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專題6.5 二項(xiàng)式定理（重難點(diǎn)題型精講）
1．二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：=.
(2)二項(xiàng)展開式的規(guī)律
①二項(xiàng)展開式一共有(n+1)項(xiàng).
②(n+1)項(xiàng)按a的降冪b的升冪排列.
③每一項(xiàng)中a和b的冪指數(shù)之和為n.
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)楊輝三角——二項(xiàng)式系數(shù)表
當(dāng)n依次取1,2,3,時(shí)，觀察的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)：
從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項(xiàng)式定理得到的，右側(cè)三角是算出對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)
果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：
①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是對(duì)稱的，如第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)的
二項(xiàng)式系數(shù)相等.
②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.
③從第二行起，每一行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.
④第一行的兩個(gè)數(shù)之和為2=，第二行的三個(gè)數(shù)之和為4=，，第六行的各數(shù)之和為，，
第n行的(n+1)個(gè)數(shù)之和為.
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【題型1 求展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的主要作用是求展開式中的特定項(xiàng)，常見的題型有：①求第k項(xiàng)；②求含(或)的
項(xiàng)；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng).其中求有理項(xiàng)時(shí)，一般根據(jù)通項(xiàng)，找出未知數(shù)的指數(shù)，令其為整數(shù)，再根據(jù)
整數(shù)的整除性求解.另外，若通項(xiàng)中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【例1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．80 B． C． D．40
【解題思路】求出展開式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)等于0，即可得出答案.
【解答過程】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，
令，則，
所以常數(shù)項(xiàng)為.
故選：B.
【變式1-1】（2023·廣西桂林·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．40 B． C．80 D．
【解題思路】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再代入計(jì)算可得；
【解答過程】的展開式的通項(xiàng)，
令，解得，
所以，所以項(xiàng)的系數(shù)為，
故選：A.
【變式1-2】（2022春·湖南邵陽(yáng)·高二期末）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160，則a的值為（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【解題思路】由已知，根據(jù)二項(xiàng)式列出其展開式的通項(xiàng)，根據(jù)要計(jì)算的常數(shù)項(xiàng)，先計(jì)算出，然后根據(jù)其常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)列出關(guān)于a的方程，解方程即可完成求解.
【解答過程】由已知，展開式的通向?yàn)椋?br/>所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)即，，
所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.
故選：A.
【變式1-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，并求出展開式中項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)，即可求解
【解答過程】展開式中第5項(xiàng)為.
故選：B.
【題型2 用賦值法求系數(shù)和問題】
【方法點(diǎn)撥】
賦值法是解決二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)和問題的常用方法.根據(jù)題目要求，靈活賦值是解題的關(guān)鍵.
【例2】（2022秋·廣西梧州·高三期中），則（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【解題思路】根據(jù)展開式，利用賦值法取即得.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>令，可得.
故選：C.
【變式2-1】若，則的值為（ ）
A．0 B．32 C．64 D．128
【解題思路】先利用賦值法求得和的值，進(jìn)而求得的值.
【解答過程】，時(shí)，，
，時(shí)，，
，
故選：A.
【變式2-2】（2022春·陜西延安·高二階段練習(xí)）若，則的值是（ 　 ）
A． B．127 C．128 D．129
【解題思路】利用賦值法計(jì)算可得.
【解答過程】解：因?yàn)椋?br/>令，可得，
令，可得，
所以；
故選：D.
【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用組合數(shù)的性質(zhì)可求得的值，再利用賦值法可求得和的值，作差可得出所求代數(shù)式的值.
【解答過程】因?yàn)椋杂山M合數(shù)的性質(zhì)得，
所以，
令，得，即.
令，得，
所以，
故選：D.
【題型3 多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注
意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.
【例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求出展開式的通項(xiàng)公式，然后求出其一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，從而可求得結(jié)果.
【解答過程】展開式的通項(xiàng)公式為，
所以的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為
，
故選：D.
【變式3-1】（2022·四川綿陽(yáng)·校考二模）的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．10 B．12 C．4 D．5
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行分類討論即可求解.
【解答過程】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，的展開式中含項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，的展開式中含項(xiàng)為；
所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：A.
【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（ ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理得到的展開式通項(xiàng)公式，求出，，，進(jìn)而與對(duì)應(yīng)的系數(shù)相乘，求出展開式中的系數(shù).
【解答過程】的展開式通項(xiàng)公式為，
其中，，，
故二項(xiàng)式中的四次方項(xiàng)為，
即展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
【變式3-3】（2022秋·廣西柳州·高三階段練習(xí)）若 展開式中的系數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】展開式中項(xiàng)的產(chǎn)生一部分來(lái)源于2與中項(xiàng)相乘， 另一部分來(lái)源于與中項(xiàng)相乘，可求.
【解答過程】，展開式中的系數(shù)為
所以 ，解得
故選：A.
【題型4 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的方法】
【方法點(diǎn)撥】
由于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量，因此，
(1)在系數(shù)符號(hào)相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值，只需比較兩組相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小，根據(jù)通項(xiàng)正確地
列出不等式組即可.
