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專題6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（重難點(diǎn)題型精講）
1．分類加法計(jì)數(shù)原理
(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的概念
完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種
不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同
的方法.
(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)
分類加法計(jì)數(shù)原理又稱分類計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事
情，我們可以用第一類有種方法，第二類有 種方法，，第n類有 種方法，來表示分類加法計(jì)數(shù)
原理，即強(qiáng)調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有+++種不同方法可以完成
這件事.
(3)分類的原則
分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，
分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種
方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.
2．分步乘法計(jì)數(shù)原理
(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件
事共有N=m×n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，
做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.
(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)
分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利
用圖形來表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)
步驟才能完成要做的事情，從而共有×××種不同的方法可以完成這件事.
(3)分步的原則
①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才
能完成這件事；
②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件
事就不可能完成；不能缺少步驟.
③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各
個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.
3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析
(1)聯(lián)系
分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.
(2)區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)
別如下表：
(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇
在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.
【題型1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念，進(jìn)行判斷，即可得解.
【例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．( )
（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．( )
【變式1-1】在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． 　 　（判斷對(duì)錯(cuò)）
【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．( )
（2）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．( )
【變式1-3】（2021 概率統(tǒng)計(jì)模擬）判斷下列各事件哪些是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)　 　．
（1）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？
（2）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放，有2本不同的英語書；從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書，語文書，英語書各一本，有多少種不同的取法？
（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？
【題型2 分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：
一、分類：將完成一件事的方法分成若干類；
二、分步：求出每一類中的方法數(shù)；
三、結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加，得出結(jié)果.
【例2】（2022秋·遼寧葫蘆島·高二期中）某學(xué)校開設(shè)4門球類運(yùn)動(dòng)課程、5門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和2門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（ ）
A．40種 B．20種 C．15種 D．11種
【變式2-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（ ）
A．27 B．24 C．18 D．16
【變式2-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將鋼琴上的個(gè)鍵依次記為，，…，．設(shè)，若且，則稱，，為大三和弦；若且，則稱，，為小三和弦．用這個(gè)鍵可以構(gòu)成的大三和弦與小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【題型3 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
應(yīng)用分布乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：
一、分步：將完成一件事的過程分成若干步；
二、計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；
三、結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘，得出結(jié)果.
【例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（ ）
A．4種 B．6種 C．8種 D．12種
【變式3-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（ ）
A B
C D
E
A．500種 B．520種 C．540種 D．560種
【變式3-3】（2022·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．120 B．90 C．48 D．12
【題型4 兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
(1)“類中有步”計(jì)數(shù)問題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出
每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.
(2)“步中有類”計(jì)數(shù)問題：完成一件事的過程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法
計(jì)數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.
【例4】（2022春·湖北十堰·高二階段練習(xí)）某校高二年級(jí)舉行健康杯籃球賽，共20個(gè)班級(jí)，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊(duì)，2、5、6班組成聯(lián)盟隊(duì)，一共有16支籃球隊(duì)伍，先分成4個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出8強(qiáng)（每隊(duì)與本組其他隊(duì)賽一場），即每個(gè)組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級(jí)的8支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強(qiáng)，晉級(jí)的4支隊(duì)伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時(shí)后面的4支隊(duì)伍要決出第五至八名，則總共要進(jìn)行籃球賽的場次為（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【變式4-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（ ）．
A．80種 B．120種 C．160種 D．240種
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，則可得平面直角坐標(biāo)系中第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
【變式4-3】（2022春·江蘇鹽城·高二期末）給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點(diǎn)的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）
A．24 B．72 C．96 D．144專題6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（重難點(diǎn)題型精講）
1．分類加法計(jì)數(shù)原理
(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的概念
完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種
不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同
的方法.
(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)
分類加法計(jì)數(shù)原理又稱分類計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事
情，我們可以用第一類有種方法，第二類有 種方法，，第n類有 種方法，來表示分類加法計(jì)數(shù)
原理，即強(qiáng)調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有+++種不同方法可以完成
這件事.
(3)分類的原則
分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，
分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種
方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.
2．分步乘法計(jì)數(shù)原理
(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件
事共有N=m×n種不同的方法.
概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，
做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.
(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)
分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利
用圖形來表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)
步驟才能完成要做的事情，從而共有×××種不同的方法可以完成這件事.
(3)分步的原則
①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才
能完成這件事；
②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件
事就不可能完成；不能缺少步驟.
③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各
個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.
3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析
(1)聯(lián)系
分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.
(2)區(qū)別
分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)
別如下表：
(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇
在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.
【題型1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念，進(jìn)行判斷，即可得解.
