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考點24 直線與圓的方程
【考綱要求】
①掌握中點公式和兩點間的距離公式，并應用這兩個公式解決有關問題
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，會求直線的傾斜角和斜率
③會根據有關條件求直線的方程
④掌握兩條直線的位置關系及點到直線的距離公式，能運用它們解決有關問題
⑤了解曲線與方程的關系，會求兩條曲線的交點，會根據給定條件求一些常見曲線的方程
⑥掌握圓的標準方程、一般方程．理解直線與圓的位置關系，能運用它們解決有關問題
【考向預測】
1．直線的傾斜角、斜率及直線方程的基本知識．
2．兩條直線的位置關系判斷與條件運用．
3．已知圓的一般方程，求圓心坐標及半徑；根據已知條件，求圓的方程．
4．判斷直線與圓的位置關系，求切線方程和弦長等．
5．與中點公式及點到直線的距離公式相結合，求直線方程及有關參數的范圍．
【本節內容結構】
【知識清單】
1．直線的傾斜角
(1)當直線l與x軸相交時，直線l向上的方向與x軸_正方向_所成的最小正角，叫作直線l的傾斜角．
(2)當直線l與x軸平行或重合時，規定直線的傾斜角為0°；平面上任意一條直線都有唯一確定的傾斜角，且它的取值范圍是_{α|0°≤α<180°}_.
2．直線的斜率
直線的傾斜角α≠90°時，傾斜角α的_正切值_叫作直線的斜率，即斜率k＝_tanα；當α＝90°時，直線的斜率不存在；當α＝0°時，k＝_0_；當α∈(0°，90°)時，k_>_0；當α∈(90°，180°)時，k_<_0.
3．斜率的三個計算公式
(1)若直線的傾斜角為α，則斜率k＝tanα，α≠90°.
(2)若直線經過P(，)，Q(，)(≠)兩點，則斜率k＝__.
(3)若直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0(B≠0)，則斜率k＝__.
4．直線方程的幾種形式
名稱 已知條件 方程形式 適用范圍
點斜式 直線經過點P(，)且斜率為k y－＝k(x－) 不垂直于x軸
斜截式 斜率為k，直線在y軸上截距為b y＝kx＋b 不垂直于x軸
兩點式 直線經過A(，)，B(，)兩點 不與坐標軸垂直
截距式 直線在x，y軸上的截距分別為a，b 不與坐標軸垂直，且不過原點
一般式 A，B不同時為零 Ax＋By＋C＝0 適用于任意直線
5．與坐標軸垂直的直線方程
(1)若直線經過點P(，)且垂直于x軸，則直線方程為_x－＝0_；
(2)若直線經過點P(，)且垂直于y軸，則直線方程為_y－＝0_.
6．兩條直線的位置關系
(1)當兩條直線不平行于坐標軸時：
兩直線方程 l1：y＝x＋ l2：y＝x＋ l1：x＋y＋＝0 l2：x＋y＋＝0
平行 ＝且≠
重合 ＝且＝
相交 ≠
垂直 ＝－1 ＋＝0
(2)當直線平行于坐標軸時，可結合圖形進行思考．
7．設互相平行(或垂直)的兩條直線方程的方法
(1)與Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為_Ax＋By＋D＝0(D≠C)_；
(2)與Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為_Bx－Ay＋D＝0_.
8．中點坐標公式和兩點之間的距離公式
(1)中點公式：若線段的兩個端點坐標分別為(，)，(，)，線段的中點坐標為P(，)，則＝，＝.
(2)兩點之間的距離公式：若兩點坐標分別為(，)，(，)，則兩點之間的距離公式為||＝.
9．點到直線的距離、兩平行直線之間的距離
(1)已知點P(，)和直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，則點P到直線l的距離為d＝__.
(2)若直線∥，且其方程分別為：Ax＋By＋＝0，：Ax＋By＋＝0(A，B不全為0)，則直線與直線之間的距離為d＝__.
10．圓的定義：在平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫作圓，其中定點為_圓心_，定長為_半徑_.
11．圓心坐標為(，b)，半徑為r的圓的標準方程是_＋＝_.特別地，圓心在原點，半徑為r的圓的標準方程是_＝_.
12．圓的一般方程是_＋＋Dx＋Ey＋F＝__(＋－4F>0)，圓心坐標是，半徑r＝.