(2)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相間時(shí)，求系數(shù)的最大值應(yīng)在系數(shù)都為正的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式組；求系數(shù)的最小值
應(yīng)在系數(shù)都為負(fù)的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式組.
【例4】（2022春·江蘇常州·高二期中）在的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是（ ）
A．第10項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第11項(xiàng) D．第8項(xiàng)
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【解答過程】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，
設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，
所以有，
因?yàn)椋裕韵禂?shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是第9項(xiàng)，
故選：B.
【變式4-1】（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】計(jì)算，計(jì)算，，，根據(jù)系數(shù)的大小關(guān)系得到，解得答案.
【解答過程】，，，，，
第6項(xiàng)的系數(shù)最大，，則.
故選：.
【變式4-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知的展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求各項(xiàng)系數(shù)，分析列式求系數(shù)最小項(xiàng)時(shí)的值，代入求系數(shù)的最小值.
【解答過程】∵展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，
∴展開式的通項(xiàng)為，
則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)
若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，即，解得，
∴系數(shù)的最小值為
故選：C.
【變式4-3】（2022春·山東菏澤·高二階段練習(xí)）已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
C．二項(xiàng)展開式中無(wú)常數(shù)項(xiàng) D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
【解題思路】由二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，可得，得，所以二項(xiàng)式為，然后寫出二項(xiàng)式展開式的通式公式，然后逐個(gè)分析判斷．
【解答過程】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
所以，得，所以二項(xiàng)式為，
則二項(xiàng)式展開式的通式公式，
對(duì)于A，令，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以A錯(cuò)；
對(duì)于B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以B錯(cuò)；
對(duì)于C，令，則，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，
因?yàn)椋詴r(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大，
則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以D正確，
故選：D．
【題型5 利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)利用二項(xiàng)式定理證明整除問題，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本做法：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)
式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.
(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí)，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，
再用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或者是前面)一兩項(xiàng)就可以了，要注意余數(shù)的范圍.
【例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）除以7的余數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合二項(xiàng)展開式即可求解.
【解答過程】
，
則，
又是7的倍數(shù)，
故余數(shù)為3.
故選：D.
【變式5-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，若能被13整除，則a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【解題思路】由且可以被13整除，即其展開式中不含的項(xiàng)為余項(xiàng)，該余項(xiàng)與a的和能被13整除，即可得參數(shù)值.
【解答過程】由，
展開式通項(xiàng)為，
又可以被13整除，
所以展開式中的項(xiàng)均可被13整除，余項(xiàng)為，
要使能被13整除，且，則.
故選：B.
【變式5-2】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）設(shè)，且，若能被13整除，則（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【解題思路】轉(zhuǎn)化為，利用二項(xiàng)式定理求解.
【解答過程】因?yàn)椋遥?br/>所以
，
因?yàn)槟鼙?3整除，
所以能被13整除，
所以，
故選：B.
【變式5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)n為正奇數(shù)，則被7整除的余數(shù)為（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【解題思路】按照二項(xiàng)式定理將原式改寫成7的倍數(shù)的形式，剩余的部分即為余數(shù).
【解答過程】
．
∵為整數(shù)，
故被7整除的余數(shù)為5；
故選：D．
【題型6 楊輝三角問題】
【方法點(diǎn)撥】
解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路：
(1)觀察：對(duì)數(shù)據(jù)要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；
(2)規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)據(jù)之間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律；
(3)表達(dá)：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)；
(4)結(jié)論：用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出結(jié)論.
【例6】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個(gè)數(shù)為該行中的最大值，則n=（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【解題思路】由題意可知，第n行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再利用二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【解答過程】由題意可知，第n行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).
因?yàn)橹挥械?2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以n為偶數(shù)，故，解得，
故選：B.
【變式6-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（ ）
A．256 B．512 C．1024 D．1023
【解題思路】由圖形以及二項(xiàng)式系數(shù)和的有關(guān)性質(zhì)可得.
【解答過程】由圖知，第10行的所有數(shù)字之和為，
由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)知，第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為．
故選：B.
【變式6-2】（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯(cuò)誤的是（ ）
A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：
C．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
【解題思路】由組合數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可判斷A、B、C，由二項(xiàng)式定理運(yùn)算可判斷D.
【解答過程】對(duì)于A，由組合數(shù)的互補(bǔ)性質(zhì)可得，故A正確；
對(duì)于B，由組合數(shù)的性質(zhì)可得， 故B正確；
對(duì)于C，由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可得，故C正確；
對(duì)于D，，
故D錯(cuò)誤.
故選：D.
【變式6-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,便可以得到如圖的“0-1三角”.在“0-1三角”中,從第1行起,設(shè)第n(n∈N+)次出現(xiàn)全行為1時(shí),1的個(gè)數(shù)為an,則a3等于 (　　)
A．26 B．27
C．7 D．8
【解題思路】由于是將奇數(shù)換成，故都是奇數(shù)，分別驗(yàn)證時(shí)的情況，直接得出正確選項(xiàng).