【例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．( 錯(cuò)誤 )
（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．( 正確 )
【解題思路】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理的定義，判斷即可．
【解答過程】（1）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟是不能完成這件事的，故錯(cuò)誤；
（2）在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的，故正確.
【變式1-1】在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． 　錯(cuò)　（判斷對(duì)錯(cuò)）
【解題思路】利用分類加法計(jì)數(shù)原理的定義判斷即可．
【解答過程】解：分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．
所以在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法不相同．
故答案為：錯(cuò)．
【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤
（1）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．( 正確 )
（2）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．( 錯(cuò)誤 )
【解題思路】利用分類加法計(jì)數(shù)原理的定義判斷即可．
【解答過程】（1）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標(biāo)準(zhǔn)分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這件事，故正確；
（2）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標(biāo)準(zhǔn)分類的，所以兩類不同方案中的方法不可以相同，故錯(cuò)誤.
【變式1-3】（2021 概率統(tǒng)計(jì)模擬）判斷下列各事件哪些是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)　（1）（3）　．
（1）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？
（2）一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放，有2本不同的英語書；從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書，語文書，英語書各一本，有多少種不同的取法？
（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？
【解題思路】直接利用分類計(jì)數(shù)原理，即可得出結(jié)論．
【解答過程】解：分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．
（1）完成從書架上任取一本書，每取一本，都能完成這件事，故運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)；
（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書，語文書，英語書各一本，完成這件事需要3步，故運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)；
（3）完成地到乙地，有3類辦法，每一類中辦法都能完成這件事，故運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．
故答案為：（1）（3）．
【題型2 分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：
一、分類：將完成一件事的方法分成若干類；
二、分步：求出每一類中的方法數(shù)；
三、結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加，得出結(jié)果.
【例2】（2022秋·遼寧葫蘆島·高二期中）某學(xué)校開設(shè)4門球類運(yùn)動(dòng)課程、5門田徑類運(yùn)動(dòng)課程和2門水上運(yùn)動(dòng)課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（ ）
A．40種 B．20種 C．15種 D．11種
【解題思路】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，即可得到答案.
【解答過程】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，
不同的選法共有種．
故選：D.
【變式2-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（ ）
A．27 B．24 C．18 D．16
【解題思路】根據(jù)題意，甲不可預(yù)約C醫(yī)院，則甲可預(yù)約A，B兩家醫(yī)院，分若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約A醫(yī)院；若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約B或C醫(yī)院；③若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約A或C醫(yī)院；若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約B醫(yī)院，四種情況，即可求解.
【解答過程】由題意，甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗，即甲不可預(yù)約C醫(yī)院，則甲可預(yù)約A，B兩家醫(yī)院，
①若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約A醫(yī)院，則丙可預(yù)約B，C醫(yī)院，共2種情況；
②若甲預(yù)約A醫(yī)院，乙預(yù)約B或C醫(yī)院，則丙可預(yù)約A，B，C醫(yī)院，共2×3＝6種情況；
③若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約A或C醫(yī)院，則丙可預(yù)約A，B，C醫(yī)院，共2×3＝6種情況；
④若甲預(yù)約B醫(yī)院，乙預(yù)約B醫(yī)院，則丙可預(yù)約A，C醫(yī)院，共2種情況，
所以甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為種．
故選：D．
【變式2-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將鋼琴上的個(gè)鍵依次記為，，…，．設(shè)，若且，則稱，，為大三和弦；若且，則稱，，為小三和弦．用這個(gè)鍵可以構(gòu)成的大三和弦與小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【解題思路】由大三和弦滿，，列舉出和的取值；小三和弦滿足，，列舉出和的取值；進(jìn)而可得答案．
【解答過程】根據(jù)題意可知，大三和弦滿，，所以有5種情況，即，，；，，；，，；，，；，，．
小三和弦滿足，，所以有5種情況，即，，；，，；，，；，，；，，．
故大三和弦與小三和弦個(gè)數(shù)之和為，
故選:C．
【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【解題思路】根據(jù)各位數(shù)字之和等于6的所有可能情況，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三種情況分別討論求和即可
【解答過程】其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：
①由1，1，4三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個(gè)；
②由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個(gè)；
③由2，2，2三個(gè)數(shù)字可以組成1個(gè)三位數(shù)，即222．
共有個(gè)，
故選：C．
【題型3 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
應(yīng)用分布乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：
一、分步：將完成一件事的過程分成若干步；
二、計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；
三、結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘，得出結(jié)果.
【例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（ ）
A．4種 B．6種 C．8種 D．12種
【解題思路】應(yīng)用分步乘法求小明選擇方案的方法數(shù).
【解答過程】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；
②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種）．
故選：B.
【變式3-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）．
A．180 B．160 C．96 D．60
【解題思路】按照①②③④的順序，結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理即可得到結(jié)果.