13．確定圓的條件：方程＋＋Dx＋Ey＋F＝0，
當＋－4F＞0時，方程表示的圖形是一個圓；
當＋－4F＝0時，方程表示的圖形是一個點；
當＋－4F＜0時，方程不表示任何圖形.
13．直線與圓的位置關系：相交、相切、相離
(1)判斷直線與圓的位置關系這類問題通常有兩種方法
①Δ法：聯立直線方程與圓的方程，消元，得到關于x(或y)的一元二次方程，當一元二次方程根的判別式Δ_>_0時相交；Δ_＝_0時相切；Δ_<_0時相離．
②d，r法：先求出圓心坐標(，b)和半徑r，再求出圓心到直線的距離d，當d_<_r時相交；當d_＝_r時相切；當d_>_r時相離．
(2)直線與圓的相交問題
①求交點坐標即解方程組；
②弦長問題：弦長、直線方程、圓方程知其二求第三個量，公式：弦長＝(關鍵找出圓心、半徑r，求出圓心到直線的距離d).
(3)直線與圓相切的切線問題
①求切線長：找出圓心C和圓外一點P，求出半徑r，切線長＝；
②求切線方程
a．經過圓＋＝上一點P(，)的切線方程：x＋y－＝0；
b．經過圓C外一點P(，)的切線方程求法：先由已知條件設出切線方程，再采用d＝r法求解．
其步驟：設切線的斜率為k，得到切線方程y－＝k(x－)，求圓心C到直線的距離d，通過d＝r(半徑)求出k(切線一般有兩條，若結果只有一個k值，別忘了還有一條切線的斜率k不存在).
(4)直線與圓的相離問題：求圓上的一點到與圓相離的直線距離最大值和最小值及相應點的坐標時，先求圓心到直線的距離d，最大值為d＋r，最小值為d－r.
14．圓與圓的位置關系
(1)圓與圓的位置關系有相離、外切、相交、內切、內含.
(2)判斷方法：設兩圓半徑，，圓心距d.
①相離 d>＋_；②外切 _d＋_；③相交 _||_；④內切 d|=|；⑤內含 _d<||_.
(3)兩圓的相交弦方程：兩圓的方程相減，所得結果即為兩圓相交弦方程．
【考點分類剖析】
考點一直線方程斜率與傾斜角
【例1】已知直線(m－2)x＋2y－m＋2＝0的斜率為2，求m的值．
【思路點撥】本題主要考查已知直線方程求斜率的知識．
【解】∵斜率k＝－＝2，∴m＝－2.
【舉一反三1】已知直線x＋y＋1＝0的傾斜角為，求的值．
解：∵k，∴＝－1.
【例2】已知A(5，1)，B(，2)，C(2，－2)三點在同一直線上，則的值為_4_.
【思路點撥】三點共線則斜率相等，即＝.
∵A，B，C三點共線，∴＝，∴，得＝4.
【變式訓練2】已知A(－1，)，B(2，3)，C(b，2)三點都在傾斜角為135°的直線上，求，b的值．
解：∵＝＝tan135°，∴，解得＝6，b＝3.
【例3】根據下列條件求直線方程：
(1)經過點P(－1，3)，且傾斜角為45°的直線方程；
(2)經過P(－2，)，Q(－1，0)兩點的直線方程．
【思路點撥】(1)直線l經過點P(－1，3)，傾斜角為45°，利用點斜式可得直線方程．
(2)直線經過P(－2，)，Q(－1，0)兩點，利用兩點式可得直線PQ的方程．
【解】(1)∵直線的斜率k＝tan45°＝1，∴直線方程為y－3＝x＋1，即x－y＋4＝0.
(2)直線PQ的方程為
【變式訓練3】已知直線l經過點P(－1，2)，且斜率為，則直線l的方程為(　A　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x－4y＋5＝0
C．4x＋3y－5＝0 D．4x－3y＋5＝0
【提示】利用點斜式求直線方程．
【例4】已知直線l經過點(2，3)，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．
【思路點撥】已知直線l上一點坐標求直線方程時，還需知直線l上另一點或直線的斜率，因此要從截距相等上分析，注意分直線經過原點和不經過原點兩類，由截距的概念分別求解．
【解】當截距不為0時，若截距相等則k＝－1，∴直線方程為y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0；
當直線經過原點時，截距均為0，則直線l的方程可設為y＝kx，將(2，3)代入得k＝，
∴直線l的方程為y＝x，即3x－2y＝0.
