資源簡介

專題五 冪、指、對函數
1．冪函數
（1）冪函數的定義
一般地，函數y＝xα 叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
（2）幾個常用的冪函數的圖象與性質
定義 冪函數y＝xα(α∈R)
圖象 α＞0 α＜0
性 質 (1)圖象過點(0，0)和(1，1) 圖象過點(1，1)
(2)在第一象限內，函數值隨x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函數 在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，即在(0，＋∞)上是減函數
(3)在第一象限內，當α＞1時，圖象下凸當0＜α＜1時，圖象上凸 在第一象限內，圖象都下凸
2．指數函數
（1）指數函數的定義
函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，函數的定義域是R，a是底數．
（2）指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，y>1；當x<0時，01；當x>0時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
3．對數函數
（1）對數函數的定義
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
以10為底的對數叫做常用對數，記作lg N，
以e為底的對數叫做自然對數，記作ln N.
（2）對數的性質與運算性質
對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)．
對數的運算性質：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．一般地，＝ logaM.
（3）換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
（4）對數函數的圖象與性質
y＝logax a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性質 過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0；當01時，y<0；當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
一 、冪的運算及冪函數
1．設，則下列運算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A，，A錯誤；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，，D正確，
故選：D.
2．已知冪函數的圖象過點，則的值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【解析】設，則，解得，所以，所以，故選：D.
3．已知冪函數在上為單調減函數，則實數m的值為（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】是冪函數，所以，當時，，在上遞減，符合題意，當時，，在上遞增，不符合題意，綜上所述，的值為，D選項正確，故選：D.
二 、指數及指數函數
4．函數，（且）的圖像必經過一個定點，則這個定點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函數，令，則，所以函數必過點，故選：D.
5．若指數函數在是減函數，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】當，即時，該指數函數在是減函數，故選：B.
6．函數的值域是 ．
【答案】
【解析】因為，所以，所以，即，即所求函數的值域為，故答案為：.
三 、對數及對數函數
7．有以下四個結論，其中正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】B
【解析】因為，，所以A錯誤，B正確；
若，則，故C錯誤；
，而沒有意義，故D錯誤，
故選：B.
8．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以.則，所以，故選：B.
9．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得x的取值范圍為：，所以函數的定義域為，故選：A.
10．化簡式子等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】原式，故選：A.
一、選擇題
1．設a>0，則下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 , ,故B，C錯誤，D正確，由于 ，所以 ，故A 錯誤，故選：D.
2．冪函數的圖象過點，則f(4)等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】依題意，則，故選：B.
3．若，，則下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于AD選項，，AD均錯；
對于B選項，，B錯；
對于C選項，，C對，
故選：C.
4．方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，故選：D.
5．已知，則的值為（ ）
A．2 B．－2 C． D．±2
【答案】D
【解析】，所以，故選：D.
6．已知,,,則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】構造可知單調遞增，，，造可知單調遞減，，，構造可知單調遞減，，，所以，故選：A.
7．若且，則函數的圖像恒過定點（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
【答案】D
【解析】根據對數函數的性質，當時，則，則函數過定點，故選：D.
8．已知函數，則＝（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【解析】由題意得，故選：C.
9．在同一個坐標系中，函數與且的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由指數函數和對數函數性質可知：與圖象關于對稱，由選項中圖象對稱關系可知A正確，故選：A.
10．在正項等比數列 中，，則數列的前 5 項之和為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由等比數列的性質得，數列的前 5 項之和為，故選：C.
二、填空題
11．若，，則的值為 .
【答案】
【解析】，故答案為：.
12． ．
【答案】-1
【解析】，故答案為：-1.
13．函數，則 .
【答案】1
【解析】依題意，故答案為：.
14．已知指數函數（其中）在閉區間上的最大值比最小值大，則實數 ．
【答案】
【解析】∵，∴指數函數（其中）在閉區間上單調遞增，所以，則，
解得（舍去），故答案為：．
15．已知，，則 ．
【答案】72
【解析】由，所以，故答案為：72.
16．函數在[1，3]上的值域為[1，3]，則實數a的值是___________.
【答案】
【解析】若，在上單調遞減，則，不符合題意；若，在上單調遞增，則，當值域為時，可知，解得.
故答案為：.
三、解答題
18．已知正實數滿足，求下列各式的值；
（1）
（2）．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）因為，所以.
（2）因為，所以，所以．
19．已知函數（且）的圖像過點.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)依題意有，∴.
(2)易知函數在上單調遞增，又，∴解得.
∴不等式的解集為．
20．已知，且，求m的值．
【答案】
【解析】解：因為，所以，由換底公式可得：，
因為，所以，則，因為，所以.專題五 冪、指、對函數
1．冪函數
（1）冪函數的定義
一般地，函數y＝xα 叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
（2）幾個常用的冪函數的圖象與性質
定義 冪函數y＝xα(α∈R)
圖象 α＞0 α＜0
性 質 (1)圖象過點(0，0)和(1，1) 圖象過點(1，1)
(2)在第一象限內，函數值隨x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函數 在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，即在(0，＋∞)上是減函數
(3)在第一象限內，當α＞1時，圖象下凸當0＜α＜1時，圖象上凸 在第一象限內，圖象都下凸
2．指數函數
（1）指數函數的定義
函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，函數的定義域是R，a是底數．
（2）指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1
當x>0時，y>1；當x<0時，01；當x>0時，0在(－∞，＋∞)上是增函數 在(－∞，＋∞)上是減函數
3．對數函數
（1）對數函數的定義
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
以10為底的對數叫做常用對數，記作lg N，
以e為底的對數叫做自然對數，記作ln N.
（2）對數的性質與運算性質
對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)．
對數的運算性質：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．一般地，＝ logaM.
（3）換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
（4）對數函數的圖象與性質
y＝logax a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
性質 過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0；當01時，y<0；當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
一 、冪的運算及冪函數
1．設，則下列運算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知冪函數的圖象過點，則的值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
3．已知冪函數在上為單調減函數，則實數m的值為（ ）．
A． B． C． D．2
二 、指數及指數函數
4．函數，（且）的圖像必經過一個定點，則這個定點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
5．若指數函數在是減函數，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6．函數的值域是 ．
三 、對數及對數函數
7．有以下四個結論，其中正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．
8．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
9．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
10．化簡式子等于（ ）
A．0 B． C． D．
一、選擇題
1．設a>0，則下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．冪函數的圖象過點，則f(4)等于（ ）
A． B．2 C． D．
3．若，，則下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
5．已知，則的值為（ ）
A．2 B．－2 C． D．±2
6．已知,,,則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
7．若且，則函數的圖像恒過定點（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
8．已知函數，則＝（ ）
A． B．4 C． D．8
9．在同一個坐標系中，函數與且的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．在正項等比數列 中，，則數列的前 5 項之和為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題
11．若，，則的值為 .
12． ．
13．函數，則 .
14．已知指數函數（其中）在閉區間上的最大值比最小值大，則實數 ．
15．已知，，則 ．
16．函數在[1，3]上的值域為[1，3]，則實數a的值是___________.
三、解答題
18．已知正實數滿足，求下列各式的值；
（1）
（2）．
19．已知函數（且）的圖像過點.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.．
20．已知，且，求m的值．

展開更多......

收起↑