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考點25 圓錐曲線
【考綱要求】
理解橢圓、雙曲線、拋物線的概念，掌握它們的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，并能運用它們解決有關(guān)問題
【考向預(yù)測】
橢圓、雙曲線、拋物線的定義、簡單的幾何性質(zhì)，尤其是橢圓和雙曲線的離心率．
【本節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)】
【知識清單】
1．橢圓
項目 內(nèi)容
定義 平面內(nèi)與兩定點，的距離之和等于常數(shù)2a(2a>||)的點的軌跡叫作橢圓
圖像
標(biāo)準(zhǔn)方程
幾何性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
頂點 (±a，0)，(0，±b) (±b，0)，(0，±a)
焦點 (±c，0) (0，±c)
焦距 ||＝__2c_，，a>b>0，a>c>0
幾何性質(zhì) 軸 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點；長軸長：||＝_2a_；短軸長：||＝_2b_
離心率 e＝___(02．雙曲線
項目 內(nèi)容
定義 定義：平面內(nèi)到兩定點，的距離之差的絕對值等于同一常數(shù)2a(2a<||)的點的軌跡叫作雙曲線
圖像
標(biāo)準(zhǔn)方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
幾何性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
頂點 (±a，0) (0，±a)
焦點 (±c，0) (0，±c)
幾何性質(zhì) 漸近線方程
焦距 ||＝_2c_，，c>b>0，c>a>0
軸 對稱軸：x軸，y軸； 對稱中心：原點； 實軸長：||＝_2a_；虛軸長：||＝_2b_
幾何性質(zhì) 離心率 e＝_(e>1)，e越大，雙曲線開口越開闊
3．等軸雙曲線
(1)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫作等軸雙曲線．
(2)等軸雙曲線的離心率e＝__.
(3)等軸雙曲線的漸近線方程為_y＝±x_.
(4)等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直．
(5)等軸雙曲線的方程可設(shè)為λ(λ≠0).
4．拋物線
項目 內(nèi)容
定義 定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線
圖像
標(biāo)準(zhǔn) 方程 ＝2px (p>0) ＝－2px (p>0) ＝2py (p>0) ＝－2py (p>0)
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸
焦點
準(zhǔn)線
頂點 (0，0)
離心率 e＝1
【考點分類剖析】
考點一橢圓
【例1】如圖所示，已知橢圓的焦點分別為和，經(jīng)過左焦點的直線與橢圓相交于A，B兩點，則△AB的周長為_20__.
【思路點撥】結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)△AB的周長＝|A|＋|A|＋|B|＋|B|，再根據(jù)橢圓的定義得＝|A|＋|A|＋|B|＋|B|＝2＋2＝4，∴△AB的周長為20.
【舉一反三1】已知橢圓的兩個焦點分別為和，短軸的一個端點為A，則△A的周長為__10__.
【提示】＝2＋2c＝2×3＋2×2＝10.
【例2】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為8，且經(jīng)過點(－，2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【思路點撥】橢圓的焦點在x軸上，可設(shè)方程，根據(jù)兩個已知條件，代入求得
【解】∵焦點在x軸上，且2＝8，∴＝4，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為將點(－，2)代入，得＝8，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【變式訓(xùn)練2】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)一個短軸端點為(－3，0)，且經(jīng)過點；
(2)長軸長為12，焦距為8.
解：(1)由題意知橢圓焦點在y軸上，且b＝3.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將代入得＝25，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)∵2＝12，2c＝8，∴＝6，c＝4，∴＝－＝20，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【例3】已知橢圓的兩個焦點分別為(－3，0)，(3，0)，A為橢圓上一點，且∠A＝90°，△A的面積為6，求：
(1)△A的周長；
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【思路點撥】由題意得＝＋＝(＋－2·，再結(jié)合條件和橢圓的定義可算出周長．
【解】∵∠A＝90°，∴＝＋＝(＋－2·.
又∵＝·＝6，∴·＝12，∴36＝(＋－2×12，∴＋＝
(1)△A的周長為＋＋＝＋6.
(2)∵|AF1|＋|AF2|＝＝2，∴＝，∴＝－＝15－9＝6，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【變式訓(xùn)練3】已知橢圓的兩個焦點為和，A為橢圓上一點，且A⊥A，則△A的面積為多少？
解：∵＋＝2＝10，＝2c＝6，
∴＝＋＝(＋－2·，即36＝100－2·，
∴·＝32，∴＝·＝×32＝16.
考點二雙曲線
【例4】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點坐標(biāo)為(0，±5)，離心率為；
(2)頂點坐標(biāo)為(±4，0)，焦距為12.
【思路點撥】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程實質(zhì)上是求出，b，利用雙曲線的幾何性質(zhì)以及三個參數(shù)之間的關(guān)系．一般分三步：①確定焦點所在坐標(biāo)軸，若不能判斷，則需要分類討論；②根據(jù)條件確定焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)等，進(jìn)而確定，b，c三個參數(shù)值；③寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解】(1)∵焦點在y軸上，且c＝5，e∴＝3，∴＝－＝16，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)∵焦點在x軸上，且＝4，2c＝12，∴c＝6，∴＝－＝36－16＝20，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【舉一反三4】 (1)虛半軸長為6，且其中一個焦點坐標(biāo)為(－10，0)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___；
(2)實軸長為4，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【提示】(1) ∵b＝6，c＝10，∴＝8.
