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專題7.9 正態分布（重難點題型精講）
1．連續型隨機變量
隨機變量的取值充滿某個區間甚至整個數軸，但取一點的概率為0，稱這類隨機變量為連續型隨機變量.
2．正態分布
(1)正態曲線
函數f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數.我們稱f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正
態密度曲線，簡稱正態曲線.
(2)正態分布
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為XN(,).特別地，
當=0，=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.
(3)正態分布的均值和方差
若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.
3．正態曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
(2)曲線是單峰的，它關于直線x=對稱；
(3)曲線在x=處達到峰值；
(4)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸；
(5)對任意的>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；
(6)在參數取固定值時，正態曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；
(7)當取定值時，正態曲線的形狀由確定，當較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分
布比較集中；當較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖乙所示.
4．3原則
(1)正態總體在三個特殊區間內取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原則
在實際應用中，通常認為服從正態分布N(,)的隨機變量X只取[-3，+3]中的值，這在統計學
中稱為3原則.
【題型1 正態曲線的特點】
【方法點撥】
根據正態曲線及其性質，結合正態曲線的特點，進行求解即可.
【例1】（2023·高三課時練習）設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（ ）
A．
B．
C．對任意正數，
D．對任意正數，
【變式1-1】（2022秋·上海黃浦·高三期中）李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022春·廣東清遠·高二期末）已知三個正態密度函數（，）的圖像如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式1-3】（2022春·江蘇常州·高二期中）如圖是三個正態分布，，的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應曲線的序號分別依次為（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【題型2 利用正態曲線的對稱性求概率】
【方法點撥】
利用正態曲線的對稱性求概率是正態分布的基本題型.解題的關鍵是利用對稱軸x=確定所求概率對應的
隨機變量的區間與已知概率對應的隨機變量的區間的關系，必要時，可借助圖形判斷.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022春·湖南張家界·高二期末）已知隨機變量X服從正態分布 ，且，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【變式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知隨機變量服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022春·吉林長春·高二期末）已知隨機變量X服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 利用正態分布的3原則求概率】
【方法點撥】
利用正態分布的3原則求概率一定要靈活把握3原則，將所求概率向P(-X+)，P(-2X
+2)，P(-3X+3)進行轉化，然后利用特定值求出相應的概率.同時要充分利用好正態曲線的對
稱性和正態曲線與x軸之間的面積為1.
【例3】（2022春·河北衡水·高二階段練習）若，則（ ）
（參考數據：，）
A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865
【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量，則的值約為 （ ）
附：若，則，，
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022春·河南洛陽·高二階段練習）某工廠生產的零件的尺寸（單位:）服從正態分布.任選一個零件，尺寸在的概率為（ ）
附:若，則，，.
A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545
【變式3-3】（2022春·河南·高二階段練習）已知某批零件的尺寸（單位：）服從正態分布，其中的產品為“合格品”，若從這批零件中隨機抽取一件，則抽到合格品的概率約為（ ）
（附：若，則，，）
A． B． C． D．
【題型4 正態分布的實際應用】
【方法點撥】
利用服從正態分布N(,)的隨機變量X在三個特殊區間上取值的概率，可以解決兩類實際問題：
一類是估計在某一范圍內的數量，具體方法是先確定隨機變量在該范圍內取值的概率，再乘樣本容量即可.
另一類是利用3原則作決策.
【例4】（2022·高二課時練習）某金屬元件的抗拉強度服從正態分布，均值為，標準差是.測量記錄精確到.
(1)求抗拉強度超過的元件的比例；
(2)如果要求所有元件的規格是的抗拉強度，那么被報廢的元件的比例是多少？
【變式4-1】（2022秋·福建莆田·高三階段練習）某校高三年級有1000人，某次考試不同成績段的人數,且所有得分都是整數.
(1)求全班平均成績；
(2)計算得分超過141的人數；（精確到整數）
(3)甲同學每次考試進入年級前100名的概率是，若本學期有4次考試，表示進入前100名的次數，寫出的分布列，并求期望與方差.
參考數據： .
【變式4-2】（2022春·河北保定·高二階段練習）某食品廠生產一種零食，該種零食每袋的質量X（單位：）服從正態分布.
