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專題7.7 二項(xiàng)分布與超幾何分布（重難點(diǎn)題型精講）
1．伯努利試驗(yàn)
(1)伯努利試驗(yàn)的概念
把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).
(2)n重伯努利試驗(yàn)的兩個(gè)特征
①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；
②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.
2．二項(xiàng)分布
一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p).
3．二項(xiàng)分布的期望與方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機(jī)變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.
5．超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系
(1)超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有
截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布列，會(huì)發(fā)現(xiàn)其相似點(diǎn).超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，許多實(shí)際問題都可以利用這兩個(gè)概率模型來求解.在實(shí)際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的.
(2)事實(shí)上，在次品件數(shù)為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取n件(由于產(chǎn)品件數(shù)N無限多，無放回與有放回?zé)o區(qū)別，故可看作n重伯努利試驗(yàn))，其中含有次品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布.
【題型1 二項(xiàng)分布的概率計(jì)算】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于二項(xiàng)分布的概率計(jì)算問題，根據(jù)二項(xiàng)分布的定義及二項(xiàng)分布的分布列，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2022春·新疆·高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量，Y服從兩點(diǎn)分布，若，，則（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 二項(xiàng)分布的期望與方差】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)題目條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則等于（ ）
A． B．8 C．12 D．24
【變式2-1】（2022春·安徽滁州·高二階段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人.二進(jìn)制數(shù)被廣泛應(yīng)用于電子電路 計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域.某電子電路每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)四位二進(jìn)制數(shù)，其中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，當(dāng)電路運(yùn)行一次時(shí)，的數(shù)學(xué)期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【變式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知隨機(jī)變量，若，則分別是（ ）
A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6
【變式2-3】（2022秋·河南南陽·高三階段練習(xí)）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，且，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【題型3 二項(xiàng)分布中的最大值問題】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于二項(xiàng)分布中的最值問題，結(jié)合P(X=k)的單調(diào)性確定P(X=k)的最大值和對(duì)應(yīng)的k的值，進(jìn)行求解即可.
【例3】（2022春·山東棗莊·高二期末）某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若，則取得最大值時(shí)，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．5或6
【變式3-2】（2022春·廣東云浮·高二期末）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)檢測(cè)有一批產(chǎn)品合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【題型4 超幾何分布的判斷】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于所給的隨機(jī)變量X，根據(jù)超幾何分布的定義來進(jìn)行判斷即可.
【例4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為
B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為
D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號(hào)碼；
②X表示取出的最小號(hào)碼；
③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；
④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選10個(gè)村莊中交通不方便的村莊的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【變式4-3】（2022春·黑龍江綏化·高二期末）一個(gè)袋子中100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則服從（ ）
A．二項(xiàng)分布，且 B．兩點(diǎn)分布，且
C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且
【題型5 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟：
(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
(2)分析隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布；
(3)若服從二項(xiàng)分布，則求出參數(shù)n和p的值；
(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.
【例5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，期望，方差．
(1)求n和p的值，并寫出X的分布列.；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率．
【變式5-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的，且成活率均為，設(shè)為成活棕櫚樹的棵數(shù).
(1)求的分布列；
(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.