(2)∵2＝4，＝2，e，∴c＝3，∴＝－＝5.∵焦點的位置不確定，∴此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
【例5】已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且經(jīng)過點P(，－4)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【思路點撥】已知漸近線求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，有兩種方法：一是先要判斷焦點的位置，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，利用已知條件列出方程組，解方程組求出參數(shù)，b即可；二是根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線方程為＝λ的形式，再將已知的點代入求出λ，第二種方法可以避免討論焦點的位置．
【解】方法一：作圖可判斷雙曲線的焦點在y軸上，
設(shè)雙曲線方程為 (>0，b>0)，則解得
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
方法二：設(shè)雙曲線方程為＝λ，將點P(，－4)代入得λ＝－2，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
【舉一反三5】(1)若某雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過點P(2，1)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)與雙曲線有相同漸近線，且經(jīng)過點(2,)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【提示】(1)由題意知此雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，將P(2，1)代入得λ＝3，∴此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)所求雙曲線方程為＝λ，將(2，)代入，得λ＝2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【例6】設(shè)和為雙曲線－＝1的焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠P＝60°，求△P的面積．
【思路點撥】根據(jù)三角形的面積公式＝··sin60°，而·可以在中利用余弦定理求出．關(guān)鍵是在計算過程中利用雙曲線的定義以及配方的形式湊出·.解題過程中，要充分利用圓錐曲線的定義以及圖形的平面解析幾何的知識．
【解】如圖所示．∵∠＝60°，|－|＝2＝4，||＝2c＝，
∴＝＋－2··cos60°
＝＋－·，
即＝(＋＋·，
∴20＝16＋·，
∴·＝4，
∴＝··sin∠
【變式訓(xùn)練6】已知雙曲線的兩個焦點分別為和，P是雙曲線上一點，且P⊥P，求△P的面積．
解：∵＝9，＝16，∴＝＋＝25，∴＝3，b＝4，c＝5，
∴|－|＝2＝6，||＝2c＝10，
∴＝＋＝(＋·，
∴100＝36＋2·，
∴·＝32，
∴＝·＝×32＝16.
考點三拋物線
【例7】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(2，4)；
(2)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在直線x－2y＋4＝0上.
【思路點撥】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，先確定焦點的位置，再找一個條件即可．本例中兩條拋物線的焦點位置均有兩種可能，因此需要通過題目中的具體情況來討論解題，關(guān)鍵是焦點位置的確定．
【解】(1)根據(jù)題意，焦點在x軸正半軸或y軸正半軸上，
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝2px(p>0)或＝2py(p>0)，
將點(2，4)分別代入得p＝4或p＝，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝8x或＝y(tǒng).
(2)令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝－4，∴焦點為F(0，2)或F(－4，0)，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝8y或＝－16x.
【變式訓(xùn)練7】求以原點為頂點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點P(－3，－6)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：焦點在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸上，設(shè)方程為＝－2px或＝－2py(p>0)，
將點(－3，－6)分別代入得p＝6或p＝，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝－12x或＝－y.
【例8】已知拋物線＝－4x上一點P到焦點的距離為4，求點P的坐標(biāo)．
【思路點撥】由拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，于是可將距離與點的橫坐標(biāo)聯(lián)系起來，進(jìn)而求解．
【解】拋物線＝－4x的焦點坐標(biāo)為(－1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝1，
設(shè)P(，)(<0)，由拋物線的定義知4＝||＋＝||＋1，
∴＝－3，∴＝±，∴P(－3，±).
【變式訓(xùn)練8】 (1)已知拋物線＝2py(p>0)上一點M(a，3)到焦點F的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
＝4y；
(2)如圖所示，從拋物線＝4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為__10__.
【提示】(1)由拋物線的定義知＋3＝4，解得p＝2，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝4y.
(2)設(shè)P(，)，則>0，∴|PM|＝＋＝＋1＝5，
∴＝4，代入＝4x，得＝±4.∴＝|PM|·||＝×5×4＝10.
【例9】已知拋物線＝4x的焦點是F，P是拋物線上的動點，點B的坐標(biāo)為(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
【思路點撥】易知點B在拋物線的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問題轉(zhuǎn)化在拋物線上求一點P，使點P到準(zhǔn)線與到點B的距離之和為最小，結(jié)合圖像不難找出所求點P的位置．
【解】如圖所示，過點B作BQ垂直準(zhǔn)線于點Q，交拋物線于點，則|Q|＝|F|，∴|PB|＋|PF|≥|B|＋|Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.
【變式訓(xùn)練9】 若例9中點B的坐標(biāo)改為(3，4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．
解：∵點(3，4)在拋物線的外部，∴|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|，即|PB|＋|PF|的最小值為
【例10】已知直線l經(jīng)過拋物線=4x的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，線段AB的中點的橫坐標(biāo)為2，求線段AB的長．
【思路點撥】將|AB|分解為|AF|＋|BF|，再結(jié)合拋物線的定義即可求出結(jié)論．但也要注意此題的方法僅適用于直線經(jīng)過拋物線的焦點的情況．
【解】∵|AB|＝|AF|＋|BF|，∴由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＋＋＝＋＋p.