(1)當質檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質量為73，他立即要求停止生產，檢查設備，請你根據所學知識，判斷該質檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據.
(2)規定：這種零食的質量在62.8~69.4的為合格品.
①求這種零食的合格率；（結果精確到0.001）
②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數為Y，若Y的數學期望大于58，求n的最小值.
參考數據：若，則，，.
【變式4-3】（2022·福建福州·高二期末）近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求.各大養豬場正面臨巨大挑戰.目前各項針對性政策措施對于生豬整體產量恢復、激發養殖戶積極性的作用正在逐步顯現.現有甲、乙兩個規模一致的大型養豬場，均養有1萬頭豬，將其中重量（kg）在內的豬分為三個成長階段如下表.
豬生長的三個階段
階段 幼年期 成長期 成年期
重量（Kg）
根據以往經驗，兩個養豬場豬的體重X均近似服從正態分布.由于我國有關部門加強對大型養豬場即將投放市場的成年期豬的監控力度，高度重視成年期豬的質量保證，為了養出健康的成年活豬，甲、乙兩養豬場引入兩種不同的防控及養殖模式.已知甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為，.
（1）試估算甲養豬場三個階段豬的數量；
（2）已知甲養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損200元.
（ⅰ）記Y為甲、乙養豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機變量Y的分布列；
（ⅱ）假設兩養豬場均能把成年期豬售完，求兩養豬場的總利潤期望值.
（參考數據：若，，，）專題7.9 正態分布（重難點題型精講）
1．連續型隨機變量
隨機變量的取值充滿某個區間甚至整個數軸，但取一點的概率為0，稱這類隨機變量為連續型隨機變量.
2．正態分布
(1)正態曲線
函數f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數.我們稱f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正
態密度曲線，簡稱正態曲線.
(2)正態分布
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為XN(,).特別地，
當=0，=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.
(3)正態分布的均值和方差
若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.
3．正態曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
(2)曲線是單峰的，它關于直線x=對稱；
(3)曲線在x=處達到峰值；
(4)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸；
(5)對任意的>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；
(6)在參數取固定值時，正態曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；
(7)當取定值時，正態曲線的形狀由確定，當較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分
布比較集中；當較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖乙所示.
4．3原則
(1)正態總體在三個特殊區間內取值的概率
P(-X+)0.6827；
P(-2X+2)0.9545；
P(-3X+3)0.9973.
(2)3原則
在實際應用中，通常認為服從正態分布N(,)的隨機變量X只取[-3，+3]中的值，這在統計學
中稱為3原則.
【題型1 正態曲線的特點】
【方法點撥】
根據正態曲線及其性質，結合正態曲線的特點，進行求解即可.
【例1】（2023·高三課時練習）設，，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是（ ）
A．
B．
C．對任意正數，
D．對任意正數，
【解題思路】根據正態分布的密度曲線的性質及意義判斷即可
【解答過程】解：由正態密度曲線的性質可知，
、的密度曲線分別關于、對稱，
因此結合所給圖像可得，
；
又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，
所以，
；
故A、B錯誤．
由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對任意正數，
．
故C正確，D錯誤．
故選：C．
【變式1-1】（2022秋·上海黃浦·高三期中）李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據給定的正態分布密度曲線，結合正態分布的對稱性和性質，逐項判定，即可求解.
【解答過程】對于A中，隨機變量服從正態分布，且，
可得隨機變量的方差為，即，所以A錯誤；
對于B中，根據給定的正態分布密度曲線圖像，可得隨機變量，
所以，所以B錯誤；
對于C中，根據正態分布密度曲線圖像，可得時，隨機變量對應的曲線與圍成的面積小于時隨機變量對應的曲線與圍成的面積，
所以，所以C正確；
對于D中，根據正態分布密度曲線圖像，可得，，
即，所以D錯誤.
故選：C.
【變式1-2】（2022春·廣東清遠·高二期末）已知三個正態密度函數（，）的圖像如圖所示，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】由正態分布的圖像中對稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標準差的大小.
【解答過程】由題圖中的對稱軸知：，
與(一樣)瘦高，而胖矮，
所以.
故選：C.