【變式5-2】（2022秋·遼寧沈陽·高二期末）新疆棉以絨長、品質(zhì)好、產(chǎn)量高著稱于世．現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客．B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客．這兩類服裝剩余部分將會(huì)在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完．
(1)設(shè)A類服裝單件銷售價(jià)格為元，B類服裝單件銷售價(jià)格為元，分別寫出兩類服裝單件銷售價(jià)格的分布列，并通過計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)-成本）的大小；
(2)某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場(chǎng)A，B兩類服裝均以會(huì)員價(jià)銷售，假設(shè)每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率均為．已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，若，求n的所有可能取值．
【變式5-3】（2022春·上海閔行·高二期末）2022年冬奧會(huì)剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)讓人們津津樂道．高山滑雪（A1pine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競(jìng)速運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．冬季奧運(yùn)會(huì)高山滑雪設(shè)男子項(xiàng)目、女子項(xiàng)目、混合項(xiàng)日．其中，男子項(xiàng)目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級(jí)大回轉(zhuǎn)、全能5個(gè)小項(xiàng)，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項(xiàng)目．現(xiàn)有90名運(yùn)動(dòng)員參加該項(xiàng)目的比賽，組委會(huì)根據(jù)報(bào)名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組，直接進(jìn)入第二輪比賽，排名在后60位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入敗者組進(jìn)行一場(chǎng)加賽，加賽排名在前10位的運(yùn)動(dòng)員從敗者組復(fù)活，進(jìn)入第二輪比賽．現(xiàn)已知每位參賽運(yùn)動(dòng)員水平相當(dāng)．
(1)求每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組的概率，及每位敗者組運(yùn)動(dòng)員復(fù)活的概率；
(2)從所有參賽的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取5人，設(shè)這5人中進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論進(jìn)行分析．
【題型6 超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
利用超幾何分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟：
(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
(2)分析隨機(jī)變量是否服從超幾何分布；
(3)若服從超幾何分布，則求出隨機(jī)變量的概率及分布列；
(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.
【例6】（2022春·安徽滁州·高二階段練習(xí)）北京時(shí)間2月20日，北京2022年冬奧會(huì)閉幕式在國家體育場(chǎng)舉行.北京2022年冬奧會(huì)的舉行激發(fā)了人們的冰雪興趣，帶火了冬季旅游，某旅游平臺(tái)計(jì)劃在注冊(cè)會(huì)員中調(diào)查對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的愛好情況，其中男會(huì)員有1000名，女會(huì)員有800名，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取36名會(huì)員進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這36名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的男會(huì)員有8人，女會(huì)員有4人.
(1)在1800名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的估計(jì)有多少人？
(2)在抽取的喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的會(huì)員中任選3人，記選出的3人中男會(huì)員有人，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）為提高天津市的整體旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識(shí)競(jìng)賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會(huì)，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游4名，其中高級(jí)導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨機(jī)選擇4人參加比賽.
(1)設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名高級(jí)導(dǎo)游，且這2名高級(jí)導(dǎo)游來自同一個(gè)旅游協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；
(2)設(shè)為選出的4人中高級(jí)導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【變式6-2】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計(jì)400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：噸）．
廚余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶
廚余垃圾 60 20 20
可回收物 10 40 10
其他垃圾 30 40 170
(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；
(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動(dòng)（每名志愿者被選到的可能性相同）．設(shè)為選出的3名志愿者中男性志愿者的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【變式6-3】（2022春·江蘇蘇州·高二期中）為了解昆山震川高級(jí)中學(xué)中學(xué)高二年級(jí)學(xué)生身視力情況，對(duì)高二年級(jí)（1）班—（8）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行視力監(jiān)測(cè)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：
班號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
人數(shù) 8 6 9 4 7 5 9 8
(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高二年級(jí)學(xué)生視力情況，從高二年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高二（2）班的10名學(xué)生中按分層抽樣抽出5人，再從5人中任取2人，設(shè)X表示2人中視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生視力優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的視力優(yōu)秀率相等．現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)視力優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)視力不是優(yōu)秀（，2，，8）．寫出方差，，，的大小關(guān)系．專題7.7 二項(xiàng)分布與超幾何分布（重難點(diǎn)題型精講）
1．伯努利試驗(yàn)
(1)伯努利試驗(yàn)的概念
把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).
(2)n重伯努利試驗(yàn)的兩個(gè)特征
①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；
②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.
2．二項(xiàng)分布
一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p).
3．二項(xiàng)分布的期望與方差
一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．超幾何分布
(1)定義
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽
取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.
(2)求超幾何分布的分布列
①判斷隨機(jī)變量是不是服從超幾何分布；
②套用超幾何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意義.
