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專題6.3 排列與組合（重難點題型精講）
1．排列
(1)排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n
個不同元素中取出m個元素的一個排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定義中包含兩個基本內容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列.
②兩個排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同.
③定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件進行判斷，
這一點要特別注意.
(3)排列的判斷
判斷一個問題是不是排列問題的關鍵：判斷是否與順序有關，與順序有關且是從n個不同的元素中任
取m(mn，n,m∈)個元素的問題就是排列問題，否則就不是排列問題.而檢驗一個問題是否與順序有關
的依據就是變換不同元素的位置，看其結果是否有變化，若有變化就與順序有關，就是排列問題；若沒有
變化，就與順序無關，就不是排列問題.
2．排列數
(1)排列數定義
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的排列數，用符號表示.
(2)排列數公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.
(3)排列數公式的理解
①排列數公式推導的思路：第1步，排第1個位置的元素，有n種排法；第2步，排第2個位置的元
素，有(n-1)種排法；第3步，排第3個位置的元素，有(n-2)種排法；；第m步，排第m個位置的元素，有(n-m+1)種排法.因此，由分步乘法計數原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)種不同的排法.
②排列數公式的特征：第一個因數是n，后面每一個因數比它前面一個因數少1，最后一個因數是n-m+1，共有m個因數.
3．全排列和階乘
(1)全排列
特別地，我們把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中m=n，
即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.
(2)階乘
正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示將n個不同的元素全部取出的排列數可以寫成=n!，
規定0!=1.
(3)排列數公式的階乘表示
==.
4．組合
(1)組合的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m
個元素的一個組合.
(2)組合概念的理解
①組合的概念中有兩個要點：要求n個元素是不同的；“只取不排”，即取出的m個元素與順序無關，
無序性是組合的特征性質.
②兩個組合相同：只要兩個組合中的元素完全相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.
(3)排列與組合的聯系與區別
聯系：都是從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素.
區別：排列是把取出的元素按順序排成一列，它與元素的順序有關系，而組合只要把元素取出來就可
以，取出的元素與順序無關.可總結為：有序排列，無序組合.
5．組合數與組合數公式
(1)組合數
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的組合數，用符號表示.
(2)組合數公式
①連乘表示：
==.
這里，n,m∈，并且mn.
②階乘表示：=.
規定：=1.
6．組合數的性質
(1)性質1：=
這個性質反映了組合數的對稱性，其實際意義：從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素后，
剩下(n-m)個元素，因而從n個不同元素中取m個元素的組合，與剩下的(n-m)個元素的組合是一一對應的，因此取法是一樣多的.
利用這個性質，當m>時，我們可以不直接計算，而是改為計算，這樣可以簡化運算.
(2)性質2：=+
這個性質可以理解為分類加法計數原理的應用，在確定從(n+1)個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素時，對于某一個特定元素，只存在取與不取兩種情況，如果取這個元素，則只需從剩下的n個元素中再取(m-1)個元素，有種取法；如果不取這個元素，則需從剩下的n個元素中取出m個元素，有種取法.
由分類加法計數原理可得：=+.
在應用中，要注意這個性質的變形、逆用等.
【題型1 有關排列數的計算與證明】
【方法點撥】
解有關排列數的方程或不等式的步驟：
轉化：將有關排列數的方程或不等式轉化為普通方程或不等式；
求解：求轉化后的普通方程或不等式解或解集；
檢驗：代入原方程或原不等式中檢驗，尤其注意條件n,m∈，并且mn對未知數取值的限制.
【例1】（2022春·重慶永川·高二階段練習）計算：
(1)；
(2)解方程．
【解題思路】（1）根據排列數公式計算求解；
（2）由排列數公式化簡，解方程即可得解.