【變式1-3】（2022春·江蘇常州·高二期中）如圖是三個正態分布，，的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應曲線的序號分別依次為（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【解題思路】先利用正態分布求出三個變量的標準差，再利用當較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”進行判定.
【解答過程】由題意，得，，，
因為當較小時，峰值高，正態曲線“瘦高”，且，
所以三個隨機變量X，Y，Z對應曲線的序號分別依次為①，②，③.
故選：A.
【題型2 利用正態曲線的對稱性求概率】
【方法點撥】
利用正態曲線的對稱性求概率是正態分布的基本題型.解題的關鍵是利用對稱軸x=確定所求概率對應的
隨機變量的區間與已知概率對應的隨機變量的區間的關系，必要時，可借助圖形判斷.
【例2】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由正態分布的對稱性求出即得解.
【解答過程】解：由隨機變量及正態分布的對稱性，知，
所以.
故選：D.
【變式2-1】（2022春·湖南張家界·高二期末）已知隨機變量X服從正態分布 ，且，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解題思路】根據正態分布曲線的對稱性即可求解.
【解答過程】隨機變量X服從正態分布，所以正態分布的對稱軸為 ，根據對稱性可知：
，
故選：D.
【變式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知隨機變量服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正態分布的性質可得，即可得到、關于對稱，從而得到方程，解得即可.
【解答過程】解：因為，
，
所以，
所以，解得.
故選：D.
【變式2-3】（2022春·吉林長春·高二期末）已知隨機變量X服從正態分布，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據正態分布的對稱性可得：，，結合題意可求，進而可求．
【解答過程】，則，
∴ ，則，
∴，
故選：C．
【題型3 利用正態分布的3原則求概率】
【方法點撥】
利用正態分布的3原則求概率一定要靈活把握3原則，將所求概率向P(-X+)，P(-2X
+2)，P(-3X+3)進行轉化，然后利用特定值求出相應的概率.同時要充分利用好正態曲線的對
稱性和正態曲線與x軸之間的面積為1.
【例3】（2022春·河北衡水·高二階段練習）若，則（ ）
（參考數據：，）
A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865
【解題思路】根據題意得到，從而利用正態分布圖象對稱性求出.
【解答過程】因為，，故,，
所以.
故選：A.
【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量，則的值約為 （ ）
附：若，則，，
A． B． C． D．
【解題思路】由題意確定，根據，即可得答案.
【解答過程】由題意知隨機變量，故 ，
故
,
故選：A.
【變式3-2】（2022春·河南洛陽·高二階段練習）某工廠生產的零件的尺寸（單位:）服從正態分布.任選一個零件，尺寸在的概率為（ ）
附:若，則，，.
A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545
【解題思路】由題意可得，代入計算即可.
【解答過程】解：由題意可知，且圖象關于對稱，
所以＝＝.
故選：B.
【變式3-3】（2022春·河南·高二階段練習）已知某批零件的尺寸（單位：）服從正態分布，其中的產品為“合格品”，若從這批零件中隨機抽取一件，則抽到合格品的概率約為（ ）
（附：若，則，，）
A． B． C． D．
【解題思路】根據原則結合正態分布的對稱性即可得出答案.
【解答過程】解：因為某批零件的尺寸（單位：）服從正態分布，
所以
.
故選：D.
【題型4 正態分布的實際應用】
【方法點撥】
利用服從正態分布N(,)的隨機變量X在三個特殊區間上取值的概率，可以解決兩類實際問題：
一類是估計在某一范圍內的數量，具體方法是先確定隨機變量在該范圍內取值的概率，再乘樣本容量即可.
另一類是利用3原則作決策.
【例4】（2022·高二課時練習）某金屬元件的抗拉強度服從正態分布，均值為，標準差是.測量記錄精確到.
(1)求抗拉強度超過的元件的比例；
(2)如果要求所有元件的規格是的抗拉強度，那么被報廢的元件的比例是多少？
【解題思路】（1）轉化為標準正態分布，結合查表求得所占比例.
（2）利用來求得正確答案.
【解答過程】(1)
依題意，
，
查表可知，在標準正態分布中，，
則，
所以抗拉強度超過的元件的比例是.
