3
4．
【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案為：；；；.
5．
【分析】（1）（2）（3）利用平面向量的減法法則可化簡(jiǎn)所求向量；
（4）利用平面向量的加法、減法法則可化簡(jiǎn)所求向量.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）.
6．②③
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可判斷①；根據(jù)向量減法的三角形法則可判斷②③④.
【詳解】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，則①不恒成立；
②根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則②恒成立；
③根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則③恒成立；
④根據(jù)向量減法的三角形法則，得，則④不恒成立.
故答案為：②③.
7．
【分析】由向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
8．7
【分析】根據(jù)向量減法的三角不等式分析求解.
【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為7.
故答案為：7.
9． 1 5
【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)，根據(jù)的夾角情況求、的最值.
【詳解】當(dāng)反向時(shí)，有最小值；
當(dāng)反向時(shí)，有最大值.
故答案為：
10．4
【分析】根據(jù)向量加減運(yùn)算及向量的模長(zhǎng)可得出平行四邊形OACB是矩形，由矩形對(duì)角線相等得解.
【詳解】如圖所示，設(shè)，，
則，
以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形，
根據(jù)矩形的對(duì)角線相等得，即.
故答案為：4
11． 12 0
【分析】當(dāng)，，同向時(shí)，的模最大，當(dāng)，，和時(shí)，的模最小，問(wèn)題得以解決．
【詳解】解：向量，，的模分別為3，4，5，則向量可共線，又，則以為邊長(zhǎng)可構(gòu)成直角三角形，
則當(dāng)，，同向時(shí)，的模最大，
所以；
當(dāng)，，和為時(shí)，的模最小，由于以為邊長(zhǎng)可構(gòu)成直角三角形，
設(shè)，，，所以此時(shí)，故.
故答案為：12；0.
12．
【分析】由已知，結(jié)合向量的減法法則，可以得出一個(gè)特殊的等邊三角形，再根據(jù)向量加法的平行四邊形法得出，從而求得結(jié)果.
【詳解】如圖，設(shè)，，則，以O(shè)A，OB為邊作平行四邊形OACB，則.
因?yàn)椋浴鱋AB是等邊三角形，四邊形OACB是一個(gè)菱形，，所以，
所以.
故答案為：．
13．(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）（2）應(yīng)用向量的運(yùn)算律化簡(jiǎn)即可.
【詳解】（1）原式．
（2）原式.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算即可求得結(jié)果；
（2）按照向量的運(yùn)算法則依次計(jì)算即可.
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)A，B，C三點(diǎn)共線，理由見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)向量共線定理判斷.
【詳解】（1），
所以，
又因?yàn)橛泄财瘘c(diǎn)，故A，B，D三點(diǎn)共線.
（2） ，
所以，
又因?yàn)橛泄财瘘c(diǎn)，故A，B，C三點(diǎn)共線.
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.
（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>而
所以，所以與共線，且有公共點(diǎn)，
所以三點(diǎn)共線；
（2）因?yàn)榕c共線，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
因?yàn)榕c不共線，所以，解得，所以.
19．
【分析】根據(jù)重心的幾何性質(zhì)和三點(diǎn)共線的向量表示，依據(jù)線段長(zhǎng)的比例進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】∵是的重心，∴是邊上的中線，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三點(diǎn)共線，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
∴的最小值為.
20．3
【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則以及重心表示可得，再由三點(diǎn)共線即可求解.
【詳解】由題意可得，
又，即，，
所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
則，即.
21．(1)
(2)12
【分析】(1)利用向量數(shù)量積的定義直接求解即可.
(2)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.
【詳解】（1）由已知得
（2）．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）由（1）結(jié)論結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】（1），
；
（2）由題意可得,過(guò)作的垂線，則由,
，
.
23．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋c的夾角為，
所以
（2）
.
24．
【分析】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為零，得出，再根據(jù)向量投影的概念求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>所以向量在向量上的投影數(shù)量為，
故答案為：.
25．
【分析】由題設(shè)條件可得，，，聯(lián)立可得，即，即可得解.
【詳解】由題意，，，
，，
，
.
故答案為：.
26．2
【分析】由向量模、數(shù)量積公式先求出，再由公式即可得解.
【詳解】由題意，，
所以 .
故答案為：2.
27．
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
【詳解】由可知，
所以.
故答案為：.
28．
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，再利用模長(zhǎng)關(guān)系以及數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故答案為：.
29．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)共線向量定理，即可求解；
（2）根據(jù)向量夾角公式，，再代入數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】（1）若向量與共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，
則，則；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
所以，且，
所以.