【解答過程】(1)
；
(2)
∵，∴=，
化簡得，且，
解得（舍去）或，
所以方程的解為．
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【解題思路】（1）利用排列數公式后解不等式，求出的范圍，再由可求出的值，
（2）利用排列數公式化簡計算即可
【解答過程】（1）由題意得，化簡得，
即，所以．
因為，且，所以不等式的解集為．
（2）易知所以，，
由，得，
化簡得，
解得，（舍去），（舍去）．
所以原方程的解為．
【變式1-2】（2022·高二課時練習）解下列方程：
(1)；
(2).
【解題思路】（1）（2）根據排列數公式化簡解方程即可．
【解答過程】(1)
由排列數公式，原方程可化為，化簡得，解得或或或.
因為x滿足
所以x的取值范圍為.所以原方程的解為．
(2)
由，得，所以.
化簡得，解得，．
因為且，所以原方程的解為x=6．
【變式1-3】（2022·高二課時練習）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【解題思路】（1）根據排列數的計算公式化簡已知條件，由此求得方程的解.
（2）根據排列數的計算公式化簡已知條件，由此求得不等式的解集..
【解答過程】（1）
由于，
所以，
整理得，
解得或（舍去）.
（2）
由于，
所以，
整理得，
由于，所以，
所以不等式的解集為.
【題型2 有關組合數的計算與證明】
【方法點撥】
利用組合數公式以及組合數的性質，進行轉化求解即可.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）（1）若，求的值；
（2）求的值.
【解題思路】（1）根據組合數的定義及組合數的性質即可求解；
（2）根據組合數的定義及組合數的性質即可求解；
【解答過程】（1）由，得或，解得或；
實數的值為或.
（2）由組合數的性質知，
.
所以的值為.
【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習）（1）求值：
（2）求關于的不等式的解集．
【解題思路】（1）根據題意可得，解之即可得解；
（2）根據組合數的運算公式計算即可得出答案.
【解答過程】解：（1）由可得：
，解得，
則；
（2）不等式，
即不等式，
解得，
又因，
所以關于的不等式的解集為.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）（1）已知，求的值（用數字作答）；
（2）已知試求，的值．
【解題思路】（1）（2）根據組合數公式及組合數的性質計算可得；
【解答過程】解：（1）由可得，
即，
可得，整理可得，解得或，
因為，所以，
所以
．
（2）由可得（舍去）或，所以，
所以，即，
化簡得，即，解得，所以．
【變式2-3】（2023·高二課時練習）（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若m、n、r均為正整數，試證明：．
【解題思路】（1）直接根據組合數的計算公式計算得到證明.
（2）直接根據組合數的計算公式計算得到證明.
（3）構造數學模型證明：表示從個不同元素中每次取r個元素的取法種數，右式表示從兩組中各取一部分，利用加法原理得到證明.
【解答過程】（1）左式，
右式
，所以．
（2）因為，，
所以左邊
右邊．
（3）構造數學模型證明：表示從個不同元素中每次取r個元素的取法種數．
將個不同元素分為兩組，其中A組n個元素，B組m個元素，
從個不同元素中每次取r個元素，可分類完成，
依次為：A組取0個，B組取r個，有種取法；A組取1個，B組取個，有種取法；……；A組取r個，B組取0個，有取法．
由加法原理知共有種取法．
所以．
【題型3 無限制條件的排列問題】
【方法點撥】
求解排列問題時，正確理解題意是最關鍵的一步，要善于把題目中的文字語言翻譯成排列的相關術語；正
確運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理也是十分重要的；還要注意分類時不重不漏，分步時只有依
次做完各個步驟，事情才算完成.
【例3】（2022秋·吉林四平·高二階段練習）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共有（ ）
A．60種 B．80種 C．100種 D．120種
【解題思路】利用排列的定義直接列式求解.
【解答過程】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共（種）．
故選:D．
【變式3-1】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習）從5本不同的書中選兩本送給2名同學，每人一本，則不同的送書方法的種數為（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【解題思路】計算從5個不同元素中取出2個元素的排列數即可.