綜上所述，直線l的方程為x＋y－5＝0或3x－2y＝0.
【舉一反三4】已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形為等腰直角三角形，且經過點M(2，1)，求直線l的方程．
解：由題意可知直線l的斜率為1或－1，∴直線l的方程為y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)，
整理得x－y－1＝0或x＋y－3＝0.
考點二兩條直線的位置關系
【例5】已知△ABC的三個頂點分別是A(－6，－2)，B(6，－5)，C(9，－8).求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊上的高所在直線的方程．
【思路點撥】(1)已知兩點，可先求斜率，再用點斜式求直線方程；(2)高與底邊BC垂直，且經過點A.
【解】(1)∵＝＝－1，
∴BC邊所在直線的方程為y－(－5)＝－(x－6)，整理得x＋y－1＝0.
(2)BC邊上的高與BC垂直且經過點A(－6，－2).∵k·＝－1，∴k＝1，
∴BC邊上的高所在直線的方程為y＋2＝x＋6，即x－y＋4＝0.
【舉一反三5】已知A(2，4)，B(－2，2)兩點，求線段AB的垂直平分線所在直線的方程．
解：，∵k·＝－1，∴k＝－2.又∵線段AB的中點坐標為(0，3)，
∴線段AB的垂直平分線所在直線的方程為y－3＝－2(x－0)，即2x＋y－3＝0.
【例6】設直線：x＋y－1＝0，：x－2y＋2＝0，：3x＋my－6＝0，且直線，相交于同一點，求m的值．
【思路點撥】求的交點坐標并代入的方程可得m的值.
【解】　由∴的交點坐標為(0，1)，
將點(0，1)的坐標代入的方程，得3×0＋m·1－6＝0，解得m＝6.
【變式訓練6】已知直線：x＋y－1＝0，：2x＋3y－5＝0，：6x－8y＋3＝0，求：
(1)與的交點P的坐標；
(2)經過交點P且與垂直的直線方程．
解：(1)由即點P(－2，3).
(2)由：6x－8y＋3＝0可得直線的斜率為，則經過交點P且與垂直的直線的斜率為，其直線方程為y－3＝(x＋2)，即4x＋3y－1＝0.
考點三中點坐標與距離
【例7】下列各點中，與點M(－1，0)關于點H(2，3)中心對稱的點是(　B　)
A．(0，1) B．(5，6) C．(－1，1) D．(－5，6)
【思路點撥】理解中心對稱的含義，若點M關于點H中心對稱的點為M′，則H為線段MM′的中點．設所求點的坐標為(x，y)，則
【變式訓練7】
(1)點A(－1，5)關于坐標原點對稱的點的坐標為_(1，－5)_；
(2)已知A(a，5)和B(3，b)關于點M(－1，9)對稱，則a＝__－5__，b＝__13_.
【提示】，解得a＝－5，b＝13.
【例8】求與直線3x－4y－10＝0平行且距離為3的直線方程.
【思路點撥】先根據平行關系設出所求直線方程，再用平行線間距離公式求出待定系數．
【解】設所求直線方程為3x－4y＋D＝0，則
即|10＋D|＝15，解得D＝5或D＝－25，∴直線方程為3x－4y＋5＝0或3x－4y－25＝0.
【變式訓練8】如果兩平行直線y＝3x－b與y＝3x＋5之間的距離為，那么b＝_5或－15_.
【提示】兩直線方程化為3x－y－b＝0與3x－y＋5＝0，則，解得b＝5或b＝－15.
【例9】求點P(4，5)關于直線y＝3x＋3的對稱點P′的坐標．
【思路點撥】設點P′的坐標為(，b)，則線段PP′的中點在直線y＝3x＋3上，PP′與直線y＝3x＋3垂直，利用這兩個條件可求得P′的坐標．
【解】　設P′(，b)，則kPP′＝，線段PP′的中點坐標為，
∴∴點P′的坐標為(－2，7).
【變式訓練9】點A(－2，1)關于x軸的對稱點坐標為(－2，－1)；關于y軸的對稱點坐標為_(2，1)_；關于直線y＝x的對稱點坐標為_(1，－2)_；關于直線2x＋y－1＝0的對稱點坐標為_.
