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考點26 平面解析幾何
【考綱要求】
重點考查曲線方程和曲線方程的性質以及曲線之間的關系等基本知識，考查斜率公式、距離公式、夾角公式、中點坐標公式等重要公式的應用，考查坐標法、數形結合法、分類討論法等重要數學思想方法．
【考向預測】
從近幾年的考題分析，以考查單一的知識點為主，但也有多個知識點的綜合應用．因此，要求學生能夠解決關于直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等綜合性問題．
【本節內容結構】
【知識清單】
1．直線與圓錐曲線的位置關系有相交、相切和相離.
2．計算直線與圓錐曲線的相交弦長
聯立＋bx＋c＝0，當≠0，Δ≥0時，由韋達定理得＋＝－，＝，則弦長＝||＝＝.(其中k為直線的斜率，,為一元二次方程＋bx＋c＝0的兩根)
3．直線與圓錐曲線相交弦的中點問題：常用中點坐標公式、韋達定理、點差法等．
4．關于對稱性問題：可根據點的對稱性的求法類推．
【考點分類剖析】
考點一直線與圓錐曲線的位置關系
【例1】　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：.求：
(1)當實數m取何值時，直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點？
(2)當實數m取何值時，直線l與橢圓C有且只有一個公共點？
【思路點撥】判斷直線與二次曲線的位置關系，即判斷直線方程與二次曲線方程聯立消元后所得一元二次方程的解的個數問題，即通過判別式Δ判斷即可．
【解】由直線l的方程與橢圓C的方程聯立，得方程組消去y得9＋8mx＋2－4＝0，
∴Δ＝－36(2－4)＝144－8.
(1)當Δ>0時，即時，方程組有兩組不同的實數解，即直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點．
(2)當Δ＝0，即m＝±時，方程組有兩組相同的實數解，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點．
【舉一反三1】(1)判斷直線x－y－1＝0與雙曲線＝2的交點個數；
(2)已知直線y＝kx－2與拋物線＝6x只有一個公共點，求k的值.
解：(1)由得－4x＋4＝0，
∴Δ＝0，∴只有一個交點．
(2)由消去y得－(4k＋6)x＋4＝0.
∴當k＝0時，直線方程為y＝－2，符合條件；
當k≠0時，Δ＝－4×4＝0，解得k＝.
綜上所述，k的值為0或
【例2】已知直線x－y＋1＝0與橢圓相交于A，B兩點，求弦AB的長．
【思路點撥】直線方程與曲線方程聯立，消去x或y得到一元二次方程，通過韋達定理，利用弦長公式，減小運算量．
【解】由得7＋8x－8＝0，由韋達定理得＋＝，＝，
∴|AB|
即弦AB的長為
【變式訓練2】設拋物線C：＝4x的焦點為F，經過點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且|AB|＝8，求直線l的方程．
解：由題意得F(1，0).
設直線l的方程為y＝k(x－1)(k>0)，A(，)，B(，).
由消去y得－(2＋4)x＋＝0，
∴Δ＝16＋16>0，∴＋＝∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋1)＋(＋1)＝
由題意得＝8(k>0)，解得k＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
【例3】已知某直線與橢圓4＋9＝36相交于A，B兩點，弦AB的中點為M(1，1)，求直線AB的方程．
【思路點撥】求中點弦所在直線方程，已知一點再求其斜率即可，根據題意應該考慮弦的端點坐標和弦的中點坐標之間的關系，于是可以利用韋達定理或點差法求解．
【解】設A(，)，B(，)，根據題意≠.
∵弦AB的中點為M(1，1)，
∴，即＋＝2，＋＝2.
由作差得
∴4()(－)＋9(＋)(－)＝0，
∴8(－)＋18(－)＝0，
∴，即＝，
由點斜式得y－1＝(x－1)，即直線AB的方程為4x＋9y－13＝0.
【變式訓練3】已知經過點A(2，1)作直線l交雙曲線－＝1于P，Q兩點，點A平分弦PQ，求直線l的方程．
解：設P(，)，Q(，)，
則≠，且
即＋＝4，＋＝2.
由作差得
∴2()(－)－(＋)(－)＝0，
∴8(－)－2(－)＝0，
∴8(－)＝2(－)，
∴，即＝4，
由點斜式，得y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.