5．超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系
(1)超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求解有
截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布列，會(huì)發(fā)現(xiàn)其相似點(diǎn).超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，許多實(shí)際問題都可以利用這兩個(gè)概率模型來求解.在實(shí)際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的.
(2)事實(shí)上，在次品件數(shù)為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取n件(由于產(chǎn)品件數(shù)N無限多，無放回與有放回?zé)o區(qū)別，故可看作n重伯努利試驗(yàn))，其中含有次品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布.
【題型1 二項(xiàng)分布的概率計(jì)算】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于二項(xiàng)分布的概率計(jì)算問題，根據(jù)二項(xiàng)分布的定義及二項(xiàng)分布的分布列，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2022春·新疆·高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算．
【解答過程】．
故選：D．
【變式1-1】（2022·高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量，Y服從兩點(diǎn)分布，若，，則（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解題思路】利用二項(xiàng)分布的概率公式可求p,然后利用兩點(diǎn)分布概率公式計(jì)算可得結(jié)果.
【解答過程】隨機(jī)變量,，
解得（舍去，注意：），．
故選:C．
【變式1-2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用二項(xiàng)分布求解即可
【解答過程】，
，
，
解得，
故選：A.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先建立方程求出，再計(jì)算即可.
【解答過程】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，，
所以，則，
因?yàn)椋矗獾?br/>隨機(jī)變量中，
，
故選：A.
【題型2 二項(xiàng)分布的期望與方差】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)題目條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則等于（ ）
A． B．8 C．12 D．24
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差性質(zhì)求解即可.
【解答過程】隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，，
因?yàn)椋?
因?yàn)椋?br/>所以.
故選：D.
【變式2-1】（2022春·安徽滁州·高二階段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人.二進(jìn)制數(shù)被廣泛應(yīng)用于電子電路 計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域.某電子電路每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)四位二進(jìn)制數(shù)，其中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，當(dāng)電路運(yùn)行一次時(shí)，的數(shù)學(xué)期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布求期望.
【解答過程】由題意，，
故
，
故選:C.
【變式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知隨機(jī)變量，若，則分別是（ ）
A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6
【解題思路】由求得，根據(jù)，結(jié)合均值和方差的性質(zhì)，即可求得答案.
【解答過程】由題意知，，
故，
由于，故，
所以,
故選：B.
【變式2-3】（2022秋·河南南陽·高三階段練習(xí)）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，且，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解題思路】由二項(xiàng)分布的方差公式可求出或，又因?yàn)榭傻茫钥汕蟪觯儆啥?xiàng)分布的期望即可求出答案.
【解答過程】解：由二項(xiàng)分布的方差公式有，
解得: 或.
而即，
解得:
所以，
從而.
故選:A.
【題型3 二項(xiàng)分布中的最大值問題】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于二項(xiàng)分布中的最值問題，結(jié)合P(X=k)的單調(diào)性確定P(X=k)的最大值和對(duì)應(yīng)的k的值，進(jìn)行求解即可.
【例3】（2022春·山東棗莊·高二期末）某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解題思路】若最大，則，解出的范圍，代入數(shù)值.
【解答過程】因?yàn)?，若最大，則
，化簡得： ， .
代入已知數(shù)值得： ，所以 時(shí)最大.
故選：C.
【變式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若，則取得最大值時(shí)，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．5或6
【解題思路】求得的表達(dá)式，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【解答過程】因?yàn)椋裕?br/>由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)取得最大值.
故選：B.
【變式3-2】（2022春·廣東云浮·高二期末）已知，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)可得到方程，求得，結(jié)合n的取值，可得答案.
【解答過程】由題意可知，
因?yàn)椋裕?br/>整理得，即，
又，且，所以，
故選：B.
【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)檢測(cè)有一批產(chǎn)品合格率為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為，則取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】隨機(jī)變量，，若取得最大值時(shí),則有，，求出的值.