考點四圓的方程
【例10】求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1)圓心坐標為(－2，1)，且半徑為3的圓；
(2)以A(2，1)，B(－2，－1)為直徑的兩個端點的圓；
(3)圓心坐標為(2，－3)，且與x軸相切的圓；
(4)經過點(1，－1)，且圓心坐標為(4，3)的圓；
(5)經過A(1，1)，B(－3，5)兩點，且圓心在x軸上的圓．
【思路點撥】求圓的標準方程只要求出圓心坐標和半徑．
【解】(1)圓的標準方程為＋＝9.
(2)∵圓心為線段AB的中點(0，0)，∴圓的標準方程為＋＝5.
(3)∵圓心坐標為(2，－3)，且與x軸相切，∴r＝3，∴圓的標準方程為＋＝9.
(4)∵r＝＝5，∴圓的標準方程為＋＝25.
(5)設圓心坐標為(，0)，則解得＝－4，∴圓心坐標為(－4，0)，
半徑∴圓的標準方程為＋＝26.
【變式訓練10】求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓C：＋＝9關于直線y＝x對稱的圓的標準方程；
(2)已知圓過點(5，2)，半徑r＝3，且圓心在直線x－y＝0上；
(3)圓心坐標為(－4，3)，且與y軸相切的圓．
解：(1)∵圓C的圓心坐標為(2，3)，關于直線y＝x對稱后得(3，2)，半徑為r＝3不變．
∴圓的標準方程為＋＝9.
(2)設圓心坐標為(，)，r＝＝3，解得＝2或＝5，∴圓心坐標為(2，2)或(5，5)，
∴圓的標準方程為＋＝9或＋＝9.
(3)由題意可知，半徑r＝4，∴圓的標準方程為＋＝16.
考點五直線與圓的位置關系
【例11】當b為何值時，直線y＝x＋b與圓＋＝2相交、相切、相離？
【思路點撥】直線與圓的位置關系可以用判別式Δ；也可用圓心到直線的距離d與半徑r的關系判斷．
【解】圓心(0，0)到直線x－y＋b＝0的距離為d＝.
當d當d＝r，，即b＝±2時，直線與圓相切．
當d>r，，即b<－2或b>2時，直線與圓相離．
【變式訓練11】若經過點(2，0)的直線l與圓＋＝1有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是.
【提示】設直線方程為y＝k(x－2)即kx－y－2k＝0，圓心(0，0)到直線的距離d＝.∵直線與圓有公共點，∴≤1，解得
【例12】已知點M(1，1)與圓＋＝16.
(1)判斷點M與圓的位置關系；
(2)經過點M的最長弦所在直線的方程；
(3)經過點M的最短弦所在直線的方程．
【思路點撥】利用點到圓心的距離與半徑比較可判斷點與圓的位置關系．經過圓內一點的最長弦為經過此點的直徑；而經過點M的最短弦則與第(2)問中的最長弦互相垂直，且M為弦的中點.
【解】(1)點M與圓心(2，3)的距離d 半徑r＝4，∵d(2)∵經過點M的最長弦經過圓心(2，3)，∴k＝＝2，∴最長弦所在直線的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(3)∵經過點M的最短弦與經過此點的最長弦垂直，∴k′＝，∴最短弦所在直線的方程為y－1＝(x－1)，即x＋2y－3＝0.
【變式訓練12】已知A，B兩點在圓＋＝4上，弦AB的中點為D(1，1)，求直線AB的方程．
解：∵圓心為O(0，0)，∴＝＝1.∵直線AB⊥OD，∴＝－1.
∴直線AB的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
【例13】已知圓的方程是+=1，分別求滿足以下條件的圓的切線方程：
(1)與直線2x+y+1=0垂直；
(2)經過圓上一點(1，1)；
(3)經過圓外一點(－1，0).
【思路點撥】求圓的切線方程的一般步驟可歸納為：①根據已知條件設出切線方程；②利用圓心到切線距離等于半徑解出待定系數．
(1)可由垂直關系設出切線方程；(2)可設切線的點斜式方程，也可利用圓心與切點(1，1)連線與切線垂直得到切線斜率；
(3)可設切線的點斜式方程，但要注意經過圓外一點可引兩條切線，若只求得一個斜率，則說明另一切線斜率不存在．
【解】(1)設切線方程為x－2y＋D＝0.圓心(1，0)到切線的距離為d＝＝r＝1.
解得D＝－1或D＝－－1.∴切線方程為x－2y＋－1＝0或x－2y－－1＝0.
(2)∵經過點(1，1)和圓心(1，0)的直線與x軸垂直，∴經過圓上一點(1，1)的切線方程為y＝1，即y－1＝0.