【例4】已知拋物線＝2px(p>0)有內接直角三角形OAB，直角頂點在原點，一條直角邊所在直線方程是y＝2x，直角三角形的斜邊長為，求p的值．
【思路點撥】先利用直線OA，OB的方程與拋物線方程聯立，可以求出A，B兩點的坐標，再與斜邊AB的長結合距離公式建立關于p的方程，即可求出參數p的值．
【解】設A(，)，B(，)，則＝2.
【舉一反三4】已知等邊三角形ABC的三個頂點在拋物線＝2x上，其中點A與原點O重合，求△ABC的邊長．
解：＝tan30°＝，＝tan150°＝－，且BC⊥x軸，
∴直線OB的方程為y＝x，
由得x＝6，y＝.
∴B(6，)，C(6，－)，
∴△ABC的邊長|AB|＝|AC|＝|BC|＝.
考點二平面解析幾何綜合問題
【例5】已知曲線方程＋sinα＝1，且α∈[0，2π]，試討論此方程表示的曲線．
【思路點撥】本題主要是根據角α在一個周期內變化的時候，其正弦值的不同決定了方程表示的曲線類型．同時結合每種曲線方程的特征來判斷方程具體表示哪種曲線．
【解】①當α＝0，π或2π時，sinα＝0，方程化為＝1，即x＝±1，此方程表示兩條與x軸垂直的平行線；
②當α＝時，sinα＝1，方程化為＋＝1，此方程表示的曲線是以原點為圓心，半徑為1的圓；
③當α＝時，sinα＝－1，方程化為＝1，此方程表示的曲線是焦點在x軸上的等軸雙曲線；
④當α∈時，0⑤當α∈時，－1【舉一反三5】若θ∈，則方程cosθ＋sinθ＝1表示的曲線是(　A　)
A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在y軸上的橢圓
C．焦點在x軸上的雙曲線 D．焦點在y軸上的雙曲線
【提示】如解圖所示，借助圖像可以比較sinθ與cosθ在內的大小關系為sinθ>cosθ>0，∴，∴方程表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓．
【例6】已知雙曲線以橢圓的長軸頂點為焦點，
漸近線與橢圓的焦點及短軸頂點確定的直線平行．
(1)求此雙曲線的標準方程；
(2)若點P在雙曲線上，，分別為雙曲線的左、右焦點，且P⊥P，求點P到x軸的距離．
【思路點撥】(1)根據橢圓的焦點與短軸頂點坐標可求出漸近線的斜率，進而根據雙曲線中，b，c之間的關系求出雙曲線的方程．(2)點P到x軸的距離可以理解為△P中邊上的高，即點P的縱坐標的絕對值，因此可以從求三角形的面積入手或者從求點P的縱坐標入手來解決問題．
【解】(1)∵橢圓焦點(±3，0)與短軸頂點(0，±4)所確定的直線斜率為±，∴雙曲線的漸近線斜率為±.
又∵雙曲線的焦點坐標為(±5，0)，∴，且c＝5，由可解得＝3，b＝4，
∴此雙曲線的標準方程為
(2)點P到x軸的距離，即Rt△P中邊上的高線.不妨設點P在雙曲線右支上，由
得100＝(＋·，即·＝32，
由＝·＝·h得h＝，
∴點P到x軸的距離為.
【變式訓練6】已知雙曲線與橢圓有公共焦點，，它們的離心率之和為
(1)求此雙曲線的標準方程；
(2)設P是雙曲線與橢圓的一個交點，求cos∠P的值．
解：(1)∵橢圓的焦點坐標為(±4，0)，離心率為，∴雙曲線的焦點坐標為(±4，0)，且離心率e＝＝2，即c＝4，＝2，∴－＝12，∴此雙曲線的標準方程為
(2)不妨設點P在y軸右側，則
又∵＝8，
∴在△中，由余弦定理得cos∠
【例7】已知橢圓C：(>b>0)的兩個焦點為，，點P在橢圓C上，且P⊥，|P|＝，|P|＝.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l經過圓＋＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，M，B三點滿足關系，求直線l的方程.
【思路點撥】根據橢圓定義和勾股定理可以求出橢圓中的參數，b，c，進而求出方程；由直線經過圓心M，且可知M是弦AB的中點，即中點弦問題，可用點差法或韋達定理解題．
【解】(1)∵|P|＝，|P|＝，∴26，∴＝3.