【解答過程】第行和第行全是，已經(jīng)出現(xiàn)了次，依題意，第行原來(lái)的數(shù)是，而為偶數(shù)，不合題意；第行原來(lái)的數(shù)是，即全為奇數(shù)，一共有個(gè)，全部轉(zhuǎn)化為，這是第三次出現(xiàn)全為的情況.故選D.專題6.5 二項(xiàng)式定理（重難點(diǎn)題型精講）
1．二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：=.
(2)二項(xiàng)展開式的規(guī)律
①二項(xiàng)展開式一共有(n+1)項(xiàng).
②(n+1)項(xiàng)按a的降冪b的升冪排列.
③每一項(xiàng)中a和b的冪指數(shù)之和為n.
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)楊輝三角——二項(xiàng)式系數(shù)表
當(dāng)n依次取1,2,3,時(shí)，觀察的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)：
從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項(xiàng)式定理得到的，右側(cè)三角是算出對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)
果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：
①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是對(duì)稱的，如第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)的
二項(xiàng)式系數(shù)相等.
②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.
③從第二行起，每一行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.
④第一行的兩個(gè)數(shù)之和為2=，第二行的三個(gè)數(shù)之和為4=，，第六行的各數(shù)之和為，，
第n行的(n+1)個(gè)數(shù)之和為.
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【題型1 求展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的主要作用是求展開式中的特定項(xiàng)，常見的題型有：①求第k項(xiàng)；②求含(或)的
項(xiàng)；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng).其中求有理項(xiàng)時(shí)，一般根據(jù)通項(xiàng)，找出未知數(shù)的指數(shù)，令其為整數(shù)，再根據(jù)
整數(shù)的整除性求解.另外，若通項(xiàng)中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以簡(jiǎn)化運(yùn)算.
【例1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．80 B． C． D．40
【變式1-1】（2023·廣西桂林·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．40 B． C．80 D．
【變式1-2】（2022春·湖南邵陽(yáng)·高二期末）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160，則a的值為（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【變式1-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【題型2 用賦值法求系數(shù)和問題】
【方法點(diǎn)撥】
賦值法是解決二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)和問題的常用方法.根據(jù)題目要求，靈活賦值是解題的關(guān)鍵.
【例2】（2022秋·廣西梧州·高三期中），則（ ）
A．1 B．3 C．0 D．
【變式2-1】若，則的值為（ ）
A．0 B．32 C．64 D．128
【變式2-2】（2022春·陜西延安·高二階段練習(xí)）若，則的值是（ 　 ）
A． B．127 C．128 D．129
【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注
意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.
【例3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2022·四川綿陽(yáng)·校考二模）的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．10 B．12 C．4 D．5
【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為（ ）
A．120 B．135 C．140 D．100
【變式3-3】（2022秋·廣西柳州·高三階段練習(xí)）若 展開式中的系數(shù)為，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的方法】
【方法點(diǎn)撥】
由于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量，因此，
(1)在系數(shù)符號(hào)相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值，只需比較兩組相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小，根據(jù)通項(xiàng)正確地
列出不等式組即可.
(2)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相間時(shí)，求系數(shù)的最大值應(yīng)在系數(shù)都為正的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式組；求系數(shù)的最小值
應(yīng)在系數(shù)都為負(fù)的各項(xiàng)系數(shù)間構(gòu)造不等式組.
【例4】（2022春·江蘇常州·高二期中）在的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是（ ）
A．第10項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第11項(xiàng) D．第8項(xiàng)
【變式4-1】（2022·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知的展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022春·山東菏澤·高二階段練習(xí)）已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 B．二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
C．二項(xiàng)展開式中無(wú)常數(shù)項(xiàng) D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
【題型5 利用二項(xiàng)式定理證明整除問題或求余數(shù)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)利用二項(xiàng)式定理證明整除問題，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本做法：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)
式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.
(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí)，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，
再用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或者是前面)一兩項(xiàng)就可以了，要注意余數(shù)的范圍.
【例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）除以7的余數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式5-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，若能被13整除，則a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【變式5-2】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）設(shè)，且，若能被13整除，則（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【變式5-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)n為正奇數(shù)，則被7整除的余數(shù)為（ ）．
A． B．0 C．3 D．5
【題型6 楊輝三角問題】
【方法點(diǎn)撥】
解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路：
(1)觀察：對(duì)數(shù)據(jù)要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；
(2)規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)據(jù)之間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律；
(3)表達(dá)：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)；
(4)結(jié)論：用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出結(jié)論.
【例6】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個(gè)數(shù)為該行中的最大值，則n=（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【變式6-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（ ）
A．256 B．512 C．1024 D．1023
【變式6-2】（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯(cuò)誤的是（ ）
A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：
C．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
【變式6-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,便可以得到如圖的“0-1三角”.在“0-1三角”中,從第1行起,設(shè)第n(n∈N+)次出現(xiàn)全行為1時(shí),1的個(gè)數(shù)為an,則a3等于 (　　)
A．26 B．27
C．7 D．8

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