【解答過程】此問題相當于從5個不同元素中取出2個元素的排列數，
即共有=20(種)不同的送書方法.
故選：C.
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）一個火車站有8股岔道，每股道只能停放1列火車，現需停放4列不同的火車，則不同的停放方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【解題思路】根據題意，分析可得即從8股中選4股進行排列即可.
【解答過程】因為一個火車站有8股岔道，每股道只能停放1列火車，現要停放4列不同的火車，則有種不同的停放方法.
故選：D.
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）從4名大學生中選三個人分配到鄉鎮甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學分配1名大學生，不同的分配方法數為（ ）
A．120 B．24 C．48 D．6
【解題思路】由題意即從4個不同元素中選出3個元素的排列問題，由排列的定義即可求解.
【解答過程】從4名大學生中選三個人分配到鄉鎮甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學分配1名大學生.
則不同的分配方法數為
故選：B.
【題型4 有限制條件的排列問題】
【方法點撥】
在解有限制條件的排列應用題時，先分析限制條件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，當限制條
件較多時，要抓住關鍵條件(主要矛盾)，通過正確分類、分步，把復雜問題轉化為基本問題.
【例4】（2022·高二課時練習）某同學有7本不同的書，其中語文書2本 英語書2本 數學書3本.現在該同學把這7本書放到書架上排成一排，要求2本語文書相鄰 2本英語書相鄰 3本數學書中任意2本不相鄰，則不同的排法種數（ ）
A．12 B．24 C．48 D．720
【解題思路】根據捆綁法、插空法進行排列計算即可得解.
【解答過程】先將2本語文書看成一個元素，2本英語書看成一個元素，
然后排成一排，有種不同的排法，
再將3本數學書插到這2個元素形成的3個空隙中，
有種不同的排法，再排2本語文書，
有種不同的排法，最后排2本英語書，
有種不同的排法.根據分步乘法計數原理，
得共有種不同的排法.
故選：C.
【變式4-1】（2022·高二課時練習）五聲音階是中國古樂的基本音階，五個音分別稱為宮 商 角 徵 羽，如果將這五個音排成一排，宮 羽兩個音不相鄰，且位于角音的同側，則不同的排列順序有（ ）
A．20種 B．24種 C．32種 D．48種
【解題思路】根據角音所在的位置分兩類，根據分步乘法和分類加法計數原理即可求解.
【解答過程】根據角音所在的位置按從左到右依次為位置一 二 三 四 五分兩類：
第一類，角音排在位置一或五，則不同的排列順序有（種）；
第二類，角音排在位置二或四，則不同的排列順序有（種）；
根據分類加法計數原理，可得不同的排列順序共有（種）.
故選：C.
【變式4-2】（2022春·上海浦東新·高二期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（ ）
A．960種 B．720種 C．480種 D．240種
【解題思路】本題是一個分步問題，采用插空法，先將4名志愿者排成一列，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個空中，根據分步計數原理得到結果．
【解答過程】解：先將4名志愿者排成一列，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個空中，則不同的排法有種.
故選：C．
【變式4-3】（2022春·湖南衡陽·高二階段練習）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則四位專家的不同發言順序共有（ ）
A．12種 B．8種 C．6種 D．4種
【解題思路】先排甲，再將丙、丁捆綁在一起當一個元素排，再排乙.
【解答過程】當甲排在第一位時，共有種發言順序，
當甲排在第二位時，共有種發言順序，
所以一共有種不同的發言順序.
故選：C.
【題型5 組合問題】
【方法點撥】
(1)特殊元素問題：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素及有多少特殊元素作為分類依據.
(2)含有“至多”“至少”的問題：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據，或采用間接法求解.
(3)分類討論思想的應用：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解.