(3)設經過點(－1，0)，且斜率存在的切線方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵圓心(1，0)到切線的距離為d＝＝1，解得k＝，∴切線方程為y＝(x＋1)，
整理得x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
【變式訓練13】已知從圓＋＝1外一點P(2，3)向這個圓引切線，求切線方程．
解：設經過點(2，3)的切線方程為y－3＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋3＝0，圓心(1，1)，r＝1.d＝＝1，解得k＝
∵點P在圓外，∴另一切線的斜率不存在．∴切線方程為y－3＝(x－2)和x＝2，
即3x－4y＋6＝0和x＝2.
【例14】已知經過點(2，0)的直線l與圓＋＝4相交，所得弦長為2，求直線l的方程．
【思路點撥】圓心到直線的距離d、半徑r、半弦長構成直角三角形，滿足勾股定理：
【解】　設直線l的方程為y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.
圓心(0，0)，r＝2，d＝又∵弦長為2，∴d 解得k＝±，
∴直線l的方程為
【變式訓練14】已知圓心在直線x－3y＝0上的圓C與y軸相切，且被直線y＝x截得的弦長為，求此圓的標準方程．
解：由題意可設圓心坐標為(3b，b)，∵圓與y軸相切，∴半徑r＝|3b|.圓心到直線y＝x的距離d
又∵d∴b＝±1，
∴圓心坐標為(3，1)或(－3，－1)，半徑為r＝3.
∴圓的方程為＋＝9或(＋＝9.
【變式訓練15】已知圓＋－2x＋4y＋1＝0，圓上的點到直線l距離的最大值為5，且直線l過點(4，4)，求直線l的方程.
解：圓的方程化為＋＝4，
∴圓心(1，－2)，半徑r＝2.
∵圓上的點到直線l的最大距離為5，
∴圓心(1，－2)到直線l的距離為3.
若直線l的斜率存在，設直線l：y－4＝k(x－4)，
即kx－y－4k＋4＝0，
圓心(1，－2)到直線l的距離d＝＝3，得k＝，
∴直線l的方程為y－4＝(x－4)，即3x－4y＋4＝0；
若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝4，滿足題意．
綜上，直線l的方程為3x－4y＋4＝0或x＝4.考點24 直線與圓的方程
【考綱要求】
①掌握中點公式和兩點間的距離公式，并應用這兩個公式解決有關問題
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，會求直線的傾斜角和斜率
③會根據有關條件求直線的方程
④掌握兩條直線的位置關系及點到直線的距離公式，能運用它們解決有關問題
⑤了解曲線與方程的關系，會求兩條曲線的交點，會根據給定條件求一些常見曲線的方程
⑥掌握圓的標準方程、一般方程．理解直線與圓的位置關系，能運用它們解決有關問題
【考向預測】
1．直線的傾斜角、斜率及直線方程的基本知識．
2．兩條直線的位置關系判斷與條件運用．
3．已知圓的一般方程，求圓心坐標及半徑；根據已知條件，求圓的方程．
4．判斷直線與圓的位置關系，求切線方程和弦長等．
5．與中點公式及點到直線的距離公式相結合，求直線方程及有關參數的范圍．
【本節內容結構】
【知識清單】
1．直線的傾斜角
(1)當直線l與x軸相交時，直線l向上的方向與x軸________所成的最小正角，叫作直線l的傾斜角．
(2)當直線l與x軸平行或重合時，規定直線的傾斜角為________；平面上任意一條直線都有唯一確定的傾斜角，且它的取值范圍是__________________.
2．直線的斜率
直線的傾斜角α≠90°時，傾斜角α的________叫作直線的斜率，即斜率k＝________；當α＝90°時，直線的斜率________；當α＝0°時，k＝________；當α∈(0°，90°)時，k________0；當α∈(90°，180°)時，k________0.
3．斜率的三個計算公式
(1)若直線的傾斜角為α，則斜率k＝________，α≠90°.
(2)若直線經過P(，)，Q(，)(≠)兩點，則斜率k＝________.
(3)若直線的一般式方程為Ax＋By＋C＝0(B≠0)，則斜率k＝________.