又∵＝2，即＋＝4，且p＝2，∴|AB|＝4＋2＝6.
【變式訓(xùn)練10】已知直線y＝x＋2與拋物線＝8y相交于A，B兩點，求線段AB的長．
解：由題意，直線y＝x＋2恰好經(jīng)過拋物線的焦點(0，2)，且p＝4.
由消去y得－8x－16＝0，
由韋達(dá)定理得＋＝8，
∴|AB|＝|A|＋|A|
＝＋＋＋
＝＋＋p
＝8＋4
＝12.考點25 圓錐曲線
【考綱要求】
理解橢圓、雙曲線、拋物線的概念，掌握它們的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，并能運用它們解決有關(guān)問題
【考向預(yù)測】
橢圓、雙曲線、拋物線的定義、簡單的幾何性質(zhì)，尤其是橢圓和雙曲線的離心率．
【本節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)】
【知識清單】
1．橢圓
項目 內(nèi)容
定義
圖像
標(biāo)準(zhǔn)方程
幾何性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
頂點
焦點
焦距 ||＝________，，a>b>0，a>c>0
幾何性質(zhì) 軸 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點；長軸長：||＝______；短軸長：||＝______
離心率 e＝______(02．雙曲線
項目 內(nèi)容
定義
圖像
標(biāo)準(zhǔn)方程 __________(a>0，b>0) __________(a>0，b>0)
幾何性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
頂點
焦點
幾何性質(zhì) 漸近線方程 ________ ________
焦距 ||＝________，，c>b>0，c>a>0
軸 對稱軸：x軸，y軸； 對稱中心：原點； 實軸長：||＝______；虛軸長：||＝______
幾何性質(zhì) 離心率 e＝________(e>1)，e越大，雙曲線開口越開闊
3．等軸雙曲線
(1)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫作等軸雙曲線．
(2)等軸雙曲線的離心率e＝________.
(3)等軸雙曲線的漸近線方程為________.
(4)等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直．
(5)等軸雙曲線的方程可設(shè)為λ(λ≠0).
4．拋物線
項目 內(nèi)容
定義
圖像
標(biāo)準(zhǔn) 方程 __________ (p>0) __________ (p>0) __________ (p>0) __________ (p>0)
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱軸
焦點
準(zhǔn)線
頂點
離心率
【考點分類剖析】
考點一橢圓
【例1】如圖所示，已知橢圓的焦點分別為和，經(jīng)過左焦點的直線與橢圓相交于A，B兩點，則△AB的周長為________.
【舉一反三1】已知橢圓的兩個焦點分別為和，短軸的一個端點為A，則△A的周長為________.
【例2】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為8，且經(jīng)過點(－，2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【變式訓(xùn)練2】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)一個短軸端點為(－3，0)，且經(jīng)過點；
(2)長軸長為12，焦距為8.
【例3】已知橢圓的兩個焦點分別為(－3，0)，(3，0)，A為橢圓上一點，且∠A＝90°，△A的面積為6，求：
(1)△A的周長；
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【變式訓(xùn)練3】已知橢圓的兩個焦點為和，A為橢圓上一點，且A⊥A，則△A的面積為多少？
考點二雙曲線
【例4】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點坐標(biāo)為(0，±5)，離心率為；
(2)頂點坐標(biāo)為(±4，0)，焦距為12.
【舉一反三4】 (1)虛半軸長為6，且其中一個焦點坐標(biāo)為(－10，0)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________；
(2)實軸長為4，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________.
【例5】已知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且經(jīng)過點P(，－4)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【舉一反三5】(1)若某雙曲線的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過點P(2，1)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________；
(2)與雙曲線有相同漸近線，且經(jīng)過點(2,)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.
【例6】設(shè)和為雙曲線－＝1的焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠P＝60°，求△P的面積．
【變式訓(xùn)練6】已知雙曲線的兩個焦點分別為和，P是雙曲線上一點，且P⊥P，求△P的面積．
考點三拋物線
【例7】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(2，4)；
(2)頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在直線x－2y＋4＝0上.
【變式訓(xùn)練7】求以原點為頂點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點P(－3，－6)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【例8】已知拋物線＝－4x上一點P到焦點的距離為4，求點P的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練8】 (1)已知拋物線＝2py(p>0)上一點M(a，3)到焦點F的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________；
(2)如圖所示，從拋物線＝4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為________.
【例9】已知拋物線＝4x的焦點是F，P是拋物線上的動點，點B的坐標(biāo)為(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
【變式訓(xùn)練9】 若例9中點B的坐標(biāo)改為(3，4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．
【例10】已知直線l經(jīng)過拋物線=4x的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，線段AB的中點的橫坐標(biāo)為2，求線段AB的長．
【變式訓(xùn)練10】已知直線y＝x＋2與拋物線＝8y相交于A，B兩點，求線段AB的長．

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