30．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，然后通過(guò)平方的方法求得.
（2）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.
（3）根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，，
所以.
（2）若與垂直，
則，
解得.
（3），
設(shè)向量與的夾角為，
則.
31．(1)
(2)
【分析】（1）利用投影向量的定義式，求模長(zhǎng)，利用垂直向量，可得答案；
（2）利用夾角以及投影向量，解得模長(zhǎng)，根據(jù)數(shù)量積與模長(zhǎng)，結(jié)合夾角的余弦公式，可得答案.
【詳解】（1）設(shè)的夾角為，由題意得，則.
因?yàn)榕c垂直，所以，
化簡(jiǎn)為，即，所以.
（2）由題意得，所以，且.
所以，
，
設(shè)向量與的夾角為，所以.
32．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的垂直的數(shù)量積表示，即可求解；
（2）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算律和夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>即，解得：
，
解得：
（2），
，
∴
∵，∴
33．B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BCD，根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A.
【詳解】對(duì)于A，若，則且，不能得到，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，B正確，
對(duì)于C，若，且，則，則，無(wú)法得出，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤，
故選：B
34．B
【分析】根據(jù)向量的模及向量垂直的數(shù)量積表示可得結(jié)果.
【詳解】由，平方得，
即，則.
故選：B.
35．D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】∵，向量與的夾角為120°，
∴.
故選：D
36．B
【分析】根據(jù)平面的線性運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】，不符合題意.
，符合題意.
，不符合題意.
，不符合題意.
故選：B

37．A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的投影的定義和計(jì)算方法，即可求解.
【詳解】由題意知，向量且向量與的夾角為，
所以向量在上的投影為，
又因?yàn)椋韵蛄吭谏系耐队跋蛄繛?
故選：A.
38．D
【分析】將條件變形，得到的關(guān)系，進(jìn)而可得的值.
【詳解】,
,
即,
.
故選：D.
39．D
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積可得，再由即可得出.
【詳解】由可得，
又可得，所以；
即，所以.
故選：D
40．C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，結(jié)合模長(zhǎng)公式和數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：，
所以.
故選：C.
41．AD
【分析】可由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可逐一判定選項(xiàng).
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
42．BC
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可判斷A、B、C，求出，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?br/>所以，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋裕蔆正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋遥?br/>所以在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
43．BD
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)，即可判斷A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)，，滿足即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)平面向量的加、減運(yùn)算，即可判斷D正確.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤，
對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)棣恕ⅵ虨榉橇銓?shí)數(shù)，，
所以，所以與共線，故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，若，，滿足，故C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)D，平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，
，，
所以，即，即，故D正確.
故選：BD
44．BC
【分析】由條件可知為的重心，由重心的性質(zhì)逐一判定即可.
【詳解】由條件可知為的重心，
對(duì)于A，由重心的性質(zhì)可得，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由重心的性質(zhì)可得，所以，故B正確；
對(duì)于D，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
，故C正確.
故選：BC.
45．
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】，
故答案為：
46．##
【分析】計(jì)算出的值，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值.
【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，
所以.
由，
得，
解得.
故答案為：.
47．1或
【分析】結(jié)合平面向量的相關(guān)知識(shí)，將兩邊平方，計(jì)算即可.
【詳解】將兩邊平方，得，
得，即，解得或．
故答案為：或.
48．
【分析】由關(guān)系式中知三求一可得.
【詳解】由，
得，
又，
兩式相加得，
則，則.
故答案為：.
49．(1)或
(2)
(3)
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋耘c的夾角為或，又，，
當(dāng)與的夾角為時(shí)，
當(dāng)與的夾角為時(shí).
（2）因?yàn)椋耘c的夾角為，
所以.
（3）因?yàn)榕c的夾角為，
所以.
50．(1)共線；
(2)共線；
(3)共線.
【分析】用向量共線定理判斷.
【詳解】（1），，所以，
所以，共線.
（2），,
所以，所以，共線.
（3）因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
所以，共線.
51．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；
（2）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以.
（2）因?yàn)椋c的夾角為，
所以，
所以.
52．(1)，
(2)
【分析】（1）由題意，可得，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合條件得到的值；
（2）由，結(jié)合條件，求出線段EF的長(zhǎng)度即可.
【詳解】（1）由題意，可得．
∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點(diǎn)，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角為，
∴，
∴，
∴線段EF的長(zhǎng)度為.
53．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)求得.
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算求得.
【詳解】（1）依題意，
由于三點(diǎn)共線，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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