【例5】（2022·全國·高三專題練習）新課程改革后，普通高校招生方案規定：每位考生從物理、化學、生物、地理、政治、歷史六門學科中隨機選三門參加考試，某省份規定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（ ）
A．14種 B．15種 C．16種 D．17種
【解題思路】分兩種情況即物理或歷史中選一門和物理和歷史都選兩種情況分類求解即可.
【解答過程】解：由題意得：
物理或歷史中選一門：種選法；
物理和歷史都選：種選法；
物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有種選法；
故選：C.
【變式5-1】（2022春·黑龍江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數為（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解題思路】先將剩下的3名志愿者分為兩組，再把小明和小李分別放在兩組中，最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.
【解答過程】先將剩下的3名志愿者分為兩組有種，再把小明和小李分別放在兩組中有2種，
最后兩組分別安裝“冰墩墩”和“雪容融”有2種，則共有種.
故選：C.
【變式5-2】（2022春·河北衡水·高二階段練習）將編號為1、2、3、4、5、6的六個小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數是（ ）
A．20 B．40 C．68 D．96
【解題思路】先從六個小球中選出三個小球放入與自己相同序號的盒子中，剩下的三個小球再錯位排在與自己編號不同的盒子里即可.
【解答過程】六個小球中選出三個小球放入與自己相同序號的盒子中，先選后排：先選：組合有種方法，后排：排列只有種方法，
則利用分步乘法計數原理得有種方法，剩下三個小球放入與自己不相同序號的盒子中，先選后排：
先選：組合有種方法，排列：錯位排有種方法，則利用分步乘法計數原理得有種方法，
最后利用分步乘法計數原理得共有種方法．
故選：B.
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）今年中國空間站將進入到另一個全新的階段—正式建造階段，首批參加中國空間站建造的6名航天員，將會分別搭乘著神舟十四號和神舟十五號載人飛船，接連去往中國空間站，并且在上面“會師”.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙. 假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（　　）
A．44種 B．48種 C．60種 D．50種
【解題思路】由分步乘法計數原理，利用間接法即可求解.
【解答過程】解：由題意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安排1人，共有種方案；
若甲、乙兩人同時在天和核心艙做實驗，則有種方案；若甲、乙兩人同時在問天實驗艙做實驗，則有種方案.
所以甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則共有不同的安排方案.
故選：A.
【題型6 排列、組合的綜合問題】
【方法點撥】
解決先選后排問題,應遵循三大原則：
(1)先特殊后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步.
【例6】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習）4月1日，根據當前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發布通告，要求我市全域內除特殊人員外，所有人員保持居家，不出小區（村）等待全員核酸檢測．為了保障廣大居民的生活需要，某小區征集了多名志愿者，現有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負責一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數為（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
【解題思路】先分組再分配，分組又分為3,1,1和2,2,1兩類，第二類涉及平均分組，需要去重.
【解答過程】先分組:按照居民樓人數分為3,1,1和2,2,1兩類，
3,1,1:從5名志愿者中選出3名作為一個組,其余2人各自一組,有種，
2,2,1:從5名志愿者中選出4名平均分為兩組,剩下1人一組,有種，
再分配:3個組到三棟居民樓有種，
所以總的分派方法數有種，
故選：B.
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）2022年北京冬奧會共計有7大項 15個分項以及109個小項目，其中北京承辦所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有的雪上項目北京成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市.現有4名同學要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目都至少有1人參加，則不同的報名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【解題思路】根據題意先對4名同學分成2組有兩種情況，結合平均分組可知有種分法，再將分好的兩組在雪上項目和冰上項目進行全排列，根據分步計數原理即可得到結果.
【解答過程】將4名同學分成兩組，有種分法，將分好的兩組在雪上項目和冰上項目進行全排列有種，所以共有種報名方案.
故選：B.