【解答過程】首先對(duì)①進(jìn)行涂色，有5種方法，
然后對(duì)②進(jìn)行涂色，有4種方法，
然后對(duì)③進(jìn)行涂色，有3種方法，
然后對(duì)④進(jìn)行涂色，有3種方法，
由乘法計(jì)數(shù)原理可得涂色方法種數(shù)為種，
故選:A.
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（ ）
A B
C D
E
A．500種 B．520種 C．540種 D．560種
【解題思路】由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只·涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B區(qū)有4種涂法，C區(qū)有3種，D區(qū)有3種，E區(qū)有3種，根據(jù)乘法原理即可.
【解答過程】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因?yàn)锽與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法，
同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝540，
故選：C.
【變式3-3】（2022·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．120 B．90 C．48 D．12
【解題思路】根據(jù)已知條件得出陽數(shù)和陰數(shù)，結(jié)合列舉法及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【解答過程】根據(jù)題意，陽數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)的組合可以為，，，，，共6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有（個(gè)）.
故選:A.
【題型4 兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
(1)“類中有步”計(jì)數(shù)問題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出
每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.
(2)“步中有類”計(jì)數(shù)問題：完成一件事的過程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法
計(jì)數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.
【例4】（2022春·湖北十堰·高二階段練習(xí)）某校高二年級(jí)舉行健康杯籃球賽，共20個(gè)班級(jí)，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊(duì)，2、5、6班組成聯(lián)盟隊(duì)，一共有16支籃球隊(duì)伍，先分成4個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出8強(qiáng)（每隊(duì)與本組其他隊(duì)賽一場），即每個(gè)組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級(jí)的8支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強(qiáng)，晉級(jí)的4支隊(duì)伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時(shí)后面的4支隊(duì)伍要決出第五至八名，則總共要進(jìn)行籃球賽的場次為（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【解題思路】利用分類加法原理以及分步乘法原理，可得答案.
【解答過程】在循環(huán)賽階段，4個(gè)小組，每個(gè)小組由4支球隊(duì)組成，每個(gè)球隊(duì)都要進(jìn)行三場比賽，故每組要進(jìn)行場，4組要進(jìn)行場；
在淘汰賽階段，第一輪：8支球隊(duì)，2支一場，則共進(jìn)行；
第二輪：8支球隊(duì)，2支一場，共進(jìn)行場，
此時(shí)決出分別爭奪冠亞軍、第三四名、第五六名、第七八名的球隊(duì)，再分別進(jìn)行4場，決出冠軍、亞軍、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.
綜上，可得共進(jìn)行場.
故選：C.
【變式4-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（ ）．
A．80種 B．120種 C．160種 D．240種
【解題思路】由題意，按照一定順序，由1,2,3,5的順序，在5號(hào)區(qū)域的選擇上進(jìn)行分情況，根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理，可得答案.
【解答過程】第一步，對(duì)1號(hào)區(qū)域，栽種有4種選擇；第二步，對(duì)2號(hào)區(qū)域，栽種有3種選擇；
第三步，對(duì)3號(hào)區(qū)域，栽種有2種選擇；第四步，對(duì)5號(hào)區(qū)域，栽種分為三種情況，
①5號(hào)與2號(hào)栽種相同，則4號(hào)栽種僅有1種選擇，6號(hào)栽種有2中選擇，
②5號(hào)與3號(hào)栽種相同，情況同上，③5號(hào)與2、3號(hào)栽種都不同，則4、6號(hào)只有1種；
綜上所述，種.
故選：B.
【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，則可得平面直角坐標(biāo)系中第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
【解題思路】分M中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，N中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)和N中的元素作點(diǎn)的橫坐標(biāo)，M中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)兩類討論求解.
【解答過程】分兩類情況討論：
第一類，從中取的元素作為橫坐標(biāo)，從中取的元素作為縱坐標(biāo)，則第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)共有（個(gè)）；
第二類，從中取的元素作為縱坐標(biāo)，從中取的元素作為橫坐標(biāo)，則第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)共有（個(gè)），
由分類加法計(jì)數(shù)原理，所以所求個(gè)數(shù)為．
故選：C.
【變式4-3】（2022春·江蘇鹽城·高二期末）給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點(diǎn)的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（ ）
A．24 B．72 C．96 D．144
【解題思路】可按分步原理求解本題，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂時(shí)分兩類，若與同色與不同色，即可得出涂法總數(shù)選出正確答案．
【解答過程】由題意，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂，若與同，則一種涂法，第五步可分兩種情況，若與同色，最后一步涂有2種涂法，若第四步涂，與不同，則涂第四種顏色，此時(shí)，各有一種涂法
綜上，總的涂法種數(shù)是．
故選：C．

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