4．直線方程的幾種形式
名稱 已知條件 方程形式 適用范圍
點斜式 直線經過點P(，)且斜率為k 不垂直于x軸
斜截式 斜率為k，直線在y軸上截距為b 不垂直于x軸
兩點式 直線經過A(，)，B(，)兩點 不與坐標軸垂直
截距式 直線在x，y軸上的截距分別為a，b 不與坐標軸垂直，且不過原點
一般式 A，B不同時為零 適用于任意直線
5．與坐標軸垂直的直線方程
(1)若直線經過點P(，)且垂直于x軸，則直線方程為________________；
(2)若直線經過點P(，)且垂直于y軸，則直線方程為________________.
6．兩條直線的位置關系
(1)當兩條直線不平行于坐標軸時：
兩直線方程 l1：y＝x＋ l2：y＝x＋ l1：x＋y＋＝0 l2：x＋y＋＝0
平行
重合
相交
垂直
(2)當直線平行于坐標軸時，可結合圖形進行思考．
7．設互相平行(或垂直)的兩條直線方程的方法
(1)與Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為____________________；
(2)與Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為____________________.
8．中點坐標公式和兩點之間的距離公式
(1)中點公式：若線段的兩個端點坐標分別為(，)，(，)，線段的中點坐標為P(，)，則＝________，＝________.
(2)兩點之間的距離公式：若兩點坐標分別為(，)，(，)，則兩點之間的距離公式為||＝_______________.
9．點到直線的距離、兩平行直線之間的距離
(1)已知點P(，)和直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，則點P到直線l的距離為d＝________________.
(2)若直線∥，且其方程分別為：Ax＋By＋＝0，：Ax＋By＋＝0(A，B不全為0)，則直線與直線之間的距離為d＝________________.
10．圓的定義：在平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫作圓，其中定點為________，定長為________.
11．圓心坐標為(，b)，半徑為r的圓的標準方程是________________________.特別地，圓心在原點，半徑為r的圓的標準方程是________________.
12．圓的一般方程是_______________________(＋－4F>0)，圓心坐標是__________，半徑r＝__________.
13．確定圓的條件：方程＋＋Dx＋Ey＋F＝0，
當＋－4F＞0時，方程表示的圖形是________；
當＋－4F＝0時，方程表示的圖形是________；
當＋－4F＜0時，方程_________________.
13．直線與圓的位置關系：相交、相切、相離
(1)判斷直線與圓的位置關系這類問題通常有兩種方法
①Δ法：聯立直線方程與圓的方程，消元，得到關于x(或y)的一元二次方程，當一元二次方程根的判別式Δ________0時相交；Δ________0時相切；Δ________0時相離．
②d，r法：先求出圓心坐標(，b)和半徑r，再求出圓心到直線的距離d，當d________r時相交；當d________r時相切；當d________r時相離．
(2)直線與圓的相交問題
①求交點坐標即解方程組；
②弦長問題：弦長、直線方程、圓方程知其二求第三個量，公式：弦長＝__________(關鍵找出圓心、半徑r，求出圓心到直線的距離d).
(3)直線與圓相切的切線問題
①求切線長：找出圓心C和圓外一點P，求出半徑r，切線長＝__________；
②求切線方程
a．經過圓＋＝上一點P(，)的切線方程：________________；
b．經過圓C外一點P(，)的切線方程求法：先由已知條件設出切線方程，再采用d＝r法求解．
其步驟：設切線的斜率為k，得到切線方程y－＝k(x－)，求圓心C到直線的距離d，通過d＝r(半徑)求出k(切線一般有兩條，若結果只有一個k值，別忘了還有一條切線的斜率k不存在).
(4)直線與圓的相離問題：求圓上的一點到與圓相離的直線距離最大值和最小值及相應點的坐標時，先求圓心到直線的距離d，最大值為d＋r，最小值為d－r.
14．圓與圓的位置關系
(1)圓與圓的位置關系有________、________、________、________、________.
(2)判斷方法：設兩圓半徑，，圓心距d.
①相離 ________________；②外切 ________________；③相交 ________________；④內切 ________________；⑤內含 ________________.
(3)兩圓的相交弦方程：兩圓的方程相減，所得結果即為兩圓相交弦方程．
【考點分類剖析】
考點一直線方程斜率與傾斜角
【例1】已知直線(m－2)x＋2y－m＋2＝0的斜率為2，求m的值．
【舉一反三1】已知直線x＋y＋1＝0的傾斜角為，求的值．
【例2】已知A(5，1)，B(，2)，C(2，－2)三點在同一直線上，則的值為________.