【變式6-2】（2022秋·吉林長春·高二階段練習）消除貧困、改善民生、逐步實現共同富裕，是社會主義的本質要求，是中國共產黨的重要使命．某中學積極參與脫貧攻堅戰，決定派6名教師到A、B、C、D、E五個貧困山區支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教師前去支教學校考慮到教師甲的家鄉在山區A，決定派教師甲到山區A，同時考慮到教師乙與丙為同一學科，決定將教師乙與丙安排到不同山區，則不同安排方法共有（ ）
A．120種 B．216種 C．336種 D．360種
【解題思路】用排除法，不考慮乙丙不在同一山區的情況，安排方法有兩類：第一類是其他5人每人去一個山區，第二類是其他5人中選2人作為一個人與其他3人一起全排列去外的四個山區，求出此方法，再減去乙丙在一起的方法數即得．
【解答過程】不考慮乙丙不在同一山區的情況，安排方法是一種情形其他5人每人去一個山區，第二種情形是其他5人中選2人作為一個人與其他3人一起全排列去外的四個山區，不同的安排方法數為，
而乙丙在同一山區的方法數為，所以所求不同方法數為 ＝336．
故選：C．
【變式6-3】（2022秋·遼寧·高三階段練習）為了提高教學質量，需要派5位教研員去某地重點高中進行教學調研，現知該地有3所重點高中，每個教研員只能去1所學校調研，則下列說法錯誤的個數是（ ）
①不同的調研方案有243種
②若每所重點高中至少去一位教研員，則不同的調研安排方案有150種
③若每所重點高中至少去一位教研員，至多去兩位教研員，則不同調研安排方案有60種
④若每所重點高中至少去一位教研員且甲 乙兩位教研員不去同一所高中，則不同調研安排方案有114種
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
【解題思路】根據乘法計數原理計數判斷①，用分組分配方法計數判斷②③，用捆綁法求出甲乙二人去同一所學校的方法，再由排除法得結論判斷④．
【解答過程】①每個教研員只能去1所學校調研，根據分步乘法原理，每個教研員依次選調研學校，方法為，①正確；
②若每所重點高中至少去一位教研員，將5位教研員分成3組：1,1,3；1,2,2，然后分配到3所學校，方法數為：，②正確；由此得③中方法數為，③錯；
④甲乙捆綁在一起，變成4人進行分組分配，方法數為，因此甲 乙兩位教研員不去同一所高中的方法數為，④正確，
共有1個是錯誤的．
故選：A．專題6.3 排列與組合（重難點題型精講）
1．排列
(1)排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n
個不同元素中取出m個元素的一個排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定義中包含兩個基本內容，一是取出元素；二是按照一定的順序排列.
②兩個排列相同的條件：元素完全相同；元素的排列順序也相同.
③定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件進行判斷，
這一點要特別注意.
(3)排列的判斷
判斷一個問題是不是排列問題的關鍵：判斷是否與順序有關，與順序有關且是從n個不同的元素中任
取m(mn，n,m∈)個元素的問題就是排列問題，否則就不是排列問題.而檢驗一個問題是否與順序有關
的依據就是變換不同元素的位置，看其結果是否有變化，若有變化就與順序有關，就是排列問題；若沒有
變化，就與順序無關，就不是排列問題.
2．排列數
(1)排列數定義
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的排列數，用符號表示.
(2)排列數公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).這里，n,m∈，并且mn.
(3)排列數公式的理解
①排列數公式推導的思路：第1步，排第1個位置的元素，有n種排法；第2步，排第2個位置的元
素，有(n-1)種排法；第3步，排第3個位置的元素，有(n-2)種排法；；第m步，排第m個位置的元素，有(n-m+1)種排法.因此，由分步乘法計數原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)種不同的排法.
②排列數公式的特征：第一個因數是n，后面每一個因數比它前面一個因數少1，最后一個因數是n-m+1，共有m個因數.
3．全排列和階乘
(1)全排列
特別地，我們把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中m=n，
即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.
(2)階乘
正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示將n個不同的元素全部取出的排列數可以寫成=n!，
規定0!=1.
(3)排列數公式的階乘表示
==.