(2)
依題意，
，
所以被報廢的元件的比例是.
【變式4-1】（2022秋·福建莆田·高三階段練習）某校高三年級有1000人，某次考試不同成績段的人數,且所有得分都是整數.
(1)求全班平均成績；
(2)計算得分超過141的人數；（精確到整數）
(3)甲同學每次考試進入年級前100名的概率是，若本學期有4次考試，表示進入前100名的次數，寫出的分布列，并求期望與方差.
參考數據： .
【解題思路】（1）由易知全班平均成績；
（2）由正太分布曲線的對稱性易得 ，從而計算出得分超過141的人數；(3)的取值為0，1，2，3，4，計算出相應的概率值，利用公式即可算得期望與方差.
【解答過程】
(1)由不同成績段的人數服從正態分布，可知平均成績.
(2)
,
故141分以上的人數為人.
(3)的取值為0，1，2，3，4，
,
,
,
,
,
故的分布列為
0 1 2 3 4
期望，
方差.
【變式4-2】（2022春·河北保定·高二階段練習）某食品廠生產一種零食，該種零食每袋的質量X（單位：）服從正態分布.
(1)當質檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質量為73，他立即要求停止生產，檢查設備，請你根據所學知識，判斷該質檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據.
(2)規定：這種零食的質量在62.8~69.4的為合格品.
①求這種零食的合格率；（結果精確到0.001）
②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數為Y，若Y的數學期望大于58，求n的最小值.
參考數據：若，則，，.
【解題思路】（1）根據題意確定，求得，即可說明小概率事件發生了，由此判斷該質檢員的決定有道理；
（2）①根據為，，可確定當零食質量X滿足時為合格品，由此可求答案；② 根據二項分布的均值公式列出不等式，求得答案.
【解答過程】(1)
因為，所以，，
所以，，
所以.
因為0.00135遠小于，所以此事件應為小概率事件，
而質檢員隨機抽檢20袋該種零食時，測得1袋零食的質量為73，說明小概率事件確實發生了，因此他立即要求停止生產，檢查設備的決定有道理.
(2)
①因為，，所以，，
由題意可知當零食質量X滿足時為合格品，
所以這種零食的合格率為.
②由題意可知，
則，
則，故n的最小值為71；
[注]在第（2）問第2小問中，若寫為，則，
則，故n的最小值為71.
【變式4-3】（2022·福建福州·高二期末）近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求.各大養豬場正面臨巨大挑戰.目前各項針對性政策措施對于生豬整體產量恢復、激發養殖戶積極性的作用正在逐步顯現.現有甲、乙兩個規模一致的大型養豬場，均養有1萬頭豬，將其中重量（kg）在內的豬分為三個成長階段如下表.
豬生長的三個階段
階段 幼年期 成長期 成年期
重量（Kg）
根據以往經驗，兩個養豬場豬的體重X均近似服從正態分布.由于我國有關部門加強對大型養豬場即將投放市場的成年期豬的監控力度，高度重視成年期豬的質量保證，為了養出健康的成年活豬，甲、乙兩養豬場引入兩種不同的防控及養殖模式.已知甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為，.
（1）試估算甲養豬場三個階段豬的數量；
（2）已知甲養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損200元.
（ⅰ）記Y為甲、乙養豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機變量Y的分布列；
（ⅱ）假設兩養豬場均能把成年期豬售完，求兩養豬場的總利潤期望值.
（參考數據：若，，，）
【解題思路】（1）由于豬的體重X近似服從正態分布X～N（70，232），根據參考數據求出對應的概率，再求出結果；
（2）根據題意，寫出Y的分別列，求出數學期望，再求出總利潤．
【解答過程】解：（1）由于豬的體重X近似服從正態分布，
設各階段豬的數量分別為，
，
（頭）；
同理，，
（頭），
，
，
所以，甲養豬場有幼年期豬215頭，成長期豬9544頭，成年期豬215頭；
（2）依題意，甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為
隨機變量Y可能取值為.
，，
，
所以Y的分布列為：
1100 400
P
所以（元）
由于各養豬場均有215頭成年期豬，一頭豬出售的利潤總和的期望為785元，
則總利潤期望為（元）.

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