【解答過程】由題意，隨機(jī)變量，，
若取得最大值時(shí)，則:

則，解得，則．
故選：．
【題型4 超幾何分布的判斷】
【方法點(diǎn)撥】
對(duì)于所給的隨機(jī)變量X，根據(jù)超幾何分布的定義來進(jìn)行判斷即可.
【例4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為
B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為
D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為
【解題思路】根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項(xiàng).
【解答過程】解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量服從超幾何分布.
故選：B.
【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號(hào)碼；
②X表示取出的最小號(hào)碼；
③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；
④X表示取出的黑球個(gè)數(shù)．
這四種變量中服從超幾何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【解題思路】根據(jù)超幾何分布的定義逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【解答過程】對(duì)于①，當(dāng)X表示最大號(hào)碼，比如表示從黑球編號(hào)為中取3個(gè)黑球，
而表示從6個(gè)黑球和編號(hào)為的白球共7個(gè)球中取3個(gè)球，
故該隨機(jī)變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機(jī)變量不服從超幾何分布.
對(duì)于③，的可能取值為，
表示取出4個(gè)白球；
表示取出3個(gè)白球1個(gè)黑球；
表示取出2個(gè)白球2個(gè)黑球；
表示取出1個(gè)白球3個(gè)黑球；
表示取出4個(gè)黑球；
因此服從超幾何分布.
由超幾何分布的概念知④符合，
故選：B.
【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選10個(gè)村莊中交通不方便的村莊的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【解題思路】根據(jù)超幾何分布概率模型可得選項(xiàng).
【解答過程】根據(jù)超幾何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故選：A.
【變式4-3】（2022春·黑龍江綏化·高二期末）一個(gè)袋子中100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則服從（ ）
A．二項(xiàng)分布，且 B．兩點(diǎn)分布，且
C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且
【解題思路】利用超幾何分布的定義判斷，再利用超幾何分布的期望公式求解.
【解答過程】解：由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，所以由超幾何分布得定義得服從超幾何分布，所以.
故選：C.
【題型5 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
利用二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟：
(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
(2)分析隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布；
(3)若服從二項(xiàng)分布，則求出參數(shù)n和p的值；
(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.
【例5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，期望，方差．
(1)求n和p的值，并寫出X的分布列.；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率．
【解題思路】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)列方程組，求得，并求得的分布列.
（2）結(jié)合（1）的分布列求得正確答案.
【解答過程】（1）由題意知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，
，．
由，解得，．
所以，的可能取值為，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
（2）記事件A表示“需要補(bǔ)種沙柳”，則，
得，
所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為．
【變式5-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的，且成活率均為，設(shè)為成活棕櫚樹的棵數(shù).
(1)求的分布列；
(2)若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)題意成活棕櫚樹的棵數(shù)服從二項(xiàng)分布，再求出分布列即可；
（2）由題意計(jì)算即可.
【解答過程】（1）
易知所有可能的取值為0，1，2，3，4，
且，，
，，
，
所以的分布列為
0 1 2 3 4
P
（2）
記“需要補(bǔ)種棕櫚樹”為事件A，由（1）得，，
所以需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率為.
【變式5-2】（2022秋·遼寧沈陽·高二期末）新疆棉以絨長、品質(zhì)好、產(chǎn)量高著稱于世．現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客．B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客．這兩類服裝剩余部分將會(huì)在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完．
(1)設(shè)A類服裝單件銷售價(jià)格為元，B類服裝單件銷售價(jià)格為元，分別寫出兩類服裝單件銷售價(jià)格的分布列，并通過計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)-成本）的大小；
(2)某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場(chǎng)A，B兩類服裝均以會(huì)員價(jià)銷售，假設(shè)每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率均為．已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，若，求n的所有可能取值．
【解題思路】（1）根據(jù)給定的信息，求出，的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）求出購買了服裝的顧客中購買B類服裝的概率，借助二項(xiàng)分布求出n的各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，再比較判斷作答.