4．組合
(1)組合的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m
個元素的一個組合.
(2)組合概念的理解
①組合的概念中有兩個要點：要求n個元素是不同的；“只取不排”，即取出的m個元素與順序無關，
無序性是組合的特征性質.
②兩個組合相同：只要兩個組合中的元素完全相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.
(3)排列與組合的聯系與區別
聯系：都是從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素.
區別：排列是把取出的元素按順序排成一列，它與元素的順序有關系，而組合只要把元素取出來就可
以，取出的元素與順序無關.可總結為：有序排列，無序組合.
5．組合數與組合數公式
(1)組合數
從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出
m個元素的組合數，用符號表示.
(2)組合數公式
①連乘表示：
==.
這里，n,m∈，并且mn.
②階乘表示：=.
規定：=1.
6．組合數的性質
(1)性質1：=
這個性質反映了組合數的對稱性，其實際意義：從n個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素后，
剩下(n-m)個元素，因而從n個不同元素中取m個元素的組合，與剩下的(n-m)個元素的組合是一一對應的，因此取法是一樣多的.
利用這個性質，當m>時，我們可以不直接計算，而是改為計算，這樣可以簡化運算.
(2)性質2：=+
這個性質可以理解為分類加法計數原理的應用，在確定從(n+1)個不同元素中取出m(mn，n,m∈)個元素時，對于某一個特定元素，只存在取與不取兩種情況，如果取這個元素，則只需從剩下的n個元素中再取(m-1)個元素，有種取法；如果不取這個元素，則需從剩下的n個元素中取出m個元素，有種取法.
由分類加法計數原理可得：=+.
在應用中，要注意這個性質的變形、逆用等.
【題型1 有關排列數的計算與證明】
【方法點撥】
解有關排列數的方程或不等式的步驟：
轉化：將有關排列數的方程或不等式轉化為普通方程或不等式；
求解：求轉化后的普通方程或不等式解或解集；
檢驗：代入原方程或原不等式中檢驗，尤其注意條件n,m∈，并且mn對未知數取值的限制.
【例1】（2022春·重慶永川·高二階段練習）計算：
(1)；
(2)解方程．
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【變式1-2】（2022·高二課時練習）解下列方程：
(1)；
(2).
【變式1-3】（2022·高二課時練習）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【題型2 有關組合數的計算與證明】
【方法點撥】
利用組合數公式以及組合數的性質，進行轉化求解即可.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）（1）若，求的值；
（2）求的值.
【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習）（1）求值：
（2）求關于的不等式的解集．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）（1）已知，求的值（用數字作答）；
（2）已知試求，的值．
【變式2-3】（2023·高二課時練習）（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若m、n、r均為正整數，試證明：．
【題型3 無限制條件的排列問題】
【方法點撥】
求解排列問題時，正確理解題意是最關鍵的一步，要善于把題目中的文字語言翻譯成排列的相關術語；正
確運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理也是十分重要的；還要注意分類時不重不漏，分步時只有依
次做完各個步驟，事情才算完成.
【例3】（2022秋·吉林四平·高二階段練習）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共有（ ）
A．60種 B．80種 C．100種 D．120種
【變式3-1】（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習）從5本不同的書中選兩本送給2名同學，每人一本，則不同的送書方法的種數為（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）一個火車站有8股岔道，每股道只能停放1列火車，現需停放4列不同的火車，則不同的停放方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）從4名大學生中選三個人分配到鄉鎮甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學分配1名大學生，不同的分配方法數為（ ）
A．120 B．24 C．48 D．6
【題型4 有限制條件的排列問題】
【方法點撥】
在解有限制條件的排列應用題時，先分析限制條件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，當限制條
件較多時，要抓住關鍵條件(主要矛盾)，通過正確分類、分步，把復雜問題轉化為基本問題.