又∵P⊥，∴2c＝||＝，
∴c＝，∴－＝4，
∴橢圓C的標準方程為
(2)圓的方程化為＋＝5，
∴圓心為M(－2，1). 又∵，∴M為弦AB的中點．
設A(，)，B(，)，則
∴＋＝－4，＋＝2.
由作差得
∴直線l的方程為y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.
【變式訓練7】已知橢圓的中心在原點，一個焦點為(0，)，直線l：y＝2x－1交橢圓所截得的弦的中點在直線4x＋y－＝0上．求此橢圓的方程．
解：設橢圓方程為(>b>0). 由得弦中點為
由得(5＋26)－4x＝(＋25).
∴＋解得＝，∴＝26＋＝
∴橢圓方程為考點26 平面解析幾何
【考綱要求】
重點考查曲線方程和曲線方程的性質以及曲線之間的關系等基本知識，考查斜率公式、距離公式、夾角公式、中點坐標公式等重要公式的應用，考查坐標法、數形結合法、分類討論法等重要數學思想方法．
【考向預測】
從近幾年的考題分析，以考查單一的知識點為主，但也有多個知識點的綜合應用．因此，要求學生能夠解決關于直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等綜合性問題．
【本節內容結構】
【知識清單】
1．直線與圓錐曲線的位置關系有________、________和________.
2．計算直線與圓錐曲線的相交弦長
聯立＋bx＋c＝0，當≠0，Δ≥0時，由韋達定理得＋＝－，＝，則弦長＝||＝＝.(其中k為直線的斜率，,為一元二次方程＋bx＋c＝0的兩根)
3．直線與圓錐曲線相交弦的中點問題：常用中點坐標公式、韋達定理、點差法等．
4．關于對稱性問題：可根據點的對稱性的求法類推．
【考點分類剖析】
考點一直線與圓錐曲線的位置關系
【例1】　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：.求：
(1)當實數m取何值時，直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點？
(2)當實數m取何值時，直線l與橢圓C有且只有一個公共點？
【舉一反三1】(1)判斷直線x－y－1＝0與雙曲線＝2的交點個數；
(2)已知直線y＝kx－2與拋物線＝6x只有一個公共點，求k的值.
【例2】已知直線x－y＋1＝0與橢圓相交于A，B兩點，求弦AB的長．
【變式訓練2】設拋物線C：＝4x的焦點為F，經過點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且|AB|＝8，求直線l的方程．
【例3】已知某直線與橢圓4＋9＝36相交于A，B兩點，弦AB的中點為M(1，1)，求直線AB的方程．
【變式訓練3】已知經過點A(2，1)作直線l交雙曲線－＝1于P，Q兩點，點A平分弦PQ，求直線l的方程．
【例4】已知拋物線＝2px(p>0)有內接直角三角形OAB，直角頂點在原點，一條直角邊所在直線方程是y＝2x，直角三角形的斜邊長為，求p的值．
【舉一反三4】已知等邊三角形ABC的三個頂點在拋物線＝2x上，其中點A與原點O重合，求△ABC的邊長．
考點二平面解析幾何綜合問題
【例5】已知曲線方程＋sinα＝1，且α∈[0，2π]，試討論此方程表示的曲線．
【舉一反三5】若θ∈，則方程cosθ＋sinθ＝1表示的曲線是(　　)
A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在y軸上的橢圓
C．焦點在x軸上的雙曲線 D．焦點在y軸上的雙曲線
【例6】已知雙曲線以橢圓的長軸頂點為焦點，
漸近線與橢圓的焦點及短軸頂點確定的直線平行．
(1)求此雙曲線的標準方程；
(2)若點P在雙曲線上，，分別為雙曲線的左、右焦點，且P⊥P，求點P到x軸的距離．
【變式訓練6】已知雙曲線與橢圓有公共焦點，，它們的離心率之和為
(1)求此雙曲線的標準方程；
(2)設P是雙曲線與橢圓的一個交點，求cos∠P的值．
【例7】已知橢圓C：(>b>0)的兩個焦點為，，點P在橢圓C上，且P⊥，|P|＝，|P|＝
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l經過圓＋＋4x－2y＝0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，M，B三點滿足關系，求直線l的方程.
【變式訓練7】已知橢圓的中心在原點，一個焦點為(0，)，直線l：y＝2x－1交橢圓所截得的弦的中點在直線4x＋y－＝0上．求此橢圓的方程．

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