資源簡介

專題六 弧度制及任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式
1.角
(1)非象限角
①終邊在x軸上的角的集合可記作：{α|α＝kπ，k∈Z} ；
②終邊在y軸上的角的集合可記作： ；
(2)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.
2．弧度制
(1)弧度與角度的換算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′.
(2)若圓心角α用弧度制表示,則弧長公式l＝ r ;扇形面積公式S扇＝r2＝lr．
3．任意角的三角函數(shù)
(1)任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點P(x，y)與原點的距離為r(r>0)，則sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)．
(2)三角函數(shù)值在各象限的符號：
sinα　　　　　cosα　　　　　tanα
4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα．
5．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口訣 奇變偶不變，符號看象限
一 、角、弧度制、扇形弧長及面積
1．下列與角的終邊一定相同的角是（ ）
A． B．
C．) D．)
【答案】C
【解析】與角終邊相同角可以表示為；
對A，由找不到整數(shù)讓，所以A錯誤；
對B，表達(dá)有誤，角的表示不能同時在一個表達(dá)式中既有角度制又有弧度制，B錯誤，C項正確，；
對D 項，當(dāng)時，角為，當(dāng)時，角為，得不到角，故D錯誤，
故選：C.
2．若是銳角，則，是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
【答案】C
【解析】是銳角，，，當(dāng)k為奇數(shù)時，為第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時，為第一象限角.所以為第一象限角或第三象限角，故選：C.
3．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則解得，故選：C．
二 、任意角的三角函數(shù)
4．若C為的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，故，、的符號不定，所以A為正值，B、C、D的符號不定，故選：A．
5．平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，點到原點距離，所以，故選：A.
6．已知角α的終邊與單位圓交于點，則=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角函數(shù)的定義可知，所以，故選：A.
三 、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式
7．已知扇形的半徑為6，且扇形的弧長為，設(shè)其圓心角為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由弧長公式變形得到，∴，故選：D.
8．平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，點到原點距離，所以，故選：A.
9．若，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因為，所以，故選：B.
10．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，故選：A.
一、選擇題
1．已知，則點在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【解析】因為，所以為第四象限角，所以，，所以點位于第四象限，故選：D.
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：，故選：A．
3．圓心角為且半徑長為1cm的扇形的面積為（ ）cm
A．15 B．30 C． D．
【答案】C
【解析】因為，，所以扇形的面積，故選：C.
4．若直線l經(jīng)過第一、三、四象限，且其傾斜角為，斜率為k，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，其斜率，直線l的傾斜角的取值范圍是，所以，，.
所以，，，D選項錯誤，故選：D.
5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題得，所以，故答案為：A.
6．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊過點，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【解析】由終邊過點，可得，所以，故選：D.
7．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，根據(jù)誘導(dǎo)公式得，即，所以，故選：A.
8．若，則的值為（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】因為，故選：B.
9．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，在由.
故選：D.
10．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知條件得，∵，∴，
∴，故答案為：.
二、填空題
11．在到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為 ．
【答案】
【解析】因為，所以在 到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為，故答案為：.
12．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第 象限角．
【答案】第三象限角
【解析】當(dāng)sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以當(dāng)sinα＜0 且tanα＞0，則α是第三象限角，故答案為：第三象限角．
13．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為 ．
【答案】6
【解析】扇形的周長為，故答案為：6.
14．已知點為角的終邊上一點，則的值為 ．
【答案】
【解析】，故答案為：.
15．若，則 ．
【答案】
【解析】因為，則，所以，，故答案為：.
16．若一個圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為 .
【答案】
【解析】由題可知該圓錐的底面半徑，設(shè)圓錐的母線長為l，則，得.此該圓錐的體積，故答案為：.
三、解答題
18．已知.
（1）寫出與角終邊相同的角的集合；
（2）寫出在內(nèi)與角終邊相同的角.
【答案】(1)；(2)，，
【解析】解：（1）與角終邊相同的角的集合為.
（2）令，得，又，∴k=-2，-1，0，∴在內(nèi)與角終邊相同的角是，，.
19．已知角的終邊經(jīng)過點．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）點到坐標(biāo)原點的距離，因為，所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，．
20．已知為第三象限角，且.
（1）化簡；
（2）若，求的值.
【答案】(1)；(2)﹒
【解析】解：(1)．
(2)∵，∴，又為第三象限角，∴，∴.專題六 弧度制及任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式
1.角
(1)非象限角
①終邊在x軸上的角的集合可記作：{α|α＝kπ，k∈Z} ；
②終邊在y軸上的角的集合可記作： ；
(2)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.
2．弧度制
(1)弧度與角度的換算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1rad＝≈57.30°＝57°18′.
(2)若圓心角α用弧度制表示,則弧長公式l＝ r ;扇形面積公式S扇＝r2＝lr．
3．任意角的三角函數(shù)
(1)任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點P(x，y)與原點的距離為r(r>0)，則sinα＝，cosα＝，tanα＝ (x≠0)．
(2)三角函數(shù)值在各象限的符號：
sinα　　　　　cosα　　　　　tanα
4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：①sin2α＋cos2α＝1； ②＝tanα．
5．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口訣 奇變偶不變，符號看象限
一 、角、弧度制、扇形弧長及面積
1．下列與角的終邊一定相同的角是（ ）
A． B．
C．) D．)
2．若是銳角，則，是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
3．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．2
二 、任意角的三角函數(shù)
4．若C為的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
5．平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知角α的終邊與單位圓交于點，則=（　　）
A． B． C． D．
三 、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式
7．已知扇形的半徑為6，且扇形的弧長為，設(shè)其圓心角為，則等于（ ）
A． B． C． D．
8．平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點，則（ ）
A． B． C． D．
9．若，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知，則（ ）
A． B． C． D．
一、選擇題
1．已知，則點在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．圓心角為且半徑長為1cm的扇形的面積為（ ）cm
A．15 B．30 C． D．
4．若直線l經(jīng)過第一、三、四象限，且其傾斜角為，斜率為k，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊過點，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．7
7．已知，則（ ）
A． B． C． D．
8．若，則的值為（ ）
A．1 B． C．0 D．
9．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．在到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為 ．
12．若sinα＜0且tanα＞0，則α是第 象限角．
13．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為 ．
14．已知點為角的終邊上一點，則的值為 ．
15．若，則 ．
16．若一個圓錐的底面面積為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為 .
三、解答題
18．已知.
（1）寫出與角終邊相同的角的集合；
（2）寫出在內(nèi)與角終邊相同的角.
19．已知角的終邊經(jīng)過點．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．已知為第三象限角，且.
（1）化簡；
（2）若，求的值.

展開更多......

收起↑