【例4】（2022·高二課時練習）某同學有7本不同的書，其中語文書2本 英語書2本 數學書3本.現在該同學把這7本書放到書架上排成一排，要求2本語文書相鄰 2本英語書相鄰 3本數學書中任意2本不相鄰，則不同的排法種數（ ）
A．12 B．24 C．48 D．720
【變式4-1】（2022·高二課時練習）五聲音階是中國古樂的基本音階，五個音分別稱為宮 商 角 徵 羽，如果將這五個音排成一排，宮 羽兩個音不相鄰，且位于角音的同側，則不同的排列順序有（ ）
A．20種 B．24種 C．32種 D．48種
【變式4-2】（2022春·上海浦東新·高二期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相鄰，不同的排法共有（ ）
A．960種 B．720種 C．480種 D．240種
【變式4-3】（2022春·湖南衡陽·高二階段練習）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則四位專家的不同發言順序共有（ ）
A．12種 B．8種 C．6種 D．4種
【題型5 組合問題】
【方法點撥】
(1)特殊元素問題：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素及有多少特殊元素作為分類依據.
(2)含有“至多”“至少”的問題：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據，或采用間接法求解.
(3)分類討論思想的應用：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解.
【例5】（2022·全國·高三專題練習）新課程改革后，普通高校招生方案規定：每位考生從物理、化學、生物、地理、政治、歷史六門學科中隨機選三門參加考試，某省份規定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（ ）
A．14種 B．15種 C．16種 D．17種
【變式5-1】（2022春·黑龍江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數為（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【變式5-2】（2022春·河北衡水·高二階段練習）將編號為1、2、3、4、5、6的六個小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數是（ ）
A．20 B．40 C．68 D．96
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）今年中國空間站將進入到另一個全新的階段—正式建造階段，首批參加中國空間站建造的6名航天員，將會分別搭乘著神舟十四號和神舟十五號載人飛船，接連去往中國空間站，并且在上面“會師”.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙. 假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有（　　）
A．44種 B．48種 C．60種 D．50種
【題型6 排列、組合的綜合問題】
【方法點撥】
解決先選后排問題,應遵循三大原則：
(1)先特殊后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步.
【例6】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習）4月1日，根據當前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作總指揮部發布通告，要求我市全域內除特殊人員外，所有人員保持居家，不出小區（村）等待全員核酸檢測．為了保障廣大居民的生活需要，某小區征集了多名志愿者，現有5名志愿者承包A，B，C三棟居民樓，每位志愿者負責一棟樓，且每棟樓至少一名志愿者，則分派方法的種數為（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）2022年北京冬奧會共計有7大項 15個分項以及109個小項目，其中北京承辦所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有的雪上項目北京成為奧運史上第一個舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的城市.現有4名同學要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目都至少有1人參加，則不同的報名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【變式6-2】（2022秋·吉林長春·高二階段練習）消除貧困、改善民生、逐步實現共同富裕，是社會主義的本質要求，是中國共產黨的重要使命．某中學積極參與脫貧攻堅戰，決定派6名教師到A、B、C、D、E五個貧困山區支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教師前去支教學校考慮到教師甲的家鄉在山區A，決定派教師甲到山區A，同時考慮到教師乙與丙為同一學科，決定將教師乙與丙安排到不同山區，則不同安排方法共有（ ）
A．120種 B．216種 C．336種 D．360種
【變式6-3】（2022秋·遼寧·高三階段練習）為了提高教學質量，需要派5位教研員去某地重點高中進行教學調研，現知該地有3所重點高中，每個教研員只能去1所學校調研，則下列說法錯誤的個數是（ ）
①不同的調研方案有243種
②若每所重點高中至少去一位教研員，則不同的調研安排方案有150種
③若每所重點高中至少去一位教研員，至多去兩位教研員，則不同調研安排方案有60種
④若每所重點高中至少去一位教研員且甲 乙兩位教研員不去同一所高中，則不同調研安排方案有114種
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個

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