【解答過程】（1）依題意，的可能值為200，170，120，
，
的分布列為：
200 170 120
P 0.3 0.5 0.2
的期望，
的可能值為300，255，180，
，
的分布列為：
300 255 180
P 0.2 0.4 0.4
的期望，
設(shè)A類服裝、B類服裝的單件收益分別為元，元，則，，
（元），（元），，
所以B類服裝單件收益的期望大.
（2）依題意，的可能值為0，1，2，3，4，5，顯然，
，，，
，，，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，n可取的值為0，1，2．
【變式5-3】（2022春·上海閔行·高二期末）2022年冬奧會(huì)剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)讓人們津津樂道．高山滑雪（A1pine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競(jìng)速運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．冬季奧運(yùn)會(huì)高山滑雪設(shè)男子項(xiàng)目、女子項(xiàng)目、混合項(xiàng)日．其中，男子項(xiàng)目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級(jí)大回轉(zhuǎn)、全能5個(gè)小項(xiàng)，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項(xiàng)目．現(xiàn)有90名運(yùn)動(dòng)員參加該項(xiàng)目的比賽，組委會(huì)根據(jù)報(bào)名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組，直接進(jìn)入第二輪比賽，排名在后60位的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入敗者組進(jìn)行一場(chǎng)加賽，加賽排名在前10位的運(yùn)動(dòng)員從敗者組復(fù)活，進(jìn)入第二輪比賽．現(xiàn)已知每位參賽運(yùn)動(dòng)員水平相當(dāng)．
(1)求每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組的概率，及每位敗者組運(yùn)動(dòng)員復(fù)活的概率；
(2)從所有參賽的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取5人，設(shè)這5人中進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論進(jìn)行分析．
【解題思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）由已知可得，依次求出對(duì)應(yīng)值的概率，寫出分布列，并用期望公式求出期望即可；
（3）由已知可得復(fù)活的人數(shù)，依據(jù)已知條件列出不等式即可求解.
【解答過程】(1)
每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入勝者組的概率為,每位敗者組運(yùn)動(dòng)員復(fù)活的概率為；
(2)
由已知條件得進(jìn)入勝者組的人數(shù)為,
所以，其中，
所以，，
，，
，，
則的分布列為
數(shù)學(xué)期望，
(3)
設(shè)從敗者組選取的人中有人復(fù)活，則，
所以，
當(dāng)最大時(shí)，用滿足，
即 ，解得，
又因?yàn)椋裕醋钣锌赡苡?人復(fù)活.
【題型6 超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
利用超幾何分布模型解決實(shí)際問題的一般步驟：
(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
(2)分析隨機(jī)變量是否服從超幾何分布；
(3)若服從超幾何分布，則求出隨機(jī)變量的概率及分布列；
(4)根據(jù)需要列出相關(guān)式子并解決問題.
【例6】（2022春·安徽滁州·高二階段練習(xí)）北京時(shí)間2月20日，北京2022年冬奧會(huì)閉幕式在國家體育場(chǎng)舉行.北京2022年冬奧會(huì)的舉行激發(fā)了人們的冰雪興趣，帶火了冬季旅游，某旅游平臺(tái)計(jì)劃在注冊(cè)會(huì)員中調(diào)查對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的愛好情況，其中男會(huì)員有1000名，女會(huì)員有800名，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取36名會(huì)員進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這36名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的男會(huì)員有8人，女會(huì)員有4人.
(1)在1800名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的估計(jì)有多少人？
(2)在抽取的喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的會(huì)員中任選3人，記選出的3人中男會(huì)員有人，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【解題思路】(1)根據(jù)分層抽樣的定義求出男女會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的比例，進(jìn)而求解；
(2)根據(jù)超幾何分布計(jì)算概率.
【解答過程】（1）用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取36名會(huì)員，
其中男會(huì)員有（人），女會(huì)員有16人，
所以在1800名會(huì)員中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的估計(jì)有（人）.