【變式訓練2】已知A(－1，)，B(2，3)，C(b，2)三點都在傾斜角為135°的直線上，求，b的值．
【例3】根據下列條件求直線方程：
(1)經過點P(－1，3)，且傾斜角為45°的直線方程；
(2)經過P(－2，)，Q(－1，0)兩點的直線方程．
【變式訓練3】已知直線l經過點P(－1，2)，且斜率為，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋4y－5＝0 B．3x－4y＋5＝0
C．4x＋3y－5＝0 D．4x－3y＋5＝0
【例4】已知直線l經過點(2，3)，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．
【舉一反三4】已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形為等腰直角三角形，且經過點M(2，1)，求直線l的方程．
考點二兩條直線的位置關系
【例5】已知△ABC的三個頂點分別是A(－6，－2)，B(6，－5)，C(9，－8).求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊上的高所在直線的方程．
【舉一反三5】已知A(2，4)，B(－2，2)兩點，求線段AB的垂直平分線所在直線的方程．
【例6】設直線：x＋y－1＝0，：x－2y＋2＝0，：3x＋my－6＝0，且直線，相交于同一點，求m的值．
【變式訓練6】已知直線：x＋y－1＝0，：2x＋3y－5＝0，：6x－8y＋3＝0，求：
(1)與的交點P的坐標；
(2)經過交點P且與垂直的直線方程．
考點三中點坐標與距離
【例7】下列各點中，與點M(－1，0)關于點H(2，3)中心對稱的點是(　　)
A．(0，1) B．(5，6) C．(－1，1) D．(－5，6)
【變式訓練7】
(1)點A(－1，5)關于坐標原點對稱的點的坐標為________；
(2)已知A(a，5)和B(3，b)關于點M(－1，9)對稱，則a＝________，b＝________.
【例8】求與直線3x－4y－10＝0平行且距離為3的直線方程.
【變式訓練8】如果兩平行直線y＝3x－b與y＝3x＋5之間的距離為，那么b＝____________.
【例9】求點P(4，5)關于直線y＝3x＋3的對稱點P′的坐標．
【變式訓練9】點A(－2，1)關于x軸的對稱點坐標為__________；關于y軸的對稱點坐標為________；關于直線y＝x的對稱點坐標為_________；關于直線2x＋y－1＝0的對稱點坐標為________.
考點四圓的方程
【例10】求滿足下列條件的圓的標準方程：
(1)圓心坐標為(－2，1)，且半徑為3的圓；
(2)以A(2，1)，B(－2，－1)為直徑的兩個端點的圓；
(3)圓心坐標為(2，－3)，且與x軸相切的圓；
(4)經過點(1，－1)，且圓心坐標為(4，3)的圓；
(5)經過A(1，1)，B(－3，5)兩點，且圓心在x軸上的圓．
【變式訓練10】求滿足下列條件的圓的標準方程．
(1)圓C：＋＝9關于直線y＝x對稱的圓的標準方程；
(2)已知圓過點(5，2)，半徑r＝3，且圓心在直線x－y＝0上；
(3)圓心坐標為(－4，3)，且與y軸相切的圓．
考點五直線與圓的位置關系
【例11】當b為何值時，直線y＝x＋b與圓＋＝2相交、相切、相離？
【變式訓練11】若經過點(2，0)的直線l與圓＋＝1有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是____________________.
【例12】已知點M(1，1)與圓＋＝16.
(1)判斷點M與圓的位置關系；
(2)經過點M的最長弦所在直線的方程；
(3)經過點M的最短弦所在直線的方程．
【變式訓練12】已知A，B兩點在圓＋＝4上，弦AB的中點為D(1，1)，求直線AB的方程．
【例13】已知圓的方程是+=1，分別求滿足以下條件的圓的切線方程：
(1)與直線2x+y+1=0垂直；
(2)經過圓上一點(1，1)；
(3)經過圓外一點(－1，0).
【變式訓練13】已知從圓＋＝1外一點P(2，3)向這個圓引切線，求切線方程．
【例14】已知經過點(2，0)的直線l與圓＋＝4相交，所得弦長為2，求直線l的方程．
【變式訓練14】已知圓心在直線x－3y＝0上的圓C與y軸相切，且被直線y＝x截得的弦長為，求此圓的標準方程．
【變式訓練15】已知圓＋－2x＋4y＋1＝0，圓上的點到直線l距離的最大值為5，且直線l過點(4，4)，求直線l的方程.

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