（2）可能的取值有，
，
所以的分布列為
0 1 2 3
所以的期望.
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）為提高天津市的整體旅游服務(wù)質(zhì)量，市旅游局舉辦了天津市旅游知識(shí)競(jìng)賽，參賽單位為本市內(nèi)各旅游協(xié)會(huì)，參賽選手為持證導(dǎo)游.現(xiàn)有來自甲旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游4名，其中高級(jí)導(dǎo)游2名；乙旅游協(xié)會(huì)的導(dǎo)游5名，其中高級(jí)導(dǎo)游3名.從這9名導(dǎo)游中隨機(jī)選擇4人參加比賽.
(1)設(shè)為事件“選出的4人中恰有2名高級(jí)導(dǎo)游，且這2名高級(jí)導(dǎo)游來自同一個(gè)旅游協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；
(2)設(shè)為選出的4人中高級(jí)導(dǎo)游的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解題思路】（1）根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算以及古典概型概率問題的計(jì)算公式求得事件發(fā)生的概率.
（2）根據(jù)超幾何分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.
【解答過程】（1）由已知條件知，當(dāng)兩名高級(jí)導(dǎo)游來自甲旅游協(xié)會(huì)時(shí)，有種不同選法；
當(dāng)兩名高級(jí)導(dǎo)游來自乙旅游協(xié)會(huì)時(shí)，有種不同選法，
則
所以事件發(fā)生的概率為；
（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4.
，
，
，
，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列為
0 1 2 3 4
所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（人）.
【變式6-2】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計(jì)400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：噸）．
廚余垃圾桶 可回收物桶 其他垃圾桶
廚余垃圾 60 20 20
可回收物 10 40 10
其他垃圾 30 40 170
(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；
(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動(dòng)（每名志愿者被選到的可能性相同）．設(shè)為選出的3名志愿者中男性志愿者的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解題思路】（1）有表格可得總的廚余垃圾總量,以及投入正確的垃圾投放量,即可求解.
（2）根據(jù)超幾何分布,即可得分布列和期望.
【解答過程】（1）由題表可得廚余垃圾共有噸，其中投入廚余垃圾桶的有60噸，所以廚余垃圾投放正確的概率；
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3
，
，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以
所以選出的3名志愿者中男性志愿者個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．
【變式6-3】（2022春·江蘇蘇州·高二期中）為了解昆山震川高級(jí)中學(xué)中學(xué)高二年級(jí)學(xué)生身視力情況，對(duì)高二年級(jí)（1）班—（8）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行視力監(jiān)測(cè)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：
班號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
人數(shù) 8 6 9 4 7 5 9 8
(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高二年級(jí)學(xué)生視力情況，從高二年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)1人，求該生視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高二（2）班的10名學(xué)生中按分層抽樣抽出5人，再從5人中任取2人，設(shè)X表示2人中視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生視力優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的視力優(yōu)秀率相等．現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)視力優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)視力不是優(yōu)秀（，2，，8）．寫出方差，，，的大小關(guān)系．
【解題思路】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可求得抽取的人中，視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；
（2）首先可確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望；
（3）由兩點(diǎn)分布方差計(jì)算公式可求得的值，由此可得大小關(guān)系.
【解答過程】(1)
抽取的人中，視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀有人，
從高二年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，該生視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的概率.
(2)
由散點(diǎn)圖可知：高二（2）班的10名學(xué)生中，視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為6人，按分層抽樣，所抽5人，有3人視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀，2人視力監(jiān)測(cè)成績沒有達(dá)到優(yōu)秀，記從5人任抽2人，設(shè)X表示2人中視力監(jiān)測(cè)成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，則X中能值為0，1，2.
所有可能的取值為，
則X的分布列為
0 1 2
.
(3)
由散點(diǎn)圖知：，，；
，，；
，，；